2024-2025学年华师大版九年级数学上学期期中押题测试卷（一）（含答案及解析）

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷（一）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：（华师版）九年级上全册

5.难度系数：0.7„

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。）

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V4B.V13C.V8D.V0J

2.下列方程中，属于一元二次方程的是（）

2

A.x—2y=1B.%2+3=-C.x2-2y+4=0D.x2-2x+1=0

3.若2a=3b,则下列比列式正确的是（）

4.下列计算正确的是（）

A.2）2=2B.15^4

c.（V3-V2）2=1D.(V2+I)2=3

5.用配方法解方程/-2%-5=0时，原方程应变形为（

A.(x+I)2=6B.(%—I)2=6C.(X+2)2=9D.(久-2)2=9

6.关于x的一元二次方程k/+4%-2=0有实数根，则左的取值范围是（）

A.fc>-2B.fc>-2_l./c^0C.k>-25,k^0D.fc<-2

7.如图，已知/1=42,那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC-△4DE的是()

ABACcABBC

A.Z.C=Z.EB.乙B=LADEc-茄=痴D-布=族

8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边OF保

持水平，并且边DE与点8在同一直线上.已知纸板的两条边DE=0.4m,EF=0.3m,测得边DF离地面

的高度AC=1.5m,CD=20m,则树高4B为()

A.16.5mB.13.5mC.15mD.12m

9.“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态.在一幅长80cm,宽50cm的刺绣风景画

的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色

纸边的宽度为第cm(风景画四周的金色纸边宽度相同)，则列出的方程为()

A.(50+%)(80+%)=5400B.(50-x)(80-x)=5400

C.(50+2x)(80+2%)=5400D.(50-2x)(80-2x)=5400

10.如图，正方形ABCO的边长为6,点E是BC的中点，连接4E与对角线80交于点G,连接CG并延长，交

于点F,连接。E交于点“，连接以下结论：①CFJ.DE；②普=今®AD=AH；@GH=^/5.其

中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

二.填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）

11.若疗存在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

12.如图，在AABC中，ZXCB=9O°,ZB=3O°,CD是高.若4。=2,贝舫。=

13.扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下:

抽取的毛绒玩具数几2050100200500100015002000

优等品的频数机19479118446292113791846

0.9500.9400.9100.9200.9240.9210.9190.923

优等品的频率?

从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是（精确到0.01）

14.如图，两块边长都为3cm的小正方形沿虚线剪开，拼成一个大正方形，则大正方形的边长为

cm.

15.如图，在△ABC中，DE\\BC,DF\\AC,AD=5,BD=10,DE=6,贝!|BF=

16.如图，正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为1和3,点C在边BG上，线段DF、EG交于点连

接DE、BM,贝l]BM=.

三.解答题（本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.(8分)计算：

(1)(-V3)(-1)2-V^8-11-V21;

⑵J(百-2)2-(百+2)(V3-2).

18.(8分)解方程：

(l)x2—6x—7=0；

(2)3久2+1=4x.

19.(8分)如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，己知AABC中4(—1,2)、B(2,l)、C

(4,5)•

⑴画出△A8C关于x轴对称的△4中1的；

⑵以原点。为位似中心，在x轴的上方画出A4B2c2，使2c2与AABC位似，且A&B2c2与

△4BC相似比为2,并写出。2的坐标.

20.(8分)如图，£为2D上一点，若4DAC=4B,CD=CE,求证:

(1)△2BD-ACAE-,

(2)CD-BD=AD-AE.

21.（8分）关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+l=0.

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根是3,求它的另一个根和k的值.

22.（10分）如图，在河流的右岸边有一高楼A8,左岸边有一坡度i=l：2的山坡CF,点C与点3在同一

水平面上，CF与2B在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶/的

仰角为45。，然后沿坡面CF上行了20•米（即CD=20•米）到达点。处，此时在。处测得楼顶/的

n

仰角为26.7。.（参考数据：sin26.7°«0.45,cos26.7°«0.89,la

26.7°-0.5）

（1）求点C到点D的水平距离CE的长；

（2）求楼48的高度.

