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文档简介
2024-2025学年福建省厦门市同安一中八年级(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题有10小题,每小题4分,共40分)
1.(4分)下列四种图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图,其中是轴对称图形的是()
2.(4分)下列长度的四根木棒中,能与长度分别为3c机和6ow长的木棒构成三角形的是()
A.2cmB.4cmC.9cmD.10cm
3.(4分)下列计算结果正确的是()
AA.a39a3=cr9B.(片)3=a5C.D.(a3)2=〃6
4.(4分)八边形的外角和为(
A.180°B.360°C.1080°D.1440°
5.(4分)如图,已知那么添加下列一个条件后()
A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°
6.(4分)如图,在AABC中,A。是高,若AD=3,SMBC=6,则55的长为()
C.2D.4
7.(4分)如图,△ABC丝点。在边上,则NAOC的度数是(
BDC
A.50°B.55°C.60°D.65°
8.(4分)如图所示,已知NAOB=60°,点P在边。4上,点M,N在边02上,若MN=1,则的
长为()
9.(4分)如图,AE,8。是△ABC的角平分线,AE,8。交于点O,NC=60°,以下结论错误的是()
A.ZAOB=120°
B.连接。C,则OC平分NACB
C.AD+BE=AB
D.若△ABC的周长为机,OF=n,贝!J
10.(4分)如图,边长为°的等边△ABC中,8尸是4c上中线且2尸=6,连接A。,在AD的右侧作等边
AADE,则△AEB周长的最小值是()
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)(1)x2*x3=;(2)(/b)3=.
12.(4分)如图,BE,C£)是△ABC的高,判定的依据是.(填写字母即可)
A
13.(4分)一个多边形的内角和是720。,这个多边形的边数是.
14.(4分)如图,八48。中,42=4。,。是48的中点,。£交4(7于£点,3。=8,八8£(7的周长是18
15.(4分)如图,在长方形A8CZ)中,AB=4,延长BC到点£,使CE=2,动点尸从点2出发,以每秒
2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,当t的值为秒时,AABP与△DCE全等.
16.(4分)如图,等腰三角形ABC中,AB^AC,A。,3c于。,点尸是BA延长线上一点,OP=OC,
下面结论:①NAPO=NAC。;③NAPO+/PCB=90°.其中正确的有.(填正确结论序号)
三、解答题(本大题有9小题,共86分)
17.(8分)(1)3。・与3;
32
(2)3次.°4+(-2(Z).
18.(8分)已知:如图,点C是线段AE的中点,AB=CD
求证:△ABg^CDE.
BD
'E
19.(8分)如图,平面直角坐标系中,A(-4,6),8(-1,2),C(-3,1).
(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△ABC;
(2)C的坐标为,△A8C的面积为
20.(8分)如图,在△ABC中,平分/BAC,。交8c的延长线于点E,若/8=35°,求/E
(1)尺规作图:作△ABC的角平分线80(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,若乙4=90°,且AZ)=4,求CZ)的长.
22.(10分)如图,小明在游乐场玩两层型滑梯,每层楼梯的高度相同(EH=HD),他想知道左右两个滑
梯3C和所的长度是否相等,于是制定了如下方案:
课题探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具长度为6米的卷尺
测量步骤①测量出线段ED的长度;
②测量出线段A8的长度
测量数据。尸=2.5米,AB=5米
(1)根据小明的测量方案和数据,判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等?并说明理由;
(2)猜想左右两个滑梯8c和EP所在直线的位置关系,并加以证明.
23.(10分)如果。、b、c是整数,且“c=b,那么我们规定一种记号(a,b)—C2—16,那么记作(4,
16)=2.
(1)(2,8)=.
(2)若k、m、n、p均为整数,且(k,9)=m,(k,27)=n,(k,243),探究小〃、p之间满足的
等量关系,并证明.
(3)小明在研究这种记号时发现一个规律:(/,bn)=(a,6)(〃是正整数),请你帮他完成证明.
24.(12分)已知在△AOS中,。4=。8,ZAOB=120°,连接AC、BC、OC,OA=OC.
