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文档简介
2024-2025学年北京工大附中九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求
的)
1.(2分)下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
*7感
c.7D.
2.(2分)一元二次方程,-16X=0的根是()
A.x=0B.xi=4,X2=-4
C.x=16D.xi=0,X2=16
3.(2分)将抛物线了=(x-1)2+2的图象向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的
抛物线的解析式为()
A.y—(x+2)2B.y—(x-4)2
C.y=(x+2)2+4D.y=(x-2)2+4
4.(2分)用配方法解方程f-4x+l=0,则方程可变形为()
A.(x-2)2=5B.(x-2)2=3C.(x-1)2=3D.(x-4)2=1
5.(2分)如图,在正方形网格中,A,B,C,D,E,F,G,H,I,1/是网格线交点,则其对称中心是()
A.点GB.点HC.点/D.点/
6.(2分)如图,正方形/BCD的对角线相交于点O,正方形与正方形/BCD的边长相等,已知
4B=2,则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为()
第1页(共25页)
A.2B.V2C.ID.无法确定
7.(2分)在同一坐标系中,二次函数夕=^2+。的图象与一次函数>=cx+a的图象可能是()
8.(2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,
运动员起跳后的竖直高度y(单位:加)(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+6x+c(aWO).如图记录
了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,水平距离为()
A.10mB.15mC.20mD.22.5m
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)
第2页(共25页)
9.(2分)在函数y=恁中,自变量X的取值范围是.
10.(2分)不等式2(x-3)W5x+6的解集为.
11.(2分)抛物线y=x2-4x-5与x轴的交点坐标为.
12.(2分)若〃?、〃是一元二次方程3--b+2=0的两个根,贝!|.
13.(2分)如图,将△48C绕点/顺时针旋转a(0°<a<90°)得到则/4DE
=.(用含a的式子表示)
14.(2分)如图三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,已知前发行共有210个点,则
k的值为.
15.(2分)如图,一次函数(左W0)与二次函数"uad+bx+c(aWO)的图象相交于/(-1,5)、
B(9,2),则关于x的不等式fcr+HZaf+bx+c的解集为.
16.(2分)如图是二次函数y=ax2+6x+c的图象的一部分;图象过点/(-3,0),对称轴为x=-停>4碇;
②2a+6=0;③a-6+c=0.其中正确的是.(填序号)
第3页(共25页)
y
三、解答题(本大题共11个小题,共68分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.计算:V3-(^-)-1+V12+(-2O24)0-
18.解方程:X2-4X-5=0.
19.解方程:二_3=1.
X-1X
20.化简:詈⑴
21.已知机是方程x?+3x-4=0的一个根,求代数式(m+1)2+m(m+4)的值.
22.如图,在平面直角坐标系xQy中,△042的顶点坐标分别为。(0,0),A(5,0),B(4,-3),点
A旋转后的对应点为4.
(1)画出旋转后的图形△OHB';
(2)点的坐标是;点"的坐标是
(3)ABOB'的形状是.
23.已知关于x的一元二次方程f+(2-m)x+1-m=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
第4页(共25页)
(2)若%<0,且此方程的两个实数根的差为3,求〃?的值.
24.我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形,
不妨简称为“锅线”,锅盖高1面(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直角坐标系如图①所示1=/2
-3(-3WxW3),把锅盖纵断面的抛物线记为C2:”=-Xr2+1(-3WxW3)
9
(1)求锅深OD的长;
(2)如果炒菜时锅的水位高度是1曲?,求此时水面的直径;
(3)如果将一个底面直径为33%,高度为3.24%的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物,锅盖能否正常盖
上?请说明理由.
实物图图①
25.在平面直角坐标系xOy中,M(xi,yi),N(%2,y2)是抛物线y=ax2+6x+c(a>0)上任意两点,设
抛物线的对称轴为直线》=/.
(1)右对于Xl=l,X2=2,有yi=_V2,求才的值;
(2)若对于1<X2<2,都有yiW”,求/的取值范围.
26.四边形是正方形,将线段C〃绕点C逆时针旋转2a(45°<a<90°),得到线段CE,过点8
作BF_LDE交DE于F,连接2E.
(1)依题意补全图1:
(2)直接写出/EBE的度数;
(3)连接/尸,用等式表示线段”与。£的数量关系,并证
第5页(共25页)
27.为了测量抛物线的开口大小,某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置,并分别以水平放置的
直尺和竖直放置的直尺为x,该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示,设3。的读数为x,抛物
线的顶点为C.
