2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路：数列求和（插入新数列混合求和）（学生版+解析）

专题10数列求和（插入新数列混合求和）

（典型题型归类训练）

目录

一、典型题型..............................................1

题型一：插入新数列构成等差.............................1

题型二：插入新数列构成等比.............................4

题型三：插入新数混合...................................5

二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练........7

一、典型题型

题型一：插入新数列构成等差

1.（23-24高二下•陕西汉中•阶段练习）己知数列｛%｝的前〃项和为S“，且S”=2a"+”3.

（1）证明数歹支4-1｝为等比数列，并求｛%｝的通项公式；

（2）在“"和。用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，求数列

的前”项和

⑶若对于任意“CN+，数列｛%｝的前"项和恒成立，求实数的取值范围.

2.(2024•四川泸州•二模)已知数列｛%｝的前w项和为S“，S„-|(a„-l)(neN*).

(1)求数列｛q｝的通项公式；

⑵在4与a油之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为芝的等差数列，求”.

3.(2024,湖南•二模)已知数列｛%｝的前"项和为S“，满足2s“+a“=3；数列出｝满足

或+%=2九+1,其中4=1.

⑴求数列｛4｝,但｝的通项公式;

⑵对于给定的正整数币=1,2,…,n),在a；和ai+1之间插入i个数c;1,c⑵…,q,,使a,.,4,

c,2,Q,aM成等差数列,

(i)求(=d+C21+C22+---+C,,1+c„2+---+c„„；

粼-1+~—

5)是否存在正整数机，使得------募为恰好是数列｛%｝或｛〃｝中的项？若存在，求出

b-1-------

m27；—3

所有满足条件的加的值；若不存在，说明理由.

4.(2024•黑龙江,二模)已知等比数列｛见｝的前w项和为S“，且S用=3S“+1,其中〃eN*.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)在%与a向之间插入”个数,使这“+2个数组成一个公差为服的等差数列，在数列｛""｝中

是否存在不同三项4“，dk,必(其中见我，〃成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样

的三项；若不存在，请说明理由.

5.(2024•四川泸州・二模)已知数列｛q｝的前"项和S"=?a,-l)("eN*).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

b

⑵在%，与“用之间插入"个数，使这"+2个数组成一个公差为“的等差数列，若。“=岌，

求数列｛““+1｝的前〃项和

题型二：插入新数列构成等比

1.（2024•湖北武汉二模）已知等比数列｛4｝的前"项和为S,,,且ax=3S“+2（〃eN*）.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）在凡与。用之间插入"个数，使这"+2个数组成一个公差为Z的等差数列，在数列｛4｝中

是否存在3项《“，dk,%（其中〃z,k,。成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样

的3项；若不存在，请说明理由.

2.（23-24高三上,上海普陀•期中）已知数列｛4｝满足％=1,%=2%+3（“22）.

（1）证明：数列｛q+3｝为等比数列，并求｛%｝的通项公式；

（2）在凡与％之间插入"个数，使这〃+2个数组成一个公差为Z的等差数列，在数列｛〃“｝中

是否存在不同的三项4“、dk、dp（其中机、0P成等差数列）成等比数列？若存在，求

出所有满足条件的机、k.P；若不存在，请说明理由.

3.（23-24高三上•湖北•阶段练习）已知数列｛4｝的前项和为S,,,且满足：a“=-S“+l,〃eN*

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）在J与％之间插入〃个数，使这九+2个数组成一个公差为力的等差数列，在数列｛4｝中

是否存在三项4“,4,4（其中根,/U成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不

存在，请说明理由.

4.(2023•吉林通化•模拟预测)S”为数列也,｝的前"项和，已知65"=4+3*-4,且为>0.

(1)求数列｛q｝的通项公式。“；

(2)数列也｝依次为：%,3,%,3。33,%,34,35,36,/3,38,393°…，规律是在七和七+1中间插入

M左eN*)项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列也“｝的前100

项的和.