23.（10分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚

运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400

件.

(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；

(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售

量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？

24.(12分)【探究证明】

(1)如图1,矩形N5CD中，EFLGH,EF分别交4B、CD于点E、F,G8分别交2c于点G、

EFAD

”rj，求平证、/：正_=而；

【模型应用】

(2)如图3,四边形ABCD中，乙42c=90。，48=40=10,BC=CD=5,AMLDN,点、M、N分别在边

BC、AB±,求瑞的值.

【变式拓展】

(3)如图3,平行四边形4BCD,AB=2,AD=6,^BAD=60°,直线/与平行四边形相交，将平行四边

形沿直线/折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度.

D

图3

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷（一）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：（华师版）九年级上全册

5.难度系数：0.7»

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。）

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V4B.V13C.V8D.V0J

【答案】B

【分析】此题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解本题的关键.注意：满足下列两个

条件的二次根式，叫最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不能含有能

开得尽方的因数或因式.

根据最简二次根式的定义逐一判断即可.

【详解】解：A、次=2不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B、而是最简二次根式，故本选项符合题意；

C、向=2近，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D、加=嚼，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

故选：B.

2.下列方程中，属于一元二次方程的是（）

2

A.x—2y=1B.x2+3=-C.x2—2y+4=0D.x2—2x+1=0

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次

方程，即可求解.

【详解】解：A、x-2y=l,含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意;

B、/+3=：不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

C、x2-2y+4=0,含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

D、x2-2x+l=0,是一元二次方程，故该选项符合题意；

故选：D

3.若2a=34则下列比列式正确的是（）

ab八b2-23

A-2=3B.3=hC.-=3D.-=-

【答案】c

【分析】本题考查了比例的基本性质，如果a:b=c:d或£=那么ad=bc,即比例的内项之积与外项之

积相等；反之，如果ad=bc,那么a:b=c：d或：=（（bd于0）.据此对各选项分析即可.

【详解】解：A.由；碧3a=2瓦故不符合题意;

B.由三=：得ab=6,故不符合题意;

C.由渭得2a3b,符合题意;

D.由]=.得3a=2b,故不符合题意;

故选：C.

4.下列计算正确的是（)

A.J(-2)2=2B.J10T=]

c.(V3-V2)2=1D.(V2+I)2=3

【答案】A

【分析】本题考查了二次根式的性质,二次根式的混合运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.根

据二次根式的性质可判断A,B；根据完全平方公式可判断C,D.

【详解】解：A.=2,正确;

B.V10-1==^/10>故不正确;

C.(V3-V2)2-3-2V6+2=5-276.故不正确;

D.(V2+l)2=2+2A/2+1=3+2V2，故不正确；

故选A.

5.用配方法解方程2x-5=0时，原方程应变形为()

222

A.(x+I)=6B.(x-1)=6C.(x+2)2=9D.(x_2)=9

【答案】B

【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键.

首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代

数式写成完全平方形式即可.

【详解】解：丫/一2%一5=0,

•••X2—2x+1=5+1,

•••(x—I)2=6,

故选：B.

6.关于x的一元二次方程入2+4x-2=0有实数根，则上的取值范围是()

A.k>-2B.k>-2S.k0C.k>-25.k^0D.k<-2

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程以2

+bx+c=0(a#0)，若A=F—4ac>0,则方程有两个不相等的实数根，若小二川―4ac=0,则方程有

两个相等的实数根，若A=F-4ac<0,则方程没有实数根，若卬冷是该方程的两个实数根，据此求

解即可.

【详解】解：,•・关于x的一元二次方程以2+©-2=0有实数根，

fA=42-4X(-2)-k>0

'tk^O,

：.k>—2且k丰0,

故选：C.

