《压轴题》初中数学同步八年级上册北师版第二章实数含答案及解析

试卷第=page22页，共=sectionpages8989页第二章实数内容导航知识点…………………2类型一、与平方根有关的计算……………5类型二、平方根的规律运算……………11类型三、平方根的非负性应用…………16类型四、与立方根的有关运算…………19类型五、无理数的估算…………………25类型六、实数与数轴……………………34类型七、与实数有关的程序运算、自定义运算……………43类型八、与实数有关规律运算…………51类型九、二次根式的运算………………63类型十、二次根式的应用………………75知识点1．算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”,（2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a,（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。知识点2平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”,（2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”,（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。知识点3开平方（1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数；（2）区别：取值范围不同：中a为任意实数；中a；被开方数不同：中被开方数为；中被开方数为a；运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。联系：结果为非负数；中a≧0时，=知识点4：立方根的定义1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.2：立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.知识点2：立方根的性质注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.知识点5：实数1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.2.实数的分类按定义分：按与0的大小关系分：实数实数3.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.知识点6：实数的运算1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。知识点7：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.知识点二：二次根式有无意义的条件1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即；2.二次根式无意义：被开方数为负数，即；知识点8：二次根式1.二次根式（）的非负性（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．2.二次根式的性质：（）3.二次根式的性质：知识点8：二次根式的乘法法则1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广:，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）知识点9：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）知识点10：最简二次根式1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.知识点11：二次根式的加减二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。知识点三：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）类型一、与平方根有关的计算1．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（）A．11 B．10 C．9 D．82．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（

）A． B．C． D．3．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第7行倒数第二个数是.4．若是一个完全平方数，则比大的最小完全平方数是．5．如图，用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形．（1）则大正方形的边长是___________；（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为？6．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．

(1)求的值；(2)在数轴上另有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求线段的中点与点之间的距离．7．探究发散：(1)完成下列填空①______，②______，③______，④______，⑤______，⑥______；(2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________(3)利用你总结的规律，计算：若，则______；(4)有理数在数轴上的位置如图．

化简：．类型二、平方根的规律运算8．，，，…，则（

）A．1013 B．1022 C．1012 D．10239．按要求填空：（1）填表：0.00040.044400（2）根据你发现规律填空：已知：，则，；已知：，，则．a10．计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为．11．观察表格a0.00010.01110010000…0.010.1110100…按表中规律若已知，用含m的式子表示n，则．12．，，，……，其中为正整数，则的值是．13．（1）观察发现：…0.00010.01110010000……0.01x1y100…表格中，．（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位．（3）规律运用：①已知，则______；②已知，则m＝______．14．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到．(1)以下是小明探究的过程，请补充完整：①由，可以确定是位数；②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________．(2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由．类型三、平方根的非负性应用15．若，则等于（

）A．5 B．－1 C．13 D．116．若实数、满足，则；17．若，则=（

）A．－15 B．－9 C．9 D．1518．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值为．19．若，则的值是（

）A． B．0 C．1 D．220．已知a，b，c为的三边长，且b，c满足，a为方程的解，求的周长．类型四、与立方根的有关运算21．一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．422．据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：(1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______；(2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根．23．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)求．①由，，可以确定是位数；②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是；③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是，由此求得．(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：①，②．24．（1）利用求平方根、立方根解方程：①3x2=27②2（x﹣1）3+16=0．（2）观察下列计算过程，猜想立方根．13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为，验证得19683的立方根是（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：①=；②=；③=．25．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．（3），，，……小数点的变化规律是_______________________．（4）已知，，则______．类型五、无理数的估算26．已知的平方根是的立方根是是的整数部分．(1)直接写出的值；(2)若是的小数部分，求的算术平方根．27．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题：(1)当时，以下五个命题中为真命题的是（填序号）①；②；③；④；⑤若（a为整数），则(2)当时，解关于x的方程28．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．(1)仿照以上方法计算：________；=________；(2)若，写出满足题意的正整数的值_________；(3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程．(4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．29．根据下表回答下列问题：1718(1)的算术平方根是，的平方根是；(2)；（保留一位小数）(3)，；(4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有个；(5)若这个数的整数部分为m，求的值．30．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足(其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：(1)的“青一区间”为；的“青一区间”为；(2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．(3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．31．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为．(1)无理数的“麓外区间”是_________；(2)若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值．(3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“麓外区间”．类型六、实数与数轴32．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（）A．A点 B．D点 C．E点 D．F点33．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中①若abc0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc0，所有正确结论的序号是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④34．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点35．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m.(1)______.(2)求的值；(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方跟.36．如图,半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合,AB是圆片的直径.（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是

