2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（学生版+解析）

专题04圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍..............................................1

三、定直线问题............................................2

二、典型题型..............................................2

题型一：定点问题......................................2

题型二：定值问题......................................5

题型三：定直线问题.....................................8

三、专项训练.............................................46

一、必备秘籍

一、定点问题

1.求解（或证明）直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x,y视作常

数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的

系数就要全部等于零，这样就得到一个关于％,丁的方程组，这个方程组的解所确定的点就

是直线或曲线所过的定点.

2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变

化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探

索出定点，再证明该定点与变量无关.

二、定值问题

1.解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜

率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始

终是一个确定的值.常见定值问题的处理方法：

（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示

（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能

否得到一个常数.

2.定值问题的处理技巧：

(1)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值，进

而给后面一般情况的处理提供一个方向.

(2)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢

(3)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运

算

三、定直线问题

定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求

轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等.

二、典型题型

题型一：定点问题

22

1.(2024高三•全国•专题练习)如图，四边形ABC。是椭圆上+匕=1的内接四边形，直

32

线AB经过左焦点K，直线AC,BD交于右焦点F2,直线AB与直线CD的斜率分别为左,网.

(2)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

22

2.(2024高三・全国•专题练习圮知椭圆C：1r+/=1(。>6>0)的左、右焦点分别为耳,工,

|百耳|=4,过F?的直线/与椭圆C交于P,。两点，△尸。耳的周长为8万.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，点A,片分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线机与椭圆C交于不同的两点M,

N(M,N都在x轴上方).且NAf；M=NO耳N.证明直线机过定点，并求出该定点的坐标.

3.(2024,黑龙江双鸭山•模拟预测)已知双曲线C：m-1=l(a>0,8>0)的焦距为2君，点

ab

£)(4,右)在C上.

(1)求C的方程；

(2)直线/：%=畋+1与C的右支交于两点，点E与点A关于x轴对称，。点在x轴上的投

影为G.

①求H的取值范围；

②求证：直线3E过点G.

4.（2024•青海海南•二模）已知双曲线C：E-4=l（a>0,b>0）的虚轴长为20,点尸（3，-2）在

ab

C上.设直线/与C交于A,B两点（异于点尸），直线AP与8尸的斜率之积为g.

⑴求C的方程；

（2）证明：直线/的斜率存在，且直线/过定点.

5.（23-24高二下•河南焦作•期末）已知抛物线。：旷=2/（2>0）的焦点为厂，。为原点,

第一象限内的点P在C上，忸。=|/羽，且APOR的面积为2忘.

⑴求C的方程；

⑵若以，N是。上与尸不重合的两动点，且求证：直线MN过定点.

6.(23-24高二下•安徽亳州•期末)已知。为坐标原点，A是抛物线C:尤2=2刀(0>0)上与

点。不重合的任意一点.

(1)设抛物线C的焦点为尸，若以P为圆心，E4为半径的圆厂交C的准线/于M、N两点,

且NMFN=9(r,AAMN的面积为4夜，求圆产的方程；

(2)若8是抛物线C上的另外一点，非零向量冰面满足性+西=屋-得，证明：直线A3

必经过一个定点.

题型二：定值问题

1.(2024iWi三,全国,专题练习)如图所示，已知椭圆系方程C"：+=n〈a>b>0,

ab

/eN+),工、工是椭圆Cf的焦点，A(疯⑹是椭圆Cf上一点，且在.质=0.

⑴求C”的离心率，求出G的方程.

(2)P为椭圆G上任意一点，过P且与椭圆C3相切的直线/与椭圆Cf交于M、N两点，点P

关于原点的对称点为。，求证：AQMN的面积为定值.

22

2.（2024高三・全国・专题练习）已知椭圆上+匕=1的左、右顶点分别为A,8,过X轴上一

42

点M（T,0）作一直线PQ,与椭圆交于尸，。两点（异于48）,直线AP和8。的交点为N,

记直线和AP的斜率分别为4,打，求%的值.

左2

fv2

3.（2024高三・全国・专题练习）已知耳，心是双曲线方-4=l（a>0,10）的左右焦点，

ab

闺段=2底点产（2布,2）在双曲线上.

（1）求双曲线的标准方程；

⑵若直线/与双曲线相切与于点Q,与双曲线的两条渐近线分别相交于V、N两点，当点Q

在双曲线上运动时，两.两的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由.