7.如图，已知乙1=42,那么添加下列一个条件后，不能判定AABCHADE的是()

Ai

E

BDC

A.Z.C=Z.EB.乙B=^ADE”=竺D—=—

ADAE*ADDE

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

先根据41=42求出ABAC=^DAE,再根据相似三角形的判定方法解答.

【详解】解：•.21=42

.-.Z-1+/.DAC=z2+Z-DAC

.-./-BAC=/.DAE

A、当NC=NE时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似"可证△ABCsAADE,故不符合题意；

B、当NB=N力DE时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似"可证△ABC“△4DE,故不符合题意；

C、当甯=笠时，可通过“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似"可证△ABCSAADE,故不符

ADAE

合题意；

D、当甯=笔时，无法证明两个三角形相似，故符合题意；

AUD匕

故选：D.

8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度力B,他调整自己的位置，设法使斜边DF保

持水平，并且边DE与点3在同一直线上.已知纸板的两条边=0.4m,EF=0.3m,测得边DF离地面

的高度AC=1.5m,CO=20m,则树高ZB为（）

A.16.5mB.13.5m

【答案】A

【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型.

利用RtADEF和RtABCD相似求得BC的长后加上边DF到地面的高度AC,即可求得树高AB.

【详解】解：,•2DEF=NDCB=90。，乙D=4D,

△DEFDCB,

DEEF

~DC~CB,

."DE=0.4m,EF=0.3m,CD=20m,

0.4_0.3

•元-'就，

，.CB=15m,

：.AB=AC+BC=1.5+15=16.5(m)-

故选A.

9.“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态.在一幅长80cm,宽50cm的刺绣风景画

的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色

纸边的宽度为久cm(风景画四周的金色纸边宽度相同)，则列出的方程为()

A.(50+%)(80+%)=5400

B.(50-x)(80-x)=5400

C.(50+2%)(80+2%)=5400

D.(50-2x)(80-2x)=5400

【答案】c

【分析】本题考查用一元二次方程解决实际问题，正确列出方程是解题的关键.

设金色纸边的宽度为Xcm,则挂图的长为(80+2x)cm,宽就为(50+2x)cm,根据题目条件列出方

程.

【详解】解：设金色纸边的宽度为xcm,则挂图的长为(80+2x)cm,宽就为(50+2x)cm,

根据题意得(50+2%)(80+2%)=5400.

故选：C.

10.如图，正方形4BCD的边长为6,点E是BC的中点，连接4E与对角线8。交于点G,连接CG并延长，交AB

于点F,连接DE交于点H,连接以下结论：①CF1DE；②®AD=AH；④亏.其

中正确结论的个数为()

D.C

ApD

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据全等三角形的判定定理证出△ABE^△DCE和△ABGW△CBG,根据全等三角形的性质证

出/CDE=NBCF,即可证出NCHE=90。，从而判断①；根据勾股定理求出DE,利用面积求出CH,证

出AHCESABCF,即可求出NF,从而判断②；过点4作4M_LDH于M,证出4M垂直平分DH,即可

判断③；证出△EHGsAEMA,列出比例式即可判断④.

【详解】解：•.•正方形4BCD的边长为6,点E是BC的中点，BD为正方形的对角线

.-.AB^AD=BC=CD^6,BE=CE=3,zDCE=/.ABE=90°,AABD=ACBD=45°

△ABE=△DCE(SAS)

••Z-CDE=/-BAE,DE=AE

在△4BG和ACBG中

AB=CB

vZ-ABG=Z.CBG

BG=BG

••△ABG=△CBG(SAS)