__________数(填“无理”或“有理”)，这个数是__________.（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是__________.（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，-1，+3，-4，-3①第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？37．动手试一试，如图1，纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸．我们可以按图2的虚线将它剪开后，重新拼成一个大正方形．（1）基础巩固：拼成的大正方形的面积为______，边长为______；（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点B与数轴上的重合．以点B为圆心，边为半径画圆弧，交数轴于点E，则点E表示的数是______；（3）变式拓展：①如图4，给定的方格纸（每个小正方形边长为1），你能从中剪出一个面积为13的正方形吗？若能，请在图中画出示意图；②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数．38．如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为．

(1)点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是_______；(2)若线段的中点为，线段上有一点，，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？(3)若线段的中点为，线段上有一点，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，则的值为_______．类型七、与实数有关的程序运算、自定义运算39．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③40．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（

）A． B． C． D．41．一个四位自然数，若它的千位数字比十位数字少，百位数字比个位数字多，则称为“一生一世数”．如：四位数，∵，，∴是“一生一世”；四位数，∵，∴不是“一生一世数”，则最大的“一生一世数”为．若一个四位数是“一生一世数”，且，，若能被整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为．42．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“巧合数”．例如：四位数5611，因为，所以5611是“巧合数”：又如：四位数7816，因为，所以7816不是“巧合数”．则最大的“巧合数”是；若“巧合数”能被3整除，设，则的最大值为．43．如果一个四位自然数满足，那么称这个四位数为“2倍和数”．例如：四位数8103，因为，所以8103是“2倍和数”；又如：四位数9125，因为，所以9125不是“2倍和数”．若是“2倍和数”，则M的最小值是；是一个“2倍和数”，去掉其个位数字得到一个三位数，记，若是11的倍数，则的最大值与最小值的和为．44．如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为8，个位数字之和为7，则称为“相依数”，把分解成的过程叫做“相依拆解”．例如：因为，所以1820是“相依数”；因为，所以1168不是“相依数”，则最大的“相依数”为．若自然数是“相依数”，“相依拆解”为，将的个位数字与的十位数子之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，若为整数，则满足条件的自然数的最大值为．45．思考与探究：（1）在如图所示的计算程序中，若开始输入的数值是4，则最后输出的结果是___________．（2）在如图所示的计算程序中，若最后输出的结果是58，则开始输入的数值是___________．（3）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为1621，则满足条件的x的不同值最多有多少个？类型八、与实数有关规律运算46．有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘以，再加3”的运算.现在输入一个，通过第1次运算的结果为，再把输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果（

）A．越来越接近4 B．越来越接近于－2C．越来越接近2 D．不会越来越接近于一个固定的数47．定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n时奇数时，结果为；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若，则第449次运算结果是（

