2024-2025学年沪科版七年级数学上册专项复习：数轴上的九类动态模型解读与训练

专题02数轴上的九类动态模型

数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思

想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的

出发位置，移动方向和速度，用含r的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含r表达式

表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。

目录导肮|

模型1.动态规律（左右跳跃）模型............................................................2

模型2.单（多）动点匀速模型.................................................................5

模型3.单（多）动点变速模型.................................................................9

模型4.动点往返运动模型....................................................................13

模型5.动态中点与n等分点模型..............................................................16

模型6.动态定值（无参型）模型.............................................................22

模型7.动态定值（含参型）模型.............................................................26

模型8.数轴折叠（翻折）模型................................................................28

模型9.数轴上的线段移动模型................................................................32

习题练模型

36

例题讲模型।

【知识储备】

①若A、8两点在数轴上对应的数字是a、b,则A8两点间的距离AB=|a-牛A5的中点对应的数字是：与。

②数轴动点问题主要步骤：

1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；

2）写点一写出所有点表示的数：常用含f的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用表示；

3）表示距离——右一左，若无法判定两点的左右需加绝对值；

4）列式求解一根据条件列方程或代数式，求值。

注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。

③分类讨论的思想：

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(1)数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。

(2)对于两个动点尸、Q,若点P、。的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表

示PQ两点距离，从而避免复杂分类讨论。

模型1.动态规律(左右跳跃)模型

模型解读

模型(1)：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可;

模型(2)：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。

模型运用

例1.(23-24七年级上.福建漳州•期中)已知在数轴上，一动点Q从原点。出发，沿着数轴以每秒4个单位

长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3

次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位

长度，....(1)求出2.5秒钟后动点。移动次；(2)第7次移动后，点。在表示数的位置上，运

动时间为s；(3)第w次移动后，点。运动时间为s.(4)如果在数轴上有一个定点A,且A与原点

。相距10个单位长度，问：动点。从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？

若不能，请说明理由.

【答案】(1)4(2)4,7(3)"("+1)(4)能,47.5秒或52.5秒

8

【分析】(1)根据路程=速度X时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；

(2)根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度x时间求出路程，进而求得时间；

(3)根据(1)(2)的规律，根据左减右加列式计算即可求解；

(4)分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程+速度计算即可得解.

【详解】(1)解：；4x2.5=10,.•.点。走过的路程是：1+2+3+4=10,所以共移动4次故答案为：4.

(2)解：。处于：1—2+3—4+5—6+7=—3+7=4；点。走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28,

28+4=7(秒)故答案为：4,7.

(3)解：第〃次移动后，点。运动时间为

(1+|-2|+3+14|+5+一.+〃)+4=x〃[+4="+J

(4)解：①当点A在原点右边时，设需要第九次到达点4则芋=10,解得〃=19

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l+|-2|+3+Y+5++19=1+2+3+4+5++19=^1+1^X19=190

则第一次与A重合需要时间是：190+4=47.5（s）

②当点A在原点左边时，设需要第九次到达点4则£=10,解得〃=20

2

1+|—2|+3+|—4|+5++|—20|=1+2+3+4+5++20=（*??——=210

则第一次与A重合需要时间是：210+4=52.5（s）

综上，第一次与A重合需要时间47.5s或52.5s.

【点睛】本题主要考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键.分情况讨论求解，弄清楚跳到

点A处的次数的计算方法是关键.

例2.（2023•浙江•七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序

运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，/表示第〃秒时机器人在数

（2）=1;08<04；2019>%020.

轴上的位置所对应的数.给出下列结论：①三=3;X5③占玉④彳其中，正确结

论的序号是.

【答案】①②④

【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一

个循环节结束的数即X5=l,第二个循环节结束的数即xio=2,第三个循环节结束的数即xi5=3,…，第m个

循环节结束的数就是第5m个数，即X5m=m.然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值.

【详解】根据题意可知：X1=1,X2=2,X3=3,X4=2,X5=l,

X6=2,X7=3,X8=4,X9=3,X10=2,xu=3,X12=4,X13=5,X14=4,X15=3,…由上列举知①②正确,符合题意；

由上可知：第一个循环节结束的数即X5=l,第二个循环节结束的数即X10=2,第三个循环节结束的数即

X15=3,…，即第m个循环节结束的数即X5m=m.

