2024-2025学年高二数学上学期期中模拟（选修一全册：空间向量与立体几何+平面解析几何）（全解全析）

高二数学上学期期中考试模拟卷

（选修一全册：空间向量与立体几何+平面解析几何）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：选择性必修第一册全部内容。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.直线底+夕+1=0的倾斜角为（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】B

【分析】将直线一般式化为斜截式，利用斜率与倾斜角的关系即可得解.

【详解】因为直线氐+y+l=0,可化为>所以直线的斜率为-6,

笈=tan6=-G，0°<6»<180°

所以倾斜角为120。.

故选：B

2.已知空间三点4（1,3,-2卜3（2,5,1）,C（p+1,7,«）共线,则2和4的值分别是（）

A.3,6B.2,4C.1,4D.2,6

【答案】B

【分析】得到万，就后借助空间向量共线计算即可得.

【详解】在=（1,2,3）,AC=（p,4,q+2）,

123

贝！I有一=：=—",解得夕=2,q=4.

p4q+2

故选：B.

22

3.已知方程-----匚=1表示双曲线，则加的取值范围为（）

2+mm+1

A.m<-2B.加<一2或加>一1

C.加>—1D.-2<加<—1

【答案】B

【分析】根据双曲线的概念，解不等式（2+加）（加+1）>0即可.

22

【详解】因为方程———匚=1表示双曲线，所以（2+加）（加+1）>0,

2+mm+1

解得加<一2或加〉一1.

故选：B

4.己知圆。|：卜一1）2+/=4与圆a：/+y2-4x+2y+3=0交于2,3两点，则|/邳=（）

A.72B.272C.3A/2D.40

【答案】B

【分析】两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，利用垂径定理可求得结果.

【详解】两圆方程作差可得直线的方程为：2%—2y—6=0,即x-y-3=0；

由圆a方程可得其圆心a（i,o）,半径「=2,

二。1到直线48的距离d=—―-=V2,：,\AB\=2y）r2-d~=2-72.

故选：B.

5.已知抛物线/=2px（p>0）的焦点为元抛物线上一点P（U）满足忸可=2,则抛物线方程为（）

A.歹2B.歹C.y2=2xD.y2=4x

【答案】D

【分析】由抛物线的焦半径公式可得1+5=2,即可求得0,从而求解.

【详解】由题意，得1+5=2,即p=2,

所以抛物线方程为r=4x.

故选：D.

22

6.已知椭圆C:二+匕=1的左、右焦点分别为斗鸟，点P在椭圆C上.若/耳生=60。，贝心片尸月的面积为

169

2

()

D.373

【答案】D

【分析】在△平巩中，结合椭圆定义及勾股定理可得|尸国•〔即|=12,进而求得△耳咤的面积.

【详解】由椭圆定义可得|尸£|+|尸阊=20=8,出阊=2c=2716^9=277,

又因为/月和=60。，所以由勾股定理可得户片『+忸/联-2|尸片||P£|cos60。=忸引、

即(四|+1尸外『-3阀卜|尸用=\FtF2「=28,解得1^1-1^1=12,

则好麻的面积为；|尸周.\PF2|sin60。=373.

故选：D.

7.点尸(-2,-1)到直线/:(l+3X)x+(l+7)j-2-4H=0(&R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方

程分别为()

A.J13;2,x-3y+1=0B.Jl1;3x+y-4=0

C.VH;3x+2y-5=0D.VH;2X-3J+1=0

【答案】C

【分析】由直线/的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线/的方程.

【详解】直线/的方程(l+34)x+(l+吁2-4%=0可化为x+y-2+2(3x+>-4)=0,

x+y-2=0二1

3x+>-4=0=1

所以直线/经过定点

当尸CJL/时，点尸到直线/的距离最大，最大距离为|PC|=J(-2_1)2+(-1-1)2=而,

因为直线尸C的斜率的c=W=g,PCn,

所以直线/的斜率分=-£,

由j1+343

所以一==一5'

所以2(1+34=3(1+彳)，

3

所以2+62=3+32,故X=

所以直线/的方程为3尤+2y-5=0.

故选：C.

