2024-2025学年广东省江门市高三年级上册10月调研数学试题及答案

江门市2025届普通高中高三调研测试

皿「、、九

数学

本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

L答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，

2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.

5.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1已知集合1八I，，则（）

A.{x|0<x<9}B.{1,2,3}

C.{x|0<x<3}D.{0,1,2,3)

2.设九〃ER,则“0+1)3=昌'是"2加的()

A,充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

3.下列命题为真命题的是()

A.若Q>Z?>C>0,则"十"

bb+c

B.若a〉b>0,c<0,则

ab

C.a>b>0,则ac2>be2

...…a+b,

D.右a>b,则〃>---->b

2

e+e,x<2,

4.已知函数/(x)=<则“In27）=（

,x>2,

10728730

AB.C.---D.

IT27~Z7~

5.下列函数中，以兀为周期,且在区间兀上单调递增的是(）

A.y=sin|x|B.y=cos|x|

C.y=|tanx|D.y=|cos%|

6.在正方形A3CD中，怎=而，衣=2而,AF与DE交于点M,贝UcosNEM/=()

7.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金

针菇失去的新鲜度〃与其来摘后时间/(天)满足的函数解析式为〃=加出"+。)(。>0).若采摘后1天，

金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为

60%,则采摘后的天数为()(结果保留一位小数，V2«1.41)

A.1.5B.1.8C.2.0D.2.1

8.已知各项都为正数的数列满足q=1,%=2,a；-心―>%。”一2(V^3,neN+),则下列

结论中一定正确的是()

A.a8>124B,a20>1024

C.as<124D.a20<1204

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若函数〃x)=x(x—4在x=l处取得极大值，贝。()

A.c=l,或。=3

B.犷(x+l)<0的解集为(-1,0)

C,当0<x<|■时，/(cosx)〉/(cos/)

D./（2+x）+/（2-x）=4

10.在△ABC中，AB=\,AC=4,3C=JW，点。在边3c上，AD为NA4c的角平分线，点E

为AC中点，则（

A.△ABC的面积为右B.BA-CA=2y/3

C.BEf

II.已知力(x)=sin2"x+cos2x"(neN+),则()

A.力（x）的最小正周期为］

,+@,0）左eZ）对称

B.力（x）的图象关于点

fn（%）的图象关于直线x=］对称

击W力（上1

D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数〃x）=x4nx的单调递减区间为

13.已知函数/（x）是定义在R上的偶函数，当x20时，/（%）=sin%（l+cosx）,则当x<0时,

〃力=

..4b+8

14.已知a〉0,6w0,且。+网=4,则,+的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知角a的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点尸（4,-3）.

（1）求sin2。的值;

（2）若角尸满足sin（a+，）=搐，求cos£的值.

16.已知数列｛。“｝的前"项和为S“，且3S"=4"+i—4（〃eN+）.

（1）证明：数列｛lOg24｝为等差数列；

、1111100

（2）记数列｛log2。,,｝的前几项和为7；,+—+—+7,求满足条件的最大整数”.

41273ln1U1

17.已知△ABC的三个内角A,3,C所对的边分别为。,瓦c,且。=4,c=36,记△ABC的面积为S,内

切圆半径为厂，外接圆半径为R.

(1)若b=也，求sinA；

(2)记〃=5(〃+/?+c),证明：丫=一；

(3)求欢的取值范围：

18.设函数〃x)=lnx,g(x)=l-，(%>0).

(1)求/(x)在X=1处的切线方程；

(2)证明：/(x)>g(x)：

(3)若方程力'(x)=g(x)有两个实根，求实数。的取值范围，

19.如果定义域为[0』的函数“X)同时满足以下三个条件：⑴对任意的xe[0,l],总有〃x)zo；

(2)/(1)=1；(3)当番20,%2»0，且时，/(再+々)2/(再)+/(%2)恒成立・则称

/(X)为“友谊函数”.请解答下列问题：

(1)已知”X)为“友谊函数"，求“0)的值；

(2)判断函数g(x)=3工-x-是否为“友谊函数”？并说明理由；

(3)已知〃x)为“友谊函数”，存在不式0』，使得/5)式0』，且/(/函))=/，证明：

fM=x0.

