艺考生专题讲义37 二项式定理

考点37二项式定理知识梳理一．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)(4)项数为n＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n二．二项式系数的性质指定项的系数或二项式系数1.解题思路：通项公式2.常见指定项：若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项三．系数和---赋值法1．赋值法的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．精讲精练题型一二项展开式中特定项及系数【例1】(1)(2024·长春市第八中学高三)二项式的展开式中的系数为(2)(2024·上海高三一模)在的二项展开式中，常数项等于____.(3)(2024·全国高三)在的展开式中，有理项共有项(4)(2024·云南省个旧市第一高级中学高三)展开式中x的系数为80，则a等于。【答案】(1)(2)240(3)5(4)-2【解析】(1)由二项式定理可知，令，得，所以的展开式中的系数为.故选：C(2)在的二项展开式中，通项公式为，令，求得，可得展开式的常数项为，故答案为：240．(3)由题意可得二项展开式的通项根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r＝0，6，12，18，24，共有5项，(4)展开式的通项公式为的系数为，解得.【举一反三】1．(2024·上海奉贤区·高三一模)在展开式中，常数项为__________.(用数值表示)【答案】【解析】展开式的通项为，令，可得，所以常数项为，故答案为：2．(2024·四川成都市·高三一模)的展开式中的系数是______．(用数字作答)【答案】【解析】由题设二项式知：，∴项，即，∴系数为，故答案为：.3．(2024·全国高三专题练习)的展开式中的系数为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选：C.4．(2024·全国高三)二项式的展开式中的系数是，则()A．1 B． C． D．【答案】B【解析】展开式的通项为，因为的系数是，所以，即，，解得，故选：B.5．(2024·山东高三专题练习)的展开式中的系数是-10，则实数()A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】C【解析】二项式展开式的通项为，令，得，则，所以，解得.故选：C6．(2024·广东高三一模)当为常数时，展开式中常数项为，则________．【答案】【解析】的第项为，令，得，所以，解得．故答案为：题型二二项式系数的性质【例2】(1)(2024·黑龙江大庆市·高三三模)若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是()A． B．C． D．(2)．(2024·江西高三其他)已知的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的系数为()A．80 B．40 C． D．【答案】(1)D(2)A【解析】(1)∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.的展开式的通项公式为，令，得.∴展开式中含项的系数是，故选D．(2)由题意，所以，解得，则的展开式的通项为，由得，所以的系数为.故选：A．【举一反三】1．(2024·四川绵阳市·高三三模)在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为()A．﹣360 B．﹣160 C．160 D．360【答案】B【解析】∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大，∴展开式共有7项，则n＝6，则展开式的通项公式为Tk+1＝Cx6﹣k()k＝(﹣2)kCx6﹣2k，由6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝(﹣2)3C160，故选：B．2．(2024·全国高三专题练习)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为()A． B． C． D．7【答案】D【解析】因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以所以的展开式的通项令，得所以展开式中的系数为故选：D3．(2024·永丰县永丰中学高三)若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是().A．132 B． C． D．66【答案】D【解析】因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以为偶数，展开式有13项，，所以二项式展开式的通项为由得，所以展开式中含项的系数为.故选：D题型三二项式系各项系数和【例3】(1)(2024·四川省泸县第二中学高三)的展开式的各项系数和是()A． B． C． D．(2)(2024·四川宜宾市·高三一模)若展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中的系数为()A． B． C． D．(3)(2024·江西高三)若，则()A．0 B．2 C． D．1(4)(2024·安徽高三)已知，则()A． B． C． D．【答案】(1)D(2)D(3)D(4)B【解析】(1)令，则展开式的各项系数和是.故选：D(2)令，则展开式中所有项的系数和为，故，展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为，故选：D．(3)由，令，可得；令，可得所以.故选：D.(4)令有，又由题意可得，故选：．【举一反三】1．(2024·全国高三)在的展开式中，若二项式系数的和为128，常数项为14，则()A． B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为的展开式中，二项式系数和为128，所以，即，所以的展开式的通项为，令，则．因为展开式常数项为14，即常数项是，解得．故选：B．2．(2024·全国高三其他模拟)已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.【答案】270【解析】令，的展开式中所有项的系数之和为，所以，解得，所以展开式的通项，令，得，所以常数项为.故答案为：270.3．(2024·全国高三专题练习)的展开式中，的奇次幂项的系数之和为()A． B． C． D．1【答案】A【解析】设，令，则，令，则，两式相减，整理得.故选：A4．(2024·湖北黄冈市·黄冈中学高三)若，则的值是()A． B． C．126 D．【答案】C【解析】令，得.又，所以.故选：C5．(2024·全国高三专题练习)已知，则()A．2 B．6 C．12 D．24【答案】C【解析】因为，此二项式的展开式的通项为，当时，所以.故选：C.6.(2024·江苏省南通中学高三一模)已知，则________；________；________；________.【答案】－2－109410932187【解析】当时，；当时，；当时，；故；；；由展开式可知均为负值，均为正值，故答案为：－2；－1094；1093；2187.题型四多项式展开式中特定项系数【例4】(1)(2024·河南郑州市·高三一模)式子的展开式中，的系数为()A． B． C． D．(2)．(2024·全国高三其他模拟(理))在的展开式中的系数为()A．50 B．20 C．15 D．(3)(2024·安徽省泗县第一中学高三其他模拟(理))的展开式的各项系数之和为5，则该展开式中x项的系数为()A．-66 B．-18 C．18 D．66【答案】(1)B(2)B(3)D【解析】(1)，的展开式通项为，的展开式通项为，由，可得，因此，式子的展开式中，的系数为.故选：B.(2)∵(2x﹣1)(x﹣y)6＝(2x﹣1)(•y6•x5y•x4y2•x3y3•x2y4xy5y6)，故展开式中x3y3的系数为，故选：B．(3)令，可得，∴．又的通项公式为，在的展开式中x的系数为．故选：D．【举一反三】1．(2024·广西高三)的展开式中，含的项的系数是()A． B． C．25 D．55【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项，含的项的系数为故选B.2．(2024·福建高三二模)的展开式中的系数为()A． B． C． D．【答案】D【解析】将展开，得，则原展开式中含的项为，整理可知其系数为98．故选：D．3．(2024·长春市第八中学高三一模)的展开式的常数项为()A． B． C． D．【答案】B【解析】的展开式的通项公式为：Tr+1＝()6﹣r=()6﹣r=．令6﹣2r＝﹣2，或6﹣2r＝0，分别解得r＝4，或r＝3．所以的展开式的常数项为+2×