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文档简介

2024-2025学年福建省厦门市同安一中八年级(上)期中数学试卷

一、选择题(本大题有10小题,每小题4分,共40分)

1.(4分)下列四种图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图,其中是轴对称图形的是()

2.(4分)下列长度的四根木棒中,能与长度分别为3c机和6ow长的木棒构成三角形的是()

A.2cmB.4cmC.9cmD.10cm

3.(4分)下列计算结果正确的是()

AA.a39a3=cr9B.(片)3=a5C.D.(a3)2=〃6

4.(4分)八边形的外角和为(

A.180°B.360°C.1080°D.1440°

5.(4分)如图,已知那么添加下列一个条件后()

A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

6.(4分)如图,在AABC中,A。是高,若AD=3,SMBC=6,则55的长为()

C.2D.4

7.(4分)如图,△ABC丝点。在边上,则NAOC的度数是(

BDC

A.50°B.55°C.60°D.65°

8.(4分)如图所示,已知NAOB=60°,点P在边。4上,点M,N在边02上,若MN=1,则的

长为()

9.(4分)如图,AE,8。是△ABC的角平分线,AE,8。交于点O,NC=60°,以下结论错误的是()

A.ZAOB=120°

B.连接。C,则OC平分NACB

C.AD+BE=AB

D.若△ABC的周长为机,OF=n,贝!J

10.(4分)如图,边长为°的等边△ABC中,8尸是4c上中线且2尸=6,连接A。,在AD的右侧作等边

AADE,则△AEB周长的最小值是()

二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)

11.(4分)(1)x2*x3=;(2)(/b)3=.

12.(4分)如图,BE,C£)是△ABC的高,判定的依据是.(填写字母即可)

A

13.(4分)一个多边形的内角和是720。,这个多边形的边数是.

14.(4分)如图,八48。中,42=4。,。是48的中点,。£交4(7于£点,3。=8,八8£(7的周长是18

15.(4分)如图,在长方形A8CZ)中,AB=4,延长BC到点£,使CE=2,动点尸从点2出发,以每秒

2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,当t的值为秒时,AABP与△DCE全等.

16.(4分)如图,等腰三角形ABC中,AB^AC,A。,3c于。,点尸是BA延长线上一点,OP=OC,

下面结论:①NAPO=NAC。;③NAPO+/PCB=90°.其中正确的有.(填正确结论序号)

三、解答题(本大题有9小题,共86分)

17.(8分)(1)3。・与3;

32

(2)3次.°4+(-2(Z).

18.(8分)已知:如图,点C是线段AE的中点,AB=CD

求证:△ABg^CDE.

BD

'E

19.(8分)如图,平面直角坐标系中,A(-4,6),8(-1,2),C(-3,1).

(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△ABC;

(2)C的坐标为,△A8C的面积为

20.(8分)如图,在△ABC中,平分/BAC,。交8c的延长线于点E,若/8=35°,求/E

(1)尺规作图:作△ABC的角平分线80(保留作图痕迹,不要求写作法);

(2)在(1)的条件下,若乙4=90°,且AZ)=4,求CZ)的长.

22.(10分)如图,小明在游乐场玩两层型滑梯,每层楼梯的高度相同(EH=HD),他想知道左右两个滑

梯3C和所的长度是否相等,于是制定了如下方案:

课题探究两个滑梯的长度是否相等

测量工具长度为6米的卷尺

测量步骤①测量出线段ED的长度;

②测量出线段A8的长度

测量数据。尸=2.5米,AB=5米

(1)根据小明的测量方案和数据,判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等?并说明理由;

(2)猜想左右两个滑梯8c和EP所在直线的位置关系,并加以证明.

23.(10分)如果。、b、c是整数,且“c=b,那么我们规定一种记号(a,b)—C2—16,那么记作(4,

16)=2.

(1)(2,8)=.

(2)若k、m、n、p均为整数,且(k,9)=m,(k,27)=n,(k,243),探究小〃、p之间满足的

等量关系,并证明.

(3)小明在研究这种记号时发现一个规律:(/,bn)=(a,6)(〃是正整数),请你帮他完成证明.