•xioo=2O,••xioi~21,XIO2=22,XIO3=23,XIO4=22,

"."X105=21,.*.X106=22,X107=23,X108=24故X108>X104,故③错误，不合题意；

Vx2oi5=403,•*.X2016=404,X2oi7=4O5,X2OIS=4O6,X2oi9=4O5,X2O2o=4O4,

故X2019>X2020,故④正确.符合题意.故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了规律型一数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右

加”.把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来.前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让

n-5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数.

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变式1.(23-24七年级上•辽宁丹东•期中)一个动点P从数轴上原点。出发开始移动，第1次向右移动1个

单位长度到达点々，第2次向右移动2个单位长度到达点鸟，第3次向左移动3个单位长度到达点A,第4

次向左移动4个单位长度到达点2，第5次向右移动5个单位长度到达点心，…，点尸按此规律移动，则

移动第2023次后到达点^在数轴上表示的数为()

A.-2024B.0C.1D.2023

【答案】B

【分析】本题考查数字的变化规律，分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4

个单位长度，再由2023+4=505……3,可得505x(-4)+2021+2022-2023=0,即为私23在数轴上表示的数.

【详解】解：•••［表示的数为+1,6表示的数为+3,乙表示的数为0,且表示的数为T,巴表示的数为+1,.….

.••每移动四次相当于向左移动4个单位长度，

2023+4=505...3,/.505x(-4)+2021+2022-2023=0,

.••巴吟在数轴上表示的数为0,故选：B.

变式2.(2023•湖北鄂州•七年级期末)已知点43,C在数轴上对应的数分别为a,b,c,其中a满足("8)2=0,

b满足亨=胃，点P位于该数轴上.⑴求出a,6的值，并求出48两点之间的距离AB；

(2)设点C与点A的距离为24个单位长度，且|ac|=-ac,若尸B=2PC,求点尸在数轴上对应的数p；

⑶设点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个

单位长度，第四次向右移动7个单位长度......以此类推，问点P能移动到与点A或点2重合的位置吗？若能，

请探究需要移动多少次才能重合？若不能，请说明理由.

46

【答案】⑴a=8,6=-14,AB=22⑵点尸对应数为-18或者-可

⑶第8次移动时，即向右移动15个单位与点A重合，不能移动到与点8重合理由见解析

【分析】(1)根据平方的非负性和解一元一次方程即可求出a、b从而求出AB;

(2)先求出C点表示的数，然后根据PB=2PC,得到出=-14-0,「。=卜16-月，由此求解即可；

(3)根据题意可知，每两次运动点尸向右移动2个单位长度，点P第"-11为正整数)次移动后，尸在

原点左边距离原点-(2左-1)的位置，由此求解即可.

⑴解：0(a-8)2=0,回a-8=0,(Ba=8；

8+4b—\

团^—=^-,回36+12=2。一2,回6=—14,13AB=8—(-14)=22；

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⑵解：回|。。|=-ac,Elac<0,

回点C与点A的距离为24个单位长度，回点C表示的数为-16,

^\PB=2PC,SPB=-14-p,PC=\-16-p\,l?l-14-/?=2|-16-p|,

回-14_p=_32_2p或T4_0=32+2p,解得°=-18或p=_］46；

⑶解：由题意可知，每两次运动点P向右移动2个单位长度，

团点A表示的数为8,回点P在第8次移动时，即向右移动15个单位与点A重合；

根据题意可知点尸第2人-1（左为正整数）次移动后，P在原点左边距离原点-（2左-1）的位置，

0-（2^-1）=-14,解得左=7.5不符合题意，回点尸不能运动到2点；

【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，解一元一次方程，数轴上的动点问题,

熟知相关知识是解题的关键.

模型2.单（多）动点匀速模型

模型解读

模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是。）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，/秒后,

到达8点，8点对应的数是：a+vto

物数。

■XY,■------"£r丫Y------»------"

AvtBvtA

P-V做fpP«—v/B）——P

模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，/秒后,

到达C点，C点对应的数是：a-vto

模型运用

例1.（23-24七年级上.江西吉安・期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与

形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律.

规律1：如图1,数轴上点A表示的数为。，点2表示的数为b,则A、B两点间的距离AB可表示为：

①AB=b-a（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）；

②AB=g-a|=|a-6|（即两点表示的数之差的绝对值）.

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规律2：数轴上A、8两点的中点/表示的数为学

2

ABAB

-i-------X-------1-------1-~>।11A

ab-1008

图1图2

【简单应用】如图1,点A在数轴上所对应的数为-5,点8表示的数为4,P是数轴上一动点.

