方法技巧专题14 导数与切线方程问题（解析版）

方法技巧专题14导数与切线方程解析版一、导数与切线方程问题知识框架二、导数与切线方程问题题型分析【一】已知切点求切线已知切点(已知切点(x0,y0)求切线方程表述：在某点处的切线方程，该点为切点。求切线方程的基本思路求导：利用求导公式进行求导f’(x)求k:将切点的横坐标x0代入f’(x0)=k求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)注意：如果切点的横坐标已知，求纵坐标，可以将切点的横坐标代入原函数（曲线）求纵坐标。记得切点即在切线方程上也在原函数上。1.例题【例1】曲线在点处的切线方程是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，选D.【例2】函数的图象在处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,由题得，所以切线方程为y+2=-1·(x-1),即：故选：A【例3】已知函数的导函数为，且满足，若曲线在处的切线为，则下列直线中与直线垂直的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，令，则，即.，，所以的方程为，所以直线与直线垂直.选B.2.巩固提升综合练习【练习1】若函数f(x)=x2ln2x，则f(x)A．y=0B．2x−4y−1=0 C．【答案】B【解析】由题得f'所以切线的斜率k=f所以切线方程为y−0=【练习2】曲线在点处的切线方程为_____．【答案】2ex﹣y﹣e＝0【解析】函数的导数为f（x）＝ex+xex，则f（1）＝e+e＝2e，即切线斜率k＝f（1）＝2e，又f（1）＝e，即切点坐标为（1，e）．所以切线方程为y﹣e＝2e（x﹣1），即切线方程为2ex﹣y﹣e＝0．故答案为：2ex﹣y﹣e＝0．【练习3】曲线在点（0,1）处的切线方程为________.【答案】【解析】求导函数可得，y′＝（1+x）ex当x＝0时，y′＝1∴曲线在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝x，即．故答案为：．【二】过某点求切线未知切点求切线方程未知切点求切线方程1.表述：过某点且与函数（曲线）相切的切线方程2.求切线方程的基本思路（1）判断：判断点是否在曲线上---将点代入曲线①曲线等式成立即点在曲线上，那该点可能是切点可能不是切点，分类讨论；一类该点是切点，参考以上一的求法求切线方程，一类不是切点，请参考下面的方法求切点。②曲线等式不成立，即该点不是切点（2）该点(x1,y1)不是切点但在切线上时，求切线方程的思路①设点：设切点(x0，y0)②求x0：利用斜率的关系求切点横坐标k＝f′(x0)=y1−y0y1−x0和③求k:利用k＝f′(x0)④求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)或利用点斜式y-y1=f’(x0)(x-x1)1.例题【例1】已知函数，则过（1,1）的切线方程为__________．【答案】【解析】由函数，则，当点为切点时，则，即切线的斜率，所以切线的方程为，即，当点不是切点时，设切点，则，即，解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即.【例2】已知曲线f(x)=1x，则过点(−1,3)【答案】y=−x+2【解析】设切点为(x0,则切线方程是y−y0=−1又y0=1x0，②由①②切线方程为x+y−2=0或2.巩固提升综合练习【练习1】过点p(−4,0)【答案】x+【解析】点p(−4,0)不为切点，可设出切点Mm,n又y'=ex+xex，则切线斜率为由①②得，m=−2,n=−即x+e2y+4=0【练习2】过坐标原点(0, 0)作曲线【答案】y=ex【解析】因为y=ex，所以y'=e则切线斜率为em，切线方程为y把原点坐标代入切线方程可得m=1，所以过坐标原点(0, 0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为【三】利用切线求参数1.例题【例1】已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则的值为（）A． B．或 C． D．【答案】C【解析】，当时，切线的斜率，切线方程为，因为它与抛物线相切，有唯一解即故，解得，故选C.【例2】已知函数f(x)=x+a2x.若曲线y=f(x)存在两条过(1,0)点的切线，则A．(−∞,1)∪(2,+∞)B．C．(−∞,0)∪(2,+∞)【答案】D【解析】f'x=1则切线方程为y−又切线过点（1,0），可得−x整理得2x曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ=4a【例3】已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为______.【答案】【解析】直线的斜率为,可得曲线在处的切线为，，当，，可得，可得，故答案：.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)=x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线A．−32 B．−20 C．