含参存在性与恒成立问题的解题模板

含参不等式的存在性与恒成立问题的解题模板【考点综述】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：判别式法使用情景：含参数的二次不等式解题模板：第一步首先将所求问题转化为二次不等式；第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步得出结论.解题模板应用：例1设，当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】解题模板选择：本题中含参数的二次不等式，故选取解题方法模板一判别式法进行解答.解题模板应用：第一步首先将所求问题转化为二次不等式；设则当时，恒成立.第二步首先将所求问题转化为二次不等式；当时，即时，恒成立.当时，恒成立等价于：解得.第三步得出结论：综上可得实数的取值范围为.练习1.若函数的定义域为，则实数的取值范围为A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：因为定义域是，所以对一切实数恒成立，分两种情况讨论即可.详解：对任意的，有恒成立，所以或，故，故选A.【小结】含参数的一元二次不等式的恒成立，需要分清是否是上恒成立，如果是，在确定是一元二次不等式的条件下直接应用判别式来考虑，如果在其他范围上的恒成立，则可以转化为函数的最值或者采用参变分离的方法来求参数的取值范围.2.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（）A.或 B.或C. D.【答案】C【解析】【分析】分和两种情况讨论，结合题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由于不等式对一切实数都成立.当时，可得，解得，不合乎题意；当时，则，解得.因此，实数的取值范围为.故选：C．【小结】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题.3.已知向量满足，与的夹角为，若对一切实数x，恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】平方，利用向量的数量积公式，展开整理得，对一切实数x，恒成立，从而有解不等式，即可得出结论.【详解】解：因为，与的夹角为，所以．把两边平方，整理可得，所以，即，即．故选:C．【小结】本题考查向量的模与数量积的关系，将问题等价转化为一元二次不等式恒成立，属于基础题.4.若函数y＝(k为常数)的定义域为R，则k的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】把函数的定义域为，转化为不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解。【详解】由题意，函数(k为常数)的定义域为R，即不等式在上恒成立，当时，不等式等价于恒成立，符合题意；当时，则满足，即且，解得，综上可得实数的取值范围是。【小结】本题主要考查了函数的定义域的概念，以及一元二次不等式的恒成立问题，其中解答中把函数的定义域为，转化为一元二次不等式的恒成立问题，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。5.已知命题“”是假命题，则实数m的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围【详解】若命题“”是假命题，则“”为真命题，显然时，不满足题意，故只需满足，解得.故答案为：.【小结】本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在上恒成立求参数的问题，属综合基础题.解题方法模板二：分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题模板：第一步首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步先求出含变量一边的式子的最值；第三步由此推出参数的取值范围即可得出结论.解题模板应用：例2已知函数，若在函数定义域内恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解题模板选择：本题中可参变分离，故选取解题方法模板二分离参数法进行解答.解题模板应用：第一步，参变分离；在函数定义域内恒成立，第二步，设则所以易得第三步，得出结论：故选D．练习6.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先分离参数，再由基本不等式得出的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】因为时，恒成立，所以在恒成立因为，当且仅当，即或（舍）等号成立所以故选：A【小结】本题主要考查了一元二次不等式在某区间上的恒成立问题以及基本不等式的恒成立问题，属于中档题.7.已知，则使得都成立的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：由不等式得，解得，由于不等式恒成立，的最小值，的最小值为，因此得.考点：不等式和恒成立问题.8.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式化为，讨论、和时，分别求出不等式成立时的取值范围即可【详解】时，不等式可化为；当时，不等式为，满足题意；当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，所以，即；当时，恒成立；综上所述，实数的取值范围是答案选A【小结】本题考查不等式与对应的函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法9.若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】原不等式在内有解等价于在内有解，等价于，再根据二次函数的性质即可求出结果.【详解】原不等式在内有解等价于在内有解，设函数，所以原问题等价于又当时，，所以.故选：A.【小结】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查函数与方程思想和等价化归与转化思想．属于基础题．10.若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A.0 B.-2 C. D.-3【答案】B【解析】【分析】可将不等式转化成，结合对勾函数的增减性即可求解【详解】，，由对勾函数性性质可知，当为减函数，当时，为增函数，故，即恒成立，，故的最小值为-2故选：B【小结】本题考查一元二次不等式在某区间恒成立的解法，转化为对勾函数是其中一种解法，也可分类讨论函数的对称轴，进一步确定函数的最值与恒成立的关系，属于中档题解题方法模板三：函数性质法使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型解题模板：第一步首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等；第二步从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；第三步得出结论.解题模板应用：例3设函数，若时，，求的取值范围.【答案】【解析】解题模板选择：本题中分离参数后求最值较困难，故选取解题方法模板三函数性质法进行解答.