2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路：利用导函数研究函数零点问题（学生版+解析）

专题07利用导函数研究函数零点问题

(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题................2

题型二：证明唯一零点问题..............................3

题型三：根据零点(根)的个数求参数....................5

三、专项训练.............................................7

一、必备秘籍

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=/(x),把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的

零点.

(2)三个等价关系

方程/(%)=0有实数根-函数y=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标。函数y=/(x)

有零点.

2、函数零点的判定

如果函数y=/(x)在区间也切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

/(«)-f(b)<0,那么函数y=/(x)在区间(a,6)内有零点，即存在ce(a,b),使得

/(c)=0,这个c也就是/(x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.

注意：单调性+存在零点=唯一零点

3、利用导数确定函数零点的常用方法

(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想

分析问题(画草图时注意有时候需使用极限).

(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函

数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

4、利用函数的零点求参数范围的方法

⑴分离参数（a=g（x））后，将原问题转化为y=g（x）的值域（最值）问题或转化为直线

V=a与y=g（x）的图象的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解；

（2）利用函数零点存在定理构建不等式求解；

（3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

二、典型题型

题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题

1.（2024•广东梅州•二模）已知函数〃x）=ex,g（x）=x2+l,/z（x）=asinx+i（a＞0）.

⑴证明:当xe（0,4w）时,f（x）＞g（x）；

（2）讨论函数/（x）=〃x）-/i（x）在（0,兀）上的零点个数.

2.（2024・陕西安康•模拟预测）已知函数/（彳）=恁*山彳+%-＜：05万,/（彳）为/（尤）的导函数,

r（o）=2.

（1）求”的值；

（2）求/''（X）在（0,兀）上的零点个数.

3.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)已知函数〃%)=依一1+1,(aeR).

(1)讨论的单调性；

(2)讨论的零点个数.

1Y

4.(23-24高二下•山东淄博•阶段练习)已知函数〃村=奴+=，g(x)=—.

ee

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若4=1,试判断函数y=/(x)与y=g(x)的图象的交点个数，并说明理由.

5.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)给定函数.〃x)=(尤+3甘

(1)求/(尤)的极值；

(2)讨论〃x)=eR)解的个数.

题型二：证明唯一零点问题

1.(2024■浙江杭州•二模)已知函数/(x)=aln(x+2)-g尤2(aeR).

⑴讨论函数〃元)的单调性；

(2)若函数/⑺有两个极值点，

(i)求实数。的取值范围；

(ii)证明：函数“X)有且只有一个零点.

2.(23-24高二下•江苏常州阶段练习)已知函数〃x)=M+sinr+l在区间(0,鼻内恰有一

个极值点，其中。©R,e为自然对数的底数.

⑴求实数。的取值范围；

(2)证明：/(x)在区间内有唯一零点.

3.(2024高三上•全国•专题练习)已知a>0,函数〃尤)=xe*—a,g(x)=xlnx—a.证明:

函数/(%)，g(x)都恰有一个零点.

4.(23-24高三上•黑龙江•阶段练习)已知函数〃x)=x+lnx,g(x)=e'lnx+a,且函数

的零点是函数g(元)的零点.

(1)求实数。的值；

(2)证明：y=g(x)有唯一零点.

题型三：根据零点(根)的个数求参数

1.(23-24高二下•广东广州•期中)已知函数〃%)=祀2工+5-2)e「x.

(1)。=0时，证明：尤>0时，/(%)<0；

⑵讨论的单调性；

⑶若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

2.(2024,宁夏固原•一模)已知函数〃x)=ar(lnx+l)+l(<7>0).

(1)求/(元)的最小值；

(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

3.（23-24高二下•广东佛山•期中）已知函数〃x）=lnx-or（aeR）.

⑴当y=/（x）的图象与x轴相切时，求实数。的值；

⑵若关于X的方程/（X）=%有两个不同的实数根，求a的取值范围.

1v-

4.（23-24高二下•浙江,期中）已知函数〃引=5/-彳+。111;，awR,e为自然对数的

底数.

（1）讨论函数〃尤）的单调性；

（2）判断函数“可能否有3个零点？若能，试求出。的取值范围；若不能，请说明理由.

5.（23-24高二下•天津•阶段练习）若函数〃尤）=尔一加+4,当丈=2时，函数有极

值T

（1）求曲线y=在点（L/⑴）处的切线方程；

⑵若方程/'(%)=4有3个不同的根，求实数k的取值范围.

6.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/(x)=(x-l)e-G；2,aeR.