25 【答案】A【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以f（-x）=-f(x),所以a=5.由题得f'因为切线与直线y=16x+3【练习2】已知函数在点处的切线方程为，则_______．【答案】3【解析】由f（x）＝aex+b，得f'（x）＝aex，因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1，所以解得a＝2，b＝﹣1．a﹣b＝3．故答案为：3．【练习3】已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为______.【答案】4【解析】由题意得：切线与垂直，解得：本题正确结果：【四】切线与其他知识综合运用1.例题【例1】已知直线与抛物线相切，则双曲线的离心率等于() B． C． D．【答案】B【解析】设切点坐标为，而抛物线方程为，则，因为直线与抛物线相切，所以有，解得，则，所以双曲线方程为，即标准方程为，所以有，则，所以离心率，故答案选B.【例2】已知偶函数的定义域为，且当时，则曲线在点处的切线斜率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，偶函数的图象关于轴对称当时，，则本题正确选项：2.巩固提升综合练习【练习1】若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】……①……②联立①②，解得：，则，切线方程为：，即本题正确选项：【练习2】若曲线在点处的切线方程为，且点在直线（其中，）上，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或s，t，由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，t，舍去），则（2m+2n）（）＝2（3）≥2（3+2）＝6+4，当且仅当nm时，取得最小值6+4，故选：C．【练习3】抛物线图象在第一象限内一点处的切线与轴交点的横坐标记为，其中，若，则______．【答案】42【解析】由得，所以抛物线图象在第一象限内一点处的切线斜率为，所以该点处的切线方程为，整理得，因为切线与轴交点的横坐标记为，所以，因此数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以故答案为：42．三、课后自我检测1．已知过点且与曲线相切的直线的条数有（）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】若直线与曲线切于点，则，又∵，∴，∴，解得，，∴过点与曲线相切的直线方程为或，故选：C．曲线在点处的切线方程是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：，则，且：.该函数在点处的切线方程是，整理可得：.本题选择D选项.3．曲线在点处的切线的倾斜角为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】可得，，，设切线的倾斜角为，可得故选D．4．若点P是函数y=图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵．∵1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2，∴，则．∴直线l斜率的范围是[1，+∞）．故选：C．5．已知定义在R上的奇函数f（x），当时，，则曲线在点P（2，f（2））处的切线斜率为（）A．10 B．-10 C．4 D．与m的取值有关【答案】A【解析】由题意知，函数是定义在R上的奇函数，可得，即，解得，即，当时，函数，则，所以，由导函数，可得导数为偶函数，所以，即曲线在点处的切线斜率为,故选A.6．过抛物线上两点分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点，则直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，∴．设，则，抛物线在点处的切线方程为，点处的切线方程为，由，解得，又两切线交于点，∴，故得（*）．∵过两点的切线垂直，∴，故，∴，故得抛物线的方程为．由题意得直线的斜率存在，可设直线方程为，由消去整理得，∴（**），由（*）和（**）可得且，∴直线的方程为．故选：D．7．设曲线，在曲线上一点处的切线记为，则切线与曲线的公共点个数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】斜率方程为：，即由得：即：，，曲线与的公共点个数为：个本题正确选项：8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，则，所以.因为函数是定义在上的奇函数，所以，此时，，，所以切线方程为，即，故选D。9．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】若，则，所以.又函数是定义在上的奇函数，所以，此时，，，所以切线方程为，即.故选A项.10．已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A． B． C．1 D．0【答案】A【解析】，把（0，0）代入方程中，，=，故本题选A。11．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（）A． B．