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文档简介

考点37二项式定理知识梳理一.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=Ceq\o\al(0,n)an+Ceq\o\al(1,n)an-1b+…+Ceq\o\al(k,n)an-kbk+…+Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)(2)通项公式:Tk+1=Ceq\o\al(k,n)an-kbk,它表示第k+1项(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n),Ceq\o\al(1,n),…,Ceq\o\al(n,n)(4)项数为n+1,且各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n二.二项式系数的性质指定项的系数或二项式系数1.解题思路:通项公式2.常见指定项:若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,则有以下常见结论:(1)h(r)=0⇔Tr+1是常数项(2)h(r)是非负整数⇔Tr+1是整式项(3)h(r)是负整数⇔Tr+1是分式项(4)h(r)是整数⇔Tr+1是有理项三.系数和---赋值法1.赋值法的应用(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可.(2)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.2.二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数,则中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)+1项))的二项式系数最大;(2)如果n是奇数,则中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n+1,2)项与第\f(n+1,2)+1项))的二项式系数相等并最大.精讲精练题型一二项展开式中特定项及系数【例1】(1)(2024·长春市第八中学高三)二项式的展开式中的系数为(2)(2024·上海高三一模)在的二项展开式中,常数项等于____.(3)(2024·全国高三)在的展开式中,有理项共有项(4)(2024·云南省个旧市第一高级中学高三)展开式中x的系数为80,则a等于。【答案】(1)(2)240(3)5(4)-2【解析】(1)由二项式定理可知,令,得,所以的展开式中的系数为.故选:C(2)在的二项展开式中,通项公式为,令,求得,可得展开式的常数项为,故答案为:240.(3)由题意可得二项展开式的通项根据题意可得,为整数时,展开式的项为有理项,则r=0,6,12,18,24,共有5项,(4)展开式的通项公式为的系数为,解得.【举一反三】1.(2024·上海奉贤区·高三一模)在展开式中,常数项为__________.(用数值表示)【答案】【解析】展开式的通项为,令,可得,所以常数项为,故答案为:2.(2024·四川成都市·高三一模)的展开式中的系数是______.(用数字作答)【答案】【解析】由题设二项式知:,∴项,即,∴系数为,故答案为:.3.(2024·全国高三专题练习)的展开式中的系数为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意,根据二项式定理展开式的通项公式,得展开式的通项为,则展开式的通项为,由,得,所以所求的系数为.故选:C.4.(2024·全国高三)二项式的展开式中的系数是,则()A.1 B. C. D.【答案】B【解析】展开式的通项为,因为的系数是,所以,即,,解得,故选:B.5.(2024·山东高三专题练习)的展开式中的系数是-10,则实数()A.2 B.1 C.-1 D.-2【答案】C【解析】二项式展开式的通项为,令,得,则,所以,解得.故选:C6.(2024·广东高三一模)当为常数时,展开式中常数项为,则________.【答案】【解析】的第项为,令,得,所以,解得.故答案为:题型二二项式系数的性质【例2】(1)(2024·黑龙江大庆市·高三三模)若的展开式中只有第项的二项式系数最大,则展开式中含项的系数是()A. B.C. D.(2).(2024·江西高三其他)已知的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等,则展开式中的系数为()A.80 B.40 C. D.【答案】(1)D(2)A【解析】(1)∵的展开式中只有第项的二项式系数最大,∴为偶数,展开式共有项,则.的展开式的通项公式为,令,得.∴展开式中含项的系数是,故选D.(2)由题意,所以,解得,则的展开式的通项为,由得,所以的系数为.故选:A.【举一反三】1.(2024·四川绵阳市·高三三模)在二项式的展开式中,仅第四项的二项式系数最大,则展开式中常数项为()A.