2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路：数列求通项（构造法、倒数法）（学生版+解析）

专题03数列求通项（构造法、倒数法）（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍..............................................1

二、典型题型..............................................2

题型一：构造法........................................2

题型二：倒数法........................................4

三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练................13

一、必备秘籍

1.构造法

类型1：用“待定系数法”构造等比数列

形如%+1=笈〃+夕（太〃为常数，kp手0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变

形为%+1+m=后（许+〃7）（其中：m=白）,由此构造出新的等比数列｛册+相｝,先求出

｛即+明的通项，从而求出数列｛/｝的通项公式.

标准模型：许+1=她,+，（匕P为常数，3*0）或4=版“_1+。（太。为常数，切片。）

类型2：用“同除法”构造等差数列

⑴形如a“+i=qa“+p4+i（〃eN*）,可通过两边同除“田，将它转化为需=g+P,从

qq

而构造数列［青］为等差数列，先求出的通项，便可求得｛见｝的通项公式.

（2）形如。,用=总“+/用（〃eN*）,可通过两边同除q'M,将它转化为芋="牛+1,

qqq

换元令：〃=之，则原式化为：bn+l=-bn+1,先利用构造法类型1求出bn,再求出｛a｝

qq

的通项公式.

（3）形如因-即+i=3〃+1即伏力0）的数列，可通过两边同除以为+逐〃，变形为」----

即+1。〃

的形式，从而构造出新的等差数列］?!

,先求出1的通项，便可求得｛见｝的通项公式.

2.倒数法

用“倒数变换法”构造等差数列

类型1：形如。”+i=」「（。应为常数，pqQ的数列，通过两边取“倒”，变形

pa„+q

为一=’+“，即：从而构造出新的等差数列［工］，先求出［'］的通项，

册+1anq册+1anq〔七J〔a"

即可求得明.

类型2：形如4+1=•ka”（。应为常数，pro,qwO,心。）的数列，通过两

Pa„+q

1q1p,1an

边取，，倒，，，变形为一•=?一+：,可通过换元：2=一，化简为：b=lb+L（此

4+1kcinkankk

类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如an+i^kan+p（k,p为常

数，3片0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为即+1+7"=6&+〃。（其中：m=3）,

k-1

由此构造出新的等比数列｛%+〃?｝,先求出｛%+"｝的通项，从而求出数列｛a｝的通项公式.）

二、典型题型

题型一：构造法

1.（23-24高二下•河南•阶段练习）已知数列｛4｝满足4=10,。用=3“"-2.

（1）求｛%｝的通项公式;

2.（23-24高二下,江西•阶段练习）已知数列｛%｝的前”项和为S"，％=-!,且

3«A+I=«„-2a„+1.

（1）求数列｛a“｝的通项公式；

3.（23-24高三下•河北张家口•开学考试）已知数列｛4｝满足％=5,且%=34-2”（〃eN*）.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

4.（23-24图二上,山东青岛,期末）已知｛%｝是公差不为0的等差数列，4=2,且外,％,小

成等比数列，数列色｝，4=1，〃+6角=（近户，数列比｝的前"项和S,.

⑴求功

5.（23-24高二上•浙江绍兴•期末）己知数列｛%｝满足4=1,2a.M=3%+1.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

题型二：倒数法

1.（2023高三・全国・专题练习）已知数列｛%｝满足：《,=2,q=皆午522）,求通项。，.

（2023高二■全国■专题练习）已知数列｛%｝满足q=；,X%

2.an+l=■~~/_7T,.若2=1，

1+⑷

求数列｛%｝的通项公式.

3.（23-24高二上•上海浦东新•期中）已知数列｛4｝有递推关系

（1）记%=b„+太若数列出｝的递推式形如bn+l=常二（P，%/eR且片0）,也即分子中不

再含有常数项，求实数上的值；

（2）求｛%｝的通项公式.

4.（23-24高三上•山西•阶段练习）已知数列｛%｝中，1=1,%=六^（"€"*）

（1）证明：数列是等比数列

6.（23-24高二上•湖北黄石•阶段练习）已知数列｛4｝满足％=1，4+1=2"；+1（"wN*）,则

｛%｝的通项公式为.

7.（2024高三•全国•专题练习）己知数列｛q｝满足%+1=/%，且4=1,求数列｛。“｝的

通项公式.

8.（23-24高二上.河北张家口.期末）已知｛q｝满足q=g,q,+%+|=：（〃eN*）.

（1）证明：数列｛““｝为等比数列；

9.（23-24高三上•新疆乌鲁木齐•阶段练习）设数列｛%｝满足出=4,an+l=2an-2.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

10.（23-24高二上•黑龙江哈尔滨•期末）已知数列｛4｝的前"项和为S“，且2S,=3%-2”+1.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

11.（2023・陕西安康•模拟预测）在数列｛““｝中，已知%=24_]-2〃+4522）,%=4.