⑴当。告时，求〃尤)的单调区间；

⑵若方程f(x)+a=O有三个不同的实根，求。的取值范围.

三、专项训练

1.(2024,全国•模拟预测)设函数/(x)=-x2+ar+lnx(aeR).

(1)若a=l,求函数/(X)的单调区间；

(2)设函数/(x)在1,e上有两个零点，求实数。的取值范围.(其中e是自然对数的底数)

2.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=(x-l)2e=ax,且曲线＞=/(x)在点(0J(x))处

的切线方程为y=-2x+b.

⑴求实数。，6的值；

(2)证明：函数/(戈)有两个零点.

6.（2024,全国•模拟预测）已知函数/（x）=xlnx+or（aeR）.

（1）求函数的单调区间；

⑵当。=-1时，方程〃力=根有两个解，求参数机的取值范围.

7.（23-24高二下淅江,期中）设/（X）=|X3-X2-8X-1.

（1）求函数/（X）的单调递减区间；

⑵若方程f（X）=。（。WR）有3个不同的实根，求a的取值范围.

8.（2024・全国•模拟预测）已知函数〃x）=e，-d+a,xeR,<p^x）=f^x）+X^-x.

⑴若e（无）的最小值为o,求。的值；

⑵当a<0.25时，证明：方程/（x）=2x在（0,+8）上有解.

9.(23-24高二下•河北张家口•阶段练习)已知函数/'(x)=g办3一4x+4(aeR)在尤=—2处

取得极值.

⑴确定。的值并求〃X)的单调区间；

(2)若关于x的方程“力=6至多有两个根，求实数b的取值范围.

10.(23-24高二下•山东•阶段练习)已知函数f(x)=(2xT)e,.

x-1

⑴求函数/(X)的单调区间与极值；

(2)关于1的方程(2x-l)e"=a(x-l)有两个不同的实数解，求实数a的取值范围.

专题07利用导函数研究函数零点问题

(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍..............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题................2

题型二：证明唯一零点问题..............................3

题型三：根据零点(根)的个数求参数....................5

三、专项训练.............................................7

一、必备秘籍

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=/(%),把使/(x)=0的实数》叫做函数y=/(x)的

零点.

(2)三个等价关系

方程/(%)=0有实数根。函数y=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标=函数y=/(%)

有零点.

2、函数零点的判定

如果函数y=/(x)在区间也切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

/(«)-f(b)<0,那么函数y=/(x)在区间(a,6)内有零点，即存在ce(a,b),使得

/(c)=0,这个c也就是/(x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.

注意：单调性+存在零点=唯一零点

3、利用导数确定函数零点的常用方法

(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想

分析问题(画草图时注意有时候需使用极限).

(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函

数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

4、利用函数的零点求参数范围的方法

⑴分离参数(a=g(x))后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线

V=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

二、典型题型

题型一：判断(讨论)零点(根)个数问题

1.(2024•广东梅州•二模)已知函数〃x)=ex,g(x)=x2+l,/z(x)=asinx+l(a>0).

⑴证明:当xe(0,4w)时,f(x)>g(x)；

(2)讨论函数/(x)=〃x)-/i(x)在(0,兀)上的零点个数.

【答案】①证明见解析

(2)当aVl时，尸(x)在(0,兀)上没有零点：当时，尸(x)在(0,兀)上有且仅有1个零点.

【分析】(1)结合已知不等式构造函数G(x)=/Cx)-g(;v)=e，-尤2-1,对其求导，结合导数与

单调性关系即可证明；

(2)对尸(x)求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对。的范围进行分类讨论即

可求解.

