初中数学同步八年级上册沪科版《压轴题》专题02点的坐标与面积的五种考法含答案及解析

专题02点的坐标与面积的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、三角形面积问题 2类型二、多边形面积问题 4类型三、含参数面积问题 5类型四、动点问题 7类型五、直线分面积比问题 9压轴能力测评 10三角形面积公式S＝12梯形面积公式S＝12坐标平移1.点的平移：①将点(x,y)向右（或向左）平移a个单位可得对应点(x+a,y)或(x-a,y)；②将点(x,y)向上（或下）平移b个单位，可得对应点(x,y+b)或(x,y-b)；2.图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位；②如果把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位；坐标轴上线段的长度的表示若A（a,0）,B（b,0）,则线段AB＝|a-b|;若A（0，a）,B（0,b）,则线段AB＝|a-b|;类型一、三角形面积问题在平面直角坐标系中，解决三角形的面积问题，常常讲面积问题转化为坐标问题，会用到点到坐标轴的距离和点与点之间的距离问题，通过直接求解和间接求解两种方法。常见的类型主要有：三角形的一边在坐标轴上、三角形的一边平行于坐标轴。三角形的三遍不与坐标轴平行也不在坐标轴上。例．如图所示：

(1)写出三角形顶点C与B的位置．(2)求出三角形的面积．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标为，点C在x轴的负半轴，且(1)求点C的坐标；(2)在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形的面积？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由【变式训练2】．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位，建立平面直角坐标系，三角形是三角形向右平移4个单位，向上平移1个单位后得到的，且三个顶点的坐标分别为．(1)请画出三角形；(2)写出点A，B，C的坐标；(3)求出三角形的面积．【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别是．将三角形向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到三角形．(1)写出点的坐标；(2)在平面直角坐标系中画出三角形；(3)求三角形的面积．类型二、多边形面积问题多边形的面积计算，一般采用分割法或围栏法。例．如图，四边形所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.(1)建立以O为原点，边所在直线为x轴的平面直角坐标系，并写出点C的坐标；(2)求出四边形的面积；(3)请画出将四边形向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得的四边形．【变式训练1】．已知的三个顶点的坐标分别是，，．(1)在所给的直角坐标平面内，画出；(2)如果内任意一点Mx,y，经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，求四边形的面积．【变式训练2】．如图，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，(1)请画出平移后的图形；(2)写出各顶点的坐标；(3)连接和，求出四边形的面积．【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，然后依次连接得到三角形．(1)将三角形先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到三角形，在平面直角坐标系中画出三角形．(2)在（1）中画出的图中，连接，点在轴的负半轴上，且三角形的面积与四边形的面积相等，求点的坐标．类型三、含参数面积问题此类问题中，点的坐标可能含有参数，或者坐标未知，通过用参数（或设未知数）来表示点的坐标，从而表示出线段长，进而表示出图形面积，再结合题目给出的条件建立关系式来解决问题。例．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上两点，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，连接．(1)直接写出点C，D的坐标．(2)若平移后得到的四边形为平行四边形，求出四边形的面积．(3)在x轴上是否存在点F，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接．(1)如图1，求点C，D的坐标及四边形的面积；(2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在；(3)如图2，在直线上是否存在点Q，连接，使，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练2】．如图1，在平面直角坐标系中，其中满足，现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到线段．