(1)求｛q｝的通项公式;

12.(23-24高二上•福建莆田•期末)设数列｛凡｝的前w项和为S,，已知

,,+1

2S„=«„+1-2+l(HeN*),且4=5

(1)求数列｛q｝的通项公式；

专题03数列求通项（构造法、倒数法）（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍..............................................1

二、典型题型..............................................2

题型一：构造法........................................2

题型二：倒数法........................................4

三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练................13

一、必备秘籍

1.构造法

类型1：用“待定系数法”构造等比数列

形如即+1=笈〃+夕（太〃为常数，kp手0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变

形为许+1+777=©%+如（其中：/一），由此构造出新的等比数歹（］｛."+7"｝,先求出

K-1

｛即+明的通项，从而求出数列｛/｝的通项公式.

标准模型：即+1=履"+。（匕P为常数，3*0）或％=版M+P（k,p为常数,kp中0）

类型2：用“同除法”构造等差数列

⑴形如a“+i=qa“+p4+i（〃eN*）,可通过两边同除“田，将它转化为需=g+P,从

qq

而构造数列［,］为等差数列，先求出］》］的通项，便可求得｛见｝的通项公式.

（2）形如。,用=总“+/用（〃eN*）,可通过两边同除q'M,将它转化为芋="牛+1,

qqq

换元令：〃=之，则原式化为：bn+l=-bn+1,先利用构造法类型1求出bn,再求出｛a｝

qq

的通项公式.

11

（3）形如因-即+i=3〃+1册伏土0）的数列，可通过两边同除以为+1。〃，变形为

。〃+1an

的形式，从而构造出新的等差数列］

,先求出1的通项，便可求得｛见｝的通项公式.

2.倒数法

用“倒数变换法”构造等差数列

类型1：形如。”+i=」「（。应为常数，pqQ的数列，通过两边取“倒”，变形

pa„+q

为一=’+“，即：从而构造出新的等差数列［工］，先求出［'］的通项，

册+1anq册+1anq〔七J〔a"

即可求得明.

类型2：形如4+1=•ka”（。应为常数，pro,qwO,心。）的数列，通过两

Pa„+q

1q1p,1an

边取，，倒，，，变形为一•=?一+：,可通过换元：2=一，化简为：b=lb+L（此

4+1kcinkankk

类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如an+i^kan+p（k,p为常

数，3片0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为即+1+7"=6&+〃。（其中：m=3）,

k-1

由此构造出新的等比数列｛%+〃?｝,先求出｛%+"｝的通项，从而求出数列｛a｝的通项公式.）

二、典型题型

题型一：构造法

1.（23-24高二下•河南•阶段练习）已知数列｛4｝满足4=10,。用=3“"-2.

（1）求｛%｝的通项公式；

【答案】⑴4=3同+1；

【分析】（1）构造等比数列结合等比数列的通项公式，即可求得结果;

【详解】（1）因为%=34-2,所以%—1=3（4一1）,又％-1=9,

a—1

所以」\=3,

所以｛为-1｝是以9为首项，3为公比的等比数歹U,

所以a“-1=9•3-=3向，所以见=3向+1.

2.（23-24高二下•江西•阶段练习）已知数列｛q｝的前〃项和为S“，4=-1,且

3«A+I=«„-2a„+1.

（1）求数列｛a“｝的通项公式；

【答案】①凡=占

【分析】

（1）变形得到［十+3］是以2为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式；

c12

【详解】（1）由3az+i=4-2%两边同时除以的用，可得3=-------，

an+\an

所以一+3=2—+3,—+3=2^0,

4加）«i

故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以'+3=2",即。=

a„2"-3

3.（23-24高三下•河北张家口•开学考试）已知数列｛4｝满足q=5,且%I=3«„-2"（neN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

【答案】（1）“"=3"+2"；

【分析】（1）由已知条件构造等比数列｛为-21，根据等比数列的通项公式，即可求得结

果；

【详解】（1）由已知。用-3%=-2',所以。向-2向=3（4一2"）,又％-2=3x0,

所以数列｛4-2'｝是首项为3,公比4=3的等比数列，

所以4-2"=3",即。"=3"+2".

4.（23-24高三上,山东青岛•期末）已知｛。“｝是公差不为0的等差数列，％=2,且。2，&，。8

成等比数列，数列｛2｝，4=1么+£+1=（应产,数列出｝的前”项和s”.