【详解】(1)证明，4-G(x)=7(%)-g(x)=ex-X2-1,

贝l」G'(x)=e，-2x,

记P(x)=er-2x,则p'(x)=e'-2,

当xe(0,ln2)时，p'(x)<0,当xe(ln2,+co)时，p\x)>0,

所以p(x)在无e(0,ln2)上单调递减：在xe(ln2,+co)上单调递增，

从而在(0,+s)上，G'(x)=p{x}>p(ln2)=2-21n2>0,

所以G(x)在(0,内)上单调递增，

因此在(0,+8)上，G(x)>G(0)=0,即/(无)〉g。)；

(2)F(x)=f(x)-h(x)=ex-tzsin-1,F\x)=ex-acosx,

0<a<l,在(°,兀)上，Fr(x)=ex-acosx>l-a>0,

所以，尸(%)在(。,兀)上递增，F(x)>F(0)=0,即函数尸(%)在。兀)上无零点；

a>1,i己式不)=F(无)=e"-acos无，

则q'(x)=e"+。sinx20,q(x)在(0,兀)上递增,

而虱0)=1-/<0,^(-)=e2>0,

jr

故存在%e(0,5),使虱%)=0,

.,.当0<x<不时，F(x)递减，无0<无<兀时，尸(无)递增，FCx)^=F(x0),

而尸(X。)<g(0)=：O,尸(7t)=e--l>0,

尸(x)在。％)上无零点，在(％,兀)上有唯一零点，

综上，当时，F(x)在(0,兀)上没有零点：

当“>1时，/(x)在(。,兀)上有且仅有1个零点.

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：

1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4.构造"形似"函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

2.(2024・陕西安康•模拟预测)已知函数/(x)=ae'sinx+x-cosx,/'(无)为Ax)的导函数,

r(o)=2.

(1)求。的值；

(2)求/''(x)在(0,兀)上的零点个数.

【答案】(1)1

(2)1

【分析】(1)求导，利用"0)=2可解；

(2)设g(x)=r。)，利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理可确定零点个数.

【详解】(1)由/(x)=ae'sinx+x-cosx,

贝K(x)=ae*sinx+ae*cos尤+1+sinx=ae*(sinx+cosx)+l+sinx,

又八0)=2,所以。+1=2,即a=l；

(2)由(1)可知/''(x)=e*(sinx+cosx)+l+sinx,

设g(尤)=f\x)=ev(sinx+cos尤)+1+sinx,

贝Ug'(x)=e*(sinx+cosx)+e，(cosx-sinx)+cosx=cosx(2e*+l),

则当1时，g'(x)>0,则g(x)单调递增，

当无时，g'(x)<。，则g(x)单调递减，

所以当Xe(0㈤时，g(X)max=g§)=”+2>0,

又g(。)=(0)=2>0,g(7i)=1-e"v0,

所以g(x)在上无零点，在(方,j上有一个零点；

从而/'(x)在(0,兀)上有1个零点.

【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：

(1)分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；

(2)高阶导数的应用：讨论端点(特殊点)与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清

楚判断所讨论区间的单调性是关键；

(3)关注三角函数的有界性与常用不等式放缩.

3.(23-24高二下•山东苗泽•阶段练习)已知函数〃力=依—/乜，(aeR).

(1)讨论的单调性；

(2)讨论“X)的零点个数.

【答案】⑴答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】(1)含参数的单调性讨论问题，先求导，再分aWO和。>0导函数的正负来求原

函数的单调性即可；

(2)零点问题即方程根个数问题，首先讨论特殊情况即当x=0时根的情况；再讨论当xwO

时，构造函数g(x),求导后分无<0、0<%<1,x>l时讨论g(x)的单调性和极值情况，然

后函数y=。与函数g(x)图像交点的情况即可得到结果.

【详解】(1)•."(%)=改—尸，=尸

分当a40时，/'(x)<0恒成立，在R上单调递减.

当a>0时，令得尤<lna—1；令/'(x)<0,得x>lna—1

二/'(x)在(ro,lna-1)上单调递增，在(in<7-1,+co)上单调递减.

综上所述：当aWO时，”力在R上单调递减；

当0>0时，/在(―,Ina-1)上单调递增，在(Ina—1,4w)上单调递减.

(2)令ax—e'"=0，

当x=0时，方程不成立，二0不是的零点,

ex+1pX+lx+l

当xwO时,令g(x)=J,则g，(x)=e

XXX

当x<0时,g<x)<0,g(x)在(一8,0)上单调递减，且g(x)<0.

当0<x<l时，gr(x)<0,g(元)在(0,1)上单调递减，

=e2,\g(x)>e2,

当X>1时，g'(x)>o,g(x)在(1,+8)上单调递增，

，g(x)>g⑴即\g(x)>e?,

X+1

当a>e2时，直线与函数g(x)=3j有两个交点，函数〃%)=依-6向有两个零点，

X+1

当a=e?时，直线>与函数g(x)=u有一个交点，函数〃x)=Q-e*有一个零点，

X+1

当0Wa<e2时，直线广。与函数g(x)=*没有交点，函数〃x)=«x-e加没有零点，

X+1

.・・当a<0时，直线y=a与函数g(x)=Y有一个交点，函数〃力="-e句有一个零点

综上所述，当ae(e2,+s)时，函数〃力=依-/包有两个零点；

当a?(?,0)U付｝时，函数〃力=如一/1有一个零点；

当何0,，)时,函数7■(力=依-e㈤没有零点.