(1)
(I)列表:
①②③④⑤⑥
X023456
y012.2546.259
(II)描点:请将表格中的(x,»)描在图2中;
(III)连线:请用平滑的曲线在图2将上述点连接,并求出y与x的关系式;
(2)如图3所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-A)2+左的顶点为C,该数学兴趣小组用水
平和竖直直尺测量其水平跨度为N3,竖直跨度为C〃,CD=n,为了求出该抛物线的开口大小,请选择
其中一种方案,并完善过程:
方案一:将二次函数(x-h)2+左平移,使得顶点C与原点。重合,此时抛物线解析式为
①此时点夕的坐标为;
②将点2'坐标代入中,解得。=;(用含"的式子表示°)
方案二:设C点坐标为(h,k).
①此时点B的坐标为;
②将点8坐标代入y=a(x-〃)2+后中解得a=;(用含相,"的式子表示a)
(3)【应用】已知平面直角坐标系中有4,8两点,4B=4,二次函数。:/=2(x+〃)2+左和02:
y2=a(x+〃)2+6都经过/,3两点,且。和。2的顶点尸,。距线段N3的距离之和为10,求a的值.
第6页(共25页)
图1图2
图3
第7页(共25页)
2024-2025学年北京工大附中九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求
的)
1.(2分)下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
(^)
C.ND.
【解答】解:A,是轴对称图形,故此选项错误;
是轴对称图形,故此选项正确;
C、不是轴对称图形,故此选项错误;
。、是轴对称图形,故此选项错误.
故选:B.
2.(2分)一元二次方程,-16x=0的根是()
A.x=0B.xi=4,X2=-4
C.x=16D.xi=0,X2=16
【解答】解:•••X2-16X=0,
•»x(x-16)=5,
贝(Jx=0或x-16=0,
解得X6=0,X2=16,
故选:D.
3.(2分)将抛物线歹=(x-1)2+2的图象向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的
抛物线的解析式为()
A.y=(x+2)2B.y=(x-4)2
C.y=(x+2)2+4D.y=(x-2)2+4
【解答】解:抛物线歹=(工-1)2+5先向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度得:歹=-(%
第8页(共25页)
-7-3)2+5-2,即尸(x-4)5;
故选:B.
4.(2分)用配方法解方程f-4x+l=0,则方程可变形为()
A.(x-2)2=5B.(x-2)2=3C.(x-1)2=3D.(x-4)2=1
【解答】解:x2-4x+3=0,
贝U,-3X+4=3,
(x-8)2=3,
故选:B.
5.(2分)如图,在正方形网格中,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J是网格线交点,则其对称中心是()
A.点GB.点77C.点/D.点J
【解答】解:♦••△N8C与△。昉关于某点成中心对称,
对应点3和E的连线与对应点。和尸的连线的交点/是对称中心.
6.(2分)如图,正方形48CD的对角线相父于点。,正方形与正方形/BCD的边长相等,已知
AB=2,则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为()
第9页(共25页)
A.2B.V2C.1D.无法确定
【解答】解:设48与OH交于点E,BC与0。交于点尸,
:四边形是正方形,
:.NEBO=NFCO=45°,OB=OC.
':ZEOB+ZFOB=90°,ZFOC+ZFOB=90°,
ZEOB=ZFOC.
:.△EOB%AFOCCASA).
:./XEOB面积=AFOC面积,
/.四边形EBFO面积=△08C面积.
,/正方形ABCD的边长为2,
所以正方形NBCZ)的面积为4,
则△O5C面积=工正方形/2CZ)面积=1.
故选:C.
7.(2分)在同一坐标系中,二次函数夕="2+。的图象与一次函数y=cx+a的图象可能是()
A.
第10页(共25页)
c.
【解答】解:/、由抛物线y=a/+c,可知图象开口向上,可知。>0,则直线y=cx+a经过一,二,故
此选项不符合题意;
B、由抛物线可知图象开口向上,可知。>0,则直线y=cx+a经过一,二,故此选项不符合
题意;
C、由抛物线y=a/+c,可知图象开口向下,可知。<4,则直线y=cx+a经过一,三,故此选项符合题
忌;
D、由抛物线yuaf+c,可知图象开口向下,可知。<0,则直线y=cx+a经过二、三,故此选项不符合
题意;
故选:C.
8.(2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,
运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)(单位:加)近似满足函数关系y=ax2+6x+c(aWO).如图记录
了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,水平距离为()
A.10mB.15mC.20mD.22.5m
【解答】解:
法一:根据题意知,抛物线>="2+历形(aWO)经过点(5,54.0),46.2),57.7),
'c=54.0
M-1600a+40b+c=46.2
,400a+20b+c=57.3
第11页(共25页)
a=-0.0195
解得"b=0.585
.c=54.7
所以X=--=0.585
2a2X(-0.0195)
法二:•.•抛物线开口向下,
.•.离对称轴越近,位置越高,
从/、。两点来看,即在20左边,
从N、8两点来看,即在10右边,
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)
9.(2分)在函数y=信中,自变量x的取值范围是
x>1
【解答】解:由题意可知:
[x-17^0
解得:x>6
故答案为:x>l
10.(2分)不等式2(x-3)W5x+6的解集为G-4
【解答】解:2(x-3)W2x+6,
去括号得:2x-3W5x+6,
移项得:7x-5xW6+4,
合并同类项得:-3xW12,
第12页(共25页)
解得:-4.
