江西省九江市六校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题

高二（上）期末数学试卷（北师大版）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y2=x的准线方程为(

)A.x=14 B.x=−14 C.2.已知随机变量X～N(2,σ2)，若P(X<a)=0.32.则P(a≤X<4−a)=A.0.32 B.0.68 C.0.36 D.0.643.现有6名北京冬奥会志愿者，其中4名女志愿者，2名男志愿者.随机从中一次抽出2名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务.则抽出的2名都是女志愿者的概率是(

)A.15 B.25 C.354.若平面α外的直线l的方向向量为a=(1,0,−2)，平面α的法向量为m=(8,−1,4)，则(

)A.l⊥α B.1//α C.a//m D.l与5.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率是3，F1A.8x−y−24=0 B.22x+y−62=06.设(x−2)8+441x5A.7 B.−6 C.889 D.−77.对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有OP=xOA+yOB+zOC，则x+y+z=1是P，A，BA.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.已知椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为F和F′，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点Q在以原点O为圆心，A.152 B.23 C.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设α∈R，对于直线l：xsinα+y+2=0，下列说法中正确的是(

)A.l的斜率为sinα B.l在y轴上的截距为−2

C.l不可能平行于x轴 D.l与直线x−ysinα−1=0垂直10.在长方体ABCD−A1B1C1D1A.直线AB与平面ACD1所成角的余弦值为13

B.直线AD与平面ACD1所成角的正弦值为23

C.点A1到平面ACD1的距离为11.一般地，我们把离心率相等的两个椭圆称为相似椭圆.已知椭圆x26+y24A.椭圆x26+y24=1与椭圆x212+y28=1相似

B.12.由直线l：x−y+1=0上的一点P向圆C：x2−6x+y2+8=0引两条切线PA，PB，A，A.线段PA长的最小值为7

B.四边形PACB面积的最小值为72

C.cos∠APB的最大值是34

D.当点P的坐标为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.如图所示，在四面体O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=______(用a，b，

14.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有______条(用数值表示)15.若圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|=2.则圆C的标准方程为______．16.过点A(0,1)作斜率为k的直线l交双曲线x2−y22=1于P1，P2两点，线段P1P2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

直线2x−y−3=0与圆C交于E、F两点，E、F两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，且x1，x2是方程5x2−4x−5=018.(本小题12分)

如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，SA⊥底面ABCD，SA=2，设G是△ABC的重心，E是SD上的一点，且SE=3ED．

(1)试用基底{AB,AD,AS}表示向量GE；19.(本小题12分)

已知动圆过定点M(0,4)，且在x轴上截得的弦AB的长为8．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)过轨迹C上一个定点P(m,n)(m≠0)引它的两条弦PS，PT，若直线PS，PT的斜率存在，且直线ST的斜率为−m4.证明：直线PS，PT20.(本小题12分)

如图1，在△ABV中，AC=BC=CV，AC⊥VB于C.现将△ABV沿AC折叠，使V−AC−B为直二面角(如图2)，D是棱AB的中点，连接CD、VB、VD．

(1)证明：平面VAB⊥平面VCD；

(2)若AC=1，且棱AB上有一点E满足BE=14BA，求二面角C−VE−A21.(本小题12分)

在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用.某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药.初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．

(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以ξ表示选取的人中服药后有效的人数，求ξ的分布列和数学期望；

(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．22.(本小题12分)

设F1，F2为椭圆C：x2t+y2=1(t>1)的左、右两个焦点，P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2,|PF1||PF2|=3．答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2【解答】

