艺考生专题讲义44 双曲线

考点44双曲线知识梳理一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．精讲精练题型一双曲线的定义【例1-1】(2024·浙江省德清县第三中学)已知双曲线的左､右焦点分别为､，若点在的右支上，且，则()A．3 B．5 C． D．【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为，所以又，所以故选：B【例1-2】．(2024·河北张家口市)已知，动点P满足，当分别为4和12时，点P的轨迹分别为()A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，得当时，，可知点P的轨迹为双曲线左支；当时，，可知点P的轨迹为以为端点的一条射线.故选：C【例1-3】．(2024·全国课时练习)已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________.【答案】4【解析】由双曲线方程知：，在△PF1F2中，由余弦定理知：，∴，而，∴.故答案为：4.【方法总结】【方法总结】双曲线定义(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．【举一反三】1．(2024·上海普陀区)设P是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则()A．4 B．5 C．8 D．10【答案】C【解析】由双曲线可得根据双曲线的定义可得：故选：C2．(2024·上海市)已知两点和，动点满足，则动点的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线 C．一条射线 D．双曲线的右支【答案】C【解析】由两点和，动点满足，所以动点的轨迹是一条射线.故选：C3．(2024·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，，，()，若点的轨迹为双曲线，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【解析】，由点的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则，所以故选:A4．(2024·全国高三专题练习)已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为____________【答案】【解析】双曲线，则，所以，利用双曲线定义知，，两边平方得，且，由余弦定理，解得：，则.故答案为：题型二双曲线的标准方程【例2-1】(2024·福建龙岩市)“”是“方程表示双曲线”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示双曲线，则，得，则能推出，不能推出，“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A．【例2-2】．(2024·全国课时练习)过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是()A． B．C． D．或【答案】D【解析】由，知：.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为，将点(1,1)代入可得，则双曲线方程为.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为.故选：D【举一反三】1．(2024·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)焦点在轴上，离心率，求双曲线的标准方程；(2)，，焦点在轴上，求双曲线的标准方程．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意可得，，，因为双曲线的焦点在轴上，因此，双曲线的标准方程为；(2)由已知条件可得，解得，，因为双曲线的焦点在轴上，因此，双曲线的标准方程为2．(2024·浙江)已知曲线，()A．若E表示双曲线，则 B．若，则E表示双曲线C．若E表示椭圆，则 D．若且，则E表示椭圆【答案】D【解析】因为曲线，当解得或时曲线表示双曲线；当即且时曲线表示椭圆；故选：D3．(2024·江苏南通市)命题“”是命题“曲线表示双曲线”的()A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题“曲线表示双曲线”，则，即，解得由于命题能推出命题，命题不能推出命题则命题是命题的充分不必要条件故选：C题型三直线与曲线的位置关系【例3】(2024·全国课时练习)若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，求实数k的取值范围．【答案】【解析】4x2－y2＝16渐近线方程为，因为直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，所以k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由可得，解得.【举一反三】1．(2024·徐汇区·上海中学)已知直线与双曲线，则为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】或．【解析】由得，因为直线与双曲线有一个公共点，所以或，解得或．2．(2024·江苏南通市)直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值有()个A． B． C． D．【答案】D【解析】联立，消去并整理得，由于直线与双曲线有且只有一个公共点，所以，或，解得或，对于方程，判别式为，方程有两个不等的实数解.显然不满足方程.综上所述，的取值有个.故选：D.3．(2024·陕西宝鸡市)如果直线与双曲线只有一个交点，则符合条件的直线有()A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】由，得，若，即，时，，方程组只有一解；时，，方程组只有一解；时，，，此时方程组也只有一解．方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．故选：D．题型四弦长【例4】(2024·全国高三专题练习)直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为()A． B． C． D．【答案】B【解析】将直线代入得.设两交点，则，.故选:B．【举一反三】1．(2024·辽宁朝阳市·高三月考)直线与双曲线有两个交点为，，则()A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由，得，，∴.故选：C．2．(2024·全国高三专题练习)过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝()A．2 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.所以x1x2＝＝10.所以|AB|＝·＝4.故选:D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，①.②①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.故选：D题型五离心率与渐近线【例3】(2024·浙江湖州市)双曲线的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)【答案】【解析】由题可知，，故渐近线方程为：即.故答案为：；【举一反三】1．(2024·浙江杭州市·学军中学)双曲线的渐近线方程是___________；离心率为___________.【答案】【解析】由双曲线方程得：，则因此渐近线方程是；离心率为故答案为：；2