河南省、江西省2025届高三上学期11月全国百万大联考数学试卷

高三数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式､函数与导数､三角函数､平面向量､复数､数列､立体几何.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知命题，命题，则（）A.和都是真命题B.和都是真命题C.和都是真命题D.和都是真命题3.若，则=（）A.B.5C.D.4.已知是上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（）A.B.C.D.5.若是函数的极小值点，则的极大值为（）A.B.C.D.6.设是等差数列的前n项和，若，，则=（）A.6B.7C.8D.97.已知，，，则的大小关系是（）A.B.C.D.8.在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，，，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.10.函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根：，，则下列说法正确的是（）A.B.把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则C.D.11.已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（）A.的图象关于点对称B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________.13.如图，在中，，，，是边上的两点，且，则=__________.14.在正方体中，，为棱的中点，一束光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点，则这束光线在正方体内的总长度为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.16.（15分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性.17.（15分）在四棱锥中，已知PC⊥平面ABCD，，，，是线段上的点，.（1）证明：平面.（2）求平面与平面的夹角的余弦值.18.（17分）已知数列满足，公差不为0的等差数列满足，，成等比数列，（1）证明：数列是等比数列.（2）求和的通项公式.（3）在与之间从的第一项起依次插入中的k项，构成新数列，，，，，，，，，，….求中前60项的和.19.（17分）若存在正实数，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”.（1）已知函数在上是一个“函数”，求a的取值范围.（2）（i）已知当时，，证明：函数在上是一个“函数”.（ii）设，证明：.高三数学考试参考答案1.C【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.因为，所以复数对应的点为，位于第三象限.2.B【解析】本题考查全称量词命题和存在量词命题，考查逻辑推理的核心素养.对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题；对于而言，因为，所以是真命题，是假命题.综上，和都是真命题.3.B【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.4.C【解析】本题考查函数的单调性，考查逻辑推理的核心素养.由题可知，由，可得，因为是上的减函数，所以，解得，即解集为.5.D【解析】本题考查函数的极值，考查数学运算的核心素养.由题可得，所以在，上单调递增，在上单调递减，则，即.故的极大值为.6.A【解析】本题考查等差数列，考查数学运算的核心素养.由题可知成等差数列，所以，则.7.A【解析】本题考查对数，考查逻辑推理的核心素养.，因为，所以，即.8.B【解析】本题考查平面向量的数量积以及基本定理，考查直观想象和逻辑推理的核心素养.设为的中点，连接（图略）.由可知在和上的投影向量的模相等，又因为，所以点在线段上.当点位于点时，取得最小值1，当点位于点时，取得最大值，，此时，所以的取值范围为.9.BCD【解析】本题考查集合的运算，考查逻辑推理的核心素养.由题可知，，集合表示曲线上的所有点组合的集合，故.故选BCD.10.BCD【解析】本题考查三角函数的图象，考查逻辑推理的核心素养.，因为的最小正周期为，所以，即，所以.把图彖上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得曲线，再把所得曲线向右平移个单位长度，可得的图象.因为0，所以，则是的两个解，且，则，所以.故选BCD.11.BD【解析】本题考查抽象函数以及函数的性质，考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.由，可得，又，所以，故的图象关于点对称，A错误.因为为偶函数，所以是周期为6的函数.因为，所以，B正确.，C错误.因为，所以，故12.因为，所以，所以，D正确.12.【解析】本题考查充分必要条件，考查逻辑推理的核心素养.由题意可知集合是的真子集，由，可得，所以，即的取值范围是.13.【解析】本题考查解三角形，考查逻辑推理的核心素养.由题可知，因为，所以.14.【解析】本题考查正方体的结构特征，考查逻辑推理和直观想象的核心素养.如图，分别在正方体的左､右两侧作正方体与正方体.设一束光线从点射出后与侧面交于点，其反射光线与侧面交于点，取的中点，连接.根据光线反射的对称性易得，且四点共线，则.15.【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养.解：（1）因为，所以设.由余弦定理得，所以.（2）由正弦定理得，则，由，得，即，即，所以.故的面积为.评分细则：第（2）问另解：因为，由余弦定理可得化简可得，解得，所以.故的面积为.16.【解析】本题考查导数的几何意义以及函数的单调性，考查逻辑推理的核心素养.解：（1）当时，，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.（2）因为，所以.当时，，所以在区间上单调递增.当时，令，即，且，解得；令，即，且，解得.综上，当时，的单调增区间为，无单调减区间；当时，的单调增区间为，单调减区间为.17.【解析】本题考查立体几何以及空间向量，考查直观想象和数学运算的核心素养.（1）证明：连接交于点，连接.因为，所以.因为，所以，所以，因为平面平面，所以平面.（2）解：过点作一直线垂直于平面，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则.设平面的法向量为，则令，则，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则令，则，所以平面的一个法向量为.，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18.【解析】本题考查数列的综合应用，考查逻辑推理的核心素养.（1）证明：由题可知，所以数列是等比数列.（2）解：由（1）可知等比数列的首项为2，公比为4，所以.当为奇数时，，当为偶数时，，所以设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，所以，解得，所以.（3）解：新数列中，（含）前面共有!由，得，所以新数列中含有数列的前10项，含有数列的前50项，.故.19.【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养.（1）解：因为函数在上是一个“函数”，所以对任意均成立，