题型三：插入新数混合

1.(23-24高二下•四川绵阳•阶段练习)数列｛。“｝的前”项和为%且S,,+2=2%(〃eN)

⑴求数列｛“/的通项公式；

(2)数列也｝满足6*_(/+3々)〃+22=0(ze/?,〃eN*).

①试确定实数t的值，使得数列｛么｝为等差数列；

②在①的结论下，若对每个正整数鼠在外与4用之间插入4个2,得到一个数列｛&｝.设

T,是数列｛c„｝的前“项和，试求满足Tni=2glM的所有正整数机.

2.(23-24高三下•黑龙江哈尔滨•开学考试)记数列｛q｝的前"项和S,,,对任意正整数"，

有2Sn=nan,且叼=3.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵对所有正整数机，若4<#<一,则在双和/两项中插入4%由此得到一个新数列也｝,

求｛2｝的前91项和.

3.（23-24高三上•天津•期末）已知公差为d的等差数列｛%｝和公比4＞。的等比数列也｝中，

%—Z?1—1,a?+83=8,+b?=9.

（1）求数列｛%｝和也｝的通项公式；

_n

⑵求+1-Z；

Z=1

⑶若在数列｛%｝任意相邻两项4,a角之间插入一个实数c“，从而构成一个新的数列｛4｝,若

实数c”满足%。“+必=1,求数列｛〃.｝的前2〃项和S2n.

4.（23-24高二上・广东•期末）已知数列也｝的前"项和S,,,且斗=2"-2

⑴求数列也｝的通项公式；

⑵设数列｛4｝的通项公式,若将数列｛%｝中的所有项按原顺序依次插入数列出｝中,

组成一个新数列：4，4，瓦,a2,a3,b3,a4,a5,a6,%,b4,...,%与初1之间插入项

｛%｝中的项，该新数列记作数列｛%｝,求数列｛%｝的前100项的和工。。.

二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练

1.（23-24高二下•广东惠州•阶段练习）己知等比数列｛an｝的前n项和为S“，且％=2,引=9.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）保持数列｛%｝中的各项顺序不变，在每两项4与4+i之间插入一项左（以+1-4）（其中

左=1,2,3,…）组成新的数列也｝记数列也｝的前〃项和为，，若（＞2024,求〃的最小值.

2.（2024•黑龙江齐齐哈尔•二模）设数列｛4｝的前〃项和为S“,3s,=2%+1.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）在数列｛%｝的附和出华项之间插入上个数，使得这上+2个数成等差数歹！J,其中左=1,2,…,”,

将所有插入的数组成新数列｛2｝，设，为数歹U｛2｝的前"项和，求心.

3.(23-24高二下•重庆•阶段练习)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S.,也｝为等比数列,

且4=4=1,S4=/?5,%+〃3=%.

(1)求数列｛%｝,也｝的通项公式；

(2)若在%与4+1之间依次插入数列｛%｝中的左项，构成如下的新数列｛c,,｝；

"［也,0%,%为，%，％，々，…，记该数列的前九项和为1,求金.

4.(2024高三•江苏•专题练习)已知各项均为正数的数列｛4｝中，q=1且满足

a,；-。；=2%+2a用，数列也｝的前〃项和为S“,满足25"+1=3么.

⑴求数列｛%｝,也｝的通项公式；

⑵若在4与%之间依次插入数列｛%｝中的％项构成新数列｛%｝：白，%,b2,a2,%,b｝,

%，%，&，为，……，求数列｛5｝中前50项的和岂。.

7.（23-24高二上•黑龙江大庆•期末）已知正项等比数列｛%｝中，4+%+%=6,

%+%+。9=24.

(1)求｛%｝的通项公式;

（2）在%和°用之间插入w个数，使这”+2个数组成一个公差为4,的等差数列，求数列

的前”项和7“.

8.（2023•全国•模拟预测）已知正项递增等比数列｛/｝满足4吗是方程必_10》+16=0的

两根.

⑴求数列｛见｝的通项公式；

⑵数列｛%｝依次为4,4,"2也,砥。3也也，%，%，々也，4，%），。5,…，规律是在外和4+1中间插

入左项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数歹求数列｛%｝的前60项的

和.