江门市2025届普通高中高三调研测试

皿「、、九

数学

本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

L答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，

2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.

5.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

.备人A=N|0<x2<9],B=\xeN|0<x<101,4nR-

1.已知集合1>1'，n则（）

A.（x|0<x<9}B.{1,2,3}

C.{x|0<x<3}D.{0,1,2,3}

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意求集合A3,集合交集运算求解.

【详解】由题意可得:A={XGN|0<X2<9}={0,1,2,3},

B={xeN|0<x<10}={0,l,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

所以AcB={0,l,2,3}.

故选：D.

2.设机,〃eR,则“（m+1）3=〃3"是"2"'<2"”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C,必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判断.

【详解】由（m+1）3=n3nm+1=nn2m+1=2'，

又2加<2m+1，所以2"'<2",故"（m+1）3=/"是“2m<2"”的充分条件;

又若2"'<2"，如/〃=0,n-2,此时（m+1）3=/不成立，

mn

所以“（加+1）3=%”是“2<2”的不必要条件.

综上：“（m+1）3=”是“2m<2n”的充分不必要条件.

故选：A

3.下列命题为真命题的是（）

...八a〃+c

A.右a>b7>c>0,则一<----

bb+c

B.若a〉Z?〉0,c<0,则£<9

ab

C.a>b>0,则〃<?>be2

D.若则〃〉"+

2

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果.

aa+ca(b+c]-b(a+c]c(a-b)

【详解】对于A,--7-=V\—-=77；V

bb+cb[b+c)b[b+c)

因为〃>Z?>c>0,所以o—b>0,b(/?+c)>0,

a〃+cc(a-b)

所以不一^一=77：—(>0,即af>a一+上c，故A错误；

bb+cbyb+c)bb+c

对于B,因为a〉Z?〉O,所以一<—，

ab

cc

又c<0,所以一>不，故B错误；

ab

对于C,当c=0时，ac2=be2=0故C错误;

对于D,若a>b,贝!J2〃〉〃+/?,〃+/?〉2/?,

所以。>"2>匕，故D正确.

2

故选：D.

eA'+e-x,x<2,

4.已知函数/(x)=<xc则〃ln27)=()

,%〉2,

810728730

A.-B.—C.---D.——

332727

【答案】B

【解析】

【分析】利用对数的运算性质计算可得答案.

【详解】因为1=Ine<ln3<Ine?=2

e%+eK2

所以In27=ln33=3如3>3,又因为/(%)=<x

,x>2

ln2731n3ini

所以;■0n27)=f=/(ln3)=eln3+e-ln3=3+e'"3=3+-=—

"I"亍33

故选：B.

5.下列函数中，以兀为周期，且在区间兀上单调递增的是()

A.y=sin|x|B.y=cosx

C.y=|tanx|D.y=|cos%|

【答案】D

【解析】

【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断.

7n1..3n

【详解】对于A：由sin--=1,sin----=-1,可知兀不是其周期，(也可说明其不是周期函数)故错

22

误;

cosx,x>0COSXX0

对于B：y=cosx=<'-ycosx,其最小正周期为2兀，故错误;

cos(-x),x<0cosx,x<Q

对于C：y=|tan%|满足kan(x+句口tanx|,以兀为周期,

当时，y=|tanx|=-tanx,由正切函数的单调性可知y=,anx|=—tanx在区间上单

调递减，故错误；

对于D,丁=|以九了|满足卜05(%+兀)=|＜：05工，以兀为周期，

当xe［,7r］时，j=|cosx|=-cosx,由余弦函数的单调性可知，V=-cosx在区间［,兀］上单调递

增，故正确；

故选:D

6.在正方形A3CD中，怎=丽，说=2而,AF与DE交于点M,贝!JcosNEM/=()

A.—B.-C.—D.—

551010

【答案】C

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.