1Y

4.(23-24高二下•山东淄博,阶段练习)已知函数〃司="+了，g(x)=—.

(1)讨论“力的单调性；

(2)若4=1,试判断函数y=〃x)与y=g(x)的图象的交点个数，并说明理由.

【答案】⑴答案见解析

⑵无交点，理由见解析

【分析】(1)求导可得/'(x)=*^,分类讨论当“40、a>0时函数/(x)对应的单调性

即可求解；

(2)由〃x)=g(x)得职*-犬+1=0,令加(%)=忍-x+1,利用二次导数讨论函数机(x)的

性质可得，"(x)2〃z(O)=l,即可下结论.

【详解】(1)函数〃x)=ax+g的定义域为R,且:(x)=a-

当“40时/'(力<。恒成立，所以〃力在R上单调递减，

当〃>0时，令/'(%)=0,解得犬=-Ina,

所以当xv-lna时/r(x)<0,当尤>-lna时尤)>0,

所以/(力的单调递减区间为(口，-ln。)，单调递增区间为(-In。,出)，

综上可得：当aWO时/(尤)在R上单调递减；

当a>0时/(x)的单调递减区间为(r,-Ina),单调递增区间为(-Ina,«»).

(2)<7=1,贝!J/(无)=尤+=，令〃x)=g(x),即无e*—尤+1=0,

令”?(x)=xe，-x+l,则m,(x)=(x+l)eA-1,

令n(%)=w/(x)=(x+l)eA-1,则=(x+2)e*,

所以当xe(-oo,-2)时〃(x)<0,则以x)单调递减,且以x)<0,

当xe(—2,+co)时”'(x)>0,贝5|n(x)单调递增，

又〃(-2)=-e-2-1<0,；2(0)=0,故当x<0时“(X)<0,

所以当xe(-00,0)时加(x)<0,则加(x)单调递减,

当X€(0,+00)时m(X)>0,则777(X)单调递增,

所以制冷2相(0)=1,所以方程xe*-x+l=0无实根，

所以函数y=〃x)与y=g(x)的图象无交点.

5.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)给定函数.〃x)=(x+3)e，

⑴求〃尤)的极值；

⑵讨论=根(meR)解的个数.

【答案】(1)极小值为-广，无极大值.

⑵答案见解析

【分析】(1)对原函数求导数，并根据导数的符号判断函数在对应区间内的单调性，从而

求得极值；

(2)根据(1)中的单调性与极值讨论函数y=/(x)的图像与水平线y=机的图象交点个数

即可.

【详解】(1)•••/(尤)=(x+3)e'

/(x)=(x+3)'/+(x+3)(e*)'=(x+4)e”,

令「(x)=(x+4)e'>0得

令/''(x)=(x+4)e'<。得x<-4,

.函数在区间(-8,-4)上单调递减，在(-4,w)上单调递增，

.•.当JC=T时，/⑺取得极小值为/(-4)=-厂，无极大值.

(2)由(1)知函数/(X)在区间(-8,-4)上单调递减，且当x<-3时，/(x)=(x+3)e'<0；

当x=T时，/⑺取得极小值为/(-4)=-4,

e

从而得知，当尤<-3时，Ax）图象恒在x轴下方，

且当xfv时，/（x）fO,即以x轴为渐近线，

当根=-与时，方程有一个解；

e

当时，方程有一个解；当机<-4时，方程有0个解；

e

当-与〈根<0时，两图象有两个交点，方程有两根.

e

综上，当机=-■^或〃后0时，方程有一个解；

e

当-（<m<0时，方程有两个解，当相〈一《时，方程解的个数为0.

题型二：证明唯一零点问题

1.（2024■浙江杭州•二模）已知函数/（x）=aln（x+2）-1■尤2（aeR）.

（1）讨论函数〃x）的单调性；

⑵若函数有两个极值点，

（i）求实数a的取值范围；

（ii）证明：函数“X）有且只有一个零点.

【答案】⑴答案见解析；

（2）（i）-l<a<0：（ii）证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，再分aW-1、-l<a<0>aNO三种情况，分别求出函数

的单调区间；

（2）（i）由（1）直接解得；（ii）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.