9.（21-22高三上•贵州黔东南•期末）已知等比数列｛%｝满足4=2,a“>0,且％

成等差数列，记％=log,%.

⑴求数列抄“｝的通项公式；

⑵若在数列也｝任意相邻两项优也包之间插入一个实数g,从而构成一个新的数列｛纥｝.若

实数c“满足以也M•%=1,求数列｛4｝的前2w项和$2“.

10.(23-24高三上•江西•期中)已知s”是正项数列｛%｝的前〃项和，满足

⑸用一SR)⑸包一2S“+S„-1)=2(n>2),01Hg=瓜

(1)若log%%xlog%gxlog%%X…Xlog%4.+1=6,求正整数"2的值；

⑵若a=尸，在底与瓦+1(keN*)之间插入｛码中从d开始的连续％项构成新数列｛%｝,即

｛%｝为伪，也,求｛cj的前30项的和.

专题10数列求和（插入新数列混合求和）

（典型题型归类训练）

目录

一、典型题型..............................................1

题型一：插入新数列构成等差.............................1

题型二：插入新数列构成等比.............................4

题型三：插入新数混合...................................5

二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练........7

一、典型题型

题型一：插入新数列构成等差

（高二下,陕西汉中,阶段练习）已知数列｛见｝的前〃项和为，

1.23-24S“SS„=2an+n-3.

⑴证明数歹£4-1｝为等比数列，并求｛%｝的通项公式；

（2）在。"和。用之间插入"个数，使这”+2个数组成一个公差为口的等差数列，求数列］:

的前"项和筹.

⑶若对于任意“CN+，数列｛%｝的前〃项和恒成立，求实数的取值范围.

【答案】①证明见解析，

an=2"-'+l

⑵北=6-崇

（3）m<2

fS1,M—1/、

【分析】（1）根据%=;0、c，作差得到”22,从而得到

a„-l=2（^-1）,即可得证，再由等比数列通项公式计算可得;

2”T1n+1

(2)依题意可得点=二则7=不丁，利用错位相减法计算可得；

(3)依题意可得6-霁〉根(«eN+)恒成立，令4=景，利用作差法判断｛a｝的单调

性，即可求出6-累的最小值，即可得解.

【详解】(1)因为S“=2a“+〃一3①，

当”=1时，4=2q-2,所以弓=2.

当“22时，S,T=2%+〃-4②，

由①一②得an=2a.-2a“_1+1,即a.=2a“_]—1,

所以%—l=2(a,T—l),又a「l=l,

所以数列｛4-1｝是首项为1,公比为2的等比数列，

所以%-1=2"一，故a"=2"T+l.

（2）因为％=4+5+1）%所以2"+1=2"+1+5+1）或，

r\n—\1n+1

解得d,='所以

n+1

234n+1

所以q=吩+耍+»+…-I--------

2”T

1234nn+1

―/”=~THH—r+,••H------TH----------

22122232'i2"

两式相减得/=2+[**+?+...+*]-答

〃+3

所以£=6-

2"一1'

〃

(3)由于对于任意“©N+，恒成立，即6-穿+＞3机恒成立,

〃

等价于6-皆+3的最小值大于机.

〃+3n+4〃+3—n—2n+2

令»=宾，则&「4=<0,

2"2"TT

所以数列也｝是递减数列，故数列｛bn｝中的最大值为乙=霁=4,

所以I,的最小值为2,所以当北＞“对于任意"eN+恒成立时，机＜2.

3

2.（2024•四川泸州•二模）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，S“=5（q「D（"€N*）.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

⑵在凡与a角之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为强的等差数列，求〃.

【答案】（1）为=3"

（2）〃=99

【分析】（1）利用“"与I的关系式，结合等比数列的定义与通项公式即可得解；

（2）利用等差数列的通项公式即可得解.