建立平面直角坐标系，设正方形A5CD的棱长为2,

因为/=丽，的=2而，

则E(0,l),A(0,2),0(2,2),

所以/J］,—21，DE=(-2,-1),

V2

所以cosNETWFXT

故选：c

7.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金

针菇失去的新鲜度用与其来摘后时间/（天）满足的函数解析式为人=根111。+4）（4>0）.若采摘后1天，

金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为

60%,则采摘后的天数为（）（结果保留一位小数，V2

A.1.5B.1.8C.2.0D.2.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出。的值，再根据两个等式相除可求得结果.

mln(l+tz)=0.4'两式相除l可n（3得+a"）

【详解】由题可得<=2,

mln(3+a)=0.8

则ln(3+a)=21n(l+a),3+a=(l+tz)2,

解得a=1,

设/天后金针菇失去的新鲜度为60%，

则机ln«+l)=0.6,又阳物(1+1)=0.4,

...ln(/+l)=g,21n(/+l)=31n2,(z+l)2=23=8,r+1=272=2x1.41=2.82-

In22

则/=2.82—1=1.8221.8,

故选：B.

8.已知各项都为正数的数列｛a"满足勾=1,g=2,a；--anan_2>(n>3,neN+),则下列

结论中一定正确的是()

A.as>124B,a20>1024

C./<124D,a20<1204

【答案】B

【解析】

aaaa0

【分析】由。；一。3_nn-2>n-in-25N3,〃eN+）得（a“+）［a“一（a—+«„-2）］>-由题意,

%>区”1+%-2,根据递推公式可验证B,通过对名赋值，可验证ACD.

【详解】由a；-<i-anan_2>an_lall_2（n>3,n,

得(a“+an_x)[a„~[an_x+an_2)]>0,

因为数列各项都为正数，

所以4+%>0,故%—(%+-)>°，即〉％+4.2，

所以。3>/+4=2+1=3,

对于A,设。3=4,则。4〉/+%=4+2=6,

设％=7,则。5〉。4+。3=7+4=11,

设。5=12,则〃6〉。5+。4=12+7=19,

设。6=20,则%>4+%=20+12=32,

设%=33,则/>%+《=33+20=53,

则。8可以为54<124,故A错误；

对于B,。4>。3+%〉3+2〉5,。5>〃4+〃3>5+3〉8,

。6>。5+〃4>8+5〉13,%>。6+。5>13+8>21,

%>%+4>21+13>34,%>。8+%>34+21〉55,

々io〉为+%>55+34>89,q1>4。+为〉89+55〉144,

a

〃i2>u+4o>144+89>233,>an+〃“>233+144>377,

〃i4>《3+《2>377+233>610,aX5>+«13>610+377>987,

%6>^15+^4>987+610>1597,axl>ai6+al5>1597+987>2584,

%8>《7+%6>2584+1597>4181,ai9>4181+2584>6765,

%o>勾9+〃i8>6765+4184>10946>1024,故B正确；

对于C,若。3=124,由于4>a〃_i+Q〜2，贝IJ〃8>124,故c错误；

对于D,若。3=1。24,由于〃-2，贝故D错误；

故选：B

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若函数〃x)=x(x—4在x=l处取得极大值，则()

A.c=l,或。=3

B.灯'(x+l)<0的解集为(-1,0)

C,当0<x<]时，/(cosx)>/(cos2x^)

D./(2+x)+/(2-x)=4

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，由题可得r(l)=0,据此得C的可能值，验证后可判断选项正误；B选项，由A分析，

可得犷(x+1)表达式，解相应不等式可判断选项正误；C选项，由A分析结合cosx,cos2x大小关系可判

断选项正误；D选项，由A分析，验证等式是否成立可判断选项正误.

【详解】A选项，由题/(x)=%3一2cd+c?》,则/<x)=3—-4cx+c2,

因在x=l处取得极大值，则/(1)=。2-4。+3=0=。=1或。=3.

当C=1时，/'(X)=3/—4x+l,令/'(x)〉0nxe[-”,g]D(l,+")；<0xe.

则〃x)在上单调递增，在上单调递减，则在x=l处取得极小值，不合题

思；

当c=3时，f'(x)=3x2-12x+9,令/'(%)>00%€(-00,1)33,+00)；/'(x)<0nxe(l,3).