故答案为:工2-2.
11.(2分)抛物线了=/-4%-5与7轴的交点坐标为(-1,0)或(5,0)
【解答】解:当y=0时,0=X3-4%-5,
解得:%=-6或%=5,
・•・抛物线产/-6%-5与工轴的交点坐标为(-1,2)或(5,
故答案为:(-1,7)或(5.
12.(2分)若加、几是一元二次方程3--后叶2=0的两个根,则加〃=—.
一厂
【解答】解:•.•加、〃是一元二次方程3,-后升5=0的根,
mn——.
3
故答案为:2.
3
13.(2分)如图,将△48C绕点/顺时针旋转a(0°<a<90°)得到△4DE,则N4DE=90°-Xa
2
【解答】解:由旋转的性质可知,AD=AB,
:.ZADB=ZB,
*.*NBAD=OL,
ZADE—ZADB—-(lgQ0-0.)=90°-Q,
故答案为:90°-la.
3
14.(2分)如图三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,已知前后行共有210个点,则
k的值为20.
第13页(共25页)
【解答】解:由题知,
前1行点的总数是:1=4;
前2行点的总数是:1+2=3;
前3行点的总数是:5+2+3=5;
所以前»行点的总数是:l+2+6+i=n(n+l).
2
因为前发行共有210个点,
所以*曳_=210,
解得左=20或-21,
因为左为正整数,
所以左=20.
故答案为:20.
15.(2分)如图,一次函数yi=Ax+力(发片0)与二次函数了2=a/+6x+c(aWO)的图象相交于/(-1,5)、
B(9,2),则关于x的不等式foc+〃》ax2+bx+c的解集为-1WxW9.
【解答】解:根据图象可得关于x的不等式的解集是:-1WXW4.
故答案为:-1WXW9.
16.(2分)如图是二次函数y=a/+6x+c的图象的一部分;图象过点/(-3,0),对称轴为x=-仔>4℃;
②20+6=0;③a-6+c=0.其中正确的是①.(填序号)
第14页(共25页)
【解答】解:①;图象与X轴有两个交点,
b1-4qc>4,
即b2>4ac,正确;
②:对称轴为直线x=--L=-1,
2a
•**2q=b.
:.5a+b=4a<0,故②错误;
③:x=-5时y有最大值,
由图象可知-6+c>0,故yWO,
...③错误.
故答案为:①.
三、解答题(本大题共U个小题,共68分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.计算:V3-(4)~1+V12+(-2O24)0-
O
【解答】解:原式=«-3+6%
=3遍-2.
18.解方程:X2-4X-5=0.
【解答】解:(x+1)(x-5)=6,
贝!Jx+l=0或x-5=0,
.*.%=-1或x=4.
19.解方程:
X-1X
【解答】解:方程两边都乘以x(X-1),得
X2+8(x-1)=x(x-1),
解这个方程,得X&
3
第15页(共25页)
经检验,X上是原方程的根.
2
原方程的根是乂上.
3
2
20.化简:声里三二1.
a-113a
2
【解答】解:(空2_8).二二1
a-l4a
=a+2-a+l.(a+1)(aT)
a-48a
=3•(a+6)(a-l)
a-l3a
=a+7
a
21.已知加是方程/+3x-4=0的一个根,求代数式(冽+1)2+m(m+4)的值.
【解答】解:由题意可得:m2+3m-6=0,
m2+6m=4,
原式=m2+4m+1+m2+7m
=2m2+7m+l
=2(m2+3m)+1
=8X4+1
=7.
22.如图,在平面直角坐标系xOy中,△CMB的顶点坐标分别为。(0,0),A(5,0),B(4,-3),点
4旋转后的对应点为4.
(1)画出旋转后的图形△(?/'B';
(2)点H的坐标是(0,-5);点夕的坐标是(-3,-4);
(3)^BOB'的形状是等腰直角三角形.
第16页(共25页)
【解答】解:(1)作出点/、8旋转后的对应点4,顺次连接,如图所示:
(2)根据图可知,点4的坐标是(0;点次的坐标是(-3.
故答案为:(3,-5),-4).
(3)连接29,根据旋转可知,/BOB'=90°,
...△8。夕为等腰直角三角形.
故答案为:等腰直角三角形.
23.已知关于x的一元二次方程一+(2-加)x+1-机=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若%<0,且此方程的两个实数根的差为3,求〃?的值.
