初中数学同步八年级上册沪科版《压轴题》专题1630°.45°和60°角的四种类型含答案及解析

专题1630°.45°和60°角的四种类型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、在60°顶点处构造共顶点等边三角形 1类型二、利用60°角的一边上的点向另一边作垂线构造直角三角形 3类型三、利用45°角构造等腰直角三角形 5类型四、利用30°角构造直角三角形 7压轴能力测评 81.等边三角形的性质性质1：等边三角形的三个内角相等性质2：含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半2.等边三角形的判定判定1：有三边相等的三角形是等边三角形判定2：两个角是60°（三个内角相等）的三角形是等边三角形判定3：有一个内角60°的等腰三角形是等边三角形类型一、在60°顶点处构造共顶点等边三角形例．如图，中，，点D、E分别在、上，，、相交于点O，于点G，求证：．【变式训练1】．在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．(1)依题意补全如图．(2)若，求．(3)若，用等式表示线段之间的数量关系并证明．【变式训练2】．已知等腰和等腰中，，．(1)如图（1），①若，，在等腰可绕点A旋转过程中，线段的最大值为______；②若，当B、D、E三点共线时，则的度数为______；(2)如图（2），若，且C与D重合，．当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由；(3)在（2）的条件下，F是延长线上一点，且，连接，如图3，试探究之间的关系，并证明．【变式训练3】．如图，在四边形中，垂直平分，，E是上一点，连接交于点F，且．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．类型二、利用60°角的一边上的点向另一边作垂线构造直角三角形 例．如图，锐角中，，点在上，交于点E，连接，．(1)特例探索：如图，若，求的度数；(2)类比迁移：如图，若，求的度数（用含的代数式表示）；(3)拓展提升：在图中，猜想与的数量关系，并给出证明．【变式训练1】．如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接、，．(1)求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点是外一点，连接，，，且平分，若，，求的长．【变式训练2】．如图，在中，，D是中点，，，点E，F分别在边上，且．(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；(2)求的长．【变式训练3】．如图，等腰中，，点D在上，点E在延长线上，连接，且．

(1)求证：；(2)若，且，求的长．类型三、利用45°角构造等腰直角三角形例．等边三角形和等腰直角三角形是我们熟悉的特殊三角形．数学课上，同学们探究得到了以下判定和性质：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；③等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都是．请应用以上知识解决下列问题：已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，点D在右侧，且，连接交于点E．

【初步应用】（1）如图1，若，则_______°；【深化应用】（2）如图2，在（1）的基础上，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）若，当最长时，请直接写出的长．【变式训练1】．如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，．(1)，请你说明理由．(2)求的度数．(3)点关于直线的对称点为，连接，．补全图形，判断与之间的数量关系并说明理由．【变式训练2】．如图，已知，中，为的中点，求的度数

【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线相交于点；直线与轴交于点．(1)当时，求的面积；(2)若，求的值；(3)若是以为腰的等腰三角形，求的值．类型四、利用30°角构造直角三角形例．如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接．

(1)求的度数；(2)当时，用等式表示线段CF与的数量关系，并证明．【变式训练1】．如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E．(1)求证：；(2)连接，请判断的形状，并说明理由．【变式训练2】．已知，在中，，，为边上一点，为射线上一点，连接、．(1)如图1，若，平分，求的度数；(2)如图2，若，求的度数；(3)如图3，若，，在，之间，且，求的长．【变式训练3．如图，四边形ABCD中，，，，，，求CD的长．1．如图，在中，点在上，，延长至，连接．过作，截取，连接．若．

(1)探究与的数量关系；(2)求的值；(3)设与交于点，连接．若为等边三角形，，求．2．如图所示，在等边中，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，．设运动时间为t秒，请回答：(1)当平分时，求t的值；(2)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．3．如图，已知在中，，延长到点D，使，求的度数．4．数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：

(1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程．(2)如图（2），当点在内，已知，求的值．(3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明．5．在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，进一步探究等边三角形的有关问题．(1)如图①，“智慧组”在等边中，作于点，经过探究提出下面结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．①中等于的角为______直接填空；②求证：．(2)“奋进组”直接探究了下面的问题：已知：为等边三角形，以为腰，在外作等腰，使，，连接，则的度数是个定值．①利用图求出的度数；②“创新组”发现：取中点，连接并延长交直线于点，若，，则可得出线段的长请直接写出线段的长．6．如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边上，,连接与相交于P．