(1)直接写出点的坐标：______，______，_______，_______；(2)若点在轴上，且使得三角形的面积是三角形面和的倍，求点坐标；(3)如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，若三角形与三角形面积之比为，求之间满足的关系式．【变式训练3】．如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上．(1)若把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标；(2)求出的面积；(3)点为轴上一点，且的面积是面积的一半，求点坐标．类型四、动点问题动点类问题，题目没有明确坐标的情况下，先设好坐标，结合实数的性质、，平行线的性质、平移规律，分类思想、三角形的面积问题、平面直角坐标点的坐标特征、线段长的求法，点的坐标的确定、三角形四边形面积的计算等知识点进行求解。例．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，．(1)请直接写出的坐标__________，的坐标__________；(2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论；(3)在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．【变式训练1】．在平面直角坐标系中，，若x，y满足，(1)写出点A，B的坐标；(2)过y轴上点作直线l交直线于点P，若，求点P的坐标；(3)过y轴上点作直线，点为直线t上一动点，己知点，若，求出m的取值范围．【变式训练2】．如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为Aa,0，，，其中，满足，与轴交于点．(1)求，的值及点的坐标；(2)如图2，是轴上位于上方的一动点，①连接，，，当和的面积相等时，求点的坐标；②如图3，过点作，平分，平分，求的度数．【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，且，．(1)直接写出点，，的坐标；(2)若动点从原点O出发沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积相等的两部分时，求点的运动时间；(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，连接，使的面积与四边形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．类型五、直线分面积比问题例．在平面直角坐标系中，Aa,0，，满足，过点C作轴于点B．(1)如图1，连接，求三角形的面积．(2)如图2，连接，若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，求？(3)如图3，过C作垂直于点D，连接，点P从D点出发，沿“”移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间t秒，当P运动到什么位置时，直线将四边形面积分为两部分？求出的坐标？【变式训练1】．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，．(1)点的坐标为________，点的坐标为________；(2)如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系；(3)在2的条件下，若的面积为7，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练2】．在平面直角坐标系中，已知点，．将点A向下平移个单位，B点先向右平移4个单位，再向下平移个单位，分别得到点，．(1)若与坐标轴平行，则m与n的数量关系是；(2)分别过，作y轴的垂线，垂足分别为M，N，且．①求四边形的面积；②连接，，，线段交x轴于点C，若OC将三角形的面积分成的两部分，求点C的坐标．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知点，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C．(1)填空，点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．线段平移到扫过的面积为_______．(2)若点P是y轴上的动点，连接．①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段与线段相交于点E，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由；②当将四边形的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．1．如图，平面直角坐标系中，点，，．(1)点C到y轴的距离为______；(2)求的面积；(3)若点P的坐标为，①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示）②当时，求点P的坐标．2．已知四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，将四边形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到四边形．

(1)画出四边形；(2)求四边形的面积．3．如图1，，，我们能够容易地计算出的面积，根据所给的平面直角坐标系探究下列问题．（说明：三角形记作）【思维启迪】．（1）若点的坐标是，点的坐标是，则①的面积是________，的面积是________；②的面积与的面积之间的数量关系是________；③，，三点所在的直线与x轴的位置关系是________．请利用你发现的结论，尝试解决以下问题．【学以致用】（2）是轴上方一点，点的坐标是，若的面积与的面积相等，且，求点的坐标．【发散思维】（3）如图2，若点的坐标是，连接，点在轴上，若的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标，4．综合探究如1图，在平面直角坐标系中，Aa,0，，且满足，过点作轴于点．(1)求，的值；(2)求的面积；(3)如2图，若过点作交轴于点，且，分别平分和，求的度数．5．如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．

(1)将沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移4个单位长度得到，请画出；(2)求出四边形的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使得的面积为4？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知点，点，且，满足．(1)______，______；(2)如图1，点，连接交于点，连接，．求三角形与三角形的面积差；(3)如图2，点在第二象限，且为直线左侧一点，求三角形的面积？7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且m，n满足，点C的坐标为0,3．(1)直接写出m，n的值；(2)求三角形的面积；(3)若动点P在坐标轴上运动，是否存在点P，使得，若存在请直接写出满足条件的所有点P的坐标，若不存在，请说明理由．8．作图题

已知：如图，在平面直角坐标系中．(1)作出向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度的，并写出三个顶点的坐标：（________），（________），（________）；(2)求四边形的面积9．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，B−4,−1，，将平移，使点与点重合，得到，点，的对应点分别为、．(1)画出并写出点、的坐标；(2)求的面积；(3)若直线经过点且与轴垂直，点在直线l上，且的面积等于1，直接写出点的坐标．10．已知：点(1)在坐标系中描出各点，画出三角形．(2)求三角形的面积（三角形的面积表示为）(3)若点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标．