【详解】⑴因为S“=ga“一l）（weN*）,

3

当”=1时，百=］（4-l）=q,所以4=3,

当“22时，S,”i=5（%「1）,

33

所以为=s.-Se=万（4一1）一,整理得%=3%_,

所以数列｛%｝是以3为首项，公比为3的等比数列，

所以数列｛凡｝的通项公式为an=3"；

（2）因为%=3",%+产3M,

3"1

由题意得：3,,+1=3"+（/J+1）->即3=1+（〃+1）,,

所以〃=99.

3.（2024,湖南•二模）已知数列｛4｝的前"项和为S“，满足2s“+%=3；数列出｝满足

或+%=2〃+1,其中4=1.

⑴求数列｛q｝,｛优｝的通项公式；

⑵对于给定的正整数中=1,2,…,n）,在4和4+1之间插入i个数cncu,使%ca,

《2,cu,aM成等差数列.

（i）求北=Q+c21+c22+••-+ctA+c„2+.••+cnn.

%-1+——

（ii）是否存在正整数机，使得------表号恰好是数列｛%｝或｛，｝中的项？若存在，求出

b-1-------

2T「3

所有满足条件的根的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)Q〃

⑵⑴Tn(ii)存在，m=l

乙ZXD

【分析】(1)根据S“,a”的关系式可得｛/｝是首项为1,公比为;的等比数列，再根据

b”+bn+l=2〃+1可分别对｛bn｝的奇数项和偶数项分别求通项公式可得

，R="("eN*)；

(2)(i)利用定义可求得新插入的数列公差47=一42可，求得q=签2rl并利用错位相减

法即可求出北=口-誓!；

乙ZXD

bm-l+—Im+i

(ii)求得-------黑一二丝中工，易知对于任意正整数加均有1<加一“3：:3,而

b12一+3m—1+3"m-1+T

m2Tm-3

a„=QJ'<1，所以不是数列｛%｝中的项；又2=〃(〃eN*),分别对其取值为

3"+i

+=2,3时解方程可求得m=1.

*1+3'"

【详解】(1)由说+见=3①，当"22时，2s,i+%=3②，

。②得2an+an-an_x=O..'.=g%(nN2),

当〃=1时，2q+4=3,/.q=1,

...｛%｝是首项为1,公比为g的等比数列，故(〃eN*),

由2+%=2〃+1③.由4=1

得a=2,又优+1+2+2=2"+3④.

④-③得口2-2=2,

｛b,,｝的所有奇数项构成首项为1,公差为2的等差数列：

所有偶数项构成首项为2,公差为2的等差数列.

得,“T=l+(/z-l)x2=2«-l,&2n=2+(〃-l)x2=2",;.2=eN*).

综上可得,b“=〃(〃eN*)；

(2)(i)在%和1之间新插入〃个数c“,q,2,…，c”“，使4,c”“,％成等差数列,

n—\

设公差为z,则4+12

d〃=

(n+2)-l〃+13"(〃+1)

n—\

2kn2n(n+1)2n

则c〃z=q+胴，•二X。成=

3〃5+1)k=lF's+i)'23〃

Tn=41+01+022+，，，+CH1+或2+一・+或〃二21；+,+•••+/)⑤

则)=2。+》…+g]⑥

111

------X—

3〃3n2〃+3

⑤-⑥得:=23

y773ml

7

32〃+3

所以可得(=5

2x3〃

⑷7(PT_32〃+3

(u)由(1)a„=1-I也=M〃eN),又T"=1-布下,

^-1+—

m-1+3^1

_______一+2

由己知

712m+3m-1+3"

b-1---------

机27；-3

假设"L1+3：是数列｛%｝或例｝中的一项，

m—1+3

_i_|_4根+i/、

不妨设-w-----^-=k｛k>O,meN(左一1)(加-1)=(3—女)・3加,

因为机—120,3'">0(meN*),所以1<心3,而

所以n不可能是数列｛g｝中的项.

_i3m+1(、

假设祖w人+I是也中的项,贝也£N*.

m—1

当％=2时，有机—1=3"，即.=1，

人，/\团一1e(.\(\m机-1-2m+3

之于\m)~3加，于+1)-/£\m)~3，+i3、--3、+i'

当"2=1时，/(1)</(2);

当力N2时,f(m+T)-f(ni)<O,f(l)</(2)>/(3)>”4)>…，

由/⑴=。"(2)=[知舞=1无解.

