2024-2025学年初中数学专项突破：将军饮马模型（原卷版）

模型介绍

一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：

(一)、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最小;

(1)点A、B在直线m两侧：

4

*

B

(2)点A、B在直线同侧:

A*

*

B

A、N是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)两个点都在直线外侧：

A

n

BB

。/

----------------•n

(4)、台球两次碰壁模型片’

变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点,

使得围成的四边形ADEB周长最短.

*B

1.m

变式二：已知点A位于直线m,n的内侧，在直线

别上求点P、Q点

PA+PQ+QA周长最短.

二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第

三

基本图形解析：

1、在一条直线m上，求一点P,使PA与PB的差最大；

(1)点A、B在直线m同侧：

解：延长AB交直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三边，P'A—P?B<AB,

而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。

（2）点A、B在直线m异侧：

A

om

B

解：过BB作关

于直线m的对称点BJ连接AB，交点直线m于P,止匕

时PB=PB'，PA-PB最大值为AB'

Mm

词面例题精讲

考点一、两定一动模型

【例1].如图，在△ABC中，AB的垂直平分线。E交8C于点。，垂足为E,M■为。E上任

意一点，BA=3,AC=4,BC=6,则周长的最小值为（）

A.7B.6C.9D.10

A变式训练

【变式1TI如图，RtZXABC中，AC=8C=4,点。，E分别是AB,AC的中点，在CD上

找一点尸，使E4+PE最小，则这个最小值是（）

C.2V5D.4

【变式1-2].如图，在矩形A8CD中，AB=5,AD=3,动点P满足S^PAB=—S矩形ABCD,

则点P到A、2两点距离之和PA+PB的最小值为

【变式1-3].如图，NA02的边与x轴正半轴重合，点尸是。4上的一动点，点N(5,

0)是上的一定点，点M是ON的中点，ZAOB=30°,要使PM+PN最小，则点P

的坐标为.

考点二、一定两动模型

【例2].如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,AD平分NCAB

交BC于。点，E、尸分别是A。，AC上的动点，则CE+EF的最小值为.

A变式训练

【变式2-1].如图，在RtZ\ABC中，NA=90°,ZB=60°,BC=4,若E是BC上的动

点，歹是AC上的动点，则AE+EF的最小值为

BC

【变式2-2].如图，正方形ABC。的边长为4,ND4c的平分线交。C于点E,若点尸、Q

分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是

【变式2-3].如图，四边形A8CD中，ZBAD=130°,ZB=ZD=90°,在BC、CD±

分别找一点M、N,使△AMN周长最小时，则/AMN+/AM0的度数为.

考点三、线段差最大值模型

【例3].如图，在△ABC中，AB^AC,AC的垂直平分线交AC于点N,交A8于点M,AB

=12cm,ABMC的周长是20。〃，若点尸在直线上，则B4-尸2的最大值为.

A变式训练

【变式3-1].如图，已知点A的坐标为（0,1）,点2的坐标为（旦，-2）,点P在直线y

2

=-x上运动，当|E4-尸2|最大时点P的坐标为.

【变式3-2].如图，两点42在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=16,B到MN的

距离BD=10,C£>=8,点尸在直线MN上运动，则|E4-尸5|的最大值等于.

【变式3-3].如图，在菱形ABC。中，对角线AC=6,8。=8,点E为A2边的中点，点尸

为对角线3。上一动点，连接PC,PE,求|PC-尸剧的最大值.

模型四、造桥选址模型（即动线段类型）

【例4].如图，在矩形ABC。中，AB=5,BC=4,E、尸分别是A。、8c的中点，点产、Q

在跖上.且满足尸。=2,则四边形APQ8周长的最小值为.

A变式训练

【变式4-1].如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC。的顶点B在原点，点A、C在坐标轴

上，点。的坐标为（6,4）,E为的中点，点P、0为BC边上两个动点，且PQ=2,

要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为.