专题02点的坐标与面积的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、三角形面积问题 1类型二、多边形面积问题 6类型三、含参数面积问题 10类型四、动点问题 16类型五、直线分面积比问题 24压轴能力测评 34三角形面积公式S＝12梯形面积公式S＝12坐标平移1.点的平移：①将点(x,y)向右（或向左）平移a个单位可得对应点(x+a,y)或(x-a,y)；②将点(x,y)向上（或下）平移b个单位，可得对应点(x,y+b)或(x,y-b)；2.图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位；②如果把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位；坐标轴上线段的长度的表示若A（a,0）,B（b,0）,则线段AB＝|a-b|;若A（0，a）,B（0,b）,则线段AB＝|a-b|;类型一、三角形面积问题在平面直角坐标系中，解决三角形的面积问题，常常讲面积问题转化为坐标问题，会用到点到坐标轴的距离和点与点之间的距离问题，通过直接求解和间接求解两种方法。常见的类型主要有：三角形的一边在坐标轴上、三角形的一边平行于坐标轴。三角形的三遍不与坐标轴平行也不在坐标轴上。例．如图所示：

(1)写出三角形顶点C与B的位置．(2)求出三角形的面积．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据图形，直接写出点C和点B的坐标即可；（2）根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：由图可知：；（2）解：三角形的面积．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，利用网格求三角形面积，解题的关键是熟练掌握点坐标的表示方法．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标为，点C在x轴的负半轴，且(1)求点C的坐标；(2)在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形的面积？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查平面直角坐标中图形的与坐标，掌握平面直角坐标系的特点，点坐标与线段的关系是解题的关键．（1）根据点A的坐标，线段AC的长即可求解；（2）根据题意可求出，，结合几何图形面积的计算方法即可求解．【详解】（1）∵点A的坐标是∴，∵，，∴.∴点C的坐标是.（2）存在，如图所示∵，，∴.∴设，则，∴，∴，解得：，∴或.【变式训练2】．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位，建立平面直角坐标系，三角形是三角形向右平移4个单位，向上平移1个单位后得到的，且三个顶点的坐标分别为．(1)请画出三角形；(2)写出点A，B，C的坐标；(3)求出三角形的面积．【答案】(1)见详解(2)点、、的坐标分别为：(3)【分析】本题考查作图-平移变换、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（1）利用平移的性质即可解答；（2）利用平移的性质即可解答；（3）利用三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）解：将三角形向左平移4个单位长度，向下平移1个单位，即为求作的三角形，如图所示：（2）解：∵是由是向右平移4个单位长度，向上平移1个单位后得到的后得到的，且，∴点、、的坐标分别为：．（3）解：三角形的面积．【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别是．将三角形向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到三角形．(1)写出点的坐标；(2)在平面直角坐标系中画出三角形；(3)求三角形的面积．【答案】(1)(2)见解析(3)8.5【分析】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．（1）直接写出点的坐标即可；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．【详解】（1）由图形与坐标可得：．（2）三角形如图所示．（3）．类型二、多边形面积问题多边形的面积计算，一般采用分割法或围栏法。例．如图，四边形所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.(1)建立以O为原点，边所在直线为x轴的平面直角坐标系，并写出点C的坐标；(2)求出四边形的面积；(3)请画出将四边形向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得的四边形．【答案】(1)画图见解析，(2)9(3)画图见解析【分析】此题考查了平面直角坐标系及点的坐标、图形的平移作图、网格中图形的面积等知识，准确建立平面直角坐标系是解题的关键．（1）按照要求建立平面直角坐标系，根据建立的坐标系写出点C的坐标即可；（2）根据四边形的面积求出面积即可；（3）按照平移规律找出、、、平移后的对应的、、、，再依次连接即可．【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如下图：由图可得：点C的坐标为；（2）解：由图可得：四边形的面积；（3）解：如图所示，四边形即为所求．