当左=3时，有机一1=0,即加=1.

_i3.（、

所以存在m=1使m得+=3是数列出｝中的第3项;

加―1+3根+1_|_Qm+1

又对于任意正整数加均有1<W3,所以左“时，方程上1+J一=女均无解;

m-1+3"2m-1+3"

粼-1+~~~

综上可知，存在正整数根=1使得------晶片是数列也｝中的第3项.

b—1-----------

2『3

超-1+--

____________〃/n+2

【点睛】关键点点睛：求解是否存在正整数加，使得恰好是数列｛凡｝或也｝

112m+3

b-----------

27；—3

_i3W+1（、

中的项时，关键是限定出1m+W3,再对数列｛凡｝的取值范围进行限定可得不是数

列｛七｝中的项，再由｛2｝只能取得正整数可知只需讨论:二=2或3有无解即可求得结

论.

4.（2024•黑龙江•二模）已知等比数列｛见｝的前w项和为工，且S,”|=3S“+1,其中〃eN*.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）在凡与a用之间插入”个数,使这〃+2个数组成一个公差为4,的等差数列，在数列｛4｝中

是否存在不同三项心，dk,必（其中办后,P成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样

的三项；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴q,=3"T

（2）不存在，理由见解析

【分析】（1）根据递推关系可得%+I=3%（九22）,从而可得公比，故可求首项从而得到通

项公式；

（2）先求出｛4｝的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列｛4｝

中不存在不同三项以，dk,。（其中肛后,p成等差数列）成等比数列.

【详解】（1）因为S用=3S.+1,故S“=3S“T+1,故禺M=3q（“22）,

而｛%｝为等比数列，故其公比为3,

又$2=35]+1,故3“1+%=3弓+1,故q=l,

故a“=lx3"T=3"T.

（2）由题设可得4=%+「"〃=22’,

n+2-1n+\

若数列｛4｝中存在不同三项4“，dk,dp(其中成等差数列)成等比数列，

2x3"i丫2x3"i2x3p-1„,工必/站可

则------=------x----------,因加,K,p为等差数列，

(左+1)m+1p+1

^(^+1)2=(m+l)x(p+l)B|Jk2=mp,故J=mp,

故机=p即机="=左，这样九Kp不同矛盾，

故数列｛4｝中不存在不同三项4“，dk,弘(其中加,匕P成等差数列)成等比数列.

5.(2024•四川泸州・二模)已知数列｛q｝的前"项和S,,=|(a,-l)(〃eN*).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

b

(2)在耳，与%之间插入”个数，使这〃+2个数组成一个公差为或的等差数列，若c,=年，

求数列｛c“c,+J的前〃项和(.

【答案】⑴。"=3"

(2

产n+2

ISi,M—1_(、

【分析】⑴根据4=]_s〃>2,作差得到。"=3见1,从而得到｛甩｝是以3为首项,

3为公比的等比数列，即可求出其通项公式；

a+la

(2)由(1)^bn="~"=—,从而得至此“1+1=4x]」一一二],利用裂项相消

法求和即可.

【详解】(1)因为S“=*"T("N*),

3

当”=1时S|=5(q-l)=q,解得4=3,

3

当心2时

所以S“_S“T=w(a“T)_](a“_iT),即。“=-«„-

所以%=3a“_[,

即数列｛4｝是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以。“=3".

(2)因为%=3",4+1=3”\

n+1n+1

2x3〃

n+1n+2

所以q=4x+,,,+4x

n+1n+2

2Tl

2n+2n+2

题型二：插入新数列构成等比

1.（2024,湖北武汉•二模）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且aM=3S.+26eN）

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）在%与a用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为媒的等差数列，在数列｛4｝中

是否存在3项服，dk,dp（其中机，k,2成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样

的3项；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析；

⑵不存在，理由见解析.