22

4.(23-24高二下•上海•期末)已知双曲线C：与一斗=1伍>0,b>0)的离心率为0,点(3,-1)

ab

在双曲线C上.过C的左焦点/作直线/交C的左支于A、8两点.

(1)求双曲线C的方程.

(2)若"(-2,0),试问：是否存在直线/,使得点M在以为直径的圆上？若存在出直线/

的方程；若不存在，说明理由.

⑶点P(Y,2),直线AP交直线x=-2于点Q.设直线的斜率分别匕、k2,求证:

匕-修为定值.

5.(2024高三・全国・专题练习)已知抛物线「：y2=2px(p>0)经过点P(l,2),直线/与抛

物线「有两个不同的交点A8,直线上4交，轴于直线P8交y轴于N.

⑴若直线/过点2(0,1),求直线/的斜率k的取值范围；

⑵若直线/过抛物线「的焦点尸，交y轴于点。，画=2而，诙=〃而，求彳+〃的值；

⑶若直线/过点。(0,1),设0(0,0),两=几加，的=〃诙，求：+)的值.

6.（23-24高一下•安徽•阶段练习）已知抛物线7：/=2*5＞0）经过点

4（1,忘）,3（1,一夜）,C（2,点）中的两个点，0为坐标原点，F为焦点.

⑴求抛物线7的方程；

7TFR

⑵过尸且倾斜角为7的直线交7于氏S两点，R在第一象限，求M的值；

3FS

⑶过点P（L0）的直线/与抛物线「交于2E两点，直线ODQE分别交直线户-1于M,N两

点，记直线PM,PN的斜率分别为.白,证明：勺网为定值.

题型三：定直线问题

22

1.（23-24高三下•上海•开学考试）已知椭圆r：1+当=1（。＞匕＞o）的离心率为:，左右焦

a2b2

点分别为百，鸟，"是椭圆上一点，|咋|=2,N用明=60。.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点N。』）的直线与椭圆交于P,。两点，R为线段尸。中点.

⑴求证：R点轨迹方程为人+注叽。;

（ii）。为坐标原点，射线OR与椭圆交于点S,点G为直线OR上一动点，且砺.砺=2丽2,

求证：点G在定直线上.

2.(2024高三•全国•专题练习)已知椭圆C:g+'=ig>b>0)的离心率为*A,5分

别为C的上、下顶点，。为坐标原点，直线、=辰+4与C交于不同的两点“，N.

(1)设点尸为线段MN的中点，证明：直线。尸与直线初V的斜率之积为定值；

⑵若|AB卜4,证明：直线与直线AN的交点G在定直线上.

/V2

3.(23-24高二下•黑龙江大庆•期中)已知A,2分别是双曲线C：/-2=1(。>。8>0)的左、

右顶点，P是C上异于A,B的一点，直线PA,尸8的斜率分别为勺,勺，且上上=|4刃=4.

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知过点(4,0)的直线/:x=my+4,交C的左，右两支于。，E两点(异于A,B).

(i)求m的取值范围；

(ii)设直线4D与直线8E交于点Q,求证：点。在定直线上.

4.（2024高三下•河南•专题练习）动点P（x,y）与定点/（2,0）的距离和它到定直线/:x=g的

距离的比是2,记动点尸的轨迹为曲线C.

⑴求C的方程；

⑵过R（-2,0）的直线/与C交于A3两点，且丽=a而（“>0）,若点加满足：W=a砺，证

明：点加在一条定直线上.

5.（23-24高二下•广东惠州•阶段练习）已知抛物线C:x2=2py（p>0）的焦点JF关于直线

产-2的对称点为（0,-5）.

⑴求C的方程；

（2）若。为坐标原点，过焦点P且斜率为1的直线/交C于4B两点，求|AB|；

⑶过点M（4,l）的动直线/交C于不同的A8两点，N为线段AB上一点，且满足

\AM\-\BN\=\AN\-\BM\,证明：点N在某定直线上，并求出该定直线的方程.

22

2.（2024高三•全国・专题练习）在平面直角坐标系尤0y中，已知椭圆C：=+1=1（。>b>0）,

a"t>-

尸是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M：（了-6）2+丁=16外切，又与圆郎x?+（y-2退『=3外

切.