(1)则A、8两点间的距离AB=,48两点的中点M表示的数为;

(2)若A、P两点间的距离AP=7,则点尸表示的数为.

【拓展运用】如图2,已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为-10,8,点A以每秒2个单位的速度沿数

轴向右匀速运动，点8以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为/秒(/>0).

(3)用含f的式子填空：点A运动f秒后所在位置的点表示的数为；

点B运动f秒后所在位置的点表示的数为；此时A、B两点的中点M表示的数为.

(4)按上述方式运动，A、8两点经过多少秒会相距5个单位长度.

11323

【答案】【小问119,—0.5【小问2】—12或2[小问3]—10+2/,8—3/,—1【小问4】”或—

255

【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置，

(1)根据题目给定的距离公式即可求得；

(2)利用点P与点A的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案；

(3)点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动即可写出点A和

点8在f秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案；

(4)根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可.

【详解】解：(1)二.点A在数轴上所对应的数为-5,点8表示的数为4,.•.AB=4-(-5)=9,

点M在数轴上所对应的数为?=士三=-0.5.故答案为：9,-0.5

22

(2)..•若A、尸两点间的距离AP=7=“-p=7,点A在数轴上所对应的数为一5,

当尸点在A点左边时，则尸点的为：a-p^a-AP=-5-l=-n,

当尸点在A点右边时，则P点的为：p=“+AP=-5+7=-2,故答案为：一12,-2

(3)点A运动/秒后所在位置的点表示的数为：-10+27，

点8运动f秒后所在位置的点表示的数为：8-3t,

....,,_.,,u,,a+b—10+2,+8—3t—t—21

此时A4、3两点的中点M表小的数为：=-------------=---=4.

2222

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故答案为：—10+2r,8—3，，——t—1

（4）设它们按上述方式运动，45两点经过/秒会相距5个单位长度，

当点A在点3左侧时：8-3，—（—10+2。=5解得，=1?3；

当点A在点3右侧时：—10+2，—（8—3，）=5解得，=］23；

答：它们按上述方式运动，48两点经过三13秒或一23秒会相距5个单位长度.

变式1.（2023・湖北•七年级期中）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3,则C点叫做

A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6,则C叫做A、B的“幸福中心”.

fl-NM

-5-4-3-2-1012345&「2二；

图1图2

ABCP

-iI~~LA4-I~~I―I~~L1-J--------1_I_L>

-3-2-10I2345678910

图3

（1）如图1,点A表示的数为-1,则A的幸福点C所表示的数应该是；

（2）如图2,M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4,点N所表示的数为-2,点C就是M、N的幸福

中心，则C所表示的数可以是（填一个即可）；（3）如图3,A、B、P为数轴上三点，点A所表示的

数为-1,点8所表示的数为4,点P所表示的数为8,现有一只电子蚂蚁从点尸出发，以2个单位每秒的速

7一

度向左运动，7秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由.

4

7

【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当经过一

4

秒时，电子蚂蚁是A和2的幸福中心.

【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；（2）根据幸福中心的定义即可求解；（3）根据幸福中心的定义

即可求解.

【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=4或-1+3=2；故答案为：-4或2；

（2）V4-（-2）=6,：.M,N之间的所有数都是M,N的幸福中心.

故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；

777

（3）经过一秒时，电子蚂蚁是A和8的幸福中心，理由是：8-2x--4+（8-2X-+1）=6,

444

7一

故当经过了秒时，电子蚂蚁是A和5的幸福中心.

4

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变式2.（2024・广东•七年级专题练习）如图，已知点A,B,C是数轴上三点，点C对应的数为6,3c=4,

AB=12.（1）求点A,8对应的数；（2）动点P,。同时从A,C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速

度沿数轴正方向运动，M为AP的中点，N在CQ上，且CN=；CQ,设运动时间为旧＞0）。

①求点N对应的数（用含f的式子表示）；②r为何值时，OM=2BN?

I_____________________________II___________I

AOBCx

【答案】（DA对应的数为-10,8对应的数为2（2）①M表示的数是-10+3t,N表示的数是6+八

2

②当f=18秒或f秒时OA/=23N.

