2024-2025学年北京某中学九年级（上）期中数学试卷

2024-2025学年北京工大附中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的）

1.（2分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

*7感

c.7D.

2.（2分）一元二次方程，-16X=0的根是（）

A.x=0B.xi=4,X2=-4

C.x=16D.xi=0,X2=16

3.（2分）将抛物线了=（x-1）2+2的图象向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的

抛物线的解析式为（）

A.y—（x+2）2B.y—（x-4）2

C.y=（x+2）2+4D.y=（x-2）2+4

4.（2分）用配方法解方程f-4x+l=0,则方程可变形为（）

A.（x-2）2=5B.（x-2）2=3C.（x-1）2=3D.（x-4）2=1

5.（2分）如图，在正方形网格中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,1/是网格线交点，则其对称中心是（）

A.点GB.点HC.点/D.点/

6.（2分）如图，正方形/BCD的对角线相交于点O,正方形与正方形/BCD的边长相等，已知

4B=2,则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（）

第1页（共25页）

A.2B.V2C.ID.无法确定

7.（2分）在同一坐标系中，二次函数夕=^2+。的图象与一次函数＞=cx+a的图象可能是（）

8.（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，

运动员起跳后的竖直高度y（单位：加）（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+6x+c（aWO）.如图记录

了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，水平距离为（）

A.10mB.15mC.20mD.22.5m

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

第2页（共25页）

9.（2分）在函数y=恁中,自变量X的取值范围是.

10.（2分）不等式2（x-3）W5x+6的解集为.

11.（2分）抛物线y=x2-4x-5与x轴的交点坐标为.

12.（2分）若〃?、〃是一元二次方程3--b+2=0的两个根，贝!|.

13.（2分）如图，将△48C绕点/顺时针旋转a（0°<a<90°）得到则/4DE

=.（用含a的式子表示）

14.（2分）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，已知前发行共有210个点，则

k的值为.

15.（2分）如图，一次函数（左W0）与二次函数"uad+bx+c（aWO）的图象相交于/（-1,5）、

B（9,2）,则关于x的不等式fcr+HZaf+bx+c的解集为.

16.（2分）如图是二次函数y=ax2+6x+c的图象的一部分；图象过点/（-3,0）,对称轴为x=-停>4碇；

②2a+6=0；③a-6+c=0.其中正确的是.（填序号）

第3页（共25页）

y

三、解答题(本大题共11个小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.计算：V3-(^-)-1+V12+(-2O24)0-

18.解方程：X2-4X-5=0.

19.解方程：二_3=1.

X-1X

20.化简:詈⑴

21.已知机是方程x?+3x-4=0的一个根，求代数式(m+1)2+m(m+4)的值.

22.如图，在平面直角坐标系xQy中，△042的顶点坐标分别为。(0,0),A(5,0),B(4,-3),点

A旋转后的对应点为4.

(1)画出旋转后的图形△OHB'；

(2)点的坐标是；点"的坐标是

(3)ABOB'的形状是.

23.已知关于x的一元二次方程f+(2-m)x+1-m=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

第4页(共25页)

(2)若%<0,且此方程的两个实数根的差为3,求〃?的值.

24.我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，

不妨简称为“锅线”，锅盖高1面(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图①所示1=/2

-3(-3WxW3),把锅盖纵断面的抛物线记为C2：”=-Xr2+1(-3WxW3)

9

(1)求锅深OD的长；

(2)如果炒菜时锅的水位高度是1曲?，求此时水面的直径；

(3)如果将一个底面直径为33%,高度为3.24%的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖

上？请说明理由.

实物图图①

25.在平面直角坐标系xOy中，M(xi，yi),N(%2,y2)是抛物线y=ax2+6x+c(a>0)上任意两点，设

抛物线的对称轴为直线》=/.

(1)右对于Xl=l,X2=2,有yi=_V2,求才的值；

(2)若对于1<X2<2,都有yiW”，求/的取值范围.

26.四边形是正方形，将线段C〃绕点C逆时针旋转2a(45°<a<90°),得到线段CE,过点8

作BF_LDE交DE于F,连接2E.

(1)依题意补全图1:

(2)直接写出/EBE的度数；

(3)连接/尸，用等式表示线段”与。£的数量关系，并证

第5页(共25页)

27.为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的

直尺和竖直放置的直尺为x,该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设3。的读数为x,抛物

线的顶点为C.