8.如图，在棱长为2的正方体N2CD-4月GQ中，P为线段与。上的动点，则下列结论错误的是（）

2

B.当4P=2PC时，点功到平面42P的距离为:

C.当8/=2PC时，AP=^-

3

D.若开=：鸵,则二面角一4的平面角的正弦值为半

36

【答案】D

【分析】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用空间中的距离公式计算BC后可

判断它们的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断D的正

误.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，则/（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,。（0,2,0）,

4（0,0,2）,4（2,0,2）6（2,2,2）,。（0,2,2）,

4

对于A,设率=/庭=*0,2,-2）=（0,27,-2。（0«—1）,故尸（22,2-2/）,

故卒=(2,2f,-2f),而丽=(一2,2,0),

BD-AP4—4/

设直线4尸与8。所成的角为。，贝"ose=

阿|网272x"+4/+4/，

若直线4尸与5D所成的角是丁，则4-4/

62后2

整理得到：4r+4,+1=0,此方程在[0,1]上无实数解,

故直线4尸与8。所成的角不可能是冷，故A正确.

6

对于B,当与尸=2PC时，结合A中分析可得仁g,故2卜(]}

故而而四=(-2,0,2),设平面48尸的法向量为而=(x),z),

42

玩•取=0—yd——z=A0

则—即J33取％=2,贝！|尸一1,z=2,

市・BA1=O—2x+2z=0

故身=(2,-1,2),

ih•D[A2

又布=(0,-2,0),故。到平面A.BP的距离为

1«13,

故B正确.

对于C,当4P=2PC时，又B的分析可得尸Qgq],故石=[2,g,g

故网二和|=半="I故C正确.

___1__.1,24、

对于D,当用尸。时，结合8的分析可得/=[此时尸[2,§话〉

故而=m),而瓦小(-2,0,2),设此时平面48尸的法向量为为=(a,6,c),

24

n-BP=0一人+—。=0

则《即＜33取。=1,则6=-2,c=l,

心凤=0

—2a+2c=0

故元=（1,—2,1）,

又乖=尸（2,|,-1}4X=（2,0,0）,

设平面4月尸的法向量为8=("/，M,

5

22

万•港=02u+—v—w=0_,

则即33，取v=l,贝!|〃=0,w=l,

万-A[B[=02u—0

故8=(0」,1),

2V3故二面角B-A.P-4的平面角的正弦值为返,

故cos§,方=

76x72-6，6

故D错误.

故选：D.

【点睛】方法点睛：立体几何中，与角、距离等有关的计算，可以利用综合法构造几何对象并利用解三角

形的方法进行相关的计算，也可以利用几何体的特征构建空间直角坐标系，把角、距离的计算问题归结向

量的坐标运算.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量)=(1,1,0),3=(0,1,1),1=(1,2,1),则下列结论正确的是()

A.向量&与向量3的夹角为B

O

B.

c.向量m在向量B上的投影向量为

D.向量己与向量共面

【答案】BCD

【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量数量积为0得到向量垂直可判断B；

根据投影向量的定义可计算出投影向量从而判断c,E=1+B得出向量共面可判断D.

【详解】因为K〉=lx0+lxl+lx0=l,所以WB|COS(B,@=1,

可得cos(B，W=11

jF+T+OxjT+F+O2'

则向量方与向量B的夹角为故A错误;

因为@_B=(l_0,l_l,0T=(l，0，T)，

c-(a=(1,2,1)-(1,0,-1)=lxl+2x0+lx(-l)=0,

6

所以"伍-B）,即B正确;

根据投影向量的定义可知，向量2在向量B上的投影向量为

木常彳（。』」）=八

|3|-cos^3,^^-11

22所以c正确;

由向量。=(1,1,0)/=(0,1,1),3=。,2,1),可知1+3,

向量0与向量方，共面，所以D正确.

故选：BCD.

10.已知直线x+岳-3=0被圆心在坐标原点的圆。所截得的弦长为2,则（）

A.圆。的方程是a'=4

B.直线/：x-3y+7=0与圆。相离

C.过点N（l,l）的直线被圆。所截得的弦的长度的最小值是2收

D.已知点〃是直线£：x-〉+4=0上的动点，过点M作圆。的两条切线，切点为C,。，则四边形OCMD

面积的最小值是2

【答案】ABC

【分析】对于A,结合弦长，半径和弦心距的关系计算即可求；对于B,计算弦心距，与半径比较即可；

对于C,根据垂径定理得弦的最小值是2面干肝，计算即可；对于D,数形结合即可知四边形OCW

的面积S=2SOCM=2X1X2|CM|=2小。M『-4,计算即可.

