2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（解析版）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷

全解全析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.直线x=sin2024兀的倾斜角为()

71兀n

A.2024兀B.-C.-D.

237

【答案】B

【分析】根据直线方程直接确定倾斜角.

7T

【详解】由直线x=sin2024兀与x轴垂直，即其倾斜角为

故选：B.

2.以点C(-1,-5)为圆心，并与x轴相切的圆的方程是()

A.(x+l)2+(y+5)2=9B.(x+l)2+(y+5)2=16

C.(X-1)2+(J-5)2=9D.(x+l)2+(y+5)2=25

【答案】D

【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.

【详解】解：由题意，圆心坐标为点。(-1,-5),半径为5,

则圆的方程为(x+1)2+(y+5)2=25.

故选：D.

3.在等差数列｛%｝中，已知％=-9,%+%=-9,a2„_j=9,贝!!"=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.

3

【详解】由/+。5=-9,%=-9可得为=-9,公差d=],

故出"一1=%+(2"-2)d=9,解得”=7,

故选：A

4.已知曲线C的方程为/+/+忖/=2022,则曲线C关于()对称

A.x轴B.V轴C.原点D.直线kx

【答案】B

【分析】利用坐标互换一一判定选项即可.

【详解】曲线C的方程为一+必+归廿=2022,

将x换为-x,y不变，原方程仍为一+/+归”=2022,所以曲线C关于，轴对称;

将V换为-%x不变，原方程变为％2+/一区了=2022,所以曲线C不关于x轴对称;

将x换为rj换为一九原方程变为,+y2THy=2022,所以曲线C不关于原点对称;

将无换为gV换为x,原方程变为x2+y2+仪|x=2022,

所以曲线C不关于直线V=x对称.

故选:B.

5.已知点A是抛物线C：V=2px(p>0)上一点，若A到抛物线焦点的距离为5,且A到x轴的距离为4,

则。=()

A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8

【答案】C

【分析】由题意得到|”|=4,XA+^5,结合$=2p与得到方程，求出。的值.

【详解】由题意得|以|=4,XA+^=5,

其中立=2px/故20fl6,解得"2或8,

故选：C

6.已知等差数列应｝和等比数列也J的前〃项和分别为S.和7；,且片2〃+1,则去=()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】分别设出为其和北的二次形式，由此求得。3,&,即可化简后得到结果.

【详解】由等差数列也„｝和等比数列亚„｝的前〃项和分别为S“和7；,

所以可设S"=协（2"+1）,Tn=kn,k丰0,

S3^^221左一10左

所以可得=11,故C正确.

5k—4k

故选：C.

7.设QM:x2+y2-2x-6y=0.若动直线4：工+叼-2-机=0与。M交于点C,动直线

/2：蛆7-27〃+1=0与。M交于点及D,则|力。|+忸。的最大值是（）

A.3073B.2回C.206D.3回

【答案】B

【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线

的距离为力根据几何关系表示出|/C|+忸。，利用基本不等式即可求出其最大值.

［详解］x2+y2-2x-6y=0（x-1）2+（j；-3）2=10,

圆心M（1,3）,半径

x+%y-2-7"=0nx-2+"z（y-l）=0n/1过定点E（2,1）,

mx-y-Im+1=0=>m（x-2）-y+l=0=>4过定点E（2,1）,且（_1_4,

如图，设/C和BD中点分别为尸、G,则四边形跖MG为矩形,

^\MF\=d,Q<d<\ME\=y[5,则|MG|=1版『_欧『=/版『一即『=,

则|NC|+忸M=2,10-屋+2/0-（5-/）=2仲0-屋+,5+屋）

（一屋+）,当且仅当-屋=/即平时取等号.

<2J2105+/=2A/30105+d=

故选：B.