【详解】⑴函数〃尤）=Hn（x+2）-32geR）的定义域为（-2,+⑹，

且（（无）=2_尤=一（》+1『+4+1,

\'x+2x+2

当aW-1时，/'（x）WO恒成立，所以/（x）在（-2,依）单调递减；

当一1<〃<0时，令/'（兀）=0,即一（九+1）2+々+1=0,解得芯=-Ja+l-l,%=五+1-1，

因为一1<。<0,所以0<〃+1<1,则一2<-血+1-1<-1，

所以当工式一2,—而I—1）时/（同<0,

当工£（-Ja+1—1,Ja+1-1）时于‘4>0,

所以/(x)在卜2,-+1-1)上单调递减,在(一Ja+1—1,J。+1—1)上单调递增,

在(Ja+l—1,+8)上单调递减；

当“20时，此时一Ja+1-14-2,

所以xe卜2,Ja+1-1)时用勾>0,当*©(血+1-1,+00)时/(「)<0,

所以〃尤)在卜2,7^1-1)上单调递增，在(5^工1-1,+»)上单调递减.

综上可得：当aW-1时〃x)在(-2,+向单调递减；

当—1<a<0时f(x)在卜2,—V6(+1—1)上单调递减，

在卜，"万-i,V^TT-i)上单调递增，在(而I-1,+可上单调递减；

当a20时/(元)在卜2,Ja+1—1)上单调递增,在(Ja+1-1,+oo)上单调递减.

(2)(i)由(1)可知一lva<0.

(ii)由(1)/在卜2,-Ja+1-1)上单调递减,

在(-A/^TT-1,而I-1)上单调递增，在(/*万-1,+可上单调递减，

所以/(%)在兀=Ja+1-1处取得极大值，在兀=-yja+1-1处取得极小值，

X-l<a<0,所以Ova+lvl,则1<Ja+1+1月2,

又f(%)极大值=f(&+1_1)="In(&+1+1)——(Ja+1—<0,

所以/(%)在卜而T-1,+8)上没有零点，

444

乂-1<。<0，则/<-4，则o<e"eT，-2<e-2<5-2，

'41/4\/______\

所以/ea-2=4——ea-2>0,所以/(%)在(-2,-«~n-1)上存在一个零点，

IJ，

综上可得函数”力有且只有一个零点.

2.(23-24高二下•江苏常州•阶段练习)已知函数〃x)=ae'+sinx+l在区间内恰有一

个极值点，其中。eR,e为自然对数的底数.

(1)求实数。的取值范围；

⑵证明：”X）在区间内有唯一零点.

【答案】（1）（—1,0）

⑵证明见解析

【分析】（1）求导得广⑺，分和。<0讨论尸（X）的单调性，并保证在（0，£内有唯一

零点七即可；

（2）利用导数确定了（X）在区间（。,gj上的单调性，根据零点存在性定理证明即可.

【详解】（1）由题意可得/''（xbaeX+cosx,当时，cosxe（0,l）,

①当时，/'（x）>0,〃x）在向上单调递增，没有极值点，不合题意；

②当a<0时，令g（x）=/'（x）,则在（0,"上g'（尤）=ae&-sinx<0,

所以尸（x）在（0可上单调递减，

因为:@=a+l"［3=a/<0,且〃尤）连续不间断，

所以7•'（0）=。+1>0,解得。>一1,

由零点存在定理，此时尸（x）在（。，3内有唯一零点看，

所以当xe（O,不）时，f^x）>0；当xe［，3时，/（%）<0,

所以“X）在内有唯一极大值点符合题意，

综上，实数。的取值范围为（-1,0）.

兀371、

（2）由（1）知一l<a<0,当无w''NJ时，>=ae"<0,y=cosx40,

所以在上r（x）="e*+cosx<0,〃x）在［号）上单调递减，

所以当xe（O,%）时，单调递增，当时，小）单调递减，

又因为〃占）>/（0）=。+1>0,所以在（0,不）内无零点，

当xe卜群时，因为〃为）>0,/图=屋<0,且心）连续不间断，

所以由零点存在定理，〃尤)在卜，苓J内有唯一零点，即〃无)在［O，EJ内有唯一零点.

3.(2024高三上•全国•专题练习)已知a>0,函数"%)=北-a,g(x)=xlnx-a.证明:

函数/(x),g(x)都恰有一个零点.

【答案】证明见解析

【分析】先求导确定函数单调性，然后利用零点存在定理来证明即可.

【详解】证明：函数/(司=贫”一a的定义域为R,r(%)=(x+l)e\

Qx<-1时,r(x)<0,X>—1时,f^x)>0,

\/(x)在上单调递减，“X)在(-1,+8)上单调递减增，

Qx<0时，/(x)<0,/(0)=-a<0,/(a)=aea-a=a[e^-1)>0,

，函数〃尤)恰有一个零点.

