课时作业26 等比数列（教师版）

课时作业26等比数列一、单选题1．(2024·云南高三其他模拟)已知、、、成等差数列，、、、、成等比数列，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】由于、、、成等差数列，可得，设等比数列、、、、的公比为，则，由等比中项的性质可得，，因此，.故选：D.2．(2024·威远中学校高三月考)等比数列的各项均为正数，且，则().A． B． C．20 D．40【答案】B【解析】设数列的公比为，由得，所以,由条件可知，故.由得，所以,.故选：B3．(2024·四川省峨眉第二中学校高三月考)已知正项等比数列中，，，，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】在正项等比数列中，由所以，又，所以所以故选：D4．(2024·西藏山南二中高三月考)已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为()A．15 B．17 C．19 D．21【答案】B【解析】由题意可得，，由等比数列的通项公式可得，所以，故选：B.5．(2024·黑龙江大庆市·大庆中学高三期中)等比数列的前项和为，若，，，，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】在等比数列中，，，则为递增数列，，由已知条件可得，解得，，，因此，.故选：A.6．(2024·四川宜宾市·高三一模)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为()A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以.设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以.所以，即，化简得解得：或(舍)故选：C7．(2024·四川宜宾市·高三一模)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为()(结果精确到0.1，参考数据：，)A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8【答案】C【解析】设大老鼠每天打洞的进度形成数列，小老鼠每天打洞的进度形成数列，则由题可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以第天后大老鼠打洞的总进度为，数列是首项为1，公比为的等比数列，所以第天后小老鼠打洞的总进度为，则由题可得，整可得，解得或，即(舍去)或，.故选：C.8．(2024·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中)已知等比数列满足，数列为等差数列，其前项和为，若，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】在等比数列中，，由等比中项的性质可得，解得，，由等差数列的求和公式可得.故选：D.9．(2024·河北高三月考)在公比为的正项等比数列中，已知，，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】由等比数列的性质，可得，因为正项等比数列中，所以，又由，所以，解得.故选：A.10．(2024·西藏拉萨市第二高级中学高三期中)等差数列的公差为2，若成等比数列，则()A．72 B．90 C．36 D．45【答案】B【解析】由题意知：，，又成等比数列，∴，解之得，∴，则，∴，故选：B11．(2024·肇东市第四中学校高三期中)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝()A．4 B．5 C．8 D．15【答案】C【解析】∵a3a11＝4a7，∴＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8．故选：C12．(2024·湖南高三月考)已知是公差为1的等差数列，且是与的等比中项，则()A．0 B．1 C．3 D．2【答案】C【解析】是公差为1的等差数列，又是与的等比中项，，即，解得，故选：C.13．(2024·全国高三专题练习)已知正项等比数列满足，，又为数列的前n项和，则()A．或 B．C．15 D．6【答案】B【解析】正项等比数列中，，，解得或(舍去)又，，解得，，故选：B14．(2024·广东深圳市·明德学校高三月考)在等比数列中，是数列的前n项和．若，则()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】设的公比为q，则．故选：B.15．(2024·河南高三月考)在数列中，，，则()A．32 B．16 C．8 D．4【答案】C【解析】因为，所以，所以数列是公比为2的等比数列．因为，所以．故选：C16．(2024·陕西西安市·高三月考)已知数列满足且，则的前10项的和等于()．A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，数列满足，即，又由，即，解得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，即的前10项的和为.故选：B.17．(2024·江西高三期中)已知为等比数列，，，则的值为()A． B．9或 C．8 D．9【答案】D【解析】为等比数列，所以所以故选：D18．(2024·安徽六安市·六安一中高三其他模拟)在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是()A．25 B． C．5 D．【答案】B【解析】是等比数列，且，.又，，，当且仅当时取等号.故选：B.19．(2024·全国高三专题练习)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为()A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8，由S8-2S4=5，可得S8-S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.当且仅当S4=5时等号成立，所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.故选：C.20．(2024·全国高三专题练习)各项均为正数的等比数列的前项和为，若则()A． B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由题意易知所以，，两式相除得，化简得，解得，所以,故选B.21．(2024·东莞市光明中学高三月考)已知等比数列的前n项和为，且，，则()A．16 B．19 C．20 D．25【答案】B【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.故选：B22．(2024·陕西宝鸡市·高三月考)已知等比数列中，，，，则()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.23．(2024·辽宁大连市·辽师大附中高三月考)已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为()A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【解析】根据题意，数列为等比数列，设，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故；故选：24．(2024·全国)设等比数列的前项和为，若，则公比()A．1或 B．1 C． D．【答案】A【解析】设等比数列的首项为，由题意可知，当时，，显然成立；当时，由得，化简得，所以解得.综合得.故选：A.25．(2024·江苏南京市·金陵中学高三月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则S5＝()A． B． C． D．【答案】B【解析】正项等比数列{an}的前n项和为Sn，，∴，解得a1＝1，q＝，∴S5＝＝＝．故选：B．26．(2024·山东高三专题练习)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为()A．180里 B．170里 C．160里 D．150里【答案】C【解析】根据题意，设此人每天所走的路程为数列，其首项为，即此人第一天走的路程为，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项，为公比的等比数列，又由，即有，解得：；故选：．27．(2019·山东潍坊市·高二月考)若等比数列的前n项和，则该数列的公比q的值为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为，故可得.故.故选：C.28．(多选)(2024·辽宁葫芦岛市·高三月考)已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则()A． B．C． D．【答案】AC【解析】由，，成等差数列，得.设的公比为，则，解得或(舍去)，所以，解得.所以数列的通项公式为，，故选：AC.29．(2024·全国高三专题练习())已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．则=_________.【答案】【解析】设的公差为，由题意：，即，整得：，∴(舍去)，，故：，故答案为：.30．(2024·海南高三专题练习)数列满足且，则的值是___________【答案】11【解析】因为，所以数列是以为公比的等比数列，由得，所以，即，故答案为：11.31．(2024·湖南永州市·高三月考)在等比数列中，若，则＝________.【答案】【解析】因为等比数列中，若，所以，所以.故答案为：.32．(2024·石嘴山市第三中学高三月考)设为等比数列,其中，则___________；【答案】25【解析】由等比数列性质可得，所以故答案为2533．(2024·江西省信丰中学高三月考())若等比数列的各项均为正数，且，则等于__________．【答案】50【解析】由题意可得，=，填50.34．(2024·全国高三开学考试)已知在等比数列中，，，则首项______.【答案】4【解析】由，得,即，又，，所以.故答案为：435．(2024·贵州安顺市·高三其他模拟())在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为__________.【答案】【解析】依题意，依题意存在，使得，即，即，所以，所以.当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故答案为：36．(2024·广东肇庆市·高三月考)已知等比数列中，，，则________．【答案】21【解析】因为为等比数列，设公比为，所以①，又②得，所以，所以，故答案为：2137．(2024·全国高三专题练习)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________.【答案】10【解析】根据等比数列的前n项和的性质，若Sn是等比数列的和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等比数列，得到(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即.解得S3＝10或S3＝90(舍)．故答案为：38．(2024·全国高三专题练习)设等比数列的前n项和为，若，则为________.【答案】【解析】∵等比数列的前项和为,且∴由等比数列的性质得,所以故答案为:39．(2024·江苏苏州市·吴江中学高三其他模拟)等比数列的前项和为,则实数_______.【答案】1【解析】最后代回原式进行检验。40．(2024·黑龙江大庆市·铁人中学高三月考())已知数列满足且，证明数列是等比数列；【答案】证明见解析；【解析】因为，所以，