【详解】对于A,设圆C的方程为/+/=〃（，＞0）,

因为直线x+向-3=0与圆。相交所得的弦长为2,

所以圆。的方程为/+必=4故A正确;

7

对于B,圆心。至U直线/：X一3了+7=0的距离"=>2=r,

所以直线/：'-3y+7=0与圆。相离，故B正确;

7

对于C,因为圆。的圆心是0,半径r=2,fi|O2V|=Vl7+l?=V2<2,

可知点N（l,l）在圆。内，

过点的直线被圆。所截得的弦最短时，点是弦的中点，

根据垂径定理得弦的最小值是2J，.।ON『=2夜,故C正确；

对于D,因为四边形OCMD的面积S=2SOCM=2X|X2|CM|=2#OM『一4,

如图，由数形分析可知：当OM_L乙时，|0”|取到最小值4=2a,,

所以四边形OCMD面积的最小值为2x42可-4=4,故D错误.

故选：ABC

22

11.已知双曲线C：三-A=l（a>0,6>0）的左右焦点分别为片，耳，且I4用=4,/、P、3为双曲线上不

ab

同的三点，且/、8两点关于原点对称，直线尸/与尸8斜率的乘积为1,则下列正确的是（）

A.双曲线C的实轴长为g

B.双曲线C的离心率为近

C.若丽•成=0,则三角形平巴的周长为4+2指

D.2x-y的取值范围为［&,+8）

【答案】BCD

【分析】根据题意可知闺闾=2c=4,设则巩---弘）,左“％=1，代入可求解出

a=b,对A,根据°2=/+/,可求得实轴长为2a,可判断；对B,根据离心率e=£,可判断选项；对

a

C,根据图・丽=0,可知西上配，则同（+质（=（2c）［西卜质|=2。，可求得附|+|丽所以

三角形以笆的周长为|两|+|府|+2。，可判断；对D,设2x7=机与双曲线联立，若有解，需要90解

8

之可求出加取值，可判断选项.

【详解】根据题意可知忸周=2c=4,所以c=2,设，（碣M）,P（%,%）,则见F，-必）,

将/（X”J,,%）分别代入到双曲线后相减可得字4=Z，kPA-kpB=止&-"1=1代入可求解出

'/、/x0-xiaxQ-x{x0+Xj

a=b9

对A,根据C2=/+62,解之可得.=行，所以双曲线C的实轴长为2行，故A错误；

对B,根据离心率e=£,将。=&"=2代入可得e=0,故B正确；

a

对C,根据两•两=0,可知西,至，贝］|对反『=（2C）2

|H-M|=2a，可求得同|+J司,+愿『+2恒川丽|=2V6,

所以三角形尸耳£的周长为忸同+|垣|+2C=2&+4,故C正确；

对D,设2x-y=加与双曲线X?—「=2联立可得3/-4〃zx+加2+2=0,若有解,

需要△=16/-12（加2+2"0解之可求出加2指或机4_指，故D正确.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若两条直线（3+〃z）x+4y+16=0与2x+（5+加）＞-8=0平行，则实数机的值为

【答案】-1

【分析】由两条直线平行列式计算即得.

3+416

【详解】由直线（3+7〃）x+4y+16=0与2》+（5+机）＞一8=0平行，得?=^-力:，

25+加-8

9

所以7〃=-1.

故答案为：-1

13.在正四面体P/3C中，AB=2,且瓦尸分别为/C,尸3中点，则斯的长为.

【答案】V2

【分析】以｛方，近，万｝为基底表示出面?，然后利用|访卜后7以及向量数量积运算来求得所的长.

【详解】在正四面体P45C中，设彳§===

贝!==B.1=2x2xcos60°=2，

贝恒=或十万^一/元+:⑷+砌=施一3十1

2]________________________________________

-1\/a-b一+c=--ja*23+b2+c2+2a-c-2a-b-2b-c=42

2、2

=-V22+22+22+2X2-2X2-2X2=6.