【分析】（1）根据点C对应的数为6,有OC=6,根据8c=4,可得8c=6-4=2,即点8表示的数是

2；根据钻=12,可得04=10,即问题得解；

（2）①根据动点P、0运动特点可得AP=6f,CQ=3f,根据M为AP的中点，CN=gc。，可得AM=g4P=3乙

CN=；CQ=t,结合A对应的数为-10,C表示的数是6,即可求解；②根据（1）中N表示的数，即

可得OA/=|-10+3r|,ON=6+t,即有3N=ON—O3=6+f—2=4+，，结合OM=2BN,可得

10+34=2（4+r）=8+2r,即可作答.

【详解】（1）:点C对应的数为6,，OC=6,

VBC=4,：.OB=OC-BC=6-4=2,.•.点8表示的数是2,

VAB=12,：.OA=AB-OB=U-2=\Q,

根据点A在。点左侧，可得点A表示的数是-10,即A对应的数为-10,B对应的数为2；

（2）①•・•动点尸、。分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时间是

/.AP=6t,CQ=3t,

为"的中点，N在CQ上，且CN=；C。，AM=；AP=3f,CN=^CQ=t,

对应的数为-10,C表示的数是6,二M表示的数是-10+3「，N表示的数是6+/；

②表示的数是T0+3f,。M=卜10+34,表示的数是6+/,，ON=6+r,

对应的数为2,：.OB=2,：.BN=ON-OB=6+t-2=4+t,

"?OM=2BN,：.|-10+3/|=2（4+r）=8+2r,

当-10+3/=8+2/时，得f=18,

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当-10+3/=-（8+2r）时，得f=，，

2

故当f=18秒或f=M秒时0A/=23N.

【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、在数轴上表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，得出

OM=\-10+3t\是解答本题的关键.

模型3,单（多）动点变速模型

模型运用

例1.（2023•重庆九龙坡•七年级期末）已知数轴上的点A,B,C,。所表示的数分别是。，b,c,d,

且（4+14）2+修+12）2=-匕一6|-|〃-8|.（1）求。，b,c,d的值；（2）点A,C沿数轴同时出发相向匀速

运动，与秒后两点相遇，点A的速度为每秒4个单位长度，求点C的运动速度；

（3）A,C两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，。点以每秒1个

单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在f秒时有班>=2AC,求/的值；

（4）A,C两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点A运动到点C起始位置时，迅

速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点C起始位置方向运动；当点C运动

到点A起始位置时马上停止运动.当点C停止运动时，点A也停止运动.在此运动过程中，A,C两点相

遇，求点A,C相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）.

【答案】（1）a=-14,>=-12,c=6,d=8；（2）点C的运动速度为每秒2个单位；（3）/=4或20；（4）

222

——，-10.

33

【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可；

（2）设点C运动速度为x,由题意得：?x+?x4=/C=20,即可得解；

（3）根据题意分别表示出AC,BD,在进行分类讨论计算即可；

（4）根据点A,C相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可；

【详解】（1）：（0+14）2+优+12）2=—|c—61Td-8|,

（a+14y+伍+12『+|c—6|+|d—8|=0,...。=—乜，b=-12,c=6,d=8；

（2）设点C运动速度为x,由题意得：与x+?x4=/C=20,解得：x=2,

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•••点c的运动速度为每秒2个单位；

(3)t秒时，点A数为—14+4，点B数为-12,点C数为6+2g点D数为8+6,

AC=\&+2t-(-14+4t)|=|20-2t|,BD=\^>+t-(-12)|=20+t,

,：BD=2AC,.,.©20-2t>OBt,20+=2(20—2。，解得：r=4；

②20-2t<0时，即t>10,20+f=2(2t-20),解得：，=20；；"=4或20.

6-(一14)10

(4)C点运动到A点所需时间为——'——>-=10s,所以A,C相遇时间Y10,由(2)得:工时，A,

23

64

C相遇点为一14+4x?=-3,A到C再从C返回到A,用时6一(-14)+-H)=7.5；

①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得8x(t-5)=2方，/此时相遇数为

6-2x?=-，；②第二次与C点相遇，得8x(t-7.5)+22=6-(-14),解得”8<10,此时相遇

222

点为6—8x2=—10；；.A,C相遇时对应的数为：-^，--io-

【点睛】本题主要考查了数轴的动点问题，准确分析计算是解题的关键.

变式1.(23-24七年级上•湖北武汉•期末)已知AB,C三点在数轴上所对应的数分别为a,反18,且。,6满足

(«+10)2+|/7-101=0,动点M从点A出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1

单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点。运动到点8期间速度变为原来的一半，之后

立刻恢复原速，从点B运动到点。期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，

两点都停止运动.设运动的时间为/秒.(1)a=,b=,AC=；

(2)①动点"从点A运动至点C时，求r的值；②M、N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；

(3)若点。为线段中点，当/=秒时，MD=ND.