则在(-"/)，(3,+")上单调递增，在(1,3)上单调递减，则在x=l处取得极大值，满足题

忌；

贝Uc=3,故A错误；

B选项,由A可知，=x(x-3)2,则

犷(x+l)=x(x+l)(x-2)2<0nx(x+l)<0nxe(-1,0).

故B正确；

C选项，当0<x<],贝ij,则cos2x<cosx，由A分析，“X)在(0,1)上单调递增，

则/(cosx)〉/(cos2x),故C正确；

D选项，4'x+2=m,2-x=n,由A可知，f(x)=x3-6x2+9x.

则f（x+2）+/（2-x）=/（m）+/（〃）

=m3-6m2+9m+n3-6n2+9n—［in+n^^iv2-mn+n2^-6^trr+zz2^+9（m+n）,

又zw+〃=4,则/（根）+/（"）=—4加"一2（加2+“2）+36=36-2（加+”）-=4,故D正确.

故选：BCD

10.在△ABC中，AB=l,AC=4,BC=V13>点。在边BC上，AD为NA4c的角平分线，点E

为AC中点，则（）

A.AABC的面积为6B.BA-CA=2>j3

C.BE=43D.AD=^-

【答案】ACD

【解析】

jr

［分析］根据余弦定理可得ZA=|,进而可得面积判断A,再结合向量的线性运算及向量数量积可判断BC,

根据三角形面积及角分线的性质可判断D.

A

【详解】

如图所示，

fAB2+AC2-BC21+16-131

由余弦定理可知cosABAC=------------------------=-------------=-,

2ABAC2x1x42

而/B4c为三角形内角，故NBAC=g,sinZBAC=—，

32

所以△ABC面积SuLAB-ACvinNBACuLxlxdx^：

=V3fA选项正确；

222

BA-G4=AB-AC=AB-AC-cosZBAC=lx4x1=2,

JB选项错误；

由点E为AC中点，则而=荏一通=1衣一通，

2

所以而2=|AC2+AB2-ABAC=4+1—2=3,则赤=6，C选项正确;

jr

由A。为/A4c的角平分线，则NR4D=NCAD=—,

6

所以S=LABAD-sinN8AD+ACADsinNG4。，

2

即百=LX1XLAD+LX4XLAD=3A。，则AD=逑,D选项正确;

222245-

故选：ACD.

II.已知力(%)=51!12"%+0)52"%(〃€^),则()

A.上（X）的最小正周期为］

（k7T

B.力（X）的图象关于点-+v,0左eZ）对称

k2o

C.力（x）的图象关于直线x=］对称

D.，r"（x）Kl

【答案】ACD

【解析】

【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断ABC选项的正误；利用导数法可判断D选项的

正误.

2222

【详解】力(％)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x|-2sinxcosx=l——sin2x

2

,11-cos4x3+cos4x

=1—x--------=---------

224

9ITTT

所以/（九）的最小正周期为T=二二”，故A正确;

42

..7T,_7Tkit

令4%=一+左兀，可rZ得c3%=一+—，左eZ,所以力（x）的图象关于点—+~?-£Z）对称，故B错误;

284

对于C：/(万一x)=[sin(»_x)丁〃+[cos(7一x)T〃=(sinx)21+(-cosx)2n

=sin2nx+cos2nX=/(%),

所以函数/（%）的图象关于直线x对称，C对;

对于D:,因为/[]+%]=sinf+x\

=(cosx)\2n+(/-si.nx)\2n

12

=sin2nx+cos2n/(x),

所以，函数f(x)为周期函数，且］是函数/(X)的一个周期，

只需求出函数/(x)在0,|上的值域，即为函数/(%)在R上的值域，

v/(x)=sin2nx+cos2nx,则

/r(x)=2nsin2n_1xcosx-2ncos2n_1xsinx=2nsinxcosxfsin2n-2x-cos2n_2x

7171

当时，0<cosx<—<sinx<B

4’22

因为〃之2且左wN*，则2〃—222,故sir?"一2%〉cos2〃-2%,此时广(%)>0,

所以，函数/(X)在上单调递增，

当xe［o，z］时，0<sinx<^^<cosx<l，

因为左22且左eN*，则2〃-212,故sin252尤〈cos?”?无，此时广(%)<0,

所以，函数f(x)在0,?上单调递减，

x

所以，当xe时，f(Ln=f

又因为“0)=/1，则

因此，函数/(X)的值域为-,1,D对.

