2024-2025学年福建省厦门市同安某中学八年级（上）期中数学试卷

2024-2025学年福建省厦门市同安一中八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）

1.（4分）下列四种图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（）

2.（4分）下列长度的四根木棒中，能与长度分别为3c机和6ow长的木棒构成三角形的是（）

A.2cmB.4cmC.9cmD.10cm

3.（4分）下列计算结果正确的是（)

AA.a39a3=cr9B.(片)3=a5C.D.(a3)2=〃6

4.（4分）八边形的外角和为（

A.180°B.360°C.1080°D.1440°

5.（4分）如图，已知那么添加下列一个条件后（）

A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

6.（4分）如图，在AABC中，A。是高，若AD=3,SMBC=6,则55的长为（）

C.2D.4

7.（4分）如图，△ABC丝点。在边上，则NAOC的度数是（

BDC

A.50°B.55°C.60°D.65°

8.（4分）如图所示，已知NAOB=60°,点P在边。4上，点M,N在边02上，若MN=1,则的

长为（）

9.（4分）如图，AE,8。是△ABC的角平分线，AE,8。交于点O,NC=60°,以下结论错误的是（）

A.ZAOB=120°

B.连接。C,则OC平分NACB

C.AD+BE=AB

D.若△ABC的周长为机，OF=n,贝！J

10.（4分）如图，边长为°的等边△ABC中，8尸是4c上中线且2尸=6,连接A。，在AD的右侧作等边

AADE,则△AEB周长的最小值是（）

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）（1）x2*x3=；（2）（/b）3=.

12.（4分）如图，BE,C£）是△ABC的高，判定的依据是.（填写字母即可）

A

13.（4分）一个多边形的内角和是720。，这个多边形的边数是.

14.（4分）如图,八48。中,42=4。,。是48的中点,。£交4（7于£点,3。=8,八8£（7的周长是18

15.（4分）如图，在长方形A8CZ）中，AB=4,延长BC到点£,使CE=2,动点尸从点2出发，以每秒

2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，当t的值为秒时，AABP与△DCE全等.

16.（4分）如图，等腰三角形ABC中，AB^AC,A。，3c于。，点尸是BA延长线上一点，OP=OC,

下面结论：①NAPO=NAC。；③NAPO+/PCB=90°.其中正确的有.（填正确结论序号）

三、解答题（本大题有9小题，共86分）

17.（8分）（1）3。・与3；

32

（2）3次.°4+（-2（Z）.

18.（8分）已知：如图，点C是线段AE的中点，AB=CD

求证：△ABg^CDE.

BD

'E

19.(8分)如图，平面直角坐标系中，A(-4,6),8(-1,2),C(-3,1).

(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△ABC；

(2)C的坐标为,△A8C的面积为

20.(8分)如图，在△ABC中，平分/BAC,。交8c的延长线于点E,若/8=35°,求/E

(1)尺规作图：作△ABC的角平分线80(保留作图痕迹，不要求写作法);

(2)在(1)的条件下，若乙4=90°,且AZ)=4,求CZ)的长.

22.(10分)如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同(EH=HD),他想知道左右两个滑

梯3C和所的长度是否相等，于是制定了如下方案：

课题探究两个滑梯的长度是否相等

测量工具长度为6米的卷尺

测量步骤①测量出线段ED的长度；

②测量出线段A8的长度

测量数据。尸=2.5米，AB=5米

(1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由;

(2)猜想左右两个滑梯8c和EP所在直线的位置关系，并加以证明.

23.(10分)如果。、b、c是整数，且“c=b,那么我们规定一种记号(a,b)—C2—16,那么记作(4,

16)=2.

(1)(2,8)=.

(2)若k、m、n、p均为整数，且(k,9)=m,(k,27)=n,(k,243),探究小〃、p之间满足的

等量关系，并证明.

(3)小明在研究这种记号时发现一个规律：(/,bn)=(a,6)(〃是正整数)，请你帮他完成证明.

24.(12分)已知在△AOS中，。4=。8,ZAOB=120°,连接AC、BC、OC,OA=OC.