:./-BAE=乙BCF

：,/~CDE=乙BCF

•:乙CDE+乙CED=90°

：^BCF+Z-CED=90°

"CHE=90°

：,CF1DE

故①正确；

vCD=6,CE=3

根据勾股定理DE=VCD2+CE2=3V5

,*,SA£>CE=^XCDXCE'=|XDEXCH

“H=等

vZCHF=Z-CBFfZ-HCE=/-BCF

・・・AHCE-ABCF

CH_CE

''~BC~'CF

3x6

•-CF=~^=3y/5

:.HF=CF-CH=^

CH唔2

••而=还=号

5

故②不正确；

如图，作AMJ.DH于M

■,DC=6,。"=等

根据勾股定理可得DH=y/DC2-CH2=争

■■•Z.CDH+/-ADM=90°,/.ADM+^DAM=90°

：.Z-CDH=/-DAM

•■CD=DA,Z-DHC=/.AMD=90°

△DHC^AAMD(AAS)

..DM=CH=^-,4M=D”=噌

：.DM=^DH,

...4M垂直平分DH

：.AD=AH

故③正确;

•••DE=3府DH=^

:・EH=DE-DH=^,ME=HE+MH=^-+=

-AM1DE9CFA.DE

：.AM\\CF

••AEHGs&EMA

GH_HE

''AM-ME

GH3仄

即审=表

5I-

解得GH=/

故④正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理

和垂直平分线的判定及性质，解题的关键在于掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三

角形的判定及性质、勾股定理和垂直平分线的判定及性质.

二.填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）

11.若五二i在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>3

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有

意义的条件是解题的关键.

由二次根式有意义的条件可得一元一次不等式，解之，即可得解.

【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：x-3>0,

解得：x>3,

故答案为：x>3.

12.如图，在△4BC中，2-ACB=90°,zB=30°,CD是高.若AD=2,则BD=.

C

B

AD

【答案】6

【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.

【详解】解：「CDIAB,

:.AADC=z90°=乙ACB,

..Z.ACD=zB=90°-z4,

•••zB=30°,

:.AACD=30°,

：.AC=2AD=4,

.-.AB^2AC=8,

:.BD=AB-AD=6.

故答案为：6.

13.扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下:

抽取的毛绒玩具数n2050100200500100015002000

优等品的频数m19479118446292113791846

0.9500.9400.9100.9200.9240.9210.9190.923

优等品的频率;

从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是（精确到0.01）

【答案】0.92

【分析】本题考查了由频率估计概率，由表中数据可判断频率在0.92附近，利用频率估计概率即可求

解.

【详解】解：从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92,

故答案为：0.92.

14.如图，两块边长都为3cm的小正方形沿虚线剪开，拼成一个大正方形，则大正方形的边长为

cm.

【答案】3V2

【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的利用面积相等进行解

题.

设大正方形边长为"，，根据面积相等可得2X32=m2,即可求解.

【详解】解：设大正方形边长为加，

即2x32=m2,

解得m=3近.

故答案为：3立.

15.如图，在AABC中，DE||BC,DF\\AC,AD=5,BD=10,DE=6,则BF=,

A

DX_\E

【答案】12

【分析】本题考查相似三角形的性质和判断，根据题意可得△ADESAABC和ABFDsABCA,然后利

用相似比即可求解.熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.

【详解】解：•••AD=5,BD=10,

:.AB=15,

■■■DE||BC,

・•・AADEs&ABC,

,DEAD_6__s_

''BC=AB'即pn8C=15'

：.BC=18,

-DF||ACf

・•・ABFDBCA,

BFBDBF10

二就=布，a即n石=江

:.BF=12.

故答案为：12.

16.如图，正方形4BCD和正方形BEFG的边长分别为1和3,点C在边BG上，线段DF、EG交于点M,连

接DE、BM,贝ljBM=.

G.F

q

【答案】V5

【分析】此题考查了正方形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握直角三角形斜

边上中线的性质是解本题的关键.

连接BD,BF,即可得到△BDF是直角三角形，再根据勾股定理进行计算，即可得到DF的长，依据直

角三角形斜边上中线的性质即可得出BM的长.