-1 C． D．【答案】D【解析】由题意得，.是奇函数，，即，解得，，则，即曲线在点处切线的斜率为.故选.12．曲线在点处的切线斜率为_____________.【答案】12【解析】由题意可得：,∴∴曲线在点处的切线斜率为12，故答案为：1213．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是_________.【答案】【解析】设，则，，据此可得：，且：，据此可得：曲线在处的切线方程是,整理为一般式即：.14．函数在处切线方程是______．【答案】【解析】求导函数可得，当时，，∵，∴切点为，∴曲线在点处的切线方程是，故答案为.15．已知函数的图像在点处的切线过点，则_____．【答案】【解析】，，又因为，切点是，切线方程是：，.故答案为16．过坐标原点作曲线的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为______【答案】.【解析】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.17．若函数在点处的切线方程为，则实数_________.【答案】-1【解析】因为函数的导数为,所以在点处的切线斜率为,又因为在点处的切线方程为,所以,解得，故答案为.18．曲线在处的切线的斜率为，则切线的方程为_____．【答案】【解析】曲线，可得，曲线在处的切线的斜率为，可得，所以.所以切点坐标为：，则切线的方程为：.即：．故答案为：．19．曲线在点处的切线与直线垂直，则________.【答案】．【解析】因为，所以，因此，曲线在点处的切线斜率为；又该切线与直线垂直，所以.故答案为20．已知函数的图象在点处的切线与曲线相切，则______．【答案】-2．【解析】函数f（x）＝ex+ax，函数的导数f′（x）＝ex+a，f′（0）＝1+a，f（0）＝1，∴切线方程为y=(1+a)x+1，又的导函数y′=，令切点坐标为（t，-lnt），则有，解得t=1，a=故答案为：．21．若曲线在点处的切线平行于轴，则该切线方程为___________。【答案】【解析】由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1＝0，得a，∴切线方程为故答案为：．22．若曲线的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为________．【答案】2【解析】，，，解得（舍去）或，所以，故答案为：2.23．若是函数的极值点，则函数在点处的切线方程是______．【答案】【解析】由题得.所以.所以切点为（1，-e）,所以切线方程为.故答案为：24．已知函数y=f(x)的图像在x=2处的切线方程是y=3x+1，则f(2)+f【答案】10【解析】由已知切点在切线上，所以f(2)=3×2+1=7，切点处的导数为切线斜率，所以f'(2)=3，所以25．已知恰有两条不同的直线与曲线y=ex−2和x2=2py【答案】0,2【解析】设曲线y=ex−2的切点为（x1，ey'=k1=e切线方程为y-ex1−2=ex1由①②得x22+1=x1,故1p=ex22−1x2有两解，由①知x2p>0，若x2<0,p<0不合题意；所以必有x2故答案为0,226．已知函数在点处的切线方程为，则__________．【答案】3【解析】因为：函数f（x）＝x2+alnx+b，所以f′（x）＝2x（x＞0），又f（x）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣2，所以2+a＝4解得：a＝2，f（1）＝4﹣2＝2，可得2＝1+2ln1+bb＝1，所以a+b＝3．故答案为：3．27．函数f（x）＝x−2x在【答案】3x﹣2y﹣4＝0【解析】由f（x）＝x−2x，得∴f'(2)=1+12=∴函数f（x）＝x−2x在x＝2处的切线方程为y−1=32(x−2)故答案为：3x﹣2y﹣4＝0．28．设函数f(x)=−ex−x的图象上任意一点处的切线为l1，若函数g(x)=ax+cosx的图象上总存在一点，使得在该点处的切线【答案】[0,1]【解析】∵f'又l1⊥l2∵sinx∈∴a−1≤0a+1≥1本题正确结果：0,129．曲线在处的切线与直线平行，则实数_______．【答案】【解析】因为，所以，因此其在处的切线斜率为，又曲线在处的切线与直线平行，所以，因此.故答案为30．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．【答案】【解析】函数的定义域为，，，设曲线与曲线公共点为，由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，．由，可得．联立，解得．故答案为：．31．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．【答案】【解析】由题意知，则，，故，，故，.故答案为32．已知函数的图象是以点为中心的中心对称图形，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则__________．【答案】【解析】由，得，解得，所以.又，所以.因为，，，由，得，即.故答案为：33．已知函数，，设两曲线，有公共点P，且在P点处的切线相同，当时，实数b的最大值是______．【答案】【解析】设，，．由题意知，，，即，，解得或舍，代入得