2

故答案为：V2.

14.已知月是椭圆］+/=l（a>6>0）的右焦点，点尸在椭圆上，（而+国）•两=0,且"+四卜26,

则椭圆的离心率为.

【答案】见已出

33

【分析】由向量垂直关系得到。。,尸玛，连接咫进而得到。。〃尸耳，再由椭圆的定义得到在比△/与鸟

中忸片「+|尸8『=山外「，代入数值后由离心率的定义解出离心率即可.

【详解】设产区的中点为。，

则方+返=2而，由（而+函）•恒=0,

BPWQPF2=Q.所以。Q_LPg,

10

连接尸片可得。。〃尸片，所以尸片，利,

因为叵+恒卜26,即2国=26,即阀|=26.

所以|尸国=2"归耳|=2a-26,

在RtZVT笆中，附『+|%|2=|片周二即（2»+（2。-26）2=4c?,y.c2=a2-b2,

i2

b2+a2+b2-lab=a2-b2所以3/72=2Q6,即一二；,

9a3

解得。子/尼普

故答案为：且.

3

【点睛】关键点点睛:

（1）在有向量乘积为零的关系时，可想到向量垂直的充分必要条件;

（2）解决离心率问题时可根据几何关系构造凡瓦。的等式与椭圆的性质相结合，解方程组.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）已知圆M过点（区-2）三个点.

（1）求圆M的标准方程；

⑵已知a+c=2b,直线办+勿+c=0与圆〃相交于4,3两点，求目的最小值.

【答案】⑴》?+（y+2）2=5

⑵4

【分析】（1）设圆的一般式方程，将点的坐标代入计算，即可求解，然后化为标准式即可；

（2）将c=26-a代入直线方程，可得直线过定点N（l,-2）,即可得到当儿时，|AB|最小，代入计

算，即可求解.

11

【详解】(1)设圆的方程为V+V+Dx+妗+/=0,

\+D+F=0

代入各点得：，4+1+2。一£+尸=0=＞。=0,£=4,尸=一1,

5+4+阮)-2£+/=0

所求圆的一般方程为：/+/+外一1=0标准方程为：/+(y+2)2=5.

(2)把c=26-a代入直线方程得：ax+by+2b-a=0,

/、/、.fx-1=0\x=1

即x-l"+y+2)6=0,令可得

[y+2=。[y=-2

所以直线过定点N(l,-2).

又卜1＜右，所以定点N在圆内，

当ACV/48时，|AB|最小，此时|/叫=『=6，=

22

贝()\AB|min=2-＞jAM-MN=27r=4.

16.(15分)已知平面直角坐标系内的动点尸(x,y)恒满足：点P到定点尸(2,0)的距离与它到定直线x+2=0

的距离相等.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

⑵过点"(8,0)的直线/与(1)中的曲线C交于/,8两点，O为坐标原点，证明：OAYOB.

【答案】(l)/=8x

⑵证明见解析

【分析】(1)根据抛物线的定义求解即可；

(2)设]:》=卯+8,联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算得万.砺=0即可.

【详解】(1)设点P的坐标由题设及抛物线的定义可知，

点P的轨迹为以尸(2,0)焦点，准线方程为x+2=0的抛物线，

故点P的轨迹C的方程为：y2=8x.

(2)证明：由(1)得，曲线C的方程为：/=8x.

由题设可知，直线1的斜率必不为0,故设/：》=冲+8,

\x=my+8

由＜20得：y~^my-64=0,A=64加2+4x64＞0，

[y=8x

12

设（。,（），则乂%，

Axi,yBx2,y2=-64XX=2L.21=（1%）=64.

128864

所以，厉•砺=再超+%％=64-64=0,故而，面即O/_LO8.

17.（15分）如图，在四棱锥尸-48。中，平面P4D，平面4BCD,△尸/。为等边三角形,

PD±AB,AD//BC,AD=2,AB=BC=1,”为尸/的中点.

⑴证明：DMLPB.