【变式训练1】．已知的三个顶点的坐标分别是，，．(1)在所给的直角坐标平面内，画出；(2)如果内任意一点Mx,y，经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)7【分析】此题考查了平移变换，割补法求面积，（1）根据点A，B，C三点的坐标作图即可；（2）由点M的坐标变化得到点的变化规律，确定点，，的坐标，再画出，然后利用割补法求解即可．【详解】（1）如图所示，即为所求；（2）如图所示，Mx,y经过平移后的对应点为，作同样的平移∴向右平移一个单位，向下平移2个单位得到，∴四边形的面积．【变式训练2】．如图，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，(1)请画出平移后的图形；(2)写出各顶点的坐标；(3)连接和，求出四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)，，(3)【分析】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；（2）根据，，的位置写出坐标即可；（3）把四边形的面积看成长方形面积减去周围的四个三角形面积即可．【详解】（1）如图，△即为所求；（2）由（1）得，，；（3）四边形的面积为．【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，然后依次连接得到三角形．(1)将三角形先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到三角形，在平面直角坐标系中画出三角形．(2)在（1）中画出的图中，连接，点在轴的负半轴上，且三角形的面积与四边形的面积相等，求点的坐标．【答案】(1)图见解析(2)点的坐标为【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形：（1）先根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可；（2）利用割补法求出，则，设点，则，解之即可．【详解】（1）解：∵将三角形先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到三角形，且，平移后的坐标为．平移后的三角形，如图所示：（2）解：，．点在轴的负半轴上，设点，∴，解得，点的坐标为．类型三、含参数面积问题此类问题中，点的坐标可能含有参数，或者坐标未知，通过用参数（或设未知数）来表示点的坐标，从而表示出线段长，进而表示出图形面积，再结合题目给出的条件建立关系式来解决问题。例．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上两点，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，连接．(1)直接写出点C，D的坐标．(2)若平移后得到的四边形为平行四边形，求出四边形的面积．(3)在x轴上是否存在点F，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】本题考查了平移、坐标与图形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握平移的性质．（1）直接根据变化情况，写出两点坐标即可；（2）根据平行四边形的面积公式求解即可；（3）根据的面积是的面积的2倍求出的长，进而可求出点F的坐标．【详解】（1）∵，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，∴，；故答案为：，；（2）；（3）存在，∵，，∴，∵的面积是的面积的2倍∴∴∴．∵，∴点F的坐标为或．【变式训练1】．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接．(1)如图1，求点C，D的坐标及四边形的面积；(2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在；(3)如图2，在直线上是否存在点Q，连接，使，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，18(2)存在，或(3)存在，或．【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形的面积计算、点的坐标特征等知识点，根据平移变换的性质求出点C，D的坐标是解题的关键．（1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形的面积；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）根据直线上点的坐标特征设出点Q的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为，线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，∴点C的坐标为，点D的坐标为，，∴四边形的面积．（2）解：存在，设点P的坐标为，由题意得：，解得：，∴点P的坐标为或．（3）解：设点Q的坐标为，则，由题意得：，解得：或，则点Q的坐标为2,3或．【变式训练2】．如图1，在平面直角坐标系中，其中满足，现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到线段．