(1)求证：；(2)如图2，连接,当时，求证：．7．如图(1)如图1，等腰和等腰中，，B，E，D三点在同一直线上，求证：；(2)如图2，等腰中，，，D是外一点，且，求证：；(3)如图3，等边中，D是外一点，且，①∠ADB的度数；②DA，DB，DC之间的关系．8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是边AB上的动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）在图中，依题意补全图形；（2）记∠DCB=α（α＜45°），求∠BAF的大小；（用含α的式子表示）（3）若△BCE是等边三角形，猜想EF和AB的数量关系，并证明你的结论．9．数学理解（1）如图1，在等边内，作，且，E是内一点，且，，求的度数；联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）（2）如图2，在中，，，E是内一点，且，，连接DE，求的度数．10．△ABC是一块钢板余料，其中∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝20dm，现要从中剪裁出边长为6dm的等边△DEF，如图所示，其中点D在BC上，点E和点F在AB上，求AE、BF的长（结果保留根号）．

专题1630°.45°和60°角的四种类型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、在60°顶点处构造共顶点等边三角形 1类型二、利用60°角的一边上的点向另一边作垂线构造直角三角形 10类型三、利用45°角构造等腰直角三角形 17类型四、利用30°角构造直角三角形 26压轴能力测评 321.等边三角形的性质性质1：等边三角形的三个内角相等性质2：含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半2.等边三角形的判定判定1：有三边相等的三角形是等边三角形判定2：两个角是60°（三个内角相等）的三角形是等边三角形判定3：有一个内角60°的等腰三角形是等边三角形类型一、在60°顶点处构造共顶点等边三角形例．如图，中，，点D、E分别在、上，，、相交于点O，于点G，求证：．【答案】见解析【分析】延长至点M，使，连接，则，有，即可得到为等边三角形，则，，，即可证明，，则．在中得到即可．【详解】证明：延长至点M，使，连接，如图，∵，∴，．∵，∴为等边三角形，∴，．又，∴．在和中，∴，∴，∴．在中，，，∴，∴．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线并找到对应全等三角形．【变式训练1】．在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．(1)依题意补全如图．(2)若，求．(3)若，用等式表示线段之间的数量关系并证明．【答案】(1)见解析；(2)；(3)，理由见解析．【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）依题意补全图形；（2）由等腰三角形的性质和外角性质即可求解；（3）连接交于点，根据全等三角形的判定与性质可求解．【详解】（1）解：过点作直线的垂线，交于点，取点，使得，连接、，则点为点关于直线的对称点，图为所求的图．

（2）解：如图：连接，∵点与点关于直线对称∴，，∴∴，即∵∴，∴∴∴在与中∴∵是等边三角形∴∴∵，，∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：，理由：如图，连接交于点，∵点与点关于直线对称∴，，∴∴