(1)如图1,点。在△ABC的内部,
①当/ACO=20°时,求/O8C的度数;
②当C。平分NACB时,判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果直线BC与直线AO相交于点D,△CO。是以。。为腰的等腰三角形,请画出示意图并直接
写出N0C2的度数(友情提示:为使图形清晰,一个图中只画一种情况;备用图的数量与本题答案无
关).
25.(14分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(a,0)(0,b)分别在坐标轴的正半轴上.
(1)如图b若。、6满足(a-4)2+|&-3|=0,以8为直角顶点,为直角边在第一象限内作等腰
直角△ABC;
(2)如图2,若a=b,点。是OA的延长线上一点,8。为直角边在第一象限作等腰直角△BOE,连接
AE;
2024-2025学年福建省厦门市同安一中八年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题有10小题,每小题4分,共40分)
1.(4分)下列四种图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图,其中是轴对称图形的是()
【解答】解:B,C,D选项中的图形都不能找到一条直线,直线两旁的部分能够互相重合,故不符合
题意;
A选项中的图形能找到一条(或多条)直线,使图形沿一条直线折叠,所以是轴对称图形.
故选:A.
2.(4分)下列长度的四根木棒中,能与长度分别为3c机和6c7九长的木棒构成三角形的是()
A.2cmB.4cmC.9cmD.10cm
【解答】解:设第三根木棒的长为XC7",
:另两根的木棒长分别为3c机和6cm,
;.8-3<尤<6+8,即3<x<9,
故选:B.
3.(4分)下列计算结果正确的是()
33923523526
A.67*a=aB.(a)=aC.a+a=aD.(/)=a
【解答】解:A、a3-a3=a8,选项不符合题意;
B、(a2)3=a3,选项不符合题意;
C、/+/不是同类项,不能合并;
D、(a6)2=/,选项符合题意.
故选:D.
4.(4分)八边形的外角和为()
A.180°B.360°C.1080°D.1440°
【解答】解:八边形的外角和等于360。,
故选:B.
5.(4分)如图,已知那么添加下列一个条件后()
D
A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°
【解答】解:已知且AC=AC,
当添加CB=CD,根据SSS能判断△A2C0ZXAOC;
当添加/R4C=ZDAC,根据SAS能判断△ABC0△ADC;
当添加/8=/。=90°,根据"L能判断△ABCgZkAOC;
如果添加NBC4=/Z)C4,不能根据SSA判断△ABCg^AOC;
故选:C.
6.(4分)如图,在△ABC中,是高,若AD=3,S^ABC=6,则3E的长为()
【解答】解:AD=3,SMBC=6,
:.3-BC-AD=6,
2
.•.且BC・3=3,
2
:.BC=4,
1是BC边上的中线,
.•.BE=1BC=2,
8
故选:C.
7.(4分)如图,AABC^^AED,点。在8c边上,则/AQC的度数是()
E
BDC
A.50°B.55°C.60°D.65°
【解答】解:V
:.ZBAC=ZEAD,/EDA=NC,
:.ZDAC=ZEAB=50°,
ZADE=ZADC=ZC=65°,
故选:D.
8.(4分)如图所示,已知NAO5=60°,点尸在边04上,点N在边03上,若MN=1,则0M的
长为()
【解答】解:过点P作尸于点。,
:.ZOPD=30°,
・1
・・DO,OP=5,
,;PM=PN,MN=1,
:.MD=ND=Q3,
:.MO=DO-MD=6-0.7=5.5.
故选:D.