8.已知实数x,y满足x|x|+?=l,贝ij|Kx+y-4]的取值范围是（）

A.[4一跖2）B.[4一跖4）C.2一号,2D.2一中,4

2J2,

【答案】B

【解析】将实数X,y满足x|x|+?=i通过讨论x,y得到其图像是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，

借助图像分析可得Iex+y-4]的取值就是图像上一点到直线行x+y-4=0距离范围的2倍，求出切线方程

根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.

【详解】解：因为实数X,V满足x|x|+T=l,

2

所以当时，匕+，=1其图像位于焦点在y轴上的椭圆第一象限,

3

2

当x>O/vO时，――2L=1其图像位于焦点在X轴上的双曲线第四象限，

3

2

当xv04>0时，匕-工2=1其图像位于焦点在y轴上的双曲线第二象限，

3

2

当xvOjv。时，一^—，=1其图像不存在，

3

作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中x|x|+?=l图像如下：

所以+'一4卜22

结合图像可得|瓜+歹-4|的范围就是图像上一点到直线瓜+y—4=0距离范围的2倍,

22_

双曲线一一事=1,其中一条渐近线底+k0与直线后+”4=0平行

通过图形可得当曲线上一点位于P时，2d取得最小值

当曲线上一点靠近双曲线的渐近线&+7=0时21取得最大值，不能取等号

设氐+7+°=0(°<0)与:+/=1其图像在第一象限相切于点？

-J3x+y+c=0

由<y=>6x2+2y[3cx+c2—3=0

--+x2=l

[3

因为A=（2A/§C）x-4x6x卜?—3）=0nc=-或c=6（舍去）

所以直线瓜+y-&=0与直线A+y-4=0的距离为巴对

2

此时2x+y_4|=2<7=4_痛

卜4-一2

直线瓜+y=0与直线石x+y-4=0的距离为

2

此时2x+>-4|=21=4

所以椁x+y-4］的取值范围是［4-跖4)

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数列｛勾｝的首项为4,且满足2(〃+1)%=〃％("€N*),则()

A.《J为等差数列

B.｛。“｝为递增数列

C.｛%｝的前〃项和5“=(〃-1)2-2+4

D.］券｝的前力项和7；==^

【答案】BCD

【分析】由2(“+1)为=〃°用得匕=2*”,所以可知数列是以首项为4,公比为2的等比数列，从而

可求出%=〃♦2"。可得数列｛%｝为递增数列,利用错位相减法可求得｛%｝的前〃项和，由于3=嗡二=”,

从而利用等差数列的求和公式可求出数列［券｝的前〃项和1.

【详解】由2("+1)%="〃用，得&_=2x&,

n+1n

所以是以;=%=4为首项，2为公比的等比数列，故A错误；

因为工=4x2"T=2"*i,

所以％=小2向，显然递增，故B正确;

因为I=1X2?+2X23+…+”2+1,

34B+2

2S=1X2+2X2+---+7J-2

仁22(1—2〃)

所以—=lx22+23+-+2-i—〃・2〃+2=_3----)n廿,

〃1-2

故S〃=5—1)X2"2+4,故C正确；

所以｛券｝的前〃项和7；=型尹故D正确.

故选：BCD.

10.以下四个命题表述正确的是（）

A.直线（3+%）x+4〉-3+3承=0（meR）恒过定点（-3,-3）

B.圆f+/=4上有且仅有3个点到直线/：x-y+近=0的距离都等于1

C.圆G：/+/+2》=0与圆：x2+/-4x-8y+机=0恰有三条公切线，则a=4

D.已知圆C：9+/=4,点尸为直线x+y-4=0上一动点，过点尸向圆C引两条切线尸4、PB,A、

8为切点，则直线45经过定点（1,1）

【答案】BCD

【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较

即可判断选项B；由题意知两圆外切，由圆心距等于半径即可求加得值，即可判断选项C；设出点尸坐标,

求出以线段尸C为直径的圆的方程，与己知圆的方程相减即可得直线42的方程，即可判断选项D,进而可

得正确选项.