即∵∴，∴∴∵∴在与中∴∵是等边三角形∴∴∵，∴由线段构成的三角形与全等，则又∵，∴，【变式训练2】．已知等腰和等腰中，，．(1)如图（1），①若，，在等腰可绕点A旋转过程中，线段的最大值为______；②若，当B、D、E三点共线时，则的度数为______；(2)如图（2），若，且C与D重合，．当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由；(3)在（2）的条件下，F是延长线上一点，且，连接，如图3，试探究之间的关系，并证明．【答案】(1)①10；②或(2)的度数不变，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（1）①连接，由，得，则线段的最大值为10，于是得到问题的答案；②分两种情况讨论，一是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，由，，，得，，可证明，得，所以，则，即可求得；二是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，则，，可证明，得，于是得到问题的答案；（2）由，得，，则，所以的度数不变．（3）在线段上截取，连接，可证明是等边三角形，得，，由，得，则，再证明垂直平分，则，所以是等边三角形，则，，可推导出，即可证明，得，所以．【详解】（1）解：①如图（1），连接，，，，，，线段的最大值为10，故答案为：10．②如图（1）①，、、三点共线，且点在线段上，设交于点，，，，，，在和中，，，，，，，，；如图（1）②，、、三点共线，且点在线段上，设交AB于点，，，，，，在和中，，，，故答案为：或．（2）的度数不变，理由：，，，且与重合，，，，，，的度数不变．（3），证明：如图（3），在线段上截取，连接，，，是等边三角形，，，，，，，，点、点都在的垂直平分线上，垂直平分，，是等边三角形，，，，在和中，，，，．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．【变式训练3】．如图，在四边形中，垂直平分，，E是上一点，连接交于点F，且．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）由垂直平分，可得，证明是等边三角形，，由，可得，则，进而结论得证；（2）如图，连接交于，由垂直平分，可得，，则，，由是等边三角形，可得，根据，计算求解即可．【详解】（1）证明：∵垂直平分，∴，∵，∴是等边三角形，，∵，∴，∵，∴是等边三角形；（2）解：如图，连接交于，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴的长为2．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．类型二、利用60°角的一边上的点向另一边作垂线构造直角三角形 例．如图，锐角中，，点在上，交于点E，连接，．(1)特例探索：如图，若，求的度数；(2)类比迁移：如图，若，求的度数（用含的代数式表示）；(3)拓展提升：在图中，猜想与的数量关系，并给出证明．【答案】(1)；(2)；(3)，理由见解析．【分析】（）首先证明是等边三角形，由得到，从而求解；（）由，，得，再根据三角形内角和与直角三角形的性质即可求解；（）在上截，连接，则，再根据等腰三角形的判定与性质即可求解；本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）∵，，∴是等边三角形,∴，∵，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∵，∴；（3），理由如下：如图，在上截，连接，∵∴则，由（）知，∴，∴，又∵，∴．【变式训练1】．如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接、，．(1)求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点是外一点，连接，，，且平分，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据，得到，由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论；（2）过点D作，交于点H，根据已知证明为等边三角形，再证明，即可得出结论；（3）过点作于点，过点作的延长线于点，先证明，再证明，推出，设，则，建立关于m的一元一次方程，求出m即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，，∴；（2）证明：过点D作，交于点H，，，为等边三角形；，，,为等边三角形；，由（1）知，，，在与中，，；，；（3）解：过点作于点，过点作的延长线于点，平分，，，，，；，，由（2）知为等边三角形，，；，，，，，，，，，；设，则，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键．【变式训练2】．如图，在中，，D是中点，，，点E，F分别在边上，且．(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；(2)求的长．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】（1）过D作于G，于H，利用等边三角形的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2），得到，进而推出，根据等边三角形和含角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，即可．【详解】（1）解：，理由如下：过D作于G，于H，∵，D是中点，，∴是等边三角形，，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵是等边三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角新的判定和性质，含30度角的直角三角形，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形．【变式训练3】．如图，等腰中，，点D在上，点E在延长线上，连接，且．

(1)求证：；(2)若，且，求的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）利用等边对等角求得，利用三角形的外角性质即可证明结论成立；（2）作于点F，证明是等边三角形，求得，，利用含30度角的直角三角形的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵等腰中，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：作于点F，

∵等腰中，，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质、直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．类型三、利用45°角构造等腰直角三角形例．等边三角形和等腰直角三角形是我们熟悉的特殊三角形．数学课上，同学们探究得到了以下判定和性质：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；③等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都是．请应用以上知识解决下列问题：已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，点D在右侧，且，连接交于点E．

【初步应用】（1）如图1，若，则_______°；【深化应用】（2）如图2，在（1）的基础上，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）若，当最长时，请直接写出的长．【答案】（1）15；（2），理由见解析；（3）的长为4【分析】（1）根据，结合，得到等边三角形，继而得到，，结合，得到，继而得到，解答即可；（2）过点B作于点G，根据（1）证明，利用等腰三角形三线合一性质，直角三角形的性质证明即可．（3）过点B作于点B，且，再证明，得到，根据，得到当三点共线时，取得最大值，根据题意，得，证明，继而得到，解答即可．【详解】（1）∵，，∴等边三角形，∴，，∵，∴，∴，故答案为：15．（2）线段与之间的数量关系为：．理由如下：过点B作于点G，根据（1）得，，∴，∵，的角平分线交于F，∴，∴，∴，∵，，

∴，∴．（3）过点B作于点B，且，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，故当三点共线时，取得最大值，