【分析】（1）利用等比数列定义，根据将"=1,〃=2代入构造方程组解得4=2,q=4,

可得数列｛凡｝的通项公式=2x4-1；

（2）假设存在会，dk,。成等比数列，由m,k,2成等差数列可得象=m+。，且

依+1）2=（m+1）（。+1）,解得左=%=。，与己知矛盾，因此不存在这样的3项.

【详解】（1）由题意知当”=1时，《4=34+2①

当〃=2时，qq?=3（q+qq）+2②

联立①②，解得4=2,4=4；

所以数列｛q｝的通项公式%=2x4”。

（2）由（1）知a“=2x4"T,“用=2x4",

所以am=q+（,+2-1"，可得4="用一4=生世二；

n+1n+1

设数列｛4｝中存在3项4，4,%（其中加，3P成等差数列）成等比数列，则d：=dm-dp,

2t2m+p2

b,」6x4iy6x4小6x4"-'Bn36x4-36x4-

=,

所以^7F'^TF即（上+ir一（.+1）5+1）；

又因为机，k,P成等差数列，所以2左=加+。，

所以（左+1）2=（m+l）（p+l）,化简得左2+21=wp+Mi+p,即42=〃?/?；

又2k=in+p,所以左=7"=p与已知矛盾；

所以在数列｛4｝中不存在3项（，dk,打成等比数列.

2.（23-24高三上•上海普陀・期中）已知数列｛%｝满足4=1,a„=2«„_1+3（/i>2）.

（1）证明：数列｛4+3｝为等比数列，并求｛%｝的通项公式；

（2）在4与a用之间插入"个数，使这"+2个数组成一个公差为服的等差数列，在数列｛4｝中

是否存在不同的三项公、乙、%（其中机、k、P成等差数列）成等比数列？若存在，求

出所有满足条件的机、上、P-,若不存在，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析,4=2向-3

⑵不存在，理由见解析

【分析】（1）利用等比数列的定义可证明出数列｛%+3｝为等比数列，确定数列｛q,+3｝的

首项和公比，可求得数列｛q+3｝的通项公式，进而可得出数列｛%｝的通项公式；

（2）根据等差数列的定义出d“，假设存在满足条件的三项《“、dk、々（其中机、k、P

成等差数列），由已知可得出2左=%+。，根据等比数列的定义可得出外=44，,化简得

出依+l）2=W+l）（p+l）,再利用作差法推出矛盾，即可得出结论.

【详解】（1）解：因为数列｛氏｝满足4=1,%=2a,t+3（:亚2）,

则当〃22时，a“+3=2（a._］+3）,且4+3=4,

所以，数列｛%+3｝是以4为首项，2为公比的等比数列.

所以，a.+3=4-2"T=2"+i,.故a“=2"+J3.

（2）解：在％与。向之间插入w个数，使这〃+2个数组成一个公差为服的等差数列,

n+1n+\n+l

假设数列｛4｝中是否存在不同的三项或、4、外（其中机、k、P成等差数列）成等比数

列，

m++2

（/\（?p+i、22%+22P

贝1^：=4"恐，即［口］m+i即而17=0+1）5+1）'

由已知可得2左=根+2,所以，（女+1）2=（机+

事实上，（左+1）2_（机+l）（p+i）=（左2+2女+1）_（初+机+p+1）=k2—mp

(m+皿m1+p2+Imp-4mp(加一,J〉.

一12J~mP~4--4->'

即伏+l)2>W+l)(p+l),矛盾,假设不成立，

故不存在这样的三项4“、儿、念成等比数列.

3.(23-24高三上•湖北•阶段练习)己知数列｛%｝的前项和为S“，且满足：%=-S“+l,〃eN*

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵在凡与a用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为Z的等差数列，在数列｛4｝中

是否存在三项服，4,4(其中加#J成等差数列)成等比数列？若存在，求出这三项；若不

存在，请说明理由.

【答案】⑴为=目

⑵不存在，理由见解析

【分析】(1)由a“=-S“+l(〃eN*),得“,T=-Se+1,两式相减化简可得｛%｝是以g为

首项，g为公比的等比数列，从而可求出通项公式，

(2)由题意可得dn=-——W,假设存在这样的三项dm,dk,dt成等比数列，则力=dmd,,

n+ly2)

结合已知化简可得结论.