（1）求椭圆C的方程.

（2）己知A,2是椭圆C上关于原点对称的两点，A在无轴的上方，连接AF,B尸并分别延长

交椭圆C于。，E两点，证明：直线。石过定点.

22

3.（23-24高二下•山西运城•期中）已知A,8分别是双曲线（7：3-*=1（稣0力>0）的左、

ab-

右顶点，尸是C上异于A,8的一点，直线尸A,P8的斜率分别为3月，且氏色=14刃=4.

⑴求双曲线C的方程；

（2）已知过点（4,0）的直线/交C于RE两点（异于A,B）,直线AD与直线BE交于点Q.求

证:点Q在定直线上.

4.（23-24高二下•云南曲靖•阶段练习）设抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为尸，点M（p,0）,

过点P且斜率存在的直线交C于不同的A8两点，当直线A"垂直于x轴时，|AF|=3.

⑴求C的方程；

⑵设直线A",与C的另一个交点分别为D,E,设直线AB,DE的斜率分别为尢/，证明:

（I）》为定值；

（ii）直线DE恒过定点.

5.（23-24高二上•山东潍坊•阶段练习）已知点"（-2,0）,圆C:（x-3）2+y2=4,点E是圆

C上的任意一点.动圆。过点C,且与尤=-3相切，点。的轨迹为曲线「

⑴求曲线r的方程；

⑵若与X轴不垂直的直线，与曲线r交于A、5两点，点N为/与X轴的交点，且

EN

4AMN=NBMN,若在x轴上存在异于点N的一点G,使得—为定值，求点G的坐标;

⑶过点（-3,0）的直线与曲线r交于P、。两点，且曲线「在尸、Q两点处的切线交于点S,

证明：s在定直线上.

专题04圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍..............................................1

三、定直线问题............................................2

二、典型题型..............................................2

题型一：定点问题......................................2

题型二：定值问题......................................5

题型三：定直线问题.....................................8

三、专项训练.............................................46

一、必备秘籍

一、定点问题

1.求解（或证明）直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x,y视作常

数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的

系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就

是直线或曲线所过的定点.

2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变

化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探

索出定点，再证明该定点与变量无关.

二、定值问题

1.解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜

率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始

终是一个确定的值.常见定值问题的处理方法：

（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示

（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能

否得到一个常数.

2.定值问题的处理技巧：

（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进

而给后面一般情况的处理提供一个方向.

（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢

（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运

算

三、定直线问题

定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求

轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等.

二、典型题型

题型一：定点问题

22

1.（2024高三•全国•专题练习）如图，四边形ABCD是椭圆上+二=1的内接四边形，直

32

线AB经过左焦点K,直线AC,BD交于右焦点F2,直线AB与直线CD的斜率分别为".

（2）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）设4（占,%）,5伍，%），°（%3，%），。®，乂），表示出直线AC的方程，代入椭圆

方程化简，利用根与系数的关系表示出力,则可表示出与，表示出点C的坐标，同理表示

出点。的坐标，再由A,耳，8三点共线，得%%-9%=%-%，然后利用斜率公式化简心，

可得匕，心的关系；

（2）解法一：直线CO交x轴于点/（%,%）,表示出直线CD的方程，表示出看,结合（1）

中的关系化简可得答案，解法二：设直线AB,DC交于点P,则由题意可设尸（3,m）,由

对称性可知，直线过定点必在无轴上，然后根据（1）得到的关系化简可得答案.

【详解】（1）设4（%,%）,3（孙％），。电,%）,。（4,24），

M—1尤2v2

则直线AC的方程为％=y+1,代入椭圆方程上+匕=1,

X32

整理得（2—卜2+（占_皿一才=0.

因为必•％=J，所以%=已，从而马=3%+1=^^.

2—玉%-2%XA-2

因为A,月，2三点共线，所以弋=/，从而再%-尤2%=%一%.

%M

"一为_9_2.-2_____%&_2）_M（%_2）_____

%2x?-32%-3（2%-3）（再-2）-（2%-3）（%-2）

X]一2%—2

（X%-%%）+2（%-%）_3（%-%）

设直线C。交x轴于点M（无。,0）,

因为Q0=上比，所以直线8为＞一%=止&（尤一马）,

x4-x3x4-x3

当尸。时，得-丁

2玉-3y22X2-3%

_x3y4-x4y3_再一2x2-2x2-2x「2（2%_3）%_（2%-3）%

'刃一％上j2（%1-2）-y1（x2-2）

x?-2%]—2

=2（尤1%-々%）+3（/-%）=5（%-%）=5

（无1%-々%）+2（%-%）3（%-%）3,

故直线co过定点（g,oj.