24.(12分)已知在△AOS中,。4=。8,ZAOB=120°,连接AC、BC、OC,OA=OC.

(1)如图1,点。在△ABC的内部,

①当/ACO=20°时,求/O8C的度数;

②当C。平分NACB时,判断△ABC的形状,并说明理由;

(2)如果直线BC与直线AO相交于点D,△CO。是以。。为腰的等腰三角形,请画出示意图并直接

写出N0C2的度数(友情提示:为使图形清晰,一个图中只画一种情况;备用图的数量与本题答案无

关).

25.(14分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(a,0)(0,b)分别在坐标轴的正半轴上.

(1)如图b若。、6满足(a-4)2+|&-3|=0,以8为直角顶点,为直角边在第一象限内作等腰

直角△ABC;

(2)如图2,若a=b,点。是OA的延长线上一点,8。为直角边在第一象限作等腰直角△BOE,连接

AE;

2024-2025学年福建省厦门市同安一中八年级(上)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题有10小题,每小题4分,共40分)

1.(4分)下列四种图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图,其中是轴对称图形的是()

【解答】解:B,C,D选项中的图形都不能找到一条直线,直线两旁的部分能够互相重合,故不符合

题意;

A选项中的图形能找到一条(或多条)直线,使图形沿一条直线折叠,所以是轴对称图形.

故选:A.

2.(4分)下列长度的四根木棒中,能与长度分别为3c机和6c7九长的木棒构成三角形的是()

A.2cmB.4cmC.9cmD.10cm

【解答】解:设第三根木棒的长为XC7",

:另两根的木棒长分别为3c机和6cm,

;.8-3<尤<6+8,即3<x<9,

故选:B.

3.(4分)下列计算结果正确的是()

33923523526

A.67*a=aB.(a)=aC.a+a=aD.(/)=a

【解答】解:A、a3-a3=a8,选项不符合题意;

B、(a2)3=a3,选项不符合题意;

C、/+/不是同类项,不能合并;

D、(a6)2=/,选项符合题意.

故选:D.

4.(4分)八边形的外角和为()

A.180°B.360°C.1080°D.1440°

【解答】解:八边形的外角和等于360。,

故选:B.

5.(4分)如图,已知那么添加下列一个条件后()

D

A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

【解答】解:已知且AC=AC,

当添加CB=CD,根据SSS能判断△A2C0ZXAOC;

当添加/R4C=ZDAC,根据SAS能判断△ABC0△ADC;

当添加/8=/。=90°,根据"L能判断△ABCgZkAOC;

如果添加NBC4=/Z)C4,不能根据SSA判断△ABCg^AOC;

故选:C.

6.(4分)如图,在△ABC中,是高,若AD=3,S^ABC=6,则3E的长为()

【解答】解:AD=3,SMBC=6,

:.3-BC-AD=6,

2

.•.且BC・3=3,

2

:.BC=4,

1是BC边上的中线,

.•.BE=1BC=2,

8

故选:C.

7.(4分)如图,AABC^^AED,点。在8c边上,则/AQC的度数是()

E

BDC

A.50°B.55°C.60°D.65°

【解答】解:V

:.ZBAC=ZEAD,/EDA=NC,

:.ZDAC=ZEAB=50°,

ZADE=ZADC=ZC=65°,

故选:D.

8.(4分)如图所示,已知NAO5=60°,点尸在边04上,点N在边03上,若MN=1,则0M的

长为()

【解答】解:过点P作尸于点。,

:.ZOPD=30°,

・1

・・DO,OP=5,

,;PM=PN,MN=1,

:.MD=ND=Q3,

:.MO=DO-MD=6-0.7=5.5.

故选:D.