函数g(x)=xlnx—。的定义域为(0,+s),g'(尤)=lnx+l,

,.,0<x<1时，g'(x)<0,尤>,时，g'(x)>0,

;.g(x)在®上单调递减，g(x)在上单调递增,

时，g(x)<0,g(l)=—av0,

令6>max{a,e}(max,%”}表示根，〃中最大的数),g[b)=b\nb-a>a(lna-l)>0,

函数g(尤)恰有一个零点.

4.(23-24高三上•黑龙江•阶段练习)己知函数〃x)=x+lnx,g(x)=e*lnx+a,且函数

的零点是函数g(x)的零点.

(1)求实数a的值；

⑵证明：y=g(x)有唯一零点.

【答案】(1)1

(2)证明见详解

【分析】(1)易判断〃尤)单调递增，令〃%)=与+111%=0,即可得令g(x0)=0

即可求。；

(2)由导数判断g(x)单调递增，g(%)=0即可得证.

【详解】(1)由/(x)=x+lnx易判断〃x)在(0,+动单调递增，

且小11+=f(l)=l+lnl=l>0,

\e7eee

所以可令/(%)=~+111%=0,

得％o=—In%,所以％o+ln%o=In(/e/)=0=>/e题=1,

由题意g(%)=°，即e与In/+a=-e^x0+Q=—1+Q=O,

所以a=l；

(2)g(x)=e1nx+l,则/⑴=e(lnx+g),

令p(%)=lnx+L则=

XXXX

所以当xe(O,l)时，p(x)<0,p(x)单调递减，当xe(l,a)时，p'(x)>0,p(x)单调递增，

所以p(x)>p(l)=l>0,

所以g'(x)=e(lnx+J>0,

结合(1)可得存在唯一七eg』)，使得g(x0)=O,即函数y=g(x)有唯一零点.

【点睛】关键点点睛：解决本题(1)的关键是通过同构得出不葭=1；(2)的关键是二次

求导确定函数的单调性.

题型三：根据零点(根)的个数求参数

1.(23-24高二下•广东广州•期中)已知函数〃x)=ae2*+(a-2产-尤.

(1)。=0时，证明：x>0时，/(%)<0；

(2)讨论的单调性；

⑶若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】⑴证明见解析

⑵答案见解析

(3)(0,1)

【分析】(1)直接由指数函数与一次函数的单调性证明即可；

(2)先求导函数，分类讨论求单调性即可；

(3)结合(2)的结论先得。>0,再利用其最小值小于零结合/z(a)=lna-：+1的单调性计

算得ae(O,l),根据零点存在性定理验证即可.

【详解】(1)由a=0知/(%)=-2e]—%,易知其R上单调递减，

所以%>。时，W/(x)</(0)=-2<0,得证；

(2)易知/<%)=2皿2"+(4—2)e*-l=(aeX-l)(2e、+l),

显然“WO时，/(x)vO,此时函数在R上单调递减；

若〃〉0,贝！]犬>—Ina时，/r(x)>0,%v—Ina时，/r(x)<0,

即/(%)在(-8,-1n。)上单调递减，在(-In+8)上单调递增；

综上：aWO时，/(%)在R上单调递减；a〉0时，/(%)在Ina)上单调递减，

在(-Ina,+8)上单调递增；

(3)由上可知时，4％)在R上单调递减，不存在两个零点，

所以〃>0,即/(x)>=—+(«-1)­—+Ina=Inti--+1,

令7I(Q)=Intz——+1

要满足题意需"(。)<0,

易知〃(a)=lna-1+1在(0,+功上单调递增，且旗1)=0

所以

/E/\(e+l)tz+e2-2e(e+l)x0+e2-2e

取户-1,贝！l)=i—j---------——--------------->0,

取x=ln。，贝Ij/(ln3]=2+3_g_ln2=』+3_ln。，

a\a)aaaaa

令g(%)=%+3-In%(%>0)ng，(%)--―,

x

则x>l时，g'(x)>0,Ovxvl时，g'G)<0,

所以g(%)在(。，1)上单调递减，在(L+功上单调递增,即g(尤)*⑴=4>0,

即小n：>0,

则〃尤)在(TTna)及1-Ina,ln£|上分别有两个零点，显然符合题意，

故ae(O,l).

2.(2024•宁夏固原•一模)已知函数〃x)=ar(lnx+l)+l(a>0).