﹣360 B.﹣160 C.160 D.360【答案】B【解析】∵展开式中,仅第四项的二项式系数最大,∴展开式共有7项,则n=6,则展开式的通项公式为Tk+1=Cx6﹣k()k=(﹣2)kCx6﹣2k,由6﹣2k=0得k=3,即常数项为T4=(﹣2)3C160,故选:B.2.(2024·全国高三专题练习)在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的系数为()A. B. C. D.7【答案】D【解析】因为在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大所以所以的展开式的通项令,得所以展开式中的系数为故选:D3.(2024·永丰县永丰中学高三)若的展开式中只有第7项的二项式系数最大,则展开式中含项的系数是().A.132 B. C. D.66【答案】D【解析】因为展开式中只有第7项的二项式系数最大,所以为偶数,展开式有13项,,所以二项式展开式的通项为由得,所以展开式中含项的系数为.故选:D题型三二项式系各项系数和【例3】(1)(2024·四川省泸县第二中学高三)的展开式的各项系数和是()A. B. C. D.(2)(2024·四川宜宾市·高三一模)若展开式中所有项的系数和为1,则其展开式中的系数为()A. B. C. D.(3)(2024·江西高三)若,则()A.0 B.2 C. D.1(4)(2024·安徽高三)已知,则()A. B. C. D.【答案】(1)D(2)D(3)D(4)B【解析】(1)令,则展开式的各项系数和是.故选:D(2)令,则展开式中所有项的系数和为,故,展开式的通项公式为,令,解得,故的系数为,故选:D.(3)由,令,可得;令,可得所以.故选:D.(4)令有,又由题意可得,故选:.【举一反三】1.(2024·全国高三)在的展开式中,若二项式系数的和为128,常数项为14,则()A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因为的展开式中,二项式系数和为128,所以,即,所以的展开式的通项为,令,则.因为展开式常数项为14,即常数项是,解得.故选:B.2.(2024·全国高三其他模拟)已知的展开式中所有项的系数之和为32,则展开式中的常数项为______.【答案】270【解析】令,的展开式中所有项的系数之和为,所以,解得,所以展开式的通项,令,得,所以常数项为.故答案为:270.3.(2024·全国高三专题练习)的展开式中,的奇次幂项的系数之和为()A. B. C. D.1【答案】A【解析】设,令,则,令,则,两式相减,整理得.故选:A4.(2024·湖北黄冈市·黄冈中学高三)若,则的值是()A. B. C.126 D.【答案】C【解析】令,得.又,所以.故选:C5.(2024·全国高三专题练习)已知,则()A.2 B.6 C.12 D.24【答案】C【解析】因为,此二项式的展开式的通项为,当时,所以.故选:C.6.(2024·江苏省南通中学高三一模)已知,则________;________;________;________.【答案】-2-109410932187【解析】当时,;当时,;当时,;故;;;由展开式可知均为负值,均为正值,故答案为:-2;-1094;1093;2187.题型四多项式展开式中特定项系数【例4】(1)(2024·河南郑州市·高三一模)式子的展开式中,的系数为()A. B. C. D.(2).(2024·全国高三其他模拟(理))在的展开式中的系数为()A.50 B.20 C.15 D.(3)(2024·安徽省泗县第一中学高三其他模拟(理))的展开式的各项系数之和为5,则该展开式中x项的系数为()A.-66 B.-18 C.18 D.66【答案】(1)B(2)B(3)D【解析】(1),的展开式通项为,的展开式通项为,由,可得,因此,式子的展开式中,的系数为.故选:B.(2)∵(2x﹣1)(x﹣y)6=(2x﹣1)(•y6•x5y•x4y2•x3y3•x2y4xy5y6),故展开式中x3y3的系数为,故选:B.(3)令,可得,∴.又的通项公式为,在的展开式中x的系数为.故选:D.【举一反三】1.(2024·广西高三)的展开式中,含的项的系数是()A. B. C.25 D.55【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项,含的项的系数为故选B.2.(2024·福建高三二模)的展开式中的系数为()A. B. C. D.【答案】D【解析】将展开,得,则原展开式中含的项为,整理可知其系数为98.故选:D.3.(2024·长春市第八中学高三一模)的展开式的常数项为()A. B. C. D.【答案】B【解析】的展开式的通项公式为:Tr+1=()6﹣r=()6﹣r=.令6﹣2r=﹣2,或6﹣2r=0,分别解得r=4,或r=3.所以的展开式的常数项为+2×

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