【详解】如图，连接BD,BF,则4DBF=90。，

E

尸是直角三角形,

vBM与FM关于GE对称，

:.BM=FM,

:.乙MBF=AMFB,

又•••4MBF+4MBD=/.MFB+4MDB,

:.乙MDB=4MBD,

:.DM=BM,

是。尸的中点，

fBDF中，BM/DF,

正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为1和3,

•••BD=V2»BF=3垃,

•••DF=VSD2+BF2=V2+18=2近,

••BM=V5>

故答案为：V5-

三.解答题(本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(8分)计算：

⑴(-0|1一五|；

(2)J(V3-2)2-(V3+2)(V3-2).

【答案】⑴5-夜

⑵3-百

【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键.

(1)先计算算术平方根、立方根和去绝对值，再计算乘方，最后计算加减法即可；

(2)先计算算术平方根，再利用平方差公式，最后计算加减法即可.

【详解】(1)解：原式=3-1—(_2)-(6—1)

=3-1+2-724-1

=5-72;

(2)解：原式=2—百一(3-4)

=2-73+1

=3—V3^-

18.(8分)解方程：

(1)X2-6X-7=0；

(2)3x2+l=4x.

【答案】⑴彳

1=7,x2=-1;

(2)xt=x2=1.

【分析】(1)利用因式分解法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可；

本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式

分解法及正确掌握一元二次方程的解法.

【详解】(1)解：X2-6X-7=0

(x-7)(x+1)=0，

x—7=0或x+1=0,

=7,%2=—1；

(2)解：3/+1=钻

3X2—4X+1=0,

(3x-l)(x-l)=0,

3x—1=0或x—1=0,

••Xi=3,X2=l.

19.(8分)如图，在边长为l的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知AaBC中4(—1,2)、B(2,l)、C

(4,5).

⑴画出AABC关于X轴对称的AAiBiCi；

⑵以原点。为位似中心，在x轴的上方画出△2c2，使A4B2c2与A4BC位似，且Aaz&Cz与

△力BC相似比为2,并写出。2的坐标.

【答案】(1)画图见解析

(2)画图见解析，C2(8,10)

【分析】此题考查的是作关于x轴对称的图形和作位似图形，掌握位似图形的性质是解决此题的关

键.

(1)分别找出/、B、C关于%轴对称点a、Bi、J,然后连接&&、4忑1、B©,如图所示，△公

Bi。就是所求三角形；

(2)连接02并延长至4，使442=。4连接。8并延长至无，使3%=。8；连接。C并延长至C2,使C

C2=OC;连接上%、22c2、82c2，如图所示，就是所求三角形，再结合C2的位置，可得其

坐标.

【详解】(1)解：如图，△&B1C1即为所求作的三角形;

(2)解：如图，A/B2c2即为所求作的三角形;

•••4(-1,2)、B(2,l)、C(4,5),AAzB2c2与AABC位似，且位似比为2,

••.C2(8,10).

20.(8分)如图，E为AD上一点,若NZL4C=NB,CD=CE,求证:

(1)△ABD^△CAE*

(2)CD・BD=AD・AE.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的性质与

判定是解题的关键.

(1)根据=NBZL4=〃EC证明出△ABDS^CZE；

(2)由△ZBDSACAE,得到箸=登，进而可证明出=

【详解】(1)证明：•.(£>=(；号

•\Z-CDA=Z-CED,

A180°-ZCD4=180°-zCFD,

:.Z-BDA=/-AEC,

又•.•乙。4。=乙8,

・•.△ABDCAE；

(2)证明：•：4ABD八CAE,

AD_BD

：'~CE一~AE"

-CD=CE,

AD_BD

''~CD~~AE"

：.CD-BD=AD-AE.

21.(8分)关于久的一元二次方程/-(k+3)x+2k+l=0.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程有一个根是3,求它的另一个根和k的值.

【答案】(1)见详解

(2)k=1,另一个根为1

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练

掌握判别式的意义是解题关键.

(1)先求出根的判别式大于0,然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；

(2)将x=3代入求出左，得到原方程，再解方程即可.