(1)如图1,点。在△ABC的内部，

①当/ACO=20°时，求/O8C的度数；

②当C。平分NACB时，判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果直线BC与直线AO相交于点D,△CO。是以。。为腰的等腰三角形，请画出示意图并直接

写出N0C2的度数(友情提示：为使图形清晰，一个图中只画一种情况；备用图的数量与本题答案无

关).

25.(14分)如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)(0,b)分别在坐标轴的正半轴上.

(1)如图b若。、6满足(a-4)2+|&-3|=0,以8为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰

直角△ABC；

(2)如图2,若a=b,点。是OA的延长线上一点，8。为直角边在第一象限作等腰直角△BOE,连接

AE；

2024-2025学年福建省厦门市同安一中八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）

1.（4分）下列四种图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（）

【解答】解：B,C,D选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不符合

题意；

A选项中的图形能找到一条（或多条）直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形.

故选：A.

2.（4分）下列长度的四根木棒中，能与长度分别为3c机和6c7九长的木棒构成三角形的是（）

A.2cmB.4cmC.9cmD.10cm

【解答】解：设第三根木棒的长为XC7",

:另两根的木棒长分别为3c机和6cm,

；.8-3<尤<6+8,即3<x<9,

故选：B.

3.（4分）下列计算结果正确的是（）

33923523526

A.67*a=aB.（a）=aC.a+a=aD.(/)=a

【解答】解：A、a3-a3=a8,选项不符合题意;

B、（a2）3=a3,选项不符合题意；

C、/+/不是同类项，不能合并；

D、（a6）2=/，选项符合题意.

故选：D.

4.（4分）八边形的外角和为（）

A.180°B.360°C.1080°D.1440°

【解答】解：八边形的外角和等于360。，

故选：B.

5.（4分）如图，已知那么添加下列一个条件后（）

D

A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

【解答】解：已知且AC=AC,

当添加CB=CD,根据SSS能判断△A2C0ZXAOC；

当添加/R4C=ZDAC,根据SAS能判断△ABC0△ADC；

当添加/8=/。=90°,根据"L能判断△ABCgZkAOC；

如果添加NBC4=/Z）C4,不能根据SSA判断△ABCg^AOC；

故选：C.

6.（4分）如图，在△ABC中，是高，若AD=3,S^ABC=6,则3E的长为（）

【解答】解：AD=3,SMBC=6,

：.3-BC-AD=6,

2

.•.且BC・3=3,

2

：.BC=4,

1是BC边上的中线，

.•.BE=1BC=2,

8

故选：C.

7.（4分）如图，AABC^^AED,点。在8c边上，则/AQC的度数是（）

E

BDC

A.50°B.55°C.60°D.65°

【解答】解：V

：.ZBAC=ZEAD,/EDA=NC,

：.ZDAC=ZEAB=50°,

ZADE=ZADC=ZC=65°,

故选：D.

8.（4分）如图所示，已知NAO5=60°，点尸在边04上，点N在边03上，若MN=1,则0M的

长为（）

【解答】解：过点P作尸于点。,

：.ZOPD=30°,

・1

・・DO，OP=5,

,;PM=PN,MN=1,

:.MD=ND=Q3,

：.MO=DO-MD=6-0.7=5.5.

故选：D.

9.(4分)如图，AE、8。是△ABC的角平分线，AE、8。交于点O,NC=60°,以下结论错误的是（

B.连接OC,贝IOC平分/ACB

C.AD+BE=AB

D.若△ABC的周长为“z,OF—n,贝！ISz\ABC=m”