(1)求/(元)的最小值；

⑵若/(无)有两个零点，求”的取值范围.

【答案】⑴Ij后

⑵(d,+e)

【分析】(1)首先求解所给函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性即可求出最小值;

⑵结合(1)可知，只需％n<0求解计算即可得出结果.

【详解】(1)f\x)=a(\nx+V)+ax--=a(\nx+T)(a>0),

当r(x)>0时，即lnx+2>0,贝！|尤>片2,

当,(力<。时,即lnx+2<。，则0<x<eW，

即当0〈尤时，r(x)<0,函数单调递减，当了八以时，尸(x)>O,〃x)为增,

在尤=/处取最小值，3U=/(r)=1-aeS

(2)由(1)可知，=1_恁-2,

由〃龙)有两个零点，

x.0时，/(x)=ac(lnx+l)+l—>1,xf+8时，〃x)=flx(lnx+l)+lf+oo,

所以，l-ae*2<0,即ae-2>l,解得：a>e2.

。的取值范围为(e。,+8).

3.(23-24高二下•广东佛山•期中)已知函数〃x)=lnx-flx(aeR).

(1)当y=F(x)的图象与X轴相切时，求实数a的值；

(2)若关于&的方程〃*)=%有两个不同的实数根，求。的取值范围.

【答案】⑴

e

【分析】(1)由题意设切点为(毛,0),再根据导数的几何意义列出方程组，即可得解；

(2)关于x的方程/(力=》有两个不同的实数根，即方程。+1=?有两个不同的实数根,

即函数y=a+I,y=?的图象有两个不同的交点，构造函数g(x)=『,利用导数求出其

单调区间及极值，作出大致图象，结合图象即可得解.

【详解】(1)由题意设切点为(毛,0),

1

f'(xo)=——a=0CL——

则xo，解得,e,

x

/(x0)=lnx0-ax0=0o=e

所以a=L

e

(2)函数f(x)的定义域为(0,+s),

关于x的方程/(力=%有两个不同的实数根，

即方程。+1=分有两个不同的实数根，

X

InX

即函数y=〃+l,y=——的图象有两个不同的交点，

x

令g(x)=F，则g(x)=1］产,

当0<x<e时，g'(x)>0,当x>e时，g'(x)<0,

所以函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+句上单调递减，

所以g(x)a=g(e)=:,

又当尤->0时，g(x)f-8,当xf+8时，g(x)>o且g(x)f0,

作出函数g(x)的大致图象，如图所示，

所以

1y

4.(23-24高二下•浙江•期中)已知函数=-x+Hn—N，aeR,e为自然对数的

底数.

(1)讨论函数〃尤)的单调性;

⑵判断函数〃尤)能否有3个零点？若能，试求出。的取值范围；若不能，请说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)不能有3个零点，利用见解析

【分析】⑴求导得「⑴二(U),即可根据。的分类，确定r(龙)的正负，即可

求解单调性，

(2)根据函数的单调性可得必有0<。<1或结合函数的极值，即可求解.

/IX1/\

【详解】(1)由/'(x)=//—x+aln^p=-x+alnx-a(x-l),

f'(x)=x-l+—-a=――—―(x>0),

当。40时，x-a>0,令/'(x)>0,则x>l,此时f(x)单调递增,

令/。)<0,则0<x<l,此时〃尤)单调递减，

当0<“<1时，令/'(尤)>0,则x>l或0<x<a,此时/(无)单调递增,

令_f(x)<0,则a<x<l,此时单调递减，

当a>l时，令/'(x)>0,则或0<x<L此时〃x)单调递增，

令广(司<0,则l<x<a,此时〃尤)单调递减，

当°=1时，令/''(x)20恒成立，此时/'⑺在尤>0单调递增，

综上可得：当"40时，”力在(L+")单调递增，在(0,1)单调递减，

当0<“<1时，〃尤)在(1,+动，(0,。)单调递增，在1)单调递减，

当a=l时，〃力在(0,+动单调递增，

当a>l时，〃力在(a,+功,(0,1)单调递增，在(La)单调递减,

(2)若〃尤)有3个零点，则由(1)知必有。<"1或a>l,

若则“X)在x=。处取极大值，在x=l处取极小值，

/(l)=-1，/(«)=|o2-a+«(ln

a—。+1)=—Q2+QInQ

72

令g(Q)=-gq2+Q]nQ(0<Q<l),贝ijg'(a)=-a+lna+l,

令/z(a)=g<a)=-a+lna+1,贝！］=-1+—=--->0,

故g'(a)在(0,1)单调递增,g'(a)<g'(l)=0,故g⑷在(0,1)单调递减,

当a->0时,g(a)->0,故g(a)<0,

因此/(a)<0在0<.<1上恒成立，故〃尤)不可能有3个零点，

若。>1,则“尤)在x=a处取极小值，在x=l处取极大值，

>/(1)=-1<0,故〃x)不可能有3个零点，

综上可得“力不可能有3个零点，

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围;