(1)

(I)列表：

①②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

(II)描点：请将表格中的(x,»)描在图2中；

(III)连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；

(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-A)2+左的顶点为C,该数学兴趣小组用水

平和竖直直尺测量其水平跨度为N3,竖直跨度为C〃，CD=n,为了求出该抛物线的开口大小，请选择

其中一种方案，并完善过程：

方案一：将二次函数(x-h)2+左平移，使得顶点C与原点。重合，此时抛物线解析式为

①此时点夕的坐标为;

②将点2'坐标代入中，解得。=；(用含"的式子表示°)

方案二：设C点坐标为(h,k).

①此时点B的坐标为；

②将点8坐标代入y=a(x-〃)2+后中解得a=；(用含相，"的式子表示a)

(3)【应用】已知平面直角坐标系中有4,8两点，4B=4,二次函数。：/=2(x+〃)2+左和02：

y2=a(x+〃)2+6都经过/,3两点，且。和。2的顶点尸，。距线段N3的距离之和为10,求a的值.

第6页(共25页)

图1图2

图3

第7页（共25页）

2024-2025学年北京工大附中九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的）

1.（2分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

（^）

C.ND.

【解答】解：A,是轴对称图形，故此选项错误；

是轴对称图形，故此选项正确；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

。、是轴对称图形，故此选项错误.

故选：B.

2.（2分）一元二次方程，-16x=0的根是（）

A.x=0B.xi=4,X2=-4

C.x=16D.xi=0,X2=16

【解答】解：•••X2-16X=0,

•»x（x-16）=5,

贝（Jx=0或x-16=0,

解得X6=0，X2=16,

故选：D.

3.（2分）将抛物线歹=（x-1）2+2的图象向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的

抛物线的解析式为（）

A.y=（x+2）2B.y=（x-4）2

C.y=（x+2）2+4D.y=（x-2）2+4

【解答】解：抛物线歹=（工-1）2+5先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得：歹=-（%

第8页（共25页）

-7-3）2+5-2,即尸（x-4）5；

故选：B.

4.（2分）用配方法解方程f-4x+l=0,则方程可变形为（）

A.（x-2）2=5B.（x-2）2=3C.（x-1）2=3D.（x-4）2=1

【解答】解：x2-4x+3=0,

贝U，-3X+4=3,

（x-8）2=3,

故选：B.

5.（2分）如图，在正方形网格中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J是网格线交点，则其对称中心是（）

A.点GB.点77C.点/D.点J

【解答】解：♦••△N8C与△。昉关于某点成中心对称,

对应点3和E的连线与对应点。和尸的连线的交点/是对称中心.

6.（2分）如图，正方形48CD的对角线相父于点。，正方形与正方形/BCD的边长相等，已知

AB=2,则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（）

第9页（共25页）

A.2B.V2C.1D.无法确定

【解答】解：设48与OH交于点E,BC与0。交于点尸，

:四边形是正方形，

:.NEBO=NFCO=45°,OB=OC.

'：ZEOB+ZFOB=90°,ZFOC+ZFOB=90°,

ZEOB=ZFOC.

:.△EOB%AFOCCASA).

：./XEOB面积=AFOC面积，

/.四边形EBFO面积=△08C面积.

,/正方形ABCD的边长为2,

所以正方形NBCZ）的面积为4,

则△O5C面积=工正方形/2CZ）面积=1.

故选：C.

7.（2分）在同一坐标系中，二次函数夕="2+。的图象与一次函数y=cx+a的图象可能是（）

A.

第10页（共25页）

c.

【解答】解：/、由抛物线y=a/+c,可知图象开口向上，可知。＞0,则直线y=cx+a经过一，二，故

此选项不符合题意；

B、由抛物线可知图象开口向上，可知。＞0,则直线y=cx+a经过一，二，故此选项不符合

题意；

C、由抛物线y=a/+c,可知图象开口向下，可知。＜4,则直线y=cx+a经过一，三，故此选项符合题

忌；

D、由抛物线yuaf+c,可知图象开口向下，可知。＜0,则直线y=cx+a经过二、三，故此选项不符合

题意；

故选：C.

8.（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，

运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）（单位：加）近似满足函数关系y=ax2+6x+c（aWO）.如图记录

了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，水平距离为（）

A.10mB.15mC.20mD.22.5m

【解答】解:

法一：根据题意知，抛物线＞="2+历形（aWO）经过点（5,54.0）,46.2）,57.7）,

'c=54.0

M-1600a+40b+c=46.2

,400a+20b+c=57.3

第11页（共25页）

a=-0.0195

解得"b=0.585

.c=54.7

所以X=--=0.585

2a2X(-0.0195)

法二：•.•抛物线开口向下，

.•.离对称轴越近，位置越高，

从/、。两点来看，即在20左边,

从N、8两点来看，即在10右边,

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

9.（2分）在函数y=信中,自变量x的取值范围是

x>1

【解答】解：由题意可知：

[x-17^0

解得：x>6

故答案为：x>l

10.（2分）不等式2（x-3）W5x+6的解集为G-4

【解答】解：2（x-3）W2x+6,

去括号得：2x-3W5x+6,

移项得：7x-5xW6+4,

合并同类项得：-3xW12,

第12页（共25页）

解得：-4.