(1)直接写出点的坐标：______，______，_______，_______；(2)若点在轴上，且使得三角形的面积是三角形面和的倍，求点坐标；(3)如图2，点是三角形内部的一个动点，连接，若三角形与三角形面积之比为，求之间满足的关系式．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本题是几何变换综合题，考查了非负数的性质，平移的性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．（1）根据非负数的性质，平移的性质即可得到结论；（2）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（3）根据三角形的面积公式列方程即可得到m，n之间满足的关系．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，，∴，∵将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到线段，∴；故答案为：；（2）解：由（1）可知，，∴，∴，∵，∴，且点在轴上，，∴，∴，∵，∴；（3）解：已知，如图所示，连接，，

∴，，∵三角形与三角形面积之比为，∴，化解得：或者或者．【变式训练3】．如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上．(1)若把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标；(2)求出的面积；(3)点为轴上一点，且的面积是面积的一半，求点坐标．【答案】(1)图形见解析，(2)6(3)或【分析】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可；（2）利用三角形面积公式求解；（3）设点，根据面积公式建立方程，解方程即可．【详解】（1）解：如下图所示，由图知三个顶点坐标为：；（2）解：；（3）解：设点，根据题意得：，解得：，或，∴或．类型四、动点问题动点类问题，题目没有明确坐标的情况下，先设好坐标，结合实数的性质、，平行线的性质、平移规律，分类思想、三角形的面积问题、平面直角坐标点的坐标特征、线段长的求法，点的坐标的确定、三角形四边形面积的计算等知识点进行求解。例．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，．(1)请直接写出的坐标__________，的坐标__________；(2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论；(3)在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；点M的坐标为或或或【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的性质，平移规律，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行线的性质，平移规律是解题的关键．（1）由非负数的性质即可求解；（2）过点P作，利用平行线的性质即可得三角的关系；（3）分点M在x轴上与M在y轴上两种情况考虑即可．【详解】（1）解：由于，且，所以，即，∴；故答案为：；（2）解：；证明如下：如图，过点P作，；点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到其对应点，，，，；；而，；（3）解：存在；①当点M在x轴上时，由平移知，，，；设点M坐标为，则，，解得：或，故或；②当点M在y轴上时，设，则，，，解得：或，即或；综上，点M的坐标为或或或．【变式训练1】．在平面直角坐标系中，，若x，y满足，(1)写出点A，B的坐标；(2)过y轴上点作直线l交直线于点P，若，求点P的坐标；(3)过y轴上点作直线，点为直线t上一动点，己知点，若，求出m的取值范围．【答案】(1)A的坐标为，点B的标为(2)点P坐标为(3)或【分析】本题主要考查了三角形的面积问题、平面直角坐标点的坐标特征，熟练掌握以上知识和分类讨论是解题关键．（1）利用二次根式和绝对值的非负性即可求出x、y，进而求得A、B坐标；（2）先求出面积，再得出面积，的底是，高是点P的横坐标的长度，进而利用面积公式求出或1，进而求解（3）根据t经过的一二三象限分类讨论即可，根据范围列出不等式求解．【详解】（1）解：，点A的坐标为，点B的标为（2）解：如图，过点P作轴于点E，过点P作轴于点F，由，则或，．，如图，过点P作轴于点轴于点，同理可得，综上所述，点P得到坐标为．（3）解：或．如图（2），由直线，且过点C，可得直线t的方程：，又在直线t上，①当在第一象限，，得，，又，无解．②当在第二象限，，得，，又，．③当在第三象限，得，同理可得；又；．综上所述：或．【变式训练2】．如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为Aa,0，，，其中，满足，与轴交于点．(1)求，的值及点的坐标；(2)如图2，是轴上位于上方的一动点，①连接，，，当和的面积相等时，求点的坐标；②如图3，过点作，平分，平分，求的度数．【答案】(1)，点的坐标为(2)①点的坐标为；②【分析】本题是三角形综合题，考查的是平行线的性质，非负数的性质，掌握平行线的性质定理是解题的关键．（1）连接，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，由非负性可求，，的值，再由列出等式，即可求解；（2）①过点B作，由可得，从而得出，求得，可得，得出点的坐标为；②过点作，交轴于点，则，由可得，再由得出，从而可得，再由EM平分可得，再由AM平分可得，从而得出．【详解】（1）解：连接，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，依题可得，解得，∴，∵∴即∴，∴点的坐标为，（2）解：①过点B作，∵∴∴∴∴∴∴点的坐标为，②过点作，交轴于点，则∵，∴∵∴∴∵EM平分∴∴∵AM平分∴∴【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，且，．(1)直接写出点，，的坐标；(2)若动点从原点O出发沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积相等的两部分时，求点的运动时间；(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，连接，使的面积与四边形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，；(2)4(3)，【分析】此题是三角形综合题，主要考查了线段长的求法，点的坐标的确定，三角形四边形面积的计算，解本题的关键是面积的计算．（1）根据线段的长和线段的特点确定出点的坐标；（2）先求出，从而得到，求出，即可得到答案；（3）根据四边形的面积求出的面积是32，最后求出点Q的坐标．【详解】（1）解：∵点A、C在x轴上，．∴，∵C在y轴上，，∴，∵，，∴；（2）解：∵，设运动时间t秒，∴，