O*0"

【答案】⑴a=-10,*=10,AC=28；(2)①19s；②争⑶当1=2,三,11,17秒时，MD=ND.

【分析】(1)根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出AC

的长度；

(2)①分别求出AO,BO和BC的距离，再根据“时间=路程+速度”计算即可得出答案；②设P点在数轴上

所对应的数为y,根据题意列出方程y-3=g(10-y),解方程即可得出答案；

(3)根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为3分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M

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和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出MD和ND,令MD=ND,解方程即可得出答案.

【详解】解：(1)«=-10,。=10,AC=28；

(2)①•."=10,b=10,c=18AAO=10,BO=10,8c=18-10=8

ino

・••动点M从点A运动至点。时，^=—+~+10=19y；

221

②设M、N两点在尸点相遇，夕点在数轴上所对应的数为九

易知点尸落在线段段，依题意有：j-3=1(10-y)解得：y=y

AM.N两点相遇时，求相遇点P在数轴上所对应的数为与.

(3)若点。为线段。8中点，则D在数轴上表示的数为5

设时间为t时，MD=ND

①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t,N=18-t

则MD=15-2t,ND=13-t即15-2t=13-t,解得t=2；

②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=18-t

则MD=10-t,ND=13-t即10-t=13-t,无解；

③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8)

则MD=10-t,ND=5-2(t-8)即10-t=5-2(t-8),解得t=ll；

④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5,N=26-2t

则MD=t-10,ND=21-2t即t-10=2L2t,解得t=T

⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20,N=13-t

贝i]MD=2t-25,ND=t-8即2t-25=t-8,解得t=17；

31

综上所述，当f=2,了,11,17秒时，MD=ND.

【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，难度偏高，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键.

变式2.(23-24七年级上•四川南充・期末)如图，将一条数轴在原点。和点B处各折一下，得到一条“折线数

轴”.图中点A表示-12,点8表示12,点C表示20,我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记

为=32.动点M从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从。点运动到5点期间，

速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点N从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”

负方向运动，从点8运动到。点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速.设运动时间为f秒.

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*

1220

-------------〃

-120

（D当r=4时，M,N两点在数轴上相距多少个单位长度？

（2）当〃、N两点相遇时，求运动时间/的值.（3）若“折线数轴”上定点尸与。，3两点相距的长度相等，当,为

何值时，M、N与点尸相距的长度之和等于6?

【答案】（1）当f=4时，M,N两点在数轴上相距16个单位长度；

34

（2）当N两点相遇时，运动时间f的值为丁秒；

onOQ40

⑶当"千秒或千秒或半秒时，M、N与点P相距的长度之和等于6.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找到相等关系是解题的关键.

（1）由点A,0,B,C表示的数，可求出Lo，乙理及乙叱的值，利用时间=路程一速度，可求出点Af到

达点。及点N到达点B所需时间，结合N的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，可找出当t=4

时，点〃，N表示的数，进而可求出ZMN的长；

（2）当r>8时，点M表示-6,点N表示28-2人由点M,N相遇时两点表示的数相同，可得出关于/的

一元一次方程，解之即可求出结论；

（3）由定点P与。，8两点相距的长度相等，可得出点尸表示6,利用时间=路程+速度，结合（1）可求

出点M到达点B及点N到达点尸所需时间，分情况讨论，可得出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即

可得出结论.

【详解】（1）解：点A表示-12,点。表示。，点8表示12,点C表示20,

■■-LAO=12,L0B=12,LBC=8.12?26（:秒），8+2=4（秒），

二当t=4时，点M表示一12+2x4=T，点N表示20—2*4=12,；.%=12-（T）=16.

答：当f=4时，M,N两点在数轴上相距16个单位长度；

（2）解：由题可知，M从A至5的时间为6+12=18秒，N从C到5为8秒，

：.M,N两点相遇在线段上于P处，

当f>8时，点Af表示0+（6）=f-6,点N表示12-2（7-8）=28-2/,

34

根据题意得：r-6=28-2r,解得：/=—.

34

答：当"，N两点相遇时，运动时间/的值为5秒；

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（3）解：“折线数轴”上定点尸与。，8两点相距的长度相等，，点尸表示=6.