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数〃x)=x4nx的单调递减区间为

-1

【答案】##(0,e]

【解析】

【分析】利用导数求得了(x)的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为(0,+功，V/,(x)=lnx+l.

令Inx+lVO得0<%vL

e

二函数/(%)=K山%的单调递减区间是[0,，.

故答案为：^0,—

13.已知函数“X)是定义在R上的偶函数，当xNO时，/(x)=sinx(l+cosx),则当x<0时，

〃x)=----------

【答案】-sinx(l+cosx)

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性与三角函数的奇偶性求解即可.

【详解】因为当x20时，/(x)=sin%(l+cosx),

所以当x<0时，则-x>0,所以〃-x)=sin(-x)[l+cos(-x)]=-sinx(l+cosx),

又函数/(X)是定义在R上的偶函数，所以/(£)=/(-x)=—sinx(l+cosx).

故答案为：-sinx(l+cosx).

..4b+8

14.已知a〉0,6/0,且。+网=4,则,+的最小值为.

【答案】2+272.

【解析】

4b+848b48

【分析】先将所求式子化简一a+F\b\T=—a+亩\b\+亩\b\，再根据基本不等式得到一a+亩\b\的最小值，则可判断当

b<0,求得最小值.

4b+848Z?

【详解】根据题意：一+工厂=一+而+而，

a\b\a\b\\b\

bb,

若〃>0,则—=1,若Z?>0,则面=一1，

因为a〉0,6w0,贝力6|>0,

48148、/⑺、°\b\2a\\b\2a厂

一+亩=：z(—+三)(。+例)=3+—+而>3+2—--j=3+2V2,

a\b\4a\b\a\b\'a\b\

当且仅当号=/即。=%J5-1)，例=4(2-V2)时取等号；

4b+848,「「

则当人<0时，-+-|^-=-+^|的最小值是3+20—1=2+2贬，

当且仅当a=4(、回—1),6=4(72-2)时取等号.

故答案为：2+26.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知角a的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点尸（4,-3）.

（1）求sin2a的值；

（2）若角厂满足sin（a+，）=搐，求cos£的值.

24

【答案】（1）——

25

33f63

（2）——或----

6565

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数值，再根据二倍角公式，即可求解；

（2）利用角的变换cos£=cos[（a+£）-a],再结合两角差的余弦公式，即可求解.

【小问1详解】

由题意可知，尸（4,-3）,则r=5,

…34

则sma=--,coscr,

24

sin2a=2sinacosa=-----

25

【小问2详解】

512

sin(a+〃)=jj,所以cos(a+〃)=±值,

所以cos°=cos[(a+-a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+/)sina,

12124533

当cos(a+1)=R,所以COSP=JJX1+JJX

65

,（小12b,12145（3）63

当cos（a+0=-工，所以cos/=-/卜三+卜三―布，

综上可知，cos£的值为2或-3

6565

16.已知数列&｝的前〃项和为5“,且3s〃=4"+i-4（〃eN+）.

（1）证明：数列｛log2«„｝为等差数列；

（2）记数列｛log2%｝的前几项和为北，^―+—+—+,,-+—<—7,求满足条件的最大整数”.

