艺考生专题讲义02 复数

考点02复数知识梳理1．复数的概念(1)虚数单位ii是虚数单位，满足i2＝－1；i和实数在一起进行四则运算，进行四则运算时原有的加法、乘法运算律仍然成立．(2)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．把复数表示为a＋bi(a，b∈R)的形式，叫做复数的代数形式．(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数，即a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z在复平面内对应点为Z，则向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的长度叫做复数z的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)．2．复平面从复数的定义可以知道，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以用一个有序实数对(a，b)唯一确定，这样我们可以用建立了直角坐标系内的点来表示复数．当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数，除了原点，虚轴上的点都表示纯虚数．在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称．3．复数的几何意义复数、点、向量之间有一一对应的关系，复数的模表示复数对应的点到原点的距离．(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).(3)复数z＝a＋bi的模或绝对值：|z|＝eq\r(a2＋b2).4．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．5．复数的运算常用结论(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N*；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.(5)设ω＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，则|ω|＝1；1＋ω＋ω2＝0；eq\x\to(ω)＝ω2.6．复数的几点注意事项(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．7．数系的发展自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R以及复数集C之间关系为NZQRC精讲精练题型一复数的概念例1(1)复数z＝eq\r(2)＋i的共轭复数为________．(2)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的________．①充分不必要条件②必要不充分条件③充分必要条件④既不充分也不必要条件答案(1)eq\r(2)－i(2)③解析(1)∵z＝eq\r(2)＋i，∴eq\x\to(z)＝eq\r(2)－i.(2)由纯虚数的定义知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x＋1≠0，))⇒x＝1，选③.举一反三(1)已知i为虚数单位，a∈R，若(a－1)(a＋1＋i)是纯虚数，则a的值为________．(2)设z＝eq\f(1,1＋i)＋i，则|z|＝________．答案(1)－1(2)eq\f(\r(2),2)解析(1)∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i是纯虚数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0,a－1≠0))，∴a＝－1.(2)∵z＝eq\f(1,1＋i)＋i＝eq\f(1－i,2)＋i＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2).方法总结1.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．题型二复数的几何意义例2设i是虚数单位，则复数eq\f(2i,1－i)在复平面内所对应的点位于第____象限.答案第二象限解析eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2ii－1,2)＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限.举一反三设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________．答案－5解析∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2，1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2，1)，即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.方法总结1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．题型三复数的代数运算例3若复数z满足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝________．答案1－i解析∵eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，∴eq\x\to(z)＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.举一反三设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于________．答案3＋i解析(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3