根据题意，得，

∴，∴，∴，∴当最长时，．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形不等式求最值，熟练掌握等边三角形的性质，三角形不等式是解题的关键．【变式训练1】．如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，．(1)，请你说明理由．(2)求的度数．(3)点关于直线的对称点为，连接，．补全图形，判断与之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)理由见解析(2)(3)补全图形见解析，，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．（1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，再证明，由全等三角形的性质即可证明结论；（2）由（1）可知，，，然后由求解即可；（3）根据题意补画图形，结合轴对称的性质可得，，，进而证明，易得，结合可知，即可获得答案．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴；（2）解：由（1）可知，，，∴；（3）如图，，理由如下：∵点与关于对称，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴．【变式训练2】．如图，已知，中，为的中点，求的度数

【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作于点D，交于点E，在上截取，连接，得出是线段的垂直平分线，证明，结合角的等量代换以及角的运算，得出，即可作答．【详解】解：作于点D，交于点E，在上截取，连接，则有，

设，则，∵，点D为的中点，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，∵（三角形外角性质），∴，∴，∵，∴，，又，∴，∴，∴∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线相交于点；直线与轴交于点．(1)当时，求的面积；(2)若，求的值；(3)若是以为腰的等腰三角形，求的值．【答案】(1)(2)(3)的值为或【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）分别求出、、点坐标，再求的面积即可；（2）作交于，作轴，过点作交于，作于，证明，从而得出，再代入一次函数解析式计算即可得出答案；（3）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出答案．【详解】（1）解：当时，，当时，解得，此时，∴，在中，当时，，解得，即，在中，当时，，解得，即A−4,0，∴；（2）解：如图，作交于，作轴，过点作交于，作于，，∴∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，，当时，解得，此时，∴，在中，当时，，即，∴，，∴，，∴，∴，解得：或，检验：当时，，是分式方程的解，当时，，是分式方程的解，∵直线与轴的夹角为的外角，，∴直线与轴的夹角大于，∴，∴；（3）解：由（1）可得A−4,0由（2）可得：，，如图，当时，此时，，∴，解得：或，检验：当或时，，是分式方程的解，（不符合题意，舍去）如图，当时，此时，即，解得：或，检验：当时，，是分式方程的解，是增根，舍去，综上所述，的值为或．类型四、利用30°角构造直角三角形例．如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接．

(1)求的度数；(2)当时，用等式表示线段CF与的数量关系，并证明．【答案】(1)；(2)，证明见解析．【分析】（）通过证明得出，再由即可推出结果；（）过点作，垂足为，通过证明得出，再根据含30°的直角三角形性质推出即可得出结论；本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，在和中，∴，∴，∴，（2）证明：过点作，垂足为，

∴.∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【变式训练1】．如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E．(1)求证：；(2)连接，请判断的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)是等边三角形，理由见解析【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．（1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，是的垂直平分线，，，，在中，，；（2）解：是等边三角形，理由如下：连接．垂直平分，∴，，，，∴，，是等边三角形．【变式训练2】．已知，在中，，，为边上一点，为射线上一点，连接、．(1)如图1，若，平分，求的度数；(2)如图2，若，求的度数；(3)如图3，若，，在，之间，且，求的长．【答案】(1)(2)(3)4【分析】（1）证明得到，，根据等边对等角得到，，则，即可由三角形外角的性质得到；（2）如图所示，在上找一点F，使得，连接，先证明，进而证明，得到，进一步证明，得到，即；（3）作交延长线于，连接，证明，证明为含的直角三角形即可得出答案．【详解】（1）解：∵平分，，∴,在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，在上找一点F，使得，连接，∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴；（3）解：如图所示，过点C作交延长线于，连接，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，,∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，含直角三角形的性质等知识点，根据题意作出辅助线证明三角形全等是解题的关键．【变式训练3．如图，四边形ABCD中，，，，，，求CD的长．【答案】．【分析】本题主要查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．延长交于点E，证明是等边三角形，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，即可求解．【详解】解：如图，延长交于点E，

∵，∴，∵，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，在中，，∴，∴．1．如图，在中，点在上，，延长至，连接．过作，截取，连接．若．