故答案为：工2-2.

11.（2分）抛物线了=/-4%-5与7轴的交点坐标为（-1,0）或（5,0）

【解答】解：当y=0时，0=X3-4%-5,

解得：%=-6或%=5,

・•・抛物线产/-6%-5与工轴的交点坐标为（-1,2）或（5,

故答案为：（-1,7）或（5.

12.（2分）若加、几是一元二次方程3--后叶2=0的两个根，则加〃=—.

一厂

【解答】解：•.•加、〃是一元二次方程3,-后升5=0的根，

mn——.

3

故答案为：2.

3

13.（2分）如图，将△48C绕点/顺时针旋转a（0°<a<90°）得到△4DE,则N4DE=90°-Xa

2

【解答】解：由旋转的性质可知，AD=AB,

：.ZADB=ZB,

*.*NBAD=OL,

ZADE—ZADB—-(lgQ0-0.)=90°-Q,

故答案为：90°-la.

3

14.（2分）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，已知前后行共有210个点，则

k的值为20.

第13页（共25页）

【解答】解：由题知，

前1行点的总数是：1=4；

前2行点的总数是：1+2=3；

前3行点的总数是：5+2+3=5；

所以前»行点的总数是：l+2+6+i=n（n+l）.

2

因为前发行共有210个点，

所以*曳_=210，

解得左=20或-21,

因为左为正整数，

所以左=20.

故答案为：20.

15.（2分）如图，一次函数yi=Ax+力（发片0）与二次函数了2=a/+6x+c（aWO）的图象相交于/（-1,5）、

B（9,2）,则关于x的不等式foc+〃》ax2+bx+c的解集为-1WxW9.

【解答】解：根据图象可得关于x的不等式的解集是：-1WXW4.

故答案为：-1WXW9.

16.（2分）如图是二次函数y=a/+6x+c的图象的一部分；图象过点/（-3,0）,对称轴为x=-仔＞4℃；

②20+6=0；③a-6+c=0.其中正确的是①.（填序号）

第14页（共25页）

【解答】解：①;图象与X轴有两个交点，

b1-4qc>4,

即b2>4ac,正确；

②：对称轴为直线x=--L=-1,

2a

•**2q=b.

：.5a+b=4a<0,故②错误；

③：x=-5时y有最大值，

由图象可知-6+c>0,故yWO,

...③错误.

故答案为：①.

三、解答题(本大题共U个小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.计算：V3-(4)~1+V12+(-2O24)0-

O

【解答】解：原式=«-3+6%

=3遍-2.

18.解方程：X2-4X-5=0.

【解答】解:(x+1)(x-5)=6,

贝!Jx+l=0或x-5=0,

.*.%=-1或x=4.

19.解方程：

X-1X

【解答】解：方程两边都乘以x(X-1),得

X2+8(x-1)=x(x-1),

解这个方程，得X&

3

第15页(共25页)

经检验，X上是原方程的根.

2

原方程的根是乂上.

3

2

20.化简：声里三二1.

a-113a

2

【解答】解：(空2_8).二二1

a-l4a

=a+2-a+l.(a+1)(aT)

a-48a

=3•(a+6)(a-l)

a-l3a

=a+7

a

21.已知加是方程/+3x-4=0的一个根，求代数式(冽+1)2+m(m+4)的值.

【解答】解：由题意可得：m2+3m-6=0,

m2+6m=4,

原式=m2+4m+1+m2+7m

=2m2+7m+l

=2(m2+3m)+1

=8X4+1

=7.

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，△CMB的顶点坐标分别为。(0,0),A(5,0),B(4,-3),点

4旋转后的对应点为4.

(1)画出旋转后的图形△(?/'B'；

(2)点H的坐标是(0,-5)；点夕的坐标是(-3,-4)；

(3)^BOB'的形状是等腰直角三角形.

第16页(共25页)

【解答】解：（1）作出点/、8旋转后的对应点4,顺次连接，如图所示:

（2）根据图可知，点4的坐标是（0；点次的坐标是（-3.

故答案为：（3,-5）,-4）.

（3）连接29,根据旋转可知，/BOB'=90°,

...△8。夕为等腰直角三角形.

故答案为：等腰直角三角形.