9.(4分)如图,AE、8。是△ABC的角平分线,AE、8。交于点O,NC=60°,以下结论错误的是(

B.连接OC,贝IOC平分/ACB

C.AD+BE=AB

D.若△ABC的周长为“z,OF—n,贝!ISz\ABC=m”

【解答】解:A.:NC=60°,

ZABC+ZCAB=180°-NC=120°,

':AE,BO是△ABC的角平分线,

Z.ZOAB+ZOBA=A(ZABC+ZCAB)=60°,

2

AZAOB=180°-CZOAB+ZOBA)=120°,

故A正确,不符合题意;

B.连接OC,

VAE,BO是△ABC的角平分线、BD交于点、O,

:.OC平分NAC3,

故8正确,不符合题意;

C.如图2,

:.ZDAO=ZMOA,

9:AO=AO,

:.AAOD^AAOM(SAS),

・•・ZAOM=ZAOD,

VZAOB=120°,

・・・NAOO=N5OE=1800-NAO3=60°,

AZAOM=ZAOD=60°,

・•・ZBOM=ZAOB-ZAOM=60°,

:.ZBOM=ZEOB,

・・・B□是△ABC的角平分线,

・•・NMBO=NEBO,

•:OB=OB,

・•・△BOEmABOM(ASA),

:,BE=BM,

:.AB^AM+BM=AD+BE,

故C正确,不符合题意;

D.连接。C,OH±BC,H,如图2,

AB

图2

,:AE,8。是△ABC的角平分线,

OG=OF=OH=rt,

S/^ABC=SMOC+SABOC+SAAOB=-1(AB+BC+ACy'OF=—,

52

故。错误,符合题意;

故选:D.

10.(4分)如图,边长为a的等边△ABC中,是AC上中线且连接A。,在的右侧作等边

△ADE,则△?!斯周长的最小值是(

C.a+—bD.—a

22

【解答】解:如图,:△ABC,

.,.AB=AC=a,AD=AE,

J.ZBAD=ZCAE,

.♦.△BA。名△CAE(SAS),

ZABD=ZACE,

AF—CF—^-a,BF—b,

2

AZABD=ZCBD=ZACE=30°,BF±AC,

.,.点E在射线CE上运动(NACE=30°),

作点A关于直线CE的对称点M,连接FM交CE于E',

:CA=CM,ZACM=60°,

.,.△ACM是等边三角形,

:.AM^AC,

VBFXAC,

:.FM=BF=b,

.♦.△AEP周长的最小值+AE'^AF+FM^^-a+b,

2

故选:B.

二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)

11.(4分)(1)x2,x3=x5;(2)(/人)3=°6b3.

【解答】解:(1)/•丁=%3,

故答案为:?.

2

(2)(a&)2=(16b3.

故答案为:a4b3.

12.(4分)如图,BE,C£>是△ABC的高,判定△2。丝△C8E的依据是A4s.(填写字母即可)

:.AB=AC,

,:BE,C。是△ABC的高,

;.NBDC=NCEB=90°,

在△BCD与△CBE中,

,ZABC=ZACB

-ZBDC=ZCEB-

AB=AC

:ABCD名ACBE(A4S),

故答案为:A4s.

13.(4分)一个多边形的内角和是720。,这个多边形的边数是6

【解答】解::多边形的内角和公式为("-2)780°,

(«-2)X1800=720°,

解得〃=3,

这个多边形的边数是6.

故答案为:6.

14.(4分)如图,ZkABC中,AB=AC,。是A8的中点,DE交AC于E点、,BC=8,ZYBEC的周长是18

【解答】解:。是AB的中点,

•••OE是线段48的垂直平分线,

:.EA=EB,

△8EC的周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+CA=18,

又;BC=8,

.\AC=10,

:.AB=AC=10.

故答案为:10.

15.(4分)如图,在长方形ABC。中,A2=4,延长8C到点E,使CE=2,动点尸从点8出发,以每秒

2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,当t的值为1或7秒时,△ABP与ADCE全等.

【解答】解:因为AB=C。,若/A8P=/QCE=90°,根据SAS证得△ABPgZkOCE,

由题意得:BP=2t=2,

所以f=8,

因为AB=C£),若N8AP=/OCE=90°,根据SAS证得△BAP乌△DCE,

由题意得:AP=16-2t=2,

解得t=5.

所以,当时r=l或7.

故答案为:4或7.