(1)探究与的数量关系；(2)求的值；(3)设与交于点，连接．若为等边三角形，，求．【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）根据，得出，根据三角形外角的性质，得出，根据、等边对等角、三角形内角和定理，得出与的数量关系即可；（2）过点作交延长线于，推出，利用证明，得出，利用证明，得出，推出，求出的值即可；（3）过点作交延长线于，标记交于点，根据等边三角形的性质，得出，，结合，推出和是含度角的直角三角形，结合勾股定理表示出、，再根据计算整理得出答案即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：如图，过点作交延长线于，

又∵，∴，∵由（1）得：，∴，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；（3）解：如图，过点作交延长线于，标记交于点，

∵为等边三角形，，，，∴，，，∴，∵由（2）得：，∴，∴，∴，，∴，，∴，，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质、等边对等角、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明是解题的关键．2．如图所示，在等边中，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，．设运动时间为t秒，请回答：(1)当平分时，求t的值；(2)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．（1）根据等腰三角形的三线合一的性质可得当平分时，，根据距离，速度，时间的关系即可求解；（2）根据，列方程求解即可；（3）分和两种情况讨论，列方程求解即可．【详解】（1）解：在等边中，平分，点Q是的中点，，即，，（2）解：根据题意：，则，过点P作于点D，在等边中，，点P在线段的垂直平分线上，，解得：，当时，点P在线段的垂直平分线上；（3）解：存在，当时，为直角三角形，因为，即，解得：，当时，为直角三角形，，即，解得：，综上：或时，为直角三角形．3．如图，已知在中，，延长到点D，使，求的度数．【答案】【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．作等边，连接，利用等边三角形和等腰三角形的性质，易证，即可求出的度数．【详解】解：如图，作等边，连接，，，，，，，，，在和中，，，．4．数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：

(1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程．(2)如图（2），当点在内，已知，求的值．(3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明．【答案】(1)，证明见解析(2)10(3)【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明；（2）连结、、，则，，，，由得到，则；（3）连结、、，则，，，，由得到，则．【详解】（1）解：，证明如下：连结，如图（1）所示：

设，是等边三角形，，于点，于点，于点，，，，，，；（2）解：连结、、，如图（2）所示：

设，是等边三角形，，于点，于点，于点，于点，，，，，，，，，，的值为；（3）解：，理由如下：连结、、，如图（3）所示：

设，是等边三角形，，于点，于点，于点，于点，，，，，，，．【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键．5．在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，进一步探究等边三角形的有关问题．(1)如图①，“智慧组”在等边中，作于点，经过探究提出下面结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．①中等于的角为______直接填空；②求证：．(2)“奋进组”直接探究了下面的问题：已知：为等边三角形，以为腰，在外作等腰，使，，连接，则的度数是个定值．①利用图求出的度数；②“创新组”发现：取中点，连接并延长交直线于点，若，，则可得出线段的长请直接写出线段的长．【答案】(1)①；②见解析(2)①；②5【分析】（1）由直角三角形的性质得出答案；由等边三角形形的性质可得出答案；（2）由等边三角形及等腰三角形的性质求出和的度数，则可得出答案；在上截取，连接，，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案．【详解】（1）解：，，，故答案为：；证明：是等边三角形，，，，，．（2）是等边三角形，，，，，，，，；在上截取，连接，，，为的中点，，，是的中垂线，，由可知，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．6．如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边上，,连接与相交于P．

(1)求证：；(2)如图2，连接,当时，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定、三角形三边关系、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质，解题的关键是：（1）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；（2）过点作，交，于点，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．【详解】（1）解：证明：为等边三角形，，，在和中，，，，；（2）过点作，交，于点，，

由（2）可知，，，，由（1）知，，在和中，，，，即．7．如图(1)如图1，等腰和等腰中，，B，E，D三点在同一直线上，求证：；(2)如图2，等腰中，，，D是外一点，且，求证：；(3)如图3，等边中，D是外一点，且，①∠ADB的度数；②DA，DB，DC之间的关系．【答案】(1)证明见解析．(2)证明见解析．(3)①；②．【分析】（1）如图1，先利用SAS证明，得到，进一步可得证；（2）如图2，过作交于，利用ASA证明，得到，从而得证；（3）①如图3-1，在三角形内作，交于点，证得是等边三角形，即可得证；②先利用SAS证明，得到，再利用等量代换可证得结论．【详解】（1），∴，在和中，，，，，，，；（2）如图2，过作交于得，，,，，，，在和中，，，，；∴．（3）①如图3-1，在三角