9.(4分)如图,AE、8。是△ABC的角平分线,AE、8。交于点O,NC=60°,以下结论错误的是(
B.连接OC,贝IOC平分/ACB
C.AD+BE=AB
D.若△ABC的周长为“z,OF—n,贝!ISz\ABC=m”
【解答】解:A.:NC=60°,
ZABC+ZCAB=180°-NC=120°,
':AE,BO是△ABC的角平分线,
Z.ZOAB+ZOBA=A(ZABC+ZCAB)=60°,
2
AZAOB=180°-CZOAB+ZOBA)=120°,
故A正确,不符合题意;
B.连接OC,
VAE,BO是△ABC的角平分线、BD交于点、O,
:.OC平分NAC3,
故8正确,不符合题意;
C.如图2,
:.ZDAO=ZMOA,
9:AO=AO,
:.AAOD^AAOM(SAS),
・•・ZAOM=ZAOD,
VZAOB=120°,
・・・NAOO=N5OE=1800-NAO3=60°,
AZAOM=ZAOD=60°,
・•・ZBOM=ZAOB-ZAOM=60°,
:.ZBOM=ZEOB,
・・・B□是△ABC的角平分线,
・•・NMBO=NEBO,
•:OB=OB,
・•・△BOEmABOM(ASA),
:,BE=BM,
:.AB^AM+BM=AD+BE,
故C正确,不符合题意;
D.连接。C,OH±BC,H,如图2,
AB
图2
,:AE,8。是△ABC的角平分线,
OG=OF=OH=rt,
S/^ABC=SMOC+SABOC+SAAOB=-1(AB+BC+ACy'OF=—,
52
故。错误,符合题意;
故选:D.
10.(4分)如图,边长为a的等边△ABC中,是AC上中线且连接A。,在的右侧作等边
△ADE,则△?!斯周长的最小值是(
C.a+—bD.—a
22
【解答】解:如图,:△ABC,
.,.AB=AC=a,AD=AE,
J.ZBAD=ZCAE,
.♦.△BA。名△CAE(SAS),
ZABD=ZACE,
AF—CF—^-a,BF—b,
2
AZABD=ZCBD=ZACE=30°,BF±AC,
.,.点E在射线CE上运动(NACE=30°),
作点A关于直线CE的对称点M,连接FM交CE于E',
:CA=CM,ZACM=60°,
.,.△ACM是等边三角形,
:.AM^AC,
VBFXAC,
:.FM=BF=b,
.♦.△AEP周长的最小值+AE'^AF+FM^^-a+b,
2
故选:B.
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)(1)x2,x3=x5;(2)(/人)3=°6b3.
【解答】解:(1)/•丁=%3,
故答案为:?.
2
(2)(a&)2=(16b3.
故答案为:a4b3.
12.(4分)如图,BE,C£>是△ABC的高,判定△2。丝△C8E的依据是A4s.(填写字母即可)
:.AB=AC,
,:BE,C。是△ABC的高,
;.NBDC=NCEB=90°,
在△BCD与△CBE中,
,ZABC=ZACB
-ZBDC=ZCEB-
AB=AC
:ABCD名ACBE(A4S),
故答案为:A4s.
13.(4分)一个多边形的内角和是720。,这个多边形的边数是6
【解答】解::多边形的内角和公式为("-2)780°,
(«-2)X1800=720°,
解得〃=3,
这个多边形的边数是6.
故答案为:6.
14.(4分)如图,ZkABC中,AB=AC,。是A8的中点,DE交AC于E点、,BC=8,ZYBEC的周长是18
【解答】解:。是AB的中点,
•••OE是线段48的垂直平分线,
:.EA=EB,
△8EC的周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+CA=18,
又;BC=8,
.\AC=10,
:.AB=AC=10.
故答案为:10.
15.(4分)如图,在长方形ABC。中,A2=4,延长8C到点E,使CE=2,动点尸从点8出发,以每秒
2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,当t的值为1或7秒时,△ABP与ADCE全等.
【解答】解:因为AB=C。,若/A8P=/QCE=90°,根据SAS证得△ABPgZkOCE,
由题意得:BP=2t=2,
所以f=8,
因为AB=C£),若N8AP=/OCE=90°,根据SAS证得△BAP乌△DCE,
由题意得:AP=16-2t=2,
解得t=5.
所以,当时r=l或7.
故答案为:4或7.