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

5.（23-24高二下・天津•阶段练习）若函数〃0=加-法+4,当尤=2时，函数“X）有极

值T

⑴求曲线y=在点（1,〃项处的切线方程；

⑵若方程F（x）=左有3个不同的根，求实数上的取值范围.

【答案】（l）9x+3y-10=0

,、4,28

'_j.

【分析】（1）对/（X）求导后，由已知列方程组，求出“=再由导数的意义得到切线的

b=4

斜率和点（L/。））代入曲线方程，得到/'（1）,最后由点斜式得到直线方程；

（2）先求出y=/（x）的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合求出实数上的取值范围.

【详解】（1）f'（x）=3ax2-b,

/,(2)=12G-Z7=0

解得”§，

b=4

所以=-4x+4,f,(x)=x2-4,

所以尸(1)=—3,/(1)=1,

所以曲线,=〃力在点处的切线方程为y-g=-3(x-l),

即9x+3y—10=0.

(2)由(1)得(元)=(x+2)(x—2),

令广(九)=0,解得％=2或—2,

所以

X(-oo,-2)-2(々2)2(2,+<30)

广(力+0-0+

28_4

/(x)递增递减递增

T

OQA

所以，当x=-2时，“X)有极大值T；当x=2时，〃x)有极小值

所以〃x)=gx3-4x+4得图像大致如下:

若/(x)=Z有3个不同的根，则直线丫=左与函数"X)的图像有3个交点，

所以_《<人

33

6.(23-24高三下•山东苗泽•阶段练习)已知函数/(x)=(x—l)e-ax2,aeR.

⑴当时，求〃尤)的单调区间；

⑵若方程/(尤)+。=0有三个不同的实根，求。的取值范围.

【答案】⑴单调递增区间为(-8,0)和(1,+8),单调递减区间为(0,1)

⑵闻呜什”

【分析】(1)求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式即可求出单调区间；

(2)由/(x)+a=(x-l)[e*-a(x+l)],可得x=l为/(x)+"=0的一个根，

所以e-a(x+l)=0有两个不同于1的实根，令g(x)=e-a(x+l),利用导数说明函数的单

调性，从而得至U当a>0时g(lna)<0且g(l)w0,即可求出参数的取值范围.

【详解】(1)当。=9时，函数〃尤)=(无-1)1-5尤2,

则/'(x)=xe*-ex=x(e"-e),令/(%)=0得x=0或x=l

当xe(y,0)或xw(l,y)时，>0,当xe(Ql)时，/(%)<0,

所以/'(x)在(-*0)上单调递增，在(1,+®)上单调递增，在(。,1)上单调递减，

即当a=]时，〃尤)单调递增区间为(-8,0)和(1,+s),单调递减区间为(。,1).

(2)-.•/(x)+a=(x-l)[er-a(x+l)],所以x=l为〃x)+a=0的一个根，

故e，-a(x+l)=0有两个不同于1的实根，

令g(x)=e"-a(x+l),贝i]g'(x)=eX—a,

①当a40时，g'(x)>0,故g(x)在R上单调递增，不符合题意；

②当a>0时，令g'(x)=0,得x=lna,

当x>lna时，g'(x)>0,故g(x)在区间(lna,+oo)上单调递增，

当x<lna时,g'(尤)<0,故g(x)在区间(-8,Ina)上单调递减，

并且当X->-8时，g(x)f+oo；当X-+8时，g(x)f+8；

所以若要满足题意，只需g(lna)<。且g⑴/0,

因为ganQuei110—a(lna+l)=-alna<0,所以a>l,

又g6=e-2a工0,所以力

所以实数0的取值范围为

三、专项训练

1.(2024・全国•模拟预测)设函数/(x)=f；2+办+1nx(aeR).

(1)若a=l,求函数〃尤)的单调区间；

⑵设函数在Je上有两个零点，求实数。的取值范围.(其中e是自然对数的底数)

【答案】(1)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(L+8)

(2)1,e-1

【分析】(1)根据题意，求导可得尸(力，即可得到结果；

(2)根据题意