∴，∴；（3）解：设，∵，∴

∴，，

∴，．类型五、直线分面积比问题例．在平面直角坐标系中，Aa,0，，满足，过点C作轴于点B．(1)如图1，连接，求三角形的面积．(2)如图2，连接，若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，求？(3)如图3，过C作垂直于点D，连接，点P从D点出发，沿“”移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间t秒，当P运动到什么位置时，直线将四边形面积分为两部分？求出的坐标？【答案】(1)4(2)(3)或【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形面积，清晰的分类讨论是解本题的关键.（1）由非负数的性质先求解的值，可得的坐标，进一步可得三角形的面积；（2）过E作，如图2，证明，可得，，证明，从而可得结论；（3）当P在时，如图①，则，由题意得，当P在上时，，如图②，，再解方程可得答案；【详解】（1）解：∵，∴，，∴，，∵，∴，，，∴三角形的面积；（2）解：过E作，如图2，∵，∴，如图所示，∵，分别平分，，∴，，∵轴，∴，∵轴，，∴，，即，∴．（3）解：当P在时，如图①，则，由题意得，解得，即．当P在上时，，如图②，由题意得，解得，∴，即，综上，或．【变式训练1】．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，．(1)点的坐标为________，点的坐标为________；(2)如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系；(3)在2的条件下，若的面积为7，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图形，角的和差，割补法求图形面积等知识，注意分类讨论与数形结合．（1）设点，则可确定平移，从而可确定点D的坐标，由求得a的值，则可得C、D的坐标；（2）由平移得，得，结合已知与图形得；再由，可得，此即与的数量关系；（3）由已知面积关系可求得面积；分点P在x轴上方与下方两种情况，利用面积关系求得的长，即可求得点P的坐标．【详解】（1）解：设点，由于平移线段到线段，点的对应点为，点的对应点为，所以点B向左平移3个单位长度再向上平移a个单位长度得到点C，点A按此平移得到点D，点D的坐标为，由于，则，解得：，则点C的坐标为，点D的坐标为；故答案为：0,4，；（2）解：由平移性质知：，，，，；，，即；（3）解：由（1）知，；，；①当点P在x轴上方时，如图1，由于，解得：，；②当点P在x轴下方时，如图2，由于，解得：，；综上，点P的坐标为或．【变式训练2】．在平面直角坐标系中，已知点，．将点A向下平移个单位，B点先向右平移4个单位，再向下平移个单位，分别得到点，．(1)若与坐标轴平行，则m与n的数量关系是；(2)分别过，作y轴的垂线，垂足分别为M，N，且．①求四边形的面积；②连接，，，线段交x轴于点C，若OC将三角形的面积分成的两部分，求点C的坐标．【答案】(1)(2)①四边形的面积；②点C的坐标为或【分析】本题考查了坐标的平移，两点间的距离，三角形面积等知识，（1）先表示出，，根据与坐标轴平行可知，的横坐标相等或者纵坐标相等，据此作答即可；（2）①结合，表示出，，画出图形，可知四边形是梯形，则面积可求；②，，分若和若两种情况讨论，解答即可．【详解】（1）根据题意可得：，，∵与坐标轴平行，且，∴，即：，故答案为：；（2）①∵，∴，由平移得，，∴四边形的面积．②，，分两种情况：若，则，解得：．∴,，∴，解得：，∴．若，则，解得：，∴，．∴，解得：，∴．综上所述：点C的坐标为或．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知点，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C．(1)填空，点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．线段平移到扫过的面积为_______．(2)若点P是y轴上的动点，连接．①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段与线段相交于点E，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由；②当将四边形的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．【答案】(1)，，20(2)①②坐标为或【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．（1）由平移的性质得出点坐标，，再求出，即可得出结论；（2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论；②分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论．【详解】（1）解：点，将向下平移5个单位得线段，，即：，由平移得，，四边形是长方形，，，，，即：线段平移到扫过的面积为20，故答案为：，，20；（2）①如图1，过点作于，由平移知，轴，，，由平移知，，，，，即：；②（ⅰ）如图2，当交线段于，且将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交轴于点，则，，连接，则，将四边形的面积分成两部分，，由①知，，，，，．（ⅱ）如图3，当交于点，将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交轴于点，则，，连接，则，将四边形的面积分成两部分，，，过点作交的延长线于点，，，，，，，，即：点坐标为或．1．如图，平面直角坐标系中，点，，．(1)点C到y轴的距离为______；(2)求的面积；(3)若点P的坐标为，①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示）②当时，求点P的坐标．【答案】(1)1(2)(3)①；②或【分析】本题考查图形与坐标，结合图形，理解题意是解决问题的关键．（1）根据点的坐标即可求解；（2）利用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解；（3）①根据，两点坐标即可求解；②根据，，，列出方程即可求解．【详解】（1）解：∵点的坐标为，∴点到轴的距离为1，故答案为：1；（2）的面积为；（3）①∵，，∴，故答案为：；②∵，，，∴，即，∴或，∴点的坐标为或．2．已知四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，将四边形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到四边形．