【详解】直线（3+〃?）x+4y-3+3加=0（〃zeR）,

x+3=0Ix=—3

所以加（工+3）+3》+4〉-3=0（加©1^）,所以,解得，=

3x+4j-3=0

所以直线（3+7〃）工+4了-3+3%=0（7〃€1<）恒过定点（-3,3）,故A错误；

圆/+/=4,圆心为（0,0）到直线x-y+及=0的距离为也_212^1=1<2,

V1+1

所以直线与圆相交，平行于直线/且距离为1的直线分别过圆心以及和圆相切,

所以圆上有且仅有3个点到直线的距离为1,故B正确；

由G：/+2x=0可得（x+iy+/=],圆心4=1,

由。2：龙？+/一4x-8y+机=0可得（x-2）~+（y-4『=2Q-m>Q,

圆心。2（2,4）,r2=V20-m,由题意可得两圆相外切，所以|CG|=K+2,

即J42+32=J20-〃Z+1，解得："?=4,故C正确；

设尸（私”），所以加+〃=4,

因为P/、PB,分别为过点尸所作的圆的两条切线，所以C4_LPN,CB1PB,

所以点A,8在以OP为直径的圆上，以OP为直径的圆的方程为

整理可得：x2+y2-mx-ny=0,与已知圆C:%2+/=4,相减可得加x+".y=4.

7肖去加可得：｛A-n^x+ny=4,即〃（y-x）+4x-4=0,

fy-x=0fx=l/、

由；“八解得「所以直线48经过定点1』，故D正确•

[^4%-4=0口=1

故选：BCD.

11.已知直线/：后-歹-6=0过抛物线C:/=2px（p>0）的焦点尸，且与抛物线C交于/,B两点,过Z,

8两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M,N,则下列结论错误的是（）

4

A.抛物线的方程为必=4xB.线段师的长度为§

8

C.2MFN=90°D.线段的中点到y轴的距离为三

【答案】BD

【分析】对于A,将抛物线焦点厂4弋入直线/的方程求出?即可得解；对于B,联立抛物线方程和直

线/的方程可求出两交点横坐标，再由焦半径公式即可计算求解；对于C,利用抛物线的定义求得/MHV,

从而判断；对于D,由抛物线定义和焦半径公式求出网上的一£即为解.

22

【详解】对于A,由题可知尸、,oj在直线/：6x-y-G=0上，

所以瓜勺6=0n〃=2,故抛物线的方程为/=4x,故A正确；

对于B,联立[力"j"0=3》2_10》+3=0=再=；,%=3,

1p14P

所以川=§+5=5+1=1或尸|=3+,=3+1=4,故B错误；

对于C,因为忸时=忸尸|,|/叫=|/司，所以/BNF=NBFN/AFM=ZAMF,

因为8N//x轴，NM//x轴，

所以NO7W=ZBNF=ZBFN,ZOFM=ZAMF=ZAFM,

所以ZMFN=ZOFN+ZOFM=；ZOFB+1ZOFA=90°,故C正确；

对于D,因为忸M+|/河|=\BF\+]/尸I=X]+Xz+p=§+3+2=—,

所以线段AB的中点到?轴的距离为一£=§_1=3,故D错误.

2233

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S“为数列｛。“｝的前〃项和，7”为数列｛%｝的前"项积，若2am+%=0,且工=-44,则氏=_,当

I取得最小值时，"=—.

【答案】（一1）"]£|6

【分析】先利用题给条件确定｛册｝为公比为-g的等比数列，进而求得其通项公式；先求得（的表达式，进

而求得[取得最小值时的n值.

【详解】由题意知％片0,因为2%”+%=。，所以&旦=-]

故为公比为一;的等比数列，

n-1

则北=（一小目＞（_入出_x…、（_1）"又出一=（-产X国十，

当】取得最小值时，则山⑴为奇数，且正口取得最小值，

22

所以〃=6或〃=7（舍）.