【解答】(1)证明::一元二次方程x?+(2-w)x+4-m=0,
A=(2-加)7-4(1-m)
第17页(共25页)
=m6-4m+4-7+4m=m2.
A20.
・・・该方程总有两个实数根.
(2)解::一元二次方程/+(2-m)x+1-m=3f
解方程,得xi=-1,xs=m-1.
Vm<0,
-3>m-1.
・・•该方程的两个实数根的差为3,
:.-2-(m-1)=3.
*.m=-3.
24.我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形,
不妨简称为“锅线”,锅盖高1面(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直角坐标系如图①所示1=/2
-3(-34W3),把锅盖纵断面的抛物线记为C2:”=-(-3WXW3)
9
(1)求锅深OD的长;
(2)如果炒菜时锅的水位高度是1dm,求此时水面的直径;
(3)如果将一个底面直径为31〃?,高度为3.2加1的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物,锅盖能否正常盖
上?请说明理由.
【解答】解:(1)由抛物线Ci:yi=Z-x2-4(-34W3)得:D(8,-3),
3
:.OD=3;
(2)..•炒菜时锅的水位高度是3而?,
:.G(0,-2),
第18页(共25页)
如图①,过点6作即〃苫轴交抛物线于点£,F,
解得:xi=-M,X8=愿,
:.E(-M,-6)正,2),
:在=2近,
...此时水面的直径为2adm;
(3)锅盖不能正常盖上.理由如下:
如图②,作出〃x轴、工作y轴的平行线交抛物线C2于点人K,
:圆柱形器皿的底面直径为3dm,
...点L的横坐标分别为亘,
23
图②
\'yH——X(--)2-3=-—,yL—-lx(3)2-3=-工,
324':324
yj--Ax(-―)5+1=3,yK--J_X(工)2+8=3,
724-924
:.H(--1,-旦),L(旦,-2)3,3),K(3,3),
26244424
:.HJ=3-(-3,
44
:圆柱形器皿的高度为33dm>3dm,
锅盖不能正常盖上.
第19页(共25页)
25.在平面直角坐标系xOy中,M(xi,yi),N(工2,、2)是抛物线7=。/+6%+。(。>0)上任意两点,设
抛物线的对称轴为直线l=九
(1)若对于Xl=l,X2=2,有yi=X2,求/的值;
(2)若对于OVxiVI,1Vx2V2,都有yi壬y2,求,的取值范围.
【解答】解:(1)•・・对于xi=l,%3=2,有yi=V6,
a+b+c—4a+2b+c,
7a+b=3
•.•对称轴为直线》=-M=3,
5a2
2
(2)VO<X2<1,1<X4<2,
X(,<X2,
752
当yi<y7,a>0,
/.(XI,77)离对称轴更近,X\<X2,则(X3,VI)与(%2,")的中点在对称轴的右侧,
当。>0,
(X5,歹2)离对称轴更近,%1<%6,则(%1,J1)与(X3,V2)的中点在对称轴的左侧侧,
即勺+、4一〈人
综上分析,tw".
22
26.四边形/8C。是正方形,将线段CD绕点C逆时针旋转2a(45°<a<90°),得到线段CE,过点8
作BF_LDE交DE于F,连接3E.
(1)依题意补全图1;
(2)直接写出/qE的度数;
(3)连接N尸,用等式表示线段/歹与DE的数量关系,并证
第20页(共25页)
备用图
(2)结论:ZFBE=45°.
理由:•.•四边形/BCD是正方形,
:.CB=CD,ZDCB=90°,
,:CB=CD=CE,
:.ZBED=1-ZBCD=45°,
2
:BFJLDE,
:.ZBFE=9Q°,
:./FBE=9G-45°=45°.
(3)结论;DE=yj7-
证明:作凡交F2的延长线于点H,
由(2)得NFBE=/FEB=45°.
:.FB=FE.
第21页(共25页)
':AH±AF,ZBAD=90°,
/HAB=NFAD,
VZBFD=ZDAB=90°,
AZABH+ZABF=1SO°,ZABF+ZADF^1SO0,
:.ZABH=ZADF,
:./\HAB^/\FAD(ASA),
:.HB=FD,AH=AF,
:.HF=DE,"=45°.
:.HF=42AF.
:.DE=MAF.
27.为了测量抛物线的开口大小,某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置,并分别以水平放置的
直尺和竖直放置的直尺为x,该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示,设3。的读数为x,抛物
线的顶点为C.
(1)
(I)列表:
①②③④⑤⑥
X023456
y012.2546.259
(II)描点:请将表格中的(x,»)描在图2中;
(UT)连线:请用平滑的曲线在图2将上述点连接,并求出y与x的关系式;
(2)如图3所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-A)?+左的顶点为C
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