【详解】(1)证明：由已知a==—(k+3),c=2k+1,

A=[-(fc+3)]2-4x1x(2/c+1)=k2-2k+5=(fc-1)2+4,

(fc-1)2>0,

.•.(fc-l)2+4>0,

••・无论k取何值方程总有两个不相等的实数根.

(2)解：依题意得，32—3(k+3)+2k+l=0,

解得k=L

则原方程为%2—4x+3=0,

解得=1,%2=3,

,另一根为刀=1.

22.(10分)如图，在河流的右岸边有一高楼AB,左岸边有一坡度i=l：2的山坡CF,点C与点3在同一

水平面上，CF与SB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼ZB的高度，在坡底C处测得楼顶4的

仰角为45。，然后沿坡面CF上行了20e米(即CD=20①米)到达点。处，此时在。处测得楼顶4的

仰角为26.7°.(参考数据：sin26.7°«0.45,cos26.7°«0.89,tan26.7°«0.5)

(1)求点C到点D的水平距离CE的长;

(2)求楼4B的高度.

【答案】(1)40米

(2)楼4B的高度约为80米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线是解题的

关键.

(1)根据题意可得DE1CE,设Z)E=x米，贝iJCE=2x米，然后利用勾股定理可求出x=20.据此即可

求得CE的长；

(2)过点。作CG1ZB,垂足为G,则DE=GB=20米，DG=EE,然后设4B=y米，在Rt^ZBC中,

利用锐角是三角函数的定义求出BC的长，从而求出BE的长，再在RtAADG中，利用锐角三角函数的定

义列出关于y的方程，进行计算即可解答.

【详解】(1)解：由题意得：DELCE,

•••山坡CF的坡度i=l：2,

DE1

辛=5，

设DE=x米，则CE=2x米，

■.CD=-4DE2+CE2=y/x2+(2x)2=Vsx(米)，

♦.•0=20百米，

:.近x=20Vs»

:.x=20,

.•.DE=20米，CE=2x=40（米）；

（2）解：过点。作DG14B,垂足为G,则四边形OEBG是矩形,

.•.DE=GB=20米，DG=EB,

设AB=y米,

:.AG=AB-BG=(y-20)米,

在RtAABC中，AACB=45°,

■-BC=^=y(米)，

：.DG=EB=EC+BC=(y+40)米,

在Rt^ADG中，/.ADG=26.7°,

AGy—20

・•・tan26.7°=而=*“0.5,

解得：y=80,

经检验：y=80是原方程的根,

.MB=80米,

•,•楼4B的高度约为80米.

23.（10分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚

运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400

件.

（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率;

（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售

量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元?

【答案】（1）该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%

（2）当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键.

（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x,根据增长率问题的等量关系列方程求

解即可；

（2）设该款吉祥物降价加元，则每件的利润为（58-35-皿）元，月销售量为（400+20*件，根据月销

售利润为8400元列方程求解即可.

【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为尤，

根据题意得：256（1+%）2=400,

解得：久1=0.25=25%,%2——2.25（不符合题意，舍去），

答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；

（2）解：设该款吉祥物降价加元，则每件的利润为（58-35-瓶）元，月销售量为（400+2（hn）件，

根据题意得：（58—35—m）（400+20m）=8400,

整理得：m2-3m-40=0,

解得：机1=8,m2——5（不符合题意，舍去），

58-8=50,

答：当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元.

24.（12分）【探究证明】

（1）如图1,矩形中，EFLGH,E尸分别交48、8于点E、F,G8分别交40、2C于点G、

“，求证：m=港;

【模型应用】

（2）如图3,四边形49cD中，ZJ5C=9O°,AB=AD=\0,BC=CD=5,AM1DN,点、M、N分别在边

BC、AB±.,求黑的值.

【变式拓展】

（3）如图3,平行四边形4BCD,AB=2,AD=6,ABAD=60°,直线I与平行四边形相交，将平行四边

形沿直线/折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度.