16.(4分)如图,等腰三角形ABC中,AB^AC,ADLBC于。,点尸是BA延长线上一点,OP=OC,
下面结论:①/APO=NACO;③NAPO+NPC8=90°.其中正确的有①②③.(填正确结论序号)
【解答】解:如图,连接30,
VAB=AC,ADLBC,
:・BD=CD,
・・・AO垂直平分BC,
9:08=。。,
:・N0BC=N0CB,
XvOP=OC,
:.OP=OB,
:.Z0BP=Z0PB,
又「在等腰△ABC中NBAC=120°,AB=AC,
:.ZABC=ZACB=30°,
Z0BC+Z0BP=ZOCB+ZACO,
:・N0BP=NAC0,
:.ZAPO=ZACO,故①正确;
XVZABC=ZPBO+ZCBO=30°,
AZAPO+ZDCO=30°,
VZPBC+ZBPC+ZBCP=1SQ°,ZPBC=30°,
:.ZBPC+ZBCP=\50°,
又ZBPC=ZAPO+ZCPO.ZBCP=NBC0+/PC0,
:.ZAPO+ZCPO+ZBCO+ZPCO=150°,
VZAPO+ZBCO=30°,
:.zcpo+zpco=no°,
XVZPOC+ZCPO+ZPCO=1SO°,
:.ZPOC^60°,
又:OP=OC,
.♦.△OPC是等边三角形,
:.PC=PO,/PCO=60°;
AZAPO+ZBCO+ZPCO^30°+60°=90°,
即:ZAPO+ZPCB=90°,故③正确;
综上可知:①②③正确,
故答案为:①②③.
三、解答题(本大题有9小题,共86分)
17.(8分)(1)s/yZxy3;
(2)3cr*c^+(-2a③)4
【解答】解:(1)3/y・2孙3
=6X2J4;
(2)3fl8,«4+(-2a3)2
—3cz2+4a6
=2tz6.
18.(8分)已知:如图,点C是线段AE的中点,AB=CD
求证:LABC丝4CDE.
【解答】证明::点C是线段AE的中点,
J.AC^CE,
'AB=CD
在△ABC和中一BC=DE,
AC=CE
:.AABC注ACDE(SSS).
19.(8分)如图,平面直角坐标系中,A(-4,6),3(-1,2),C(-3,1).
(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△ABC;
(2)C的坐标为(3,1),△A8C的面积为H
―2-
(2)由图可得,C(3.
△4W的面积为Jx(1+5)X7-^X3X1-^XIX5=3-l-4=^T-
oNNbZ
故答案为:(3,6);11.
2
20.(8分)如图,在△ABC中,AD平分/BAG交BC的延长线于点E,若NB=35,求NE
的度数.
A
【解答】解:VZj5=35°,ZACB=85°,
.1.ZBAC=60°,
,:AD平分NBAC,
:.ZDAC=30°,
AAADC=65°,
;.NE=25°.
21.(8分)如图,已知△ABC.
(1)尺规作图:作△ABC的角平分线8。(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,若乙4=90°,且AO=4,求CD的长.
【解答】解:(1)如图:8。即为所求;
.\ZC=30°,
由(1)知,2。平分/ABC,
/ABD=/DBC=L/ABC=2,
22
:.ZC=ZDBC,
:.BD=CD,
在直角三角形AB。中,
6
:.BD=2AD=2X4=S,
:.CD=BD=8.
22.(10分)如图,小明在游乐场玩两层型滑梯,每层楼梯的高度相同(EH=HD),他想知道左右两个滑
梯BC和跖的长度是否相等,于是制定了如下方案:
课题探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具长度为6米的卷尺
测量步骤①测量出线段阳的长度;
②测量出线段A8的长度
测量数据。尸=2.5米,48=5米
(1)根据小明的测量方案和数据,判断两个滑梯和跖的长度是否相等?并说明理由;
(2)猜想左右两个滑梯8c和所在直线的位置关系,并加以证明.
【解答】解:(1)BC=EF.
理由::EH=DH=25米,
米,
:.AB=DE,
由题意可知四边形C4。”为矩形,
:.CA=DH=2.5米,
尸=2.5米,
:.AC=DF,
在△ABC和△DEE中,
'AB=DE
<ZCAB=ZFDE=90°>
AC=DF
.,.△ABgADEF(SAS)
:.BC=EF,即BC和EF的长相等.