【详解】(1)由a“=-S“+107cN*)①

得心2时矶=-S,7+l②

①-②得%=；a,i(nN2),①中令”=1得q=；,

..•｛4｝是以3为首项，为公比的等比数歹U，

ny+1_nv

⑵d,…，⑸一⑶一1

n+1〃+1n+}\2）

假设存在这样的三项dm,dk,dt成等比数列，

・•,{4}为递增数列，不妨设根<左</,

+2+，

贝udm<dk<dt,：.di=dmdt=f-V=—f-T—f-

mkfL（A+l）2（2jm+K2jf+l（2

则在不3-（m+l）（?+l）UJ，

・•・加,左J成等差数列，

/.2k=m+t,/.（左+1）2=（m+l）«+l）n左之=mt,

f2k―-YYI+1

由〈2，得（加一。2=0,所以机=r=左，与题设矛盾

[k=mt

••・不存在这样的三项d“,4,4（其中加质1成等差数列）成等比数列.

4.（2023・吉林通化•模拟预测）S”为数列｛%｝的前“项和，已知6S“=d+3%-4,且。“>0.

⑴求数列｛见｝的通项公式与；

⑵数列也｝依次为：%3,2,32,3?,%,B’S,3$,/3,38,393°…，规律是在《和七+1中间插入

M左eN*）项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列｛"｝的前100

项的和.

【答案】⑴。“=3〃+1

388+569

-2

【分析】（1）利用项与和的关系即可求解；

（2）先确定数列｛，｝的前100项中含有｛%｝的前13项，含有｛3'｝中的前87项，再利用分

组求和的方法即可求解.

【详解】（1）当〃=1时，6s1=6%=+3〃]—4,解得％=4（〃1=一1舍去）,

由6S,=〃；+34—4得〃22时，6sM=（。〃一]）?+3^-4,

两式相减得6%=一a；-+3an-3an_x,（an+J（q一an_x-3）=Q,

因为%>。所以。〃一4T=3,

所以｛4｝是等差数列，首项为4,公差为3,

所以q=4+3-1）=3〃+1；

（2）由于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78,78+12<10。，

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91,91+13>104

因此数列抄）的前100项中含有｛凡｝的前13项，含有｛3〃｝中的前87项，

所求和为S=4X]3+^^X3+3（1-3）:388+569.

21-32

题型三：插入新数混合

1.(23-24高二下•四川绵阳•阶段练习)数列｛。“｝的前〃项和为S“，且S“+2=2q,(〃eN)

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)数列电｝满足6“2_(/+32)“+2d=0(teR,”eN*).

①试确定实数f的值，使得数列也,｝为等差数列；

②在①的结论下，若对每个正整数鼠在外与之间插入4个2,得到一个数列｛g｝.设

T„是数列｛q｝的前”项和，试求满足Tm=2cm+1的所有正整数机.

【答案】⑴％=2”

(2)①f=4；②加=2

【分析】(1)根据题意，推得a=2,再求得q=2,得到数列｛%｝为等比数列，即可求

an-\

解；

(2)①根据题意，求得4也也的值，结合伉+4=2打，求得r=4,即可求解；

k+l2

(2)根据题意，得到％+1必是数列｛凡｝中的某一项4M，^Tm=2+2k+2k-2,结合

k+1

2cm+l=2ak+1=2x2,得出2"+1=严+%=左次+1),进而求得心的值.

【详解】⑴解:因为在数列｛4｝中，Sn=2an-2,

当〃22时,Sa=2a—2,

两式相减得=2a“-2a“_i,可得an=2an_t(n>2),

又因为〃=]时,4=S[=2q-2,可得a1=2,

所以数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数列，故。，=2.2"T=2".