（2）求平面尸CD与平面P42所成二面角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；

⑵手

【分析】（1）取的中点。，连接尸O,C。，先证明尸OJ■平面/8CA,再证•平面P4D,最后证明

平面得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面尸N8和平面尸CD的法向量，利用向量法求解.

【详解】（1）取的中点。，连接P。,。。，

因为△川£>为等边三角形，所以

又因为平面尸4DJ■平面48cD,平面尸40c平面48CZ>=4D,尸Ou平面尸4D,

所以PO_L平面/BCD,因为4Bu平面/BCD,所以48_LP。，

又PD_LAB,PDcPO=P,PD,POu平面PAD,所以4B_L平面尸4D.

因为DWu平面P/。，所以

又〃■是P工的中点，所以DWJ.PN,

因为平面P4B,且48npz=/,

所以DM，平面尸又因为尸8u平面尸48,

所以

（2）因为/。=2,8。=1,由（1）知四边形/8C。为矩形，贝（J/8//OC,

13

又4B_L平面P4D,所以CO_L平面P4D,

以0为坐标原点，分别以。。,。。,。户所在直线为x轴，》轴，z轴建立空间直角坐标系,

则P（0,0,石）,〃,。（1,0,0）刀（0,1,0）,历=（0,1,-石）,而=（-1,1,0）,

I22J

取平面P/8的法向量为。——初■=0,-3-,V^3-

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),

mPD=0即°，令z=l,贝！==

则

m-CD=0[r+y=0

所以应=("31),

6「不

73-77-7

设平面尸CD与平面P4B所成二面角为。，

则|cos91=,所以sin6=Vl-cos20=,

所以平面PCD与平面PAB所成二面角的正弦值为里.

7

18.(17分)已知椭圆氏，■+，=l(a>6>0)经过点(3,1),且离心率为半，。为坐标原点.

(1)求E的方程.

(2)过点尸(0,3)且不与V轴重合的动直线/与E相交于A,B两点,AB的中点为Q.

(i)证明：直线/与。。的斜率之积为定值；

(ii)当△042的面积最大时，求直线/的方程.

14

22

【答案】⑴二+匕=1

124

⑵①证明见解析；②gx-如+3&=0或缶+辰-3而=0.

【分析】（1）根据已知点在椭圆上及离心率列方程组求解可得椭圆方程;

（2）设方程/:了=履+3,/（占,必）,85,％）,直线与椭圆联立消去》利用韦达定理和斜率公式证明直线/与

OQ的斜率之积为定值；根据弦长公式和三角形面积公式求得直线斜率最后得到直线方程.

91,

£=彳，解得，a=2-73,

【详解】（1）由已知，得

a56=2,

a2=b2+c2,

①由题可设/：V=去+3,4（项,%）,8（%2/2）.

ST

将彳口4,

y=kx+3

消去y,得(1+3后2)/+18京+15=0.

-18左15

当A=4(36/—15)>0,即k2>—-时，有xl+x2=

1+3左2-1+3-

所以号=1,号3审+3二高，即。一943

1+3-'1+3后2

可得七。=一〉所以人心。=一:,即直线/与。°的斜率之积为定值•

15

②由(1)可知=+左之・,]一工2|=+左之)[(X]+%J-4西工2]

_2，1+/々36左2一15

-3-2+1

3

又点。到直线I的距离d=-^=,

y/1+k

所以△043的面积SOAB=-d-\AB\=3./T5.

iO^2113k2+\

a_3/_3627I27r3636厂

设=贝!|X"B=^T=K'">°''"+7N2Wx7=6"3'S"B=-^74法=243,

---1--tItHY

124tt

当且仅当"36,即左=±叵时等号成立，且满足A>0.

6

所以当△048的面积最大时，直线I的方程为伍-布〉+3指=0或缶+鬲-3指=0.

【点睛】关键点点睛：求解面积最值的关键点是换元设国==/,把面积转换为，的函数结合基本不等

式计算最值即可，注意取等条件是否符合题意.

丫2

19.(17分)己知点M(x。,为)为双曲线5-「=1上的动点.

(1)判断直线瞥-%〉=1与双曲线的公共点个数，并说明理由；

(2)(i)如果把(1)的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；

(ii)将双曲线C:餐-0,6>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为三一4=0,请利用

abab

该方程证明如下命题：若