【解答】解：A.：NC=60°,

ZABC+ZCAB=180°-NC=120°,

'：AE,BO是△ABC的角平分线，

Z.ZOAB+ZOBA=A(ZABC+ZCAB)=60°,

2

AZAOB=180°-CZOAB+ZOBA)=120°,

故A正确，不符合题意；

B.连接OC,

VAE,BO是△ABC的角平分线、BD交于点、O,

：.OC平分NAC3,

故8正确，不符合题意；

C.如图2,

：.ZDAO=ZMOA,

9：AO=AO,

：.AAOD^AAOM(SAS),

・•・ZAOM=ZAOD,

VZAOB=120°,

・・・NAOO=N5OE=1800-NAO3=60°,

AZAOM=ZAOD=60°,

・•・ZBOM=ZAOB-ZAOM=60°,

：.ZBOM=ZEOB,

・・・B□是△ABC的角平分线，

・•・NMBO=NEBO,

•：OB=OB,

・•・△BOEmABOM(ASA),

:,BE=BM,

：.AB^AM+BM=AD+BE,

故C正确，不符合题意；

D.连接。C,OH±BC,H,如图2,

AB

图2

,：AE,8。是△ABC的角平分线，

OG=OF=OH=rt,

S/^ABC=SMOC+SABOC+SAAOB=-1(AB+BC+ACy'OF=—,

52

故。错误，符合题意；

故选：D.

10.（4分）如图，边长为a的等边△ABC中，是AC上中线且连接A。，在的右侧作等边

△ADE,则△?!斯周长的最小值是（

C.a+—bD.—a

22

【解答】解：如图，:△ABC,

.,.AB=AC=a,AD=AE,

J.ZBAD=ZCAE,

.♦.△BA。名△CAE(SAS),

ZABD=ZACE,

AF—CF—^-a,BF—b,

2

AZABD=ZCBD=ZACE=30°,BF±AC,

.,.点E在射线CE上运动（NACE=30°）,

作点A关于直线CE的对称点M,连接FM交CE于E',

：CA=CM,ZACM=60°,

.,.△ACM是等边三角形，

：.AM^AC,

VBFXAC,

：.FM=BF=b,

.♦.△AEP周长的最小值+AE'^AF+FM^^-a+b,

2

故选：B.

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）（1）x2,x3=x5；（2）（/人）3=°6b3.

【解答】解：（1）/•丁=%3,

故答案为：?.

2

（2）（a&）2=（16b3.

故答案为：a4b3.

12.（4分）如图，BE,C£＞是△ABC的高，判定△2。丝△C8E的依据是A4s.（填写字母即可）

：.AB=AC,

,:BE,C。是△ABC的高，

；.NBDC=NCEB=90°,

在△BCD与△CBE中，

,ZABC=ZACB

-ZBDC=ZCEB-

AB=AC

:ABCD名ACBE（A4S）,

故答案为：A4s.

13.（4分）一个多边形的内角和是720。，这个多边形的边数是6

【解答】解：：多边形的内角和公式为（"-2）780°,

（«-2）X1800=720°,

解得〃=3,

这个多边形的边数是6.

故答案为：6.

14.（4分）如图，ZkABC中，AB=AC,。是A8的中点，DE交AC于E点、,BC=8,ZYBEC的周长是18

【解答】解：。是AB的中点，

•••OE是线段48的垂直平分线，

:.EA=EB,

△8EC的周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+CA=18,

又；BC=8,

.\AC=10,

：.AB=AC=10.

故答案为：10.

15.（4分）如图，在长方形ABC。中，A2=4,延长8C到点E,使CE=2,动点尸从点8出发，以每秒

2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，当t的值为1或7秒时,△ABP与ADCE全等.

【解答】解：因为AB=C。，若/A8P=/QCE=90°,根据SAS证得△ABPgZkOCE,

由题意得：BP=2t=2,

所以f=8,

因为AB=C£）,若N8AP=/OCE=90°,根据SAS证得△BAP乌△DCE,

由题意得：AP=16-2t=2,

解得t=5.

所以，当时r=l或7.

故答案为：4或7.