(1)画出四边形；(2)求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查平移作图，在网格中求四边形的面积．（1）分别作出各顶点的对应点，依次连接即可解答；（2）运用割补法即可解答．【详解】（1）解：如图，四边形为所求；

（2）解：四边形的面积．3．如图1，，，我们能够容易地计算出的面积，根据所给的平面直角坐标系探究下列问题．（说明：三角形记作）【思维启迪】．（1）若点的坐标是，点的坐标是，则①的面积是________，的面积是________；②的面积与的面积之间的数量关系是________；③，，三点所在的直线与x轴的位置关系是________．请利用你发现的结论，尝试解决以下问题．【学以致用】（2）是轴上方一点，点的坐标是，若的面积与的面积相等，且，求点的坐标．【发散思维】（3）如图2，若点的坐标是，连接，点在轴上，若的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标，【答案】（1）①4，4；②；③平行；（2）或；（3）点或【分析】本题考查了图形与坐标，涉及三角形面积在坐标系中的应用，解题的关键是对以上知识的灵活运用．（1）根据三角形在坐标系的特征，利用三角形的面积来求坐标；（2）设点坐标：，在平面直角坐标系中，取上一点，连接，，过点作轴垂线交轴于点，过作轴垂线交轴于，，，点在所在的直线上，，，分类列方程求解即可求得点的坐标；（3）设点，，，代值求解得到或，进而求出点的坐标．【详解】解：（1）①过点作的高，长度为点的纵坐标2，，的高与的高相等，且长度为2，，故答案为：4，4；②，，故答案为：相等；③，，三点的纵坐标都是2，，，三点所在的直线与轴的位置关系是：平行，故答案为：平行；（2）设点坐标，在平面直角坐标系中，取一点，连接，，过点作轴垂线交轴于点，过作轴垂线交轴于，如图所示：，，点的坐标是，即，，即的纵坐标，则点在所在的直线上，又，，如图所示：或，解得或，点的坐标为或；（3）设点，如图所示：，，点的坐标是，，，，，解得，则或，点的坐标点0,1或0,3．4．综合探究如1图，在平面直角坐标系中，Aa,0，，且满足，过点作轴于点．(1)求，的值；(2)求的面积；(3)如2图，若过点作交轴于点，且，分别平分和，求的度数．【答案】(1)，(2)4(3)【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，角平分线的定义．也考查了平行线的性质和三角形面积公式．（1）根据非负性，求出的值即可；（2）根据三角形面积公式计算即可．（3）作，如图②，则，根据平行线的性质得，，则，而，，所以，于是，则．【详解】（1）解：，，，∴，；（2）由（1）知，，，轴，∴，，，；（3）解：作，如图，，，，，，，分别平分，，，，，，，，．5．如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．

(1)将沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移4个单位长度得到，请画出；(2)求出四边形的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使得的面积为4？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)16(3)存在，或．【分析】本题考查了平移作图，坐标与图形，解题的关键是要掌握平移图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．（1）根据平移性质求解即可；（2）利用平行四边形面积公式求解即可；（3）设点P的坐标为0,m，根据的面积为4列方程求解即可．【详解】（1）如图所示，即为所求