23.已知关于x的一元二次方程一+（2-加）x+1-机=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若%<0,且此方程的两个实数根的差为3,求〃?的值.

【解答】（1）证明：：一元二次方程x?+（2-w）x+4-m=0,

A=（2-加）7-4（1-m）

第17页（共25页）

=m6-4m+4-7+4m=m2.

A20.

・・・该方程总有两个实数根.

(2)解：:一元二次方程/+(2-m)x+1-m=3f

解方程，得xi=-1,xs=m-1.

Vm<0,

-3>m-1.

・・•该方程的两个实数根的差为3,

：.-2-(m-1)=3.

*.m=-3.

24.我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，

不妨简称为“锅线”，锅盖高1面(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图①所示1=/2

-3(-34W3),把锅盖纵断面的抛物线记为C2：”=-(-3WXW3)

9

(1)求锅深OD的长；

(2)如果炒菜时锅的水位高度是1dm,求此时水面的直径；

(3)如果将一个底面直径为31〃?，高度为3.2加1的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖

上？请说明理由.

【解答】解：(1)由抛物线Ci：yi=Z-x2-4(-34W3)得：D(8,-3),

3

：.OD=3；

(2)..•炒菜时锅的水位高度是3而?，

：.G(0,-2),

第18页(共25页)

如图①，过点6作即〃苫轴交抛物线于点£,F,

解得：xi=-M，X8=愿，

：.E(-M，-6)正，2),

:在=2近,

...此时水面的直径为2adm；

(3)锅盖不能正常盖上.理由如下：

如图②，作出〃x轴、工作y轴的平行线交抛物线C2于点人K,

:圆柱形器皿的底面直径为3dm,

...点L的横坐标分别为亘，

23

图②

\'yH——X（--）2-3=-—,yL—-lx（3）2-3=-工,

324'：324

yj--Ax（-―）5+1=3,yK--J_X（工）2+8=3,

724-924

：.H（--1,-旦），L（旦，-2）3,3）,K（3,3）,

26244424

:.HJ=3-（-3,

44

:圆柱形器皿的高度为33dm>3dm,

锅盖不能正常盖上.

第19页（共25页）

25.在平面直角坐标系xOy中，M（xi，yi）,N（工2，、2）是抛物线7=。/+6%+。（。>0）上任意两点，设

抛物线的对称轴为直线l=九

（1）若对于Xl=l,X2=2,有yi=X2，求/的值；

（2）若对于OVxiVI,1Vx2V2,都有yi壬y2，求，的取值范围.

【解答】解：（1）•・・对于xi=l,%3=2,有yi=V6，

a+b+c—4a+2b+c,

7a+b=3

•.•对称轴为直线》=-M=3,

5a2

2

（2）VO<X2<1,1<X4<2,

X（,<X2,

752

当yi<y7，a>0,

/.（XI，77）离对称轴更近，X\<X2,则（X3，VI）与（%2，"）的中点在对称轴的右侧,

当。>0,

（X5，歹2）离对称轴更近，%1<%6，则（％1，J1）与（X3，V2）的中点在对称轴的左侧侧,

即勺+、4一〈人

综上分析，tw".

22

26.四边形/8C。是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2a（45°<a<90°）,得到线段CE,过点8

作BF_LDE交DE于F,连接3E.

（1）依题意补全图1；

（2）直接写出/qE的度数；

（3）连接N尸，用等式表示线段/歹与DE的数量关系，并证

第20页（共25页）

备用图

(2)结论：ZFBE=45°.

理由：•.•四边形/BCD是正方形，

：.CB=CD,ZDCB=90°,

,:CB=CD=CE,

：.ZBED=1-ZBCD=45°,

2

:BFJLDE,

：.ZBFE=9Q°,

:./FBE=9G-45°=45°.

(3)结论；DE=yj7-

证明：作凡交F2的延长线于点H,

由(2)得NFBE=/FEB=45°.

：.FB=FE.

第21页（共25页）

'：AH±AF,ZBAD=90°,

/HAB=NFAD,

VZBFD=ZDAB=90°,

AZABH+ZABF=1SO°,ZABF+ZADF^1SO0,

：.ZABH=ZADF,

：./\HAB^/\FAD(ASA),

：.HB=FD,AH=AF,

：.HF=DE,"=45°.

：.HF=42AF.

:.DE=MAF.

27.为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的

直尺和竖直放置的直尺为x,该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设3。的读数为x,抛物

线的顶点为C.

(1)

(I)列表:

①②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

(II)描点：请将表格中的(x,»)描在图2中；

(UT)连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；

(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-A)?+左的顶点为C