,1A’34

【答案】（1）证明见解析

（2）99

【解析】

【分析】（1）利用退一相减法可得4及log?4,即可得证；

/、1111

（2）根据等差数列求和公式可得7；=〃（"+1）,则亍=而旬=力—一J，利用裂项相消法可得

1111,1

—+—+—+=1-------解不等式即可.

t《nTnn+1

【小问1详解】

由已知3s“=4用—4,

当〃=1时，34=35\=4?—4=12,即q=4；

当“22时，3S,T=4"—4,

则3a„=3S„-3S,T=4"曲—4-4"+4=3•4",即4=4",

又〃=1时，%=4满足％=4",

所以4=4〃=22",

2

TSZ?,,=log2=log22"=2n,%-2=2（〃+l）-2”=2,

即数列｛g｝为等差数列，即数列｛log24｝为以2为首项2为公差的等差数列；

【小问2详解】

由等差数列可知T”=（仿+；"）"=（2+；）2=〃（〃+°,

11_J___1_

则T=~T7

Tn小+1)nn+1

111111111i

所以方+方+^-'1^=1-二+二一二-1----1--------7=1------7，

T\T2T3Tn223n〃+ln+1

即(吗

HeN,

n+\101+

解得“<100,

即满足条件的最大整数"=99.

17.已知AABC的三个内角A,3,C所对的边分别为a,0,c,且。=4,c=36,记△ABC的面积为S,内

切圆半径为乙外接圆半径为R.

(1)若b=血，求sinA；

(2)记p=5(a+b+c),证明：r=一；

(3)求欢的取值范围：

【答案】(1)迪

3

(2)证明见解析(3)

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理求得cosA,进而求得sinA.

(2)根据三角形的面积公式证得结论成立.

(3)用6表示出，然后利用导数求得主的取值范围.

【小问1详解】

•二〃=4,。=y/~2，c-3V2，

上人」、…Ez■b-+c2-a22+18-161

由余弦定理，得BcosA=-------------=----------尸=一,

2bc2xjr2x3j23

V0<A<7i,sinA=A/1-cos2A=

3

【小问2详解】

,/ZSABC的面积为S,内切圆半径为r,

11,11z,

/.Sn=—axr+—bxr+—cxr=—(a+b+cx]r,

2222、7

S_

又P=5("+b+c),S=pr,/1

P

【小问3详解】

Ar\

由正弦定理得-=2R,得R=---二------二-----

sinA2sinA2sinAsinA

因为。=4,c=3b,

由(2)得5=pr=；r(4+b+3Z?)=(2+2Z?)r,

13b2

又因为S=—bcsinA=----xsinA,

22

3b2sinA3b2

所以r=所以Hr二—x------

4(1+。)21+b

他+3b〉4

由<7/C7解得l<b<2,

Z?+4>3Z?

3b2，/、36(6+2)

令/3)=上—d<b<2),/'(》)=—~甘〉o,

2(1+。)2(1+。)

3

则/S)在(1,2)上单调递增，所以a</S)<2,

故主的取值范围为

18.设函数/(x)=lnx,g(x)=l__(x>0).

(1)求/(X)在X=1处的切线方程；

(2)证明：/(x)zg(x)：

(3)若方程/'(x)=g(x)有两个实根，求实数。的取值范围,

【答案】⑴x—y—1=0

(2)证明见解析(3)(0,l)u(L+s)

【解析】

【分析】(1)根据切点和斜率求得切线方程.

(2)利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.

（3）利用构造函数法，结合导数以及对。进行分类讨论来求得。的取值范围.

【小问1详解】

=则女=尸(1)=1,/(1)=0.

X

・・・/(%)在冗=1处的切线方程为丁=1一1,即％—y—1=0.

【小问2详解】

令/z(x)=f(x)-g(x)=Inxd----1,XG(0,+。)

x

“、11x-1

h(x)=-----5=—^、

XXX

X—1

令”(%)=一—二0,解得x=l.

X

/.0<x<1,hr(x)<0；x>1,h\x)>0.

力(九)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

h(x)>h(l)=0,gp/(x)>g(x).

【小问3详解】

令加⑴=/(x)-g(x)=6zlnx+--l,xe(0,+。),

问题转化为皿%)在(0,+oo)上有两个零点.

，/、a1ax-1

m(x)=-----—厂.

xxx

①当〃<0时，

m(x)<0,皿X)在(0,+8)递减，皿元)至多只有一个零点，不符合要求.

②当〃>0时，

令加(%)=0,解得X--