解法二：如图，设直线AB,DC交于点尸，则点尸在仍对应的极线号1.Y+0苛•"V=1,即尤=3

上，

可设P（3,m）,

由对称性可知，直线8过定点必在x轴上，不妨设定点为7（30）

,m7m,1/口3—/15

则匕=左T%=丁上7=须居=「，由（z1x）知丁=4，得—r=w，n即n，=；•

故直线CD过定点［I，0）.

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值和定点问题，解

题的关键是利用“设而不求"的思想，设出交点坐标，设出直线方程，代入椭圆方程化简，结

合根与系数的关系求解，考查计算能力和转化思想，属于难题.

22

2.（2024高三•全国・专题练习）己知椭圆C：=+3=1（。>8>0）的左、右焦点分别为片,工，

ab

|百耳|=4,过工的直线/与椭圆C交于尸，Q两点，4的周长为8万.

⑴求椭圆C的方程；

（2）如图，点4及分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线机与椭圆C交于不同的两点

N都在x轴上方）.且NAf；M=NO居N.证明直线机过定点，并求出该定点的坐标.

22

【答案】（1）二+二=1

84

（2）证明见解析，定点（-4,0）.

【分析】（1）由焦距和焦点三角形的周长求出6,。，得椭圆C的方程；

（2）设直线/方程为尸立+机，代入椭圆方程，设加（4%）,"（々,％），韦达定理表示出根

与系数的关系，由44片/=/。甲7,得与M=-%V,利用斜率公式结合韦达定理化简得

m=4k,可得直线/过定点（一4,0）.

【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c,由题意知国用=2c=4,解得。=2.

由椭圆的定义知，^尸。月的周长为4a=8直，,。=2近，故廿=4.

22

.•・椭圆C的方程为工+二=1.

84

（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0,设直线/:y=kx+m,,

把直线方程代入椭圆方程，整理可得（1+2k②卜②+4初a+2;层-8=0,

22m

A=8（8k2-A??+4）＞0,B|JSk-m+4＞0,xt+x2=--4k2=网~.

V71-1+2/1-1+2左②

■:髭M=七？43={7,M,N都在x轴上方，＞ZAfJM=ZO^N,/.k=-kFN.

石+29+2

二=即乂（々+2）=—%（芯+2）.

将％=%+m,y2=kx2+in代入，

整理可得2gx2+（2左+%）（占+々）+4m=0,又占%=：丁2；；，%+,-J黑2，

即4km2-16k-8k2m-4km1+Sk2m+4m=0＞整理可得m=4左,

二直线/为尸质+4Z=Mx+4）.二直线/过定点（TO）.

【点睛】方法点睛：

解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去M或y）建立一元二次方程,

然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的

设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥

曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形

的面积等问题.

22—

3.（2024•黑龙江双鸭山•模拟预测）已知双曲线C苏-方=1（°＞0,。＞0）的焦距为2百，点

。（4,右）在C上.

（1）求C的方程；

（2）直线/:产机＞+1与C的右支交于两点，点E与点A关于x轴对称，。点在x轴上的投

影为G.

①求H的取值范围；

②求证：直线3E过点G.

【答案】

4

⑵①V3＜|m|＜2；②证明见解析

a2+b2=c2

【分析】（1）由题可得，，-。=1,解方程即可得到答案；

2c=26

（2）①设4（网,X）,3优,%），联立二，消去x得（1-4）/+273一3=0,由于

lx—4y=4

/与C的右支交于A,8两点，双曲线C的渐近线方程为y=±gx,可得

A=4m2+12（m2-4）=16（m2-3）＞0,以及需＞J，解不等式可得同的取值范围；

②由①得%+%=———，y,y2=^-，由题可得G（4,O）,利用向量关系可得屈〃屈,

m-4m-4

从而可得6,G,E三点共线，即可证明.

〃2+/=c2

【详解】⑴由已知得当-4=1,解得/=4方=1,

ab

2c=26

所以C的方程为:-V=i.