16.（4分）如图，等腰三角形ABC中，AB^AC,ADLBC于。，点尸是BA延长线上一点，OP=OC,

下面结论：①/APO=NACO；③NAPO+NPC8=90°.其中正确的有①②③.（填正确结论序号）

【解答】解：如图，连接30,

VAB=AC,ADLBC,

:・BD=CD,

・・・AO垂直平分BC,

9：08=。。，

：・N0BC=N0CB,

XvOP=OC,

：.OP=OB,

：.Z0BP=Z0PB,

又「在等腰△ABC中NBAC=120°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=30°,

Z0BC+Z0BP=ZOCB+ZACO,

：・N0BP=NAC0,

：.ZAPO=ZACO,故①正确；

XVZABC=ZPBO+ZCBO=30°,

AZAPO+ZDCO=30°,

VZPBC+ZBPC+ZBCP=1SQ°,ZPBC=30°,

：.ZBPC+ZBCP=\50°,

又ZBPC=ZAPO+ZCPO.ZBCP=NBC0+/PC0,

：.ZAPO+ZCPO+ZBCO+ZPCO=150°,

VZAPO+ZBCO=30°,

:.zcpo+zpco=no°,

XVZPOC+ZCPO+ZPCO=1SO°,

：.ZPOC^60°,

又：OP=OC,

.♦.△OPC是等边三角形，

:.PC=PO,/PCO=60°；

AZAPO+ZBCO+ZPCO^30°+60°=90°,

即：ZAPO+ZPCB=90°,故③正确；

综上可知：①②③正确，

故答案为：①②③.

三、解答题(本大题有9小题，共86分)

17.(8分)(1)s/yZxy3；

(2)3cr*c^+(-2a③)4

【解答】解：(1)3/y・2孙3

=6X2J4；

(2)3fl8,«4+(-2a3)2

—3cz2+4a6

=2tz6.

18.(8分)已知：如图，点C是线段AE的中点，AB=CD

求证：LABC丝4CDE.

【解答】证明：：点C是线段AE的中点，

J.AC^CE,

'AB=CD

在△ABC和中一BC=DE，

AC=CE

:.AABC注ACDE(SSS).

19.(8分)如图，平面直角坐标系中，A(-4,6),3(-1,2),C(-3,1).

(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△ABC；

(2)C的坐标为(3,1),△A8C的面积为H

―2-

(2)由图可得，C(3.

△4W的面积为Jx(1+5)X7-^X3X1-^XIX5=3-l-4=^T-

oNNbZ

故答案为：(3,6)；11.

2

20.(8分)如图，在△ABC中，AD平分/BAG交BC的延长线于点E,若NB=35,求NE

的度数.

A

【解答】解：VZj5=35°,ZACB=85°,

.1.ZBAC=60°,

,：AD平分NBAC,

：.ZDAC=30°,

AAADC=65°,

；.NE=25°.

21.（8分）如图,已知△ABC.

（1）尺规作图：作△ABC的角平分线8。（保留作图痕迹，不要求写作法）;

（2）在（1）的条件下，若乙4=90°,且AO=4,求CD的长.

【解答】解：（1）如图：8。即为所求;

.\ZC=30°,

由（1）知，2。平分/ABC,

/ABD=/DBC=L/ABC=2,

22

：.ZC=ZDBC,

：.BD=CD,

在直角三角形AB。中，

6

：.BD=2AD=2X4=S,

:.CD=BD=8.

22.（10分）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH=HD）,他想知道左右两个滑

梯BC和跖的长度是否相等，于是制定了如下方案:

课题探究两个滑梯的长度是否相等

测量工具长度为6米的卷尺

测量步骤①测量出线段阳的长度；

②测量出线段A8的长度

测量数据。尸=2.5米，48=5米

(1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和跖的长度是否相等？并说明理由;

(2)猜想左右两个滑梯8c和所在直线的位置关系，并加以证明.

【解答】解：(1)BC=EF.

理由：:EH=DH=25米,

米，

：.AB=DE,

由题意可知四边形C4。”为矩形,

：.CA=DH=2.5米，

尸=2.5米，

：.AC=DF,

在△ABC和△DEE中，

'AB=DE

<ZCAB=ZFDE=90°>

AC=DF

.,.△ABgADEF(SAS)

：.BC=EF,即BC和EF的长相等.

(2)BCLEF.