12?26（秒），12+1=12（秒），8+1=8（秒），12+2=6（秒），

.,.当6<fW8时，即点N在BC上，点M表示"6,点N表示20-2/,

20

••4M=6—%+6=12—%,LPN=20—2z—6=14—2^.根据题意得：12—,+14—2%=6,解得：t—;

34

当8<Y了时，即相遇前，点M表示％-6,点N表示28-2/，

9Q

「•L/w=6-%+6=12-,LPN=2S—2t—6=22—2t.根据题意得：12—,+22—2，=6,解得：t=；

当三<三14时，即相遇后且点N在OB上，点M表示-6,点N表示28-2，，

—40

••^PM=^6—6=?—12,LPN=6—28+2?=—22+2t.根据题意得：,—12+2，—22=6,解得：t=；

当14<三16时，即点M在。3上，点N在Q4上，点M表示力-6,点N表示147,

••^PM=^-6-6=r-12,Lpw=6-14+才=，-8.根据题意得:1—12+3—8=6,解得：，=13<14（舍去）;

onOQ40

答:当好亍秒或三秒或三秒时，M,N与点P相距的长度之和等于6.

模型4,动点往返运动模型

模型运用

例1.（23-24七年级上.江苏苏州•阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8,若动点尸从原点。出发,

以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点。从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点

后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为，（秒）.

pQ

-1~0'L

（1）当f=0.5时，求点。表示的数；（2）当1=2.5时，求点。表示的数；

（3）当点。到原点。的距离为4时，求点尸表示的数.

【答案】（1）6（2）2（3）-2或一6

【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键.

（1）计算出点。运动的路程，即可解答；

（2）计算出点。的运动路程，即可解答；

（3）分两种情况，点。在还没达到原点，点。到原点。的距离为4；到达原点后距离原点后，点。到原点

。的距离为4,计算时间，即可得到点尸运动的路程，即可解答。

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【详解】（1）解：当/=0.5时，点。表示的数为8—4x06=6；

（2）解：当/=2.5时，点。运动的路程为4x2.5=10>8,点。表示的数为0+10-8=2

（3）解：①点。还没达到原点时，点。运动的路程为8-4=4,

4

.」=:=1秒，，点尸表示的数为。一2xl=-2；

②点。达到原点时，点。运动的路程为8+4=12,

12

，"丁=3秒，.•.点尸表示的数为0-2x3=-6,故点P表示的数为-2或-6.

变式1.（2023・辽宁沈阳•七年级期末）已知数轴上有A,B,C三个点，分别表示有理数-2,4,6.

⑴画出数轴，并用数轴上的点表示点A,点点C；

（2）动点尸从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个

单位长度的速度沿数轴返回到点C,到达点C后停止运动，设运动时间为f秒.

①当f=l时，刈的长为个单位长度，尸3的长为个单位长度，PC的长为

个单位长度；②在点尸的运动过程中，若卓+尸3+尸。=9个单位长度，则请直接写出f的值为

【答案】（1）见解析；（2）①4,2,4；②;或：或《或1

【分析】（1）根据题意画出数轴即可；（2）①先求出当f=l时，P点表示的数为6-4=2,然后根据数轴上两

点距离公式求解即可；②分当尸从C向A运动和当尸从A向C运动两种情况讨论求解即可.

（1）解：如图所示，即为所求；

ABC

-4-20246

（2）解：①当t=l时，尸点表示的数为6-4=2,

丛=2-（-2）=4,PB=4—2=2,PC=6-2=4,故答案为：4、2、4；

②当P从C向A运动，0<rW0.5时，PA=6-4t+2,PB=6-4t-4,PC=4t,

,：PA+PB+PC=9,6—4r+2+6—4f—4+4r=9,解得f='；

4

当尸从。向A运动，0.5VZK2时，P4=6—4，+2,尸5=4—6+4，，PC=4t,

3

VPA+PB+PC=9,：.6-4/+2+4-6+4^+4r=9,解得t=—；

4

当P从A向。运动时，当2</<5时，PA=-2+2«-2）+2=2，-4,

PB=4-[-2+2（/-2）]=10-2.,PC=6-[-2+2（r-2）]=12-2r,

9

VPA+PB+PC=9,：.2t-4+10-2t+12-2t=9,解得t=-；

2

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当尸从A向。运动时，当5v/<6时，PA=2t-4fPB=2t-10,PC=12—2t,