（2）①设。和弘）,B（x2,y2）,则E（X],-yJ,

消去x得（＞-4）/+2阳-3=0,

则rri1—4w0，△=4〃/+12（〃/—4）=16（w？—3）＞0,

解得|〃z|＞百，且|"叱2.

又/与C的右支交于A,8两点，C的渐近线方程为＞=土;x,

…11

则方>5'即0<|相|<2,

所以同的取值范围为(6,2).

②由①得…=-芸-3

m2-4

又点。(4,6)在x轴上的投影为G(4,0),所以厘=(无2—4,%),群(…f),

3

所以(％—4)y2+(x2-4)y1=(my1-3)y2+(my2-)yi=2冲g-3(%+%),

__3__2m

=2m-------3-------=0,

m—4m-4

所以说//GS，

又说，历有公共点G,所以2,G,E三点共线，所以直线的过点G.

【点睛】关键点睛：(1)直线与双曲线一支相交于两点，可利用韦达定理、根的判别式以

及直线斜率与渐近线斜率的关系进行求解；

(2)证明直线过定点，可利用向量平行关系进行证明.

4.(2024•青海海南・二模)已知双曲线。:±-《=1(。>0,6>0)的虚轴长为2&,点尸(3,-2)在

ab

C上.设直线/与C交于A,B两点(异于点尸)，直线4尸与8尸的斜率之积为;.

(1)求C的方程；

(2)证明：直线/的斜率存在，且直线/过定点.

22

【答案】(1)工-匕=1

32

⑵证明见解析

【分析】(1)借助虚轴定义得6=拒，将尸3-2)的坐标代入方程得片=3,即可求解双曲

线方程；

(2)设出直线方程，代入曲线中，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理计算斜

率之积可得直线/中参数关系，即可得其定点.

【详解】(1)因为虚轴长为2》=20,所以6=0,

r2V294

将尸(3,-2)的坐标代入方程-3=1,得=-彳=1,解得〃=3,

a2b2a22

22

故C的方程为上-匕=1.

32

(2)设4(占,加),3(/,为)，直线AP的斜率为匕，直线8尸的斜率为心.

《上=1丁

当直线/的斜率不存在时，设/:x=f，联立32得丫=±昌_2,

由k的=g,得g-2+2.代-2+2],解得（=T（舍去）或f=3（舍去），

t—3Z—33

所以直线/的斜率存在，设直线/的方程为、=履+根，

代入C的方程得（2-3k2）--6kmx—3m2—6=0,

6km-3m2-6

则x+x=

x22-3V122-3k2

22

(%+2)(为+2){kx1+m+2)(fcc2+m+2)kx1x2+k(m+2)(尤]+x2)+(m+2)

由k[k：2

3

(%i—3)(X2-3)xxx2-3(玉+9)+9王元2—3(%+x2)+9

2

可得(左2-§卜/+(km+2左+1)(T+苍)+m+4m+1=0,

口J—1-3m2-6…r、c6km,

BOk2——---------+(km+2k+1)?--------+m22+根+4=

I3J2-3k22-3k2

化简得3m2+（64+8）机一（9左2_4）=0,即（加一34+2）（%+34+2）=0,

2.

所以机二左—或〃i=-3k-2，

3

当机=—3左-2时，直线/的方程为>=丘-34-2,直线/过点/3,-2）,

与条件矛盾，舍去；

当加=左-|时，直线/的方程为y=Ax+A-g,直线/过定点

【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,

即确定题目中核心变量（通常为变量上）；②利用条件找到太过定点的曲线厂（x,y）=0之间

的关系，得到关于人与苍，的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探

索出定点，再证明该定点与变量无关.

5.（23-24高二下•河南焦作•期末）已知抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为八。为原点,

第一象限内的点尸在C上，忸。=|尸产I，且尸的面积为2后.

(1)求C的方程；

(2)若/,N是C上与尸不重合的两动点，且求证：直线MN过定点.

【答案】⑴y2="

⑵证明见解析

【分析】(1)根据1Pol=|母1,可得P(子,2p),由面积公式即可求出P,从而得到抛物

线方程；

(2)设直线的方程为：x=my+n,M5,%),N(x2,y2),联立方程结合韦达定理可得

由PMLAV,利用向量关系化简可得：5-5)2-8(根+0)2=0,从而得到机，w的关系，即

可证明.

