高考数学热点专题7之3立体几何中的翻折问题（原卷版）

立体几何中的翻折问题思路引导思路引导一．在考查立体几何的高考解答题中，翻折问题与探索性问题也是常考题型，考查热点仍是点、线、面的位置关系的判断和空间角的计算，解题的关键是明确翻折前后不变的位置关系和数量关系，根据题目条件合理引入参数，利用方程的思想解题．二．翻折问题的两个解题策略确定翻折前后变与不变的关系画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决确定翻折后关键点的位置所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算三．三步解决平面图形翻折问题母题呈现母题呈现【典例】(2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.(1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图②中的二面角B－CG－A的大小.【解题指导】【解题技法】1.折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.2.由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开，这是解决空间垂直问题的技巧.【跟踪训练】（2022··盐城中学模拟预测）图1是直角梯形，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.（1）求证：平面平面；（2）已知点为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.模拟训练模拟训练1．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在边长为4的正三角形中，为边的中点，过作于.把沿翻折至的位置，连接､.(1)为边的一点，若，求证：平面；(2)当四面体的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值.2．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.3．（2023·全国·模拟预测）如图1，在平面四边形ABCD中，，，于点E，于点F，且与AB交于点G，，将沿DG折起，使得平面平面BCDG，得到四棱锥，如图2，P，Q分别为CD，AF的中点．(1)求证：平面ABP；(2)若，求直线DQ与平面QBP所成角的正弦值．4．（2023·上海·统考模拟预测）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.(1)求四面体的体积；(2)是否存在侧棱上一点，使面与面所成角的正切值为？若存在，请描述点的位置；若不存在，请说明理由.5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图（1），在梯形中，，，，为中点，现沿将折起，如图（2），其中分别是的中点.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值.6．（2023·福建漳州·统考二模）如图1，在直角梯形BCDE中，，，A为DE的中点，且，，将沿AB折起，使得点E到达P处（P与D不重合），记PD的中点为M，如图2．(1)在折叠过程中，PB是否始终与平面ACM平行？请说明理由；(2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求CD与平面ACM所成角的正弦值．7．（2023·甘肃兰州·校考一模）在直角梯形(如图1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M为线段AD中点．将△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B－ACD(如图2)．(1)求证：CD⊥平面ABC；(2)求AB与平面BCM所成角的正弦值．8．（2023·四川成都·统考一模）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.(1)设平面平面，证明：⊥平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.9．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）如图，等腰梯形中，//，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.(1)证明：；(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.10．（2019·山东·校联考三模）已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．(1)若M为