16.(4分)如图,等腰三角形ABC中,AB^AC,ADLBC于。,点尸是BA延长线上一点,OP=OC,

下面结论:①/APO=NACO;③NAPO+NPC8=90°.其中正确的有①②③.(填正确结论序号)

【解答】解:如图,连接30,

VAB=AC,ADLBC,

:・BD=CD,

・・・AO垂直平分BC,

9:08=。。,

:・N0BC=N0CB,

XvOP=OC,

:.OP=OB,

:.Z0BP=Z0PB,

又「在等腰△ABC中NBAC=120°,AB=AC,

:.ZABC=ZACB=30°,

Z0BC+Z0BP=ZOCB+ZACO,

:・N0BP=NAC0,

:.ZAPO=ZACO,故①正确;

XVZABC=ZPBO+ZCBO=30°,

AZAPO+ZDCO=30°,

VZPBC+ZBPC+ZBCP=1SQ°,ZPBC=30°,

:.ZBPC+ZBCP=\50°,

又ZBPC=ZAPO+ZCPO.ZBCP=NBC0+/PC0,

:.ZAPO+ZCPO+ZBCO+ZPCO=150°,

VZAPO+ZBCO=30°,

:.zcpo+zpco=no°,

XVZPOC+ZCPO+ZPCO=1SO°,

:.ZPOC^60°,

又:OP=OC,

.♦.△OPC是等边三角形,

:.PC=PO,/PCO=60°;

AZAPO+ZBCO+ZPCO^30°+60°=90°,

即:ZAPO+ZPCB=90°,故③正确;

综上可知:①②③正确,

故答案为:①②③.

三、解答题(本大题有9小题,共86分)

17.(8分)(1)s/yZxy3;

(2)3cr*c^+(-2a③)4

【解答】解:(1)3/y・2孙3

=6X2J4;

(2)3fl8,«4+(-2a3)2

—3cz2+4a6

=2tz6.

18.(8分)已知:如图,点C是线段AE的中点,AB=CD

求证:LABC丝4CDE.

【解答】证明::点C是线段AE的中点,

J.AC^CE,

'AB=CD

在△ABC和中一BC=DE,

AC=CE

:.AABC注ACDE(SSS).

19.(8分)如图,平面直角坐标系中,A(-4,6),3(-1,2),C(-3,1).

(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△ABC;

(2)C的坐标为(3,1),△A8C的面积为H

―2-

(2)由图可得,C(3.

△4W的面积为Jx(1+5)X7-^X3X1-^XIX5=3-l-4=^T-

oNNbZ

故答案为:(3,6);11.

2

20.(8分)如图,在△ABC中,AD平分/BAG交BC的延长线于点E,若NB=35,求NE

的度数.

A

【解答】解:VZj5=35°,ZACB=85°,

.1.ZBAC=60°,

,:AD平分NBAC,

:.ZDAC=30°,

AAADC=65°,

;.NE=25°.

21.(8分)如图,已知△ABC.

(1)尺规作图:作△ABC的角平分线8。(保留作图痕迹,不要求写作法);

(2)在(1)的条件下,若乙4=90°,且AO=4,求CD的长.

【解答】解:(1)如图:8。即为所求;

.\ZC=30°,

由(1)知,2。平分/ABC,

/ABD=/DBC=L/ABC=2,

22

:.ZC=ZDBC,

:.BD=CD,

在直角三角形AB。中,

6

:.BD=2AD=2X4=S,

:.CD=BD=8.

22.(10分)如图,小明在游乐场玩两层型滑梯,每层楼梯的高度相同(EH=HD),他想知道左右两个滑

梯BC和跖的长度是否相等,于是制定了如下方案:

课题探究两个滑梯的长度是否相等

测量工具长度为6米的卷尺

测量步骤①测量出线段阳的长度;

②测量出线段A8的长度

测量数据。尸=2.5米,48=5米

(1)根据小明的测量方案和数据,判断两个滑梯和跖的长度是否相等?并说明理由;

(2)猜想左右两个滑梯8c和所在直线的位置关系,并加以证明.

【解答】解:(1)BC=EF.

理由::EH=DH=25米,

米,

:.AB=DE,

由题意可知四边形C4。”为矩形,

:.CA=DH=2.5米,

尸=2.5米,

:.AC=DF,

在△ABC和△DEE中,

'AB=DE

<ZCAB=ZFDE=90°>

AC=DF

.,.△ABgADEF(SAS)

:.BC=EF,即BC和EF的长相等.