【详解】(1)由题可得尸§,0),由|PO|=|尸耳，可得P的横坐标为？，

因为点P在第一象限内，则尸(K,1p),

42

所以SP0F=—x—x/。-=2^/2,解得：P—4,

aP0F222

所以抛物线方程为V=8x

(2)由(1)可得：下(2,0),PQ2也),

显然直线的斜率不为0,设直线的方程为：工=阳+",NG，%),

所以加=(占一1,%—2后)，两=(无之一1,%—2行)

y2_8工

联立方程「,可得：y2-8/ra;-8〃=0,

[x=my+n

所以A=64m2+32">0,BP2m2+n>0,%+%=8根，"%=一8"，

因为所以两•丽=（%后）•（无?一1,%—20）=0,

贝！Jxlx2-（xl+x2）+l+y1y2-2y/2（y1+y2）+8=0,

22_

化简得：，皆-（〃7M+my2+2n）-Sn-16s/2m+9=0,

则n2—10〃一8^m2++9=0,

所以（"-5）2-8（机+JI）?=0,

解得：n-5=lyflm+4，或5=-20zn-4,

当〃-5=2\f2m+4时，即〃=2\[2m+9>JU.2m2+n=2m2+2A/5m+9=（sflm+1）2+8>0,

^sV\x=my+n=my+2A/2OT+9=m（y+2A/2）+9,所以直线ACV过定点为（9,-2点），

当九一5=—2,^f2m—4时，即九=—2y[2,m+1>且2rrr+n=Im"—+1=（yp2m—I）->0,

^\ikx=my+n=my-2\f2m+1=m（y-272）+1,所以直线A/N过定点为（1,2夜），即点P,

不满足题意，舍去；

综上：直线MN过定点为（9,-2&）

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）"特殊探路，一般证明J即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一

般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系

或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为

坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点（%,%）,常利用直线的点斜式方程>-%=4（》-不）或截距式尸质+万

或横截式•x="y+”来证明.

6.（23-24高二下•安徽亳州・期末）已知。为坐标原点，A是抛物线C:f=2刀5>0）上与

点。不重合的任意一点.

⑴设抛物线C的焦点为尸，若以P为圆心，“4为半径的圆厂交C的准线/于/、N两点，

且NMFN=9（y,AAMN的面积为4夜，求圆产的方程；

（2）若8是抛物线C上的另外一点，非零向量冰无满足匹+西=|函-网，证明：直线A3

必经过一个定点.

【答案】⑴/+（匕1）2=8

（2）证明见解析

【分析】（1）求出|MN|,点A到准线/的距离d=|FM|,利用%^=40求出P可得答案；

（2）方法一,对国+得=母一网两边平方得32+认%=。，设4（冷乂）,3（和为），设

直线AB的方程为>->=三"（》-王），结合抛物线方程得V-%=胃3"-尤J,再由

X?一玉2P

%％+x%=0可得答案；方法二对向+词=|弧-西两边平方得平2+%%=。，设

4（.%）,3优,％）,设直线A3的方程为>=质+人与抛物线方程联立，利用韦达定理结合

+可得答案.

【详解】⑴准线/为、=苫/］。,£|至心的距离是儿由对称性知，

△MFN是等腰直角三角形，斜边|MN卜2p,

点A到准线/的距离d=|E4|=|回W|=30,

x

^^AMN=~\MN\xd=4A/2,解得p=2,

故圆F的方程为尤2+（y-l）2=8；

（2）方法一,因为屋+而卜廊-西,

所以向（+函。+2函.而=_2函.而+|明2+|得,

所以。A_L0B,石超+%%=0，

设B（x,,y2）,A>3在抛物线C:x?=2py（p>0）上，

则x；=2p%、4=2p，2.

显然直线AB的斜率存在，

则直线钻的方程为少二七打…），

将月=工、代入得,

2p2p

即=干2力

令…,得f广岩.J…一去（*）

x2,x2八

由占％+%%=。得，再％----2=0，

4P

因为西无2彳。（否则，豕访有一个为零向量），

所以%％=-4p2,代入（*）式可得y=2p,

故直线A3经过定点（O,2p）.