解题模板应用：第一步，首先可以把含参不等式整理成适当形式第二步，从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；当时，当时，当时第三步，得出结果..练习11.若二次函数f(x)＝4x2－2(t－2)x－2t2－t＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值m，使得f(m)>0，则实数t的取值范围A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，故二次函数f（x）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m，使得f(m)>0的否定为：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，即f（﹣1），f（1）均小于等0，由此可以构造一个关于t的不等式组，解不等式组，找出其对立面即可求出实数t的取值范围．【详解】二次函数f（x）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m，使f（m）＞0，该结论的否定是：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，由，求得t≤﹣3或t≥．∴二次函数在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m，使f（m）＞0的实数t的取值范围是：（﹣3，），故选B．【小结】本题考查了一元二次方程根的分布和二次函数的单调性和值域等知识，属于中档题．同学们要注意解题过程中运用反面的范围，来求参数取值范围的思路，属于中档题．12.实数，当时，恒有成立，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】设，,根据题意即和同正或同负，当时，，则时，，所以得到，又当时，，则需要当时，有，根据二次函数的性质可得到答案.【详解】设，当时，恒有成立，即和同正或同负.当时，，则时，所以，此时，在时，所以当时，有，又的对称轴方程为则，解得所以故答案为：【小结】本题考查函数性质，考查恒成立问题，考查等价转化的思想和能力，属于中档题.13.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由题意可知关于的不等式在上有解，作出函数和函数的图象，考虑直线与函数的图象相切，以及直线过点，数形结合可求得实数的取值范围.【详解】关于的不等式在上有解，即关于的不等式在上有解，作出两函数，图象，当由与相切时，则，即，，解得.由过点得.由图可知，因此，，即实数的取值范围为.故答案为：.【小结】本题考查利用含绝对值的不等式在区间上有解求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14.已知函数，（e＝2.71828…是自然对数的底数），若存在，使得成立，则实数的取值范围是____.【答案】；【解析】【分析】本题先求的值域，再根据题意建立不等式参变分离，最后构建新函数求最值解决存在性问题求参变量.【详解】当时，，则，即在递减，得，当时，在递增，则，综合得的值域为.由题若存在，使得成立，则，在有解，即在在有解，令，，，则，在递减，的最小值，又，在递减，的最大值，则.故答案为：【小结】本题考查分段函数的值域，借导函数求函数的最值，转化存在性问题求参数的范围，是偏难题.15.设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析:由题设及函数的解析式可知，所以．由题意问题转化为“存在，使得有解”，即在有解，令，则，当时，函数是增函数；所以，当，即.所以，故应填答案.考点：互为反函数的图象和性质及函数方程思想的综合运用．【易错点晴】函数与方程思想、等价转化与化归的数学思想是高中数学的重要思想方法,也高考必考的重要考点.本题以两个函数满足的关系式为背景,考查的是转化与化归思想和函数方程思想的灵活运用.解答时先依据题设条件将问题转化为即在有解,进而构造函数,运用导数求出其值域,从而使得问题巧妙获解.解题方法模板四：函数值域法使用情景：含参不等式恰成立类型.解题模板：第一步转化对应函数值域问题；第二步利用函数单调性、导数、图像等方法求值域；第三步根据条件列方程解得结果.解题模板应用：例4关于的不等式在上恰成立，求实数的值【答案】或【解析】解题模板选择：本题中，故选取解题方法模板四：正弦函数性质法进行解答.解题模板应用：解题模板：第一步转化为对应函数值域问题；原题转化为函数在上值域为，第二步利用函数单调性、导数、图像等方法求值域；第三步根据条件列方程解得结果.，即实数的值为或.练习16.已知函数，，函数，若对于任意，总存在，使得成立，则a的值为（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】D【解析】【分析】利用导数研究的单调性，即可求出的值域，再根据二次函数的性质可得的值域，最后根据两集合的包含关系得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为，，所以，可得时，即在区间上单调递减；时，即在区间上单调递增；又，，，故因为，所以在上单调递减；，所以又因为对于任意，总存在，使得成立，所以所以解得所以故选：D【小结】本题考查利用导数研究函数的单调性，存在性问题的解法，属于中档题.17.已知集合，（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）已知，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）等价于和是方程的两个根，根据韦达定理可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式可化为在上恒成立，利用二次函数知识求出在上的最小值，再解不等式可得结果.【详解】（Ⅰ）由题意可知，和是方程的两个根，所以由韦达定理得，解得，故实数.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式可化为，所以在上恒成立，令，因为，所以，所以不等式恒成立等价于，故由，解得：，故实数的取值范围为：.【小结】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.18.已知函数，为的导数.（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）求，令，求的正负判断的单调性，求出的最小值，即为的最小值.（2）令，即证当时，恒成立.由（1）可知，当时，成立，当时，分类讨论求的范围即可.【详解】（1），令，，则.当时，为增函数，；当时，.故时，，为增函数，故，即的最小值为1.（2）令，，则本题即证当时，恒成立.当时，若，则由（1）可知，，所以为增函数，故恒成立，即恒成立；若，则，在上为增函数，又，，故存在唯一，使得.当时，，为减函数；时，，为增函数.又，，故存在唯一使得.故时，，为增函数；时，，为减函数.又，，所以时，，为增函数，故，即恒成立；当时，由（1）可知在上为增函数，且，，故存在唯一，使得.则当时，，为减函数，所以，此时，与恒成立矛盾.综上所述，.【小结】关键小结：利用导数研究函数的最值问题以及恒成立问题，本题出现了多次求导的情况.掌握利用导数的正负反应原函数的增减以及零点存在性定理是解决本题的关键.解题方法模板五：主参换位法使用情景：已知参数范围求自变量取