故答案为：；6

13.在平面直角坐标系xQy中，已知直线＞=工+加（加＞0）与x轴，y轴分别交于M,N两点，点P在圆

门-%）2+/=1上运动，若/MW恒为锐角，则正实数加的取值范围是.

【答案】（-原-+-,6+°0］

【分析】设以九w为直径的圆的圆心为/,求出圆心坐标与半径得到圆的方程，由题意可转化为两圆外离,

据此列出不等式即可求解.

【详解】设以为直径的圆的圆心为/,

由题意可知M（T%O）,N（O,加）,

所以九W的中点半径为及=［

-m,

又圆（x-加『+/=1得圆心为（加,0）,半径7•=1,

由恒为锐角可知两圆外离，如图，

所以］+口+（0一口＞1+［切，即NTo.V2

——m>1H-----m，

22

解得小＞丽+也.

4

,,,（A/1-0+V2

故/答17案为：［4,+°°

14.已知椭圆C的左、右焦点分别为片，F2,上顶点为8,直线3月与C相交于另一点A.当cosN片N3最小

时，C的离心率为.

【答案】^/|V3

【分析】设|/g|=x,利用余弦定理求出cosN4/B最小时回的值，确定在鸟中,

M娟=£,|/与|=|,再利用余弦定理求出兄。的关系，解得答案.

22

【详解】设椭圆方程为「+斗=1(“>6>0),其焦距为2c,

ab

由题意可知|班|=|町|=〃；

设|/6|二%,贝"4团=2Q_1,\AB\=a+x

的-B―-所-凶=(2"才+"j

®12\AF\\AB\~2(20-x)(x+a)

x2—ax+2/

-x+ax+2a2

当Y时小高一/取最小值-%,此时Ms取最小吟

则此时在△必月中，।皿1=蓝,1/局=1，

7

则cos/£Ng“二—

9

即121，---------=Z,整理得〃2=302,

3aa9

故椭圆离心率e=£=且

a3

故答案为：如

3

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用余弦定理确定最小时|/巴|的值，进而再利用余弦定

理求出的关系，解得答案.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知点圆C：x2+y2-6x-2j+1=0.

（1）求圆C过点P的最短弦所在的直线方程；

⑵若圆C与直线x-y+a=O相交于A,2两点，。为原点，且。求。的值.

【答案】⑴4x-2y-5=0

(2)a=-l

【分析】（1）过点P的最短弦就是圆心与P连线垂直的直线，借助垂直得到斜率，再用点斜式即可;

（2）直线与圆的方程联立，借助韦达定理得到芯+%=-。+4,项尤2”if.再由04，OB转化为向量数

2

量积，综合韦达定理构造方程计算即可.

【详解】（1）过点P的最短弦就是圆心与尸连线垂直的直线,

k=____2

圆12+y2—6x—2y+l=0的圆心贝ljkpc]_3，

2

所以过点P的最短弦所在的直线方程为；=2（x-2）,即4x-2y-5=0..........................6分

x-y+a=0,

(2)《22消去y得(X-3)2+(X+"1『=9,

X-3)+(J-1)y，

化简后为2x?+（2a-8）x+（a-1）=0.

因为圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,

所以△=（2加8）：!_8（"1）2>0,

即/+4°—14＜0,解得_2-3正＜。＜一2+3亚.

2

a

设4(%i,yi)，则项+工2=一。+4,x1x2=

2

因为04_LO5,所以厉.砺=0，即为%2+%为=0.

必=M+Q,/匕i"+44+/=止效±1

由%=%+”,得%为=(占+〃)(12+4)-〃(%+工2)+〃2

22

从而修+丁=("以=°'解得〃一..............13分

16.(15分)

已知数列｛%｝,｛2｝,%=(-1)"+2",b“=%Ta.U>0),且也｝为等比数列.