）A．1 B．2 C．7 D．848．找规律：观察算式…(1)按规律填空）；(2)由上面的规律计算：（要求：写出计算过程）(3)思维拓展：计算：（要求：写出计算过程）49．如图，从左边第一个圆圈开始向右数，在每个圆圈中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻圆圈中所填整数之和都相等．(1)可求得______，第个圆圈中的数为______；(2)若前个圆圈中所填整数之和为，则______；(3)若取前个圆圈中的任意两个数，记作，，且，那么所有的的和为______；(4)若取前个圆圈中的任意两个数，记作，，且，求所有的的和．50．观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题：，，，．(1)试猜想()=；(2)试猜想()(用含n的代数式表示结果）；(3)按上述规律计算的值．51．一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被7整除，则原多位数一定能被7整除．(1)判断864192（能/不能）被7整除，证明任意一个三位以上的自然数都满足上述规律；(2)一个自然数t可以表示为t＝p2﹣q2的形式，（其中p＞q且为正整数），这样的数叫做“平方差数”，在t的所有表示结果中，当|p﹣q|最小时，称p2﹣q2是t的“平方差分解”，并规定F（t）＝，例如，32＝62﹣22＝92﹣72，|9﹣7|＜|6﹣2|，则F（32）＝＝．已知一个五位自然数，末三位数m＝500+10y+52，末三位以前的数为n＝10（x+1）+y（其中1≤x≤8，1≤y≤9且为整数），n为“平方差数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被7整除，求F（n）的最大值．52．一位同学在阅读课外书的时候，学到了一种速算方法，也让我们一起来看看吧！，他发现这样的数对一共有50对，且每一对数和都101，所以原式；同样地，＋…＋），这样的数对一共有25对，且每一对数和都是102，所以原式；(1)请仔细观察以上算式的特点及运算规律，请你运用你的发现看看下列式子哪些具有上述特点，能运用上述规律来运算，并把这样式子的结果算出来：①；②；③；(2)在上面的①式中，请你通过增加或减少和中最后面奇数的个数，探寻本题计算规律，请用一个含字母n的式子表示你的发现；(3)另外，该同学还有一个有趣发现：，，，，…，以此类推，你能写出第50个式子的结果并写出等式左边第一个数吗？说出你的理由．53．【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传•系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载．【问题提出】求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a1=1，a2=2，公比为q=2．根据以上材料，解答下列问题：(1)等比数列3，9，27，…的公比q为_____，第5项是_____．【公式推导】如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1•q，a3=a2•q=a1q•q=a1•q2，a4=a3•q=a1•q2=a1•q3，…(2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：an=a1•(_____)．【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算1+2+22+…+22019+22020的值，采用的方法：设S=1+2+22+…+22019+22020①，则2S=2+22+…+22020+22021②，②-①得2S-S=S=22021-1，∴S=1+2+22+…+22019+22020=22021-1．【解决问题】(3)请仿照小明的方法求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)．【拓展应用】(4)计算25+252+253+…+25n的值为_____．(直接写出结果)类型九、二次根式的运算54．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（）①只存在一组和使得；②只存在两组和使得；③不存在和使得；④若只存在三组和使得，则的值为49或64A．1个 B．2个 C．3个 D．4个55．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（）①若a是的小数部分，则的值为1；②比较两个二次根式的大小；③计算；④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化；⑤设实数x，y满足，则；⑥若，，且，则正整数．A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥56．计算：57．观察下列分母有理化，……从计算结果中找出规律．58．阅读材料，并完成下列任务：材料一：裂项求和小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．应用规律：快速计算．材料二：根式化简例1

；例2

任务一：化简．(1)化简：(2)猜想：___________________（n为正整数）．任务二：应用(3)计算：；任务三：探究(4)已知，比较x和y的大小，并说明理由．59．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．例如：．这样小明就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)结合小明的探索过程填空：+；(2)的算术平方根为；(3)化简：．(��为正整数)60．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．(1)已知：，求的值；(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：；(3)计算：．61．如图，在数轴．上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且两点之间的距离为．

点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是若线段的中点为，线段上有一点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点?若线段的中点为，线段上有一点，长方形以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，是否存在一个的值，使以三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求的值;不存在，请说明理由．类型十、二次根式的应用62．按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用、、表示一个数列，可简记为，现有数列满足一个关系式，则．63．读取表格中的信息，解决下列问题…………已知，求．64．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．(1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积；(2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积；(3)若，，求此时三角形面积的最大值．65．实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题：(1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值；(2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积．66．【阅读下列材料】：若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）【例】：若，，，求的最小值．解：∵，，

∴，∴．∴时，的最小值为8．【解决问题】(1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；(2)用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少；(3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．67．阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：(1)当，式子的最小值为；(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？

(3)如图2，四边形的对角线相交于点，的面积分别是6和12，求四边形面积的最小值．

68．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；…（1）计算下列各式的值：__________.__________.（2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由；（3）求的值.69．阅读材料：已知为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求函数的最小值．解：令，，则由，得．当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．根据以上材料解答下列问题：(1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______；(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？(3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？70．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：对于两个数，，称为，这两个数的算术平均数，称为，这两个数的几何平均数，称为，这两个数的平方平均数小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：(1)若，，则；________；_______；(2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：