⑴求。

【答案】⑴）=；［2"+（-1尸］

【分析】（1）由题意列方程，求出数列｛%｝的首项和公差，求出%,可得2+£M=2",变

形后构造等比数列，即可求得答案；

【详解】（1）因为的，%，如成等比数列，所以。：=。2“8，

设等差数列｛4｝的公差为5=2,所以(2+3d)2=(2+d)(2+7d),

解得d=2,

an=〃]+(〃-l)d=2n,

〃+酊1=(血户=(0产=2",

对上式两边同时除以评得:久+号=三，即4=-12+:

2〃+i2"+12"+12〃+122〃2

5.(23-24高二上•浙江绍兴•期末)已知数列｛4｝满足q=1,2«„+1=3«„+1

(1)求数列｛%｝的通项公式；

【分析】(1)根据题意等比数列的定义和通项公式运算求解;

31

【详解】(1)由2。用=3a“+1,即4+1=54+5,

可得％+1=弓&+1),且4+1=2X0,故胃1r=5，

Z4十,乙

3

可知｛%+1｝是首项为2,公比为|■的等比数列,

贝以"+l=2x

所以数列｛%｝的通项公式为%=21|j]L

题型二：倒数法

1.(2023高三・全国・专题练习)已知数列｛%｝满足：q=2,q=资=(“22)求通项

2

【答案】«„=

4九一3

【分析】取倒数后得到,是等差数列，求出工=2〃-白，得到通项公式.

册2

【详解】取倒数：+2«—--=2,故[是等差数列，首项为'=1，公差

«„%-%%[an\«i2

为2,

11C,“c3

—=—F2(〃-1)=2M—,

%22

2

4n—3

2.(2023高二•全国•专题练习)已知数列也,｝满足4=(

%〃.若2=1,

1+(。“广£N*

求数列｛2｝的通项公式.

【答案】氏=,〃£N

H+1

【分析】将4=1代入已知可得明+|=善」，进而推得二--'=1,即可得出数列是等

a

1+为4+1„[an\

差数列，写出通项即可得出答案.

【详解】将4=1代入已知可得。用=广.

因为q=；,所以4片0,

—1。+11,11,

所以有——=----=一+1,所以-------=L

a

„+i册anan+1an

又工=2,

ax

所以，数列[是以2为首项，1为公差的等差数列,

所以，—=2+(n-l)xl=n+l,

an

1*

所以，an=-7，〃GN.

n+1

3.(23-24高二上•上海浦东新•期中)已知数列｛%｝有递推关系

9%T0〃eN*,a,.9

%=5V%-6£

(1)记%=b“+太若数列也｝的递推式形如bn+l=(p,%reR且厂片0),也即分子中不

P"n+q

再含有常数项，求实数上的值；

(2)求｛%｝的通项公式.

【答案]⑴1或2

4”

⑵「不西+1

（9.5人—5k1+15^-10

【分析】（1）根据题意整理可得b=——I：「-------，即-5公+15^-10=0,运

n+1

5b“+5K-6

算求解即可；

,46

（2）取左=1,可得2+1=[六，利用构造法结合等比数列求通项公式.

5b,T

【详解】（1）因为。“=2+左，且。用=等二号，

9(向+《一10卜(9-5k)b-5k2+15k-10

所以2+1=。用一左n

5(bn+k)-65bn+5k-6

贝(1-5/2+15左一10=0,解得k=1或2；

（2）由（1）可得：当k=1时，贝1]。“=2+1,且万用=分二

15瓦,一1115

可得点F——X-------F—

4b,4,

则1—1=-1且力】犯

b“+i需1

4为公比的等比数列,

4"

，则£=

4.（23-24高三上•山西•阶段练习）已知数列｛%｝中，％=1,an+1=-^（neN*）

（1）证明：数列+是等比数列

【答案】（1）证明见解析；

【解析】（1）由%+1=』（〃6"'）可得一1+1=3[2+:],然后可得答案；

4+3'an+l21a,,2j

【详解】（1）证明：由%+i=W（“cN*）,知」_+：=3[工+:]

4,+3'%2出2；

113r1ii3

又一+彳=彳，，一+彳是以:为首项，3为公比的等比数列

%22[an2]2

1

5.（2024高三・全国•专题练习）在数列｛?｝中，4=2,24-1.求证：数列

4T

是等差数列，并求包｝的通项公式;

n+1

【答案】证明见解析；a=—

nn

【分析】根据等差数列的定义证明，然后利用等差数列的通项公式求解.

2册T

【详解】•・F〃4+I=2%—1，，4+1

y2(2—1ci—111

+1,

an+\~1an。〃一1

1,1

且力=1所以，数列是等差数列，且首项为1,公差为L

口口

1二",即。〃=〃+1

为一1-----------------n

三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练

1.（23-24高二上•重庆•期末）已知数列｛%｝满足％=1，%—7,则数列的前8项

%,+2

和$8=

【答案】502

取倒数构造等比数列+1）,结合等比数列求和公式即可得到答

【分析】根据氏+1

案.