方法二，因为|况+砺|=|函-砺所以次上砺，及超+%%=0,

设A（%,%）、3（%2，%）,48在抛物线C:无2=2py（p>0）上，

则x：=2p%、x；=2p%,

显然直线A3的斜率存在，设直线的方程为>=h+人，

fy=kx+b

联立，c消去y得到，

[_T=2py

1

x-2pkx-2pb=Q,x}+x2=2pk,x1x2=-2pb,

由x\x+%%=°得，X]X,+Bx；=0,

2一4p-

因为王龙2*。（否则，弧南有一个为零向量），

所以当々=一4//,即一2pb=-4p2,b=2p,

因此y=fac+人就是>=丘+2。.故直线AB经过定点（O,2p）.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）"特殊探路，一般证明J即

先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）"一般推理，特殊

求解J即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据

参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

题型二：定值问题

1.（2024iWi三,全国,专题练习）如图所示，已知椭圆系方程C.：=+々=n（a>Z?>0,

ab

〃eN+）,在、工是椭圆Cf的焦点，4（屈百）是椭圆C6上一点，且而.朋=0.

（I）求C”的离心率，求出G的方程.

（2）P为椭圆G上任意一点，过尸且与椭圆G相切的直线/与椭圆C6交于M、N两点，点P

关于原点的对称点为。，求证：AQMN的面积为定值.

【答案】+^2=1

2

（2）证明见解析

【分析】（1）先根据椭圆C。，荏2•质=0,A（逐,石），求得a,b,进而得到椭圆c”的

方程求解;

X=_x

（2）作伸缩变换，丫_5,使椭圆G变为圆x2+『=6,椭圆C6变为圆x2+y2=i2，由

题意得到500"=而,的，再由点尸关于原点的对称点为Q，S.2MN=2S.OMN求解.

2222

【详解】（1）解：椭圆Cf的方程为=6,即苏+东=1,

•••AF2F^=0,二市?2_L4后，&（遥,6）,

6a2—6b~-6,BPa1—b21.

又回+应T，

6a26b2

/=2,b2=1f

二椭圆C"的方程为

2n-n^2

C”的离心率e=

2n2

椭圆G的方程为］+y=1.

X=x

（2）作伸缩变换

则椭圆变为圆X?+/=6，椭圆Cf变为圆X2+Y2=12.

如图所示.

yjk

M'_

・直线MV与椭圆C,相切于点尸，则变换后直线MN'与圆x2+y2=6相切于点P,此时

O'P'J.M'N'.

而OAT=2括，O'P'=V6,则MP=J12-6=«,

仄而M'N，=2MP=2限，

r

故S40MN=^x娓=6=-fisQMN，于是

又点P关于原点的对称点为Q,则S^QMN=2SAOMV=672,

即AQMN的面积为定值6夜.

【点睛】方法点睛：本题第二问通过作伸缩变换,将椭圆问题转化为圆的问题,

易得SQMM=yfls—MN，再利用对称性，由S.QMN=2S.0MN而得解.

22

2.（2024高三・全国•专题练习）已知椭圆工+匕=1的左、右顶点分别为A,5,过x轴上一

42

点M（T,0）作一直线PQ,与椭圆交于P,。两点（异于48）,直线"和BQ的交点为N,

记直线和AP的斜率分别为尢,白，求3的值.

【分析】法一：首先利用三点共线表示点N的横坐标，并利用方程联立，得出P,。两点坐

标关系，代入即可求值.

法二：由题意可得点N在M（Y,0）关于椭圆的极线x=-1上，设N（-l,0）,再利用斜率公式

计算即可得出结论.

【详解】解法一：由题意设直线PQ的方程：x=my-4,N（x,y）,P（xl,y1）,

%y

由P,N,A和Q,N,8三点共线可知

*=2%（”2）+2%（为+2）=2%（吵-6）+2%（町-2）

牛讨”一%（尤2-2）+%（占+2）一乂（啊2-6）+为（啰一2）

.2myy-6y-2y2.myy+6y-6y

-x----i-2-----l---2,x+q-----l-2-----l---2,(*)

3%-%3%-%

x=my-4

联立Yy2得(irr+2)/—8阳+12=0,

——+—=1'

142

A=64m2—48(m2+2)=16(m2—6)>0,m2>6,

8m123.、

，二〃"%=］（%+%），

代入(*)得x+44一3必=3,

3%-%

丫

..k=yk_-^=£±^=i__?_=1