⑴求2的值；

(2)记数列也•"2｝的前〃项和为「.若4•Ti+2=157；/yN*),求i的值.

【答案】(1)2

⑵2

【分析】(1)计算出4=1,%=5,%=7,%=17.,进而得到如8,4,根据等比数列得到方程，求出

2=2,验证后得到答案；

(2)求出或=-3x(-1)"•/,分〃为偶数和〃为奇数时，得到J；,H，又小心=15&,故

Ti+l>0,所以，•为偶数，从而得到方程，求出i=2.

【详解】(1)因为%=(-1)"+2",则%=1,2=5,%=7,&=17.

aa

又a=n+\_^n，贝U4=5—4,b2=a3—Aa2=7—54,b3=a4—Aa3=17—72.

因为｛6n｝为等比数列，则呢=*&，所以(7-5"=(5-2)(17-7㈤，

整理得分_彳_2=0,解得；1=一1或2.

因为彳>0，故4=2.

当X=2时，bn=an+x-2aL(一厂用+2用一21(一1)"+2"]

=(-l)x(-1)"+2"+i-2x(-1)"-2加=-3x(-1)".

b-3xf-iy+1

则资「二=T，故｛0｝为等比数列，所以2=2符合题意............7分

2n2

(2)bn-H=-3x(-l)-n

22222222

当〃为偶数时，Tn=-3X[-1+2-3+4-5+6——(n-l)+«]

=-3x(1+2H---F〃)=——n(n+1)；

33

2

当〃为奇数时Tn=Tn+i-bn+l5+1)2=_,5+1)5+2)4-3(〃+1)=,〃(〃+1).

3

—n(n+1),〃=2左一1,左£N*

综上，T=<

n3

——n(n+l),n=2k,kGN*

、2

因为4乜+2>0,又％=2=15=1，

故7；+］>0,所以，•为偶数.

31「313

所以—5班』1)•—,a+2)a+3)=15x-(z+l)(z+2),

整理得『+37—10=0,解得，=2或，二一5(舍)，所以"2.............15分

17.(15分)

22_

已知双曲线E:5-4=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为耳％E的一条渐近线方程为y=瓜，过片且与X

ab

轴垂直的直线与E交于P,。两点，且AP。8的周长为16.

(1)求E的方程；

(2)43为双曲线E右支上两个不同的点，线段N2的中垂线过点C(0,4),求N/C3的取值范围.

2

【答案】⑴E:/-匕=1；

⑵［。号］

【分析】(1)将x=-c代入曲线£得了=±，，故得］尸凰=|。周=),从而结合双曲线定义以及题意得

b

，解出。，6即可得解.

4b1,

----F44。=16

.a

(2)设力3：、=丘+机，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得44cM的正切值，进而得N4CW

范围，从而由=即可得解.

【详解】(I)将x=-c代入£:3-弓=1(4>0/>0),得了=±且，

aba

所以|尸周=|04=：,所以|尸工|=|0g|=：+2a,

jr

所以由题得n，，=<Q—1h

4b2.,b=j3

——+4（7=16i

、a

2

所以双曲线E的方程为£:/-匕=1..............5分

3

（2）由题意可知直线Ag斜率存在且左片±G，

AB

^AB:y=kx+m,4(xlty1),B(X2f力)，设的中点为M.

y=kx+m

由消去夕并整理得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=03-公wo,

3x2-/=3

22222

贝I]A=(2hn)+4(3-k)(m+3)=12(3+加一产)>o,gpm>k-3,

2km3+m27/、c72km_6m

x+x=xx=-^—~r，%+%=以玉+%2)+2加=—3不+2加/.............6分

x23—Yx2

3m

于是M点为（袅3"，、,JL"3_k「3加_]2+4左2

J—K.3-M'ML_km

x-k2

由中垂线知上MC•的B=T，所以二」,解得：m=3-E...............9分

kmk

所以由45在双曲线的右支上可得:

3+m23+m2„72c

x,x=------=------m=3o—kz2<A0n左>3,

127>。=

3—左2m

2km

且不+%==2k>0=>左>0,

3—左2

且八=4（3加2-3左2+9）>0=（3-左2）2+（3-左2）=（3-左2）（4一町>00/<3或后2>4,

综上/>4即左>2,12分

myj\+k2

又QM

3-k2

\AM\£而2

+x2)-4x^2♦J1+左2

所以tan44cM=局=^----

my/1+k2

3-k2

L2,3〃--3/+9中

23-4_3加23/+9

机J1+左2m2

3-8

3

因为斤2>4,所以闭=3-后2<一1,故_3<「7T<0,所以

3-K

所以

所以44c8=244CMw10,g

15分

18.（17分）

已知抛物线/=2抄5>0）的焦点为尸，过圆/+（尸1）2=1的圆心的直线交抛物线与圆分别为A、C、D、B（从

左到右）.

（1）若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程；

（2）若抛物线和圆只有一个公共点，求。的取值范围；

⑶在（1）的条件下，△/。。，△灰兀的面积满足：SMOC=4SABOD，求弦⑷?的长.

【答案】（1）/=勺

⑵”1

【分析】（1）由圆心坐标和抛物线焦点坐标计算可得；

（2）联立圆与抛物线的方程，消去x后再解出方程的根，结合图形判断即可；

（3）设出直线方程和4（勺,%）,8（血,力），联立直线和抛物线方程，得到韦达定理，再由题中工/℃=45*”

以及抛物线的定义组成方程组解出附=2,陷=（最后利用|叫=|/。+|即+3|求出结果；

【详解】（1）由一+（尸1）2=1可知圆心坐标为（0,1）,

因为抛物线的焦点与圆心重合，

所以=P=2,

所以抛物线的方程-=4了............4分

­=2py（p>0）

（2）2/、2，消去X并整理方程可得V+（2,-2力=0,

X+（歹—1）=1

解得M=。，%=2-2°,

抛物线和圆恒有一个公共点（0,0）,且y20恒成立，

所以令2。一240,解得p21..........................10分

（3）设4（看,月）,3（X2,%），直线48的方程为8=丁+1，原点。到直线N8的距离为〃,

[y=kx+\

由《2彳消去V可得，-4依-4=0,其中A=16左2+16>0,

[X=4y

)(X1X2)21

V2=-4,y^2=—=1.

所以S^oc=^\AC\-d,S^BOD=^\BD\-d,

则匕喝①

因为|/C|•忸必=（|/尸|一|。尸『（忸可一|£）司）=|/斗忸尸|一（|/司+忸尸|）+1

=（必+1）（%+1）-（M+1+%+1）+1==1，②

由①②解得|/C|=2,忸必=；,

1Q

所以M@=|/C|+忸。|+1刈=2+]+2=5.........................17分

【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能利用抛物线的定义与已知组成方程组，求出|/C|=2,忸。卜;.

19.（17分）

如果数列｛%｝满足：%+%+/+…+%=0且同+同+同+…+1%|=1（"23,〃eN*）,则称数列｛.“｝为”阶“归

化数列”.若数列｛对｝还满足：数列｛%｝项数有限为N；则称数列｛%｝为“N阶可控摇摆数列”.

（1）若某6阶“归化数列”｛%｝是等比数列，写出该数列的各项；

（2）若某13阶“归化数列”｛%｝是等差数列，求该数列的通项公式；

(3)已知数列｛%｝为“N阶可控摇摆数列”，且存在使得i!|%|=2S“，探究：数列｛S,｝能否为“N

N

阶可控摇摆数列"，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.

【答案】⑴311111甫111111

,，,，-

066-666^6,6，-6,6，-6,6

⑵""=^^("w