%取倒数得5V+1，

【详解】由4+1

所以-L+l=2—1+1I,

%+1

]1—+1

因为2+1=2x0,所以-1+1*0,所以乌一=2,

%an1।]

an

所以”是首项为2,公比为2的等比数歹U,

所以_L+1=2X2"T=2",贝=

9

所以数列的前8项和S8=2,；）_8=2-2-8=502.

故答案为：502

2.（23-24高二下•全国•单元测试）已知数列｛%｝满足6=1,。用=/二，（"N*）,则

1

【答案】

4n-3

a,1、

【分析】将a“+i=7七变形可得数列｛一｝为等差数列，再借助等差数列求解即得.

%+1%

,、14圆+1，1

【详解】数列4中，［=1,=-7,显然4尸0,取倒数得一=一^=4+一,

1

'国+1an+1anan

111

即-------=4,则数歹!j｛一｝是首项为1,公差为4的等差数列，

aa

n+ln%

因止匕」-=1+4（九-1）=4〃-3,所以q

44〃一3

1

故答案为:

4〃一3

3.（23-24高二上•全国・单元测试）已知数列｛%｝满足q=；,且氏+产喜则数列｛%｝的

通项公式为名=

【详解】

在等式“"+产喜1两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，

即可求得数列的通项公式，进而可求得数列（«„｝的通项公式.

【分析】因为数列｛风｝满足q=：，且%+产菖7,则。2=卢^=-—=:，

2阻+13%+13x^+15

2

1

〃-_5_1L

a?——1—,、9

3a2+I3x-+l8

5

以此类推可知，对任意的〃eN*,%＞。,

a,11+3a1_11.

在等式%+产n两边取倒数可得一=——^=—+3,则-------=3,

1a

X+4,+1a“„%+1a„

所以数列［工］是首项为1=2,公差为3的等差数列.

所以，—=2+3（H-1）=3M-1,所以，an=.

an3n-l

,、a1

4.（23-24高二下•河南•期中）数列｛风｝中，若4=1,4+1=77尸，则一=.

【答案】19

【分析】取倒数可得一二-'=2,即可得数列R的通项公式，计算即可得.

g11+2aH1小

【详解】:。用=77^,则一=——^=一+2,

1+24an+lanan

二一匚一1=2,.•.故数列［工］为等差数列，公差等于2,

aa

n+ln［an］

又J,^-=1+2（«-1）=2»-1,

%an

—=10x2-1=19.

〃10

故答案为：19.

5.（2024•江苏南京•模拟预测）已知数列｛4｝满足%=l,2%+「a“+a“%+|=0（"eN*）,则数

列｛%｝的通项公式为.

【答案】巴=于匕

【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.

【详解】数列｛%｝中，0=1,2a“+］-a“+a,a“+i=0,显然a,产0,

贝lj有'=2.工+1,即，+1=2（工+1）,而工+1=2,

aa

n+ln%+1a,4

因此数歹!H’+l｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

an

所以'+1=2",.

an2"-1

故答案为：a.=Q

Z—1

6.（23-24高二上•湖北黄石•阶段练习）已知数列｛4｝满足％=1，。“+1=才寸（"€河），则

｛«„）的通项公式为.

【答案】«„=-A-

L—1

【分析】对。2=一二取倒数，然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可.

【详解】对氏+1=3多17两边取倒数得,=出口=1+2"即一匚-'=2",

2为+1«„+i4%J%

沙、口叶1]-2〃T1]_2〃-2.11一2211—2

当〃22时，-------_2,---------------Z，L，----------,----------------"

anan-X〃〃.1〃〃一2a3〃2%4

11,2（1-2叫

将以上各式累加得----=2"-1+2〃-2+…+2?+2=—1---------1=2n-2,又。1=1,

anax1-2

所以;=2"-1,所以凡=不\，当"=1时，⑷=1也满足为=不\，所以q=不二.

故答案为：%=4

7.（2024高三•全国•专题练习）己知数列｛风｝满足。用=隹*且％=1,求数列｛为｝的

通项公式.

【答案】氏=尹匕

【分析】根据题意先证数列为等比数列，再结合等比数列的通项公式分析求解.

【详解】因为蜡工，且4=1*。，可知4工0,

13a,,+4,41（1

贝1J—=——=3+一,可得——+1=4—+1L

%%%an+1[an）

且2+1=2*0,

%

可知数列[，+1]是首项为2,公比为4的等比数列，

可得!+1=