(2)BCLEF.

理由:延长BC交跖于点

:./DFE+/EDF=90°,

;△ABgADEF(SAS),

:./B=/DEF,

:.ZB+ZDFE=90°,

:.ZBMF=9Q°,

J.EFLBM.

23.(10分)如果a、b、c是整数,且那么我们规定一种记号(a,b)=c2=16,那么记作(4,

16)=2.

(1)(2,8)=3.

(2)若k、m、n、p均为整数,且(k,9)=m,(k,27)=",(k,243),探究相、n、p之间满足的

等量关系,并证明.

(3)小明在研究这种记号时发现一个规律:(/,〃)=(a,6)"是正整数),请你帮他完成证明.

【解答】(1)解:设(2,8)=必=3,

V2X=8=73,

;.x=3,

(2,8)=3.

故答案为:4.

(2)m+n=p.

证明:*.*(上9)=m,27)=n,243)=p,

:・即=9,"=27,"=243,

=8X27=243,

:•即+〃=城,

m+n=p.

(3)证明:设(。〃,济)=s,(〃,

则(〃")s=Z?〃,at=b,

(〃")s=ans=bn=(4)n=ant,

・・ns—nt9

是正整数,

・・$=,,

(a",〃)=(a,b).

24.(12分)已知在△AOB中,OA^OB,ZAOB=120°,连接AC、BC、OC,OA^OC.

(1)如图1,点。在△ABC的内部,

①当/ACO=20°时,求NOBC的度数;

②当C。平分NACB时,判断△ABC的形状,并说明理由;

(2)如果直线BC与直线AO相交于点。,△CO。是以。。为腰的等腰三角形,请画出示意图并直接

写出N0C2的度数(友情提示:为使图形清晰,一个图中只画一种情况;备用图的数量与本题答案无

关).

【解答】解:(1)①在△OAC中,OA=OC,

:.ZCAO^ZACO^2Q°,

AZAOC=180°-(ZCAO+ZACO)=140°,

又:/AO8=120°,

AZBOC=360°-(ZAOC+ZAOB)=100°,

VOA^OB,OA^OC,

:.OB=OC,

在△BOC中,OB=OC,

•'•ZOBC=ZOCB^-(180°-ZB0C)=40°;

②△ABC为等边三角形;理由如下:

如图6所示:

c

:CO平分NACB,

.•.设/0CA=N0C2=a,则NACB=2a,

在△CMC中,OA^OC,

:.ZOAC=ZOCA=a,

在△OBC中,OB=OC,

;./OBC=NOCB=a,

在△CMB中,OA^OB,

•'-Z0BA=Z0AB=y(180°-ZAOB)=30°,

AZCAB=ZOAB+ZOAC=30°+a,ZCBA=ZOBA+ZOBC=30°+a,

在△ABC中,ZACB+ZCAB+ZCBA=180°,

•,.2a+30°+a+30°+a=180°,

;.a=30°

AZACB=2a=60°,ZCAB=3Q°+a=60°,

.•.△ABC为等边三角形;

(2)/0C8的度数为20°或40°,理由如下:

:直线BC与直线A。相交于点。,且△C。。是以DO为腰的等腰三角形,

有以下两种情况:

①当直线BC与线段A。交于点。时,如图5」:

图2.1

设N0C8=B,

,.•△C。。是以。。为腰的等腰三角形,即。。=Z)C,

:.ZDOC=ZOCB=^f

VZAOB=120°,

AZCOB=ZDOC+ZAOB=p+120°,

在△03C中,03=0C,

:.ZOBC=ZOCB=^f

':ZOCB-vZCOB+ZOBC=180°,

Ap+p+1200+0=180°,

・・・B=20°,

即NOCB=0=2O°,

②当直线3。与AO的延长线交于点。时,如图2.7:

VZAOB=120°,

:.ZBOD=1SO°-ZAOB=60°,

•••△CO。是以QO为腰的等腰三角形,即0。=。。,

:.ZDOC=ZOCB^e,

:.ZCOB=ZDOC+ZBOD=Q+60°,

在△03C中,OB=O

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