—154—3/

(2)①当〃=1时，可得仇=6-♦，当〃=2时，得/?2=6-耳，，当〃=3时，得4=--一，

因为数列｛4｝为等差数列，可得4+么=2么，可得，=4,

当1=4时，由6/—(，+3/?〃)几+2/?〃=0,可得=2",

又由%-2=2,当力=4时,数列也｝为等差数列；

②由题意知。=%=2,。2=。3=2,Q=%=4,。5=。6=。7=。8=2,%=。3=8,…，

则当帆=1时，7；=2w2c2=4,不合题意，舍去；

当帆=2时，=cl+c2=4=2C3,所以m=2成立；

当机23时，若5+产2,则图工2%+],理由如下，

从而c,„+1必是数列｛%｝中的某一项at+l,

T=q+2+,,,+2+a?+2+,,•+2+七+2+•••+2++•••+ak+2+,,,+2

则m

(2+22+23+..・+2%)+2伯+2+4+・・・+4)

k2

=2(2*—1)+2xQ；=+2k+2k-2,

又因为2%讨=2/讨=2x2^,所以+2严+2左一2=2x2^,

即2"—左之—左+1=0,所以2"+1=左之+左=k(k+1)9

因为2&+lpeN*)为奇数，而严+左=左(4+1)为偶数，所以上式无解，

即当比23时，看尸2%入不合题意,舍去；

综上所述，满足题意的正整数仅有m=2.

2.(23-24高三下•黑龙江哈尔滨•开学考试)记数列｛七｝的前"项和S“，对任意正整数〃，

有2sLi=nan,且%=3.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵对所有正整数”?，若4<4'"<ak+l,则在4和a1两项中插入4",由此得到一个新数列也｝,

求｛2｝的前91项和.

【答案】(1)%=3(〃-1)

(2)11563

【分析】(1)由4=5“-51(〃22)得出数列｛%｝的递推关系，然后由连乘法求得通项％;

4

(2)考虑至此晨佝心甲，ag7=258>4,从而确定也,｝的前91项中有87项来自｛风｝,其

他4项由4"组成，由此分组求和.

【详解】⑴由2s“="。"，贝I]2s“+i=(〃+l)a“+i，两式相减得：2an+1^(n+l)an+1-nan,

,an

即心时，才n+]=百

整理得：(n-l)a„+1=mn

%n-\n-22々”

所以〃22时，a„=—■—-•a9=---------------...—3=3(〃

an-ian-2a2n—2n-31

又〃=1时，2q=q,得％=0,也满足上式.

故为=3(〃T).

(2)由〃%=270,所以44＜的＜45,

又〃87=258＞4=所以也｝前91项中有87项来自｛凡｝.

所以故4+62+…+”40=(%+〃2+i+%7)+(41+4?+4,+4,

87(%+%)।4(4』)

=11223+340=11563-

24-1

3.(23-24高三上•天津•期末)已知公差为d的等差数列｛q｝和公比4＞。的等比数列也,｝中,

%—Z?1—1,a?+83=8,+b?=9.

(1)求数列｛%｝和也｝的通项公式；

⑵求+1-Z；

Z=1

⑶若在数列｛见｝任意相邻两项4,a角之间插入一个实数c“，从而构成一个新的数列｛4｝,若

实数c“满足%%+C=1,求数列｛〃,｝的前2n项和S2n.

【答案】⑴。“=3〃-2也=2^

(2)2"+2-3〃一4

【分析】(1)利用条件计算等差数列、等比数列的基本量即可；

(2)利用错位相减法计算求和即可；

(3)利用裂项相消法及分组法计算求和即可.

【详解】(1)由已知4=4=1,得卜2+,=1+,曹=8解得[=3,4=2,

[a3+b2=l+2d+q=9

=1+3(〃—1)=3〃-2,勿=2"T；

n

⑵记匕=Z*=叫+她T+…+岫，

Z=1

所以£=1・2"T+4-T-2+...+（3n-2）x2°,

=l-2^2+4-2"-3+...+（377-2）x2^,

‘1-2*（3H-2）

作差得：g勺=2"T+3x（2"-2+2"-...+2°）-2）=2a+3

I1-22

22

=2"+2-3n-4；

（3）由（1）得。〃=3〃-2M“+i