(2)BCLEF.
理由:延长BC交跖于点
:./DFE+/EDF=90°,
;△ABgADEF(SAS),
:./B=/DEF,
:.ZB+ZDFE=90°,
:.ZBMF=9Q°,
J.EFLBM.
23.(10分)如果a、b、c是整数,且那么我们规定一种记号(a,b)=c2=16,那么记作(4,
16)=2.
(1)(2,8)=3.
(2)若k、m、n、p均为整数,且(k,9)=m,(k,27)=",(k,243),探究相、n、p之间满足的
等量关系,并证明.
(3)小明在研究这种记号时发现一个规律:(/,〃)=(a,6)"是正整数),请你帮他完成证明.
【解答】(1)解:设(2,8)=必=3,
V2X=8=73,
;.x=3,
(2,8)=3.
故答案为:4.
(2)m+n=p.
证明:*.*(上9)=m,27)=n,243)=p,
:・即=9,"=27,"=243,
=8X27=243,
:•即+〃=城,
m+n=p.
(3)证明:设(。〃,济)=s,(〃,
则(〃")s=Z?〃,at=b,
(〃")s=ans=bn=(4)n=ant,
・・ns—nt9
是正整数,
・・$=,,
(a",〃)=(a,b).
24.(12分)已知在△AOB中,OA^OB,ZAOB=120°,连接AC、BC、OC,OA^OC.
(1)如图1,点。在△ABC的内部,
①当/ACO=20°时,求NOBC的度数;
②当C。平分NACB时,判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果直线BC与直线AO相交于点。,△CO。是以。。为腰的等腰三角形,请画出示意图并直接
写出N0C2的度数(友情提示:为使图形清晰,一个图中只画一种情况;备用图的数量与本题答案无
关).
【解答】解:(1)①在△OAC中,OA=OC,
:.ZCAO^ZACO^2Q°,
AZAOC=180°-(ZCAO+ZACO)=140°,
又:/AO8=120°,
AZBOC=360°-(ZAOC+ZAOB)=100°,
VOA^OB,OA^OC,
:.OB=OC,
在△BOC中,OB=OC,
•'•ZOBC=ZOCB^-(180°-ZB0C)=40°;
②△ABC为等边三角形;理由如下:
如图6所示:
c
:CO平分NACB,
.•.设/0CA=N0C2=a,则NACB=2a,
在△CMC中,OA^OC,
:.ZOAC=ZOCA=a,
在△OBC中,OB=OC,
;./OBC=NOCB=a,
在△CMB中,OA^OB,
•'-Z0BA=Z0AB=y(180°-ZAOB)=30°,
AZCAB=ZOAB+ZOAC=30°+a,ZCBA=ZOBA+ZOBC=30°+a,
在△ABC中,ZACB+ZCAB+ZCBA=180°,
•,.2a+30°+a+30°+a=180°,
;.a=30°
AZACB=2a=60°,ZCAB=3Q°+a=60°,
.•.△ABC为等边三角形;
(2)/0C8的度数为20°或40°,理由如下:
:直线BC与直线A。相交于点。,且△C。。是以DO为腰的等腰三角形,
有以下两种情况:
①当直线BC与线段A。交于点。时,如图5」:
图2.1
设N0C8=B,
,.•△C。。是以。。为腰的等腰三角形,即。。=Z)C,
:.ZDOC=ZOCB=^f
VZAOB=120°,
AZCOB=ZDOC+ZAOB=p+120°,
在△03C中,03=0C,
:.ZOBC=ZOCB=^f
':ZOCB-vZCOB+ZOBC=180°,
Ap+p+1200+0=180°,
・・・B=20°,
即NOCB=0=2O°,
②当直线3。与AO的延长线交于点。时,如图2.7:
VZAOB=120°,
:.ZBOD=1SO°-ZAOB=60°,
•••△CO。是以QO为腰的等腰三角形,即0。=。。,
:.ZDOC=ZOCB^e,
:.ZCOB=ZDOC+ZBOD=Q+60°,
在△03C中,OB=O
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