【变式4-2].如图，正方形ABC。的边长为3,E、尸是对角线上的两个动点，且取=

加,连接CE、CF,则厂周长的最小值为.

【变式4-3].在直角坐标系中，矩形O4C2的顶点。在坐标原点，顶点A,8分别在无轴、

y轴的正半轴上，。4=3,08=4,。为边02的中点，线段跖在边。4上移动，保持

EF=2,当四边形CD跖的周长最小时，求点E,尸的坐标.

1.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分线.若P,

。分别是AQ和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

A.卫B.4C.5D.区

55

2.如图，正方形A8EF的面积为4,/xBCE是等边三角形，点C在正方形ABE尸外，在对

角线BE上有一点P,使PC+PE最小，则这个最小值的平方为（）

A.473B.8+473C.12D.8+273

3.如图，在平面直角坐标系中，RtZ\OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点2的坐标为（3,

百），点C的坐标为（工,0）,点P为斜边。8上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）

2

4.如图，在正方形A8CD中，AB=8,AC与BD交于点O,N是A。的中点，点M在2C

5.如图，在正方形ABC。中，点E,尸将对角线AC三等分，且AC=12,点P在正方形的

边上，则满足PE+PF=9的点尸的个数是（）

6.如图，在直角坐标系中，点A、3的坐标分别为（1,4）和（3,0）,点C是y轴上的一

个动点，当IBC-AC|最大时，点C的坐标是.

7.如图，在四边形ABCQ中，ZBAD=13Q°,NB=/D=90°,在BC,CD上分别找一

点M,N,使三角形AMN周长最小时，则/MAN的度数为

8.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC+BC=14,tanB=0.75,点。，E分别是边AB,

BC上的动点，则DC+DE的最小值为.

9.如图，在E1ABC。中，点〃、N分别是AC和BC上的动点，AB=3,BC=6,ZZ）=60°,

在点M、N运动的过程中，8M+MN的最小值为.

10.如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点。在点C右侧）在x轴上移动，A

(0,2),B(0,4),连接AC,BD,贝UAC+8D的最小值为

11.如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，尸是△ABC的中线AD上的动点，且A8

=6,则BP-PE的最大值是

12.如图，在平面直角坐标系中，点尸(4,5),点Q(0,2),当腰长为2的等腰直角三角

形ABC在x轴上滑动时，AQ+PC的最小值为.

13.如图，菱形ABC。的边长为4,ZA=60°,E是边A3的中点，尸是边A8上的一个动

则GB+GC的最小值为.

14.如图，正方形ABC£＞内接于OO,线段在对角线BO上运动，若。。的面积为2m

MN=1,则△AMN周长的最小值为

15.如图抛物线y=7+2x-3与x轴交于A、2两点，与y轴交于点C,点尸是抛物线对称

轴上任意一点，若点D、E、尸分别是BC、BP、PC的中点，连接。E,DF,KODE+DF

的最小值为

16.如图，正方形A3C。边长为4,DE=1,M,N在BC上且MN=2.求四边形AMVE

周长的最小值.

17.(1)如图1,0c平分NA03,点。是射线。4边上一点，点尸、。分别在射线0C、

上运动，已知。D=10,NAOC=30°,则。尸+PQ的最小值是；

(2)如图2,在菱形A8CZ)中，AB=8,/ZMB=60°,点E是A8边上的动点，点、F

是对角线AC上的动点，求EF+Bb的最小值；

(3)如图3,在矩形ABC。中，AB=8,AO=4,点/是A3上一动点，点N是对角线

AC上一动点，请直接写出MN+BN的最小值.

18.(1)如图①，点尸为直线/上一个动点，点A,2是直线/外同侧的两个定点，连接B4,

PB,AB.若AB=2,则B4-PB的最大值为.

(2)如图②，在四边形ABC。中，AB=AD,ZBAD^90°,对角线AC_LB。，垂足为

点。，0A=20C,点E为。C中点，点厂在A2上，且点、P为BD上