理由：延长BC交跖于点

:./DFE+/EDF=90°,

；△ABgADEF(SAS),

:./B=/DEF,

：.ZB+ZDFE=90°,

：.ZBMF=9Q°,

J.EFLBM.

23.(10分)如果a、b、c是整数，且那么我们规定一种记号(a,b)=c2=16,那么记作(4,

16)=2.

(1)(2,8)=3.

(2)若k、m、n、p均为整数，且(k,9)=m,(k,27)=",(k,243),探究相、n、p之间满足的

等量关系，并证明.

(3)小明在研究这种记号时发现一个规律：(/,〃)=(a,6)"是正整数)，请你帮他完成证明.

【解答】(1)解：设(2,8)=必=3,

V2X=8=73,

；.x=3,

(2,8)=3.

故答案为：4.

(2)m+n=p.

证明：*.*(上9)=m,27)=n,243)=p,

:・即=9,"=27,"=243,

=8X27=243,

:•即+〃=城,

m+n=p.

(3)证明：设(。〃，济)=s,(〃，

则(〃")s=Z?〃，at=b,

(〃")s=ans=bn=(4)n=ant,

・・ns—nt9

是正整数，

・・$=，,

(a",〃)=(a,b).

24.(12分)已知在△AOB中，OA^OB,ZAOB=120°,连接AC、BC、OC,OA^OC.

(1)如图1,点。在△ABC的内部，

①当/ACO=20°时，求NOBC的度数；

②当C。平分NACB时，判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果直线BC与直线AO相交于点。，△CO。是以。。为腰的等腰三角形，请画出示意图并直接

写出N0C2的度数(友情提示：为使图形清晰，一个图中只画一种情况；备用图的数量与本题答案无

关).

【解答】解：(1)①在△OAC中，OA=OC,

：.ZCAO^ZACO^2Q°,

AZAOC=180°-(ZCAO+ZACO)=140°,

又：/AO8=120°,

AZBOC=360°-(ZAOC+ZAOB)=100°,

VOA^OB,OA^OC,

：.OB=OC,

在△BOC中，OB=OC,

•'•ZOBC=ZOCB^-(180°-ZB0C)=40°；

②△ABC为等边三角形；理由如下：

如图6所示：

c

：CO平分NACB,

.•.设/0CA=N0C2=a,则NACB=2a,

在△CMC中，OA^OC,

：.ZOAC=ZOCA=a,

在△OBC中，OB=OC,

；./OBC=NOCB=a,

在△CMB中，OA^OB,

•'-Z0BA=Z0AB=y(180°-ZAOB)=30°，

AZCAB=ZOAB+ZOAC=30°+a,ZCBA=ZOBA+ZOBC=30°+a,

在△ABC中，ZACB+ZCAB+ZCBA=180°,

•,.2a+30°+a+30°+a=180°,

；.a=30°

AZACB=2a=60°,ZCAB=3Q°+a=60°,

.•.△ABC为等边三角形；

(2)/0C8的度数为20°或40°,理由如下：

:直线BC与直线A。相交于点。，且△C。。是以DO为腰的等腰三角形,

有以下两种情况：

①当直线BC与线段A。交于点。时，如图5」：

图2.1

设N0C8=B，

,.•△C。。是以。。为腰的等腰三角形，即。。=Z)C,

：.ZDOC=ZOCB=^f

VZAOB=120°,

AZCOB=ZDOC+ZAOB=p+120°,

在△03C中，03=0C,

：.ZOBC=ZOCB=^f

'：ZOCB-vZCOB+ZOBC=180°,

Ap+p+1200+0=180°,

・・・B=20°,

即NOCB=0=2O°,

②当直线3。与AO的延长线交于点。时，如图2.7：

VZAOB=120°,

：.ZBOD=1SO°-ZAOB=60°,

•••△CO。是以QO为腰的等腰三角形，即0。=。。,

：.ZDOC=ZOCB^e,

：.ZCOB=ZDOC+ZBOD=Q+60°,

在△03C中，OB=O