解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，

∴p2=14，

∴抛物线y2.【答案】C

【解析】解：∵随机变量X～N(2,σ2)，

∴其图象关于直线x=2对称，

∵P(X<a)=0.32，

∴P(a≤X<2)=0.5−0.32=0.18，

∴P(a≤X<4−a)=2P(a≤X<2)=2×0.18=0.36．

故选：C．

3.【答案】B

【解析】解：现有6名北京冬奥会志愿者，其中4名女志愿者，2名男志愿者，

随机从中一次抽出2名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务，

基本事件总数n=C62=15，

抽出的2名都是女志愿者包含的基本事件个数m=C42=6，

则抽出的2名都是女志愿者的概率是P=mn=615=25．4.【答案】B

【解析】解：根据题意，直线l的方向向量为a=(1,0,−2)，平面α的法向量为m=(8,−1,4)，

易得a⋅m=1×8−2×4=0，

又由直线l在平面α外，则有l/​/α．

故选：B．

5.【答案】C

【解析】解：由3=ca=1+b2得，b2=8.双曲线x2−y28=1的右焦点是F2(3,0)，

经过第一、三象限的渐近线方程是y=26.【答案】D

【解析】解：根据(x−2)8二项式展开式：Tr+1=C8r⋅(−2)r⋅x8−r，(r=0,1,…,8)；

故当r=3时，系数为−7.【答案】B

【解析】解：若x+y+z=1，则OP=(1−y−z)OA+yOB+zOC，即AP=yAB+zAC，

由共面定理可知向量AP，AB，AC共面，所以P，A，B，C四点共面；

反之，若P，A，B，C四点共面，当O与四个点中的一个(比如A点)重合时，

OA=0，x可取任意值，不一定有x+y+z=1，

则x+y+z=1是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件．

故选：B．

从共面向量定理出发，判断对于空间任意一点O和不共线三点A，B，C，点P满足OP=xOA+yOB+zOC，且8.【答案】C

【解析】解：因为椭圆方程为x29+y25=1，

所以a=3，b=5，c=a2−b2=2，

又线段PF的中点Q在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，

所以F′Q垂直平分线段PF，所以|FF′|=|PF′|=4，

又因为|PF|+|PF′|=6，所以|PF|=2，|QF|=1，

在直角三角形FQF′中，|QF′|=16−1=159.【答案】BD

【解析】解：直线l：xsinα+y+2=0，

则l的斜率为−sinα，故A错误；

令x=0，解得y=−2，

故l在y轴上的截距为−2，故B正确；

当sinα=0时，直线l：y=−2，平行于x轴，故C错误；

直线x−ysinα−1=0的斜率为1sinα，

直线l的斜率为−sinα，

1sinα⋅(−sinα)=−1，故D正确．

故选：BD10.【答案】BCD

【解析】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，

以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，D1(0,0,1)，

AC=(−1,2,0)，AD1=(−1,0,1)，

设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z)，

则AC⋅n=−x+2y=0AD1⋅n=−x+z=0，取x=2，得n=(2,1,2)，

对于A，AB=(0,2,0)，

设直线AB与平面ACD1所成角为θ，

∴直线AB与平面ACD1所成角的正弦值为：

sinθ=|AB⋅n||AB|⋅|n|=22×3=13，

∴直线AB与平面ACD1所成角的余弦值为1−(13)2=223，故A错误；

对于B，AD=(−1,0,0)，11.【答案】ABC

【解析】解：根据题意可得6−46=3−m3(0<m<3)或6−46=m−3m(m>3)，

解得m=2或m=92，∴B，C选项正确；

∵椭圆x26+y24=1与椭圆x212+y28=1的离心率分别为13，2212.【答案】AD

【解析】解：将圆C：x2−6x+y2+8=0化为标准方程：(x−3)2+y2=1，其圆心为(3,0)，半径为1．

对于A，|PA|=|CP|2−1,|CP|min=|3−0+1|2=22，所以线段PA长的最小值为7，故A对；

对于B，四边形PACB面积的最小值为2×12×7×1=7，故B错；

对于13.【答案】12【解析】解：∵E为AD的中点，

∴OE=12OA+12OD，

又∵D为BC中点，

∴OD=114.【答案】30

【解析】解：若直线方程Ax+By+C=0经过坐标原点，则C=0，那么A，B任意取两个即可，有A62=30，

故答案为：30．

先根据条件知道C=015.【答案】(x−1)【解析】解：圆C与x轴相切于点T(1,0)，|AB|=2，

则圆心横坐标为1，圆的半径r=12+(22)2=2，即圆心纵坐标为2，

故圆16.【答案】3【解析】解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，线段P1P2的中点坐标为(12,y0)，则x1+x2=2×12=1，

因为P1，P2两点在双曲线上，

所以x12−y122=1x22−y222=1，两式相减得，k=y1−y2x117.【答案】解：(1)因为直线2x−y−3=0的斜率为2，x1+x2=45，x1x2=−1，

于是由弦长公式得，|EF|=1+4(x1+x2)2−4x1x2=21455，即弦EF的长为【解析】(1)利用弦长公式即可得；(2)利用点到直线的距离公式可得半径，从而确定圆的方程．

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．18.【答案】解：(1)连接AE，延长AG，交BC于F，

由G为△ABC的重心，得AF是BC边上的中线，且AG=23AF，

结合AF=12(AB+AC)，得AG=13(AB+AC)=13(AB+AB+AD)=23AB+13AD，

因为SE=3ED，所以AE−AS=3(AD−AE)【解析】(1)连接AE，延长AG，交BC于F，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底{AB,AD,AS}表示向量GE的式子；

(2)根据题意，AB、AD、19.【答案】解：(1)设动圆圆心D的坐标为(x,y)，则(x−0)2+(y−4)2=42+y2，

整理得，x2=8y，故所求动圆圆心的轨迹C的方程为x2=8y．

(2)证明：设S(x1,y1)，T(x2,y2)，则有m【解析】(1)设动圆圆心D的坐标为(x,y)，由题意可得(x−0)2+(y−4)2=42+y20.【答案】(1)证明：在图2中，∵AC=BC，D是AB的中点，

∴CD⊥AB，又V−AC−B为直二面角，VC⊥AC，

∴VC⊥底面ABC，而AB⊂平面ABC，

∴VC⊥AB，且VC∩CD=C，CD⊂平面VCD.VC⊂平面VCD，

因此AB⊥平面VCD，又AB⊂平面VAB，

∴平面VAB⊥平面VCD；

(2)解：以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，V(0,0,1)，CV=(0,0,1)，

因BE=14BA，所以E(14,34,0)，那么CE=(14,34,0)，

设平面VCE的法向量t=(m,n,p)，

由CV⋅t=0且CE⋅t=0，得p=0且14m+34n=0，取n=1，则t=(−3,1,0)，

设平面【解析】(1)证明CD⊥AB，VC⊥AC，通过VC⊥底面ABC，证明VC⊥AB，然后推出AB⊥平面VCD，即可证明平面VAB⊥平面VCD；

(2)以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面VCE的法向量，平面VAB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C−VE−A的余弦值即可求出正弦值．

本题考查直线与平面