如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形：②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是：___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）；③若．则的最小值为________．

71．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析【提出问题】已知，求的最小值【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和；(2)在（1）的条件下，已知，求的最小值；(3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值．72．发现问题小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？分析问题某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．小明设计了如下三种铲籽方案．方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．解决问题在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．

第二章实数内容导航知识点…………………2类型一、与平方根有关的计算……………5类型二、平方根的规律运算……………11类型三、平方根的非负性应用…………16类型四、与立方根的有关运算…………19类型五、无理数的估算…………………25类型六、实数与数轴……………………34类型七、与实数有关的程序运算、自定义运算……………43类型八、与实数有关规律运算…………51类型九、二次根式的运算………………63类型十、二次根式的应用………………75知识点1．算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”,（2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a,（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。知识点2平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”,（2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”,（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。知识点3开平方（1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数；（2）区别：取值范围不同：中a为任意实数；中a；被开方数不同：中被开方数为；中被开方数为a；运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。联系：结果为非负数；中a≧0时，=知识点4：立方根的定义1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.2：立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.知识点2：立方根的性质注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.知识点5：实数1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.2.实数的分类按定义分：按与0的大小关系分：实数实数3.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.知识点6：实数的运算1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。知识点7：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.知识点二：二次根式有无意义的条件1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即；2.二次根式无意义：被开方数为负数，即；知识点8：二次根式1.二次根式（）的非负性（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．2.二次根式的性质：（）3.二次根式的性质：知识点8：二次根式的乘法法则1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广:，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）知识点9：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）知识点10：最简二次根式1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.知识点11：二次根式的加减二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。知识点三：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）类型一、与平方根有关的计算1．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，∴重叠部分也为正方形，∵空白部分的面积为2﹣6，∴一个空白长方形面积=，∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，∴大正方形边长=，重叠部分边长=，∴空白部分的长=，设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，∴小正方形面积==10，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．2．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可.【详解】根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D.【点睛】此题考查平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键.3．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第7行倒数第二个数是.【答案】【分析】观察数阵中每个平方根下数字的规律特征，依据规律推断所求数字.【详解】观察可知，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的平方根，而每一行的个数依次为2、4、6、8、10…则归纳可知，第7行最后一个数是，则第7行倒数第二个数是.【点睛】本题考查观察与归纳，要善于发现数列的规律性特征.4．若是一个完全平方数，则比大的最小完全平方数是．【答案】【分析】由于是一个完全平方数，则．可知比大的最小完全平方数是．【详解】是一个完全平方数，的算术平方根是，∴比的算术平方根大1的数是，∴这个完全平方数为：．故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方数．解此题的关键是能找出与之差最小且比大的一个完全平方数是紧挨着自然数后面的自然数：．5．如图，用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形．（1）则大正方形的边长是___________；（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为？【答案】（1）；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形，理由详见解析【分析】（1）根据已知得到大正方形的面积为400，求出算术平方根即为大正方形的边长；（2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积列得，求出，得到，由此判断不能裁出符合条件的大正方形.【详解】（1）∵用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形，∴大正方形的面积为400，∴大正方形的边长为故答案为：20cm；（2）设长方形纸片的长为，宽为，，解得：，，答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形.【点睛】此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.6．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．

(1)求的值；(2)在数轴上另有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求线段的中点与点之间的距离．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用数轴两点间的距离公式计算即可；（2）利用非负数的性质，得到，的值，代入求值即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）解：∵与互为相反数，∴，∴，∴，，∴点、点所表示的数是一对相反数，即线段的中点为原点，∴线段中点（即原点）与点之间的距离为．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、算术平方根与绝对值非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个．7．探究发散：(1)完成下列填空①______，②______，③______，④______，⑤______，⑥______；(2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________(3)利用你总结的规律，计算：若，则______；(4)有理数在数轴上的位置如图．

化简：．【答案】(1)3，0.5，6，0，，(2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数(3)(4)【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值；（2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律．（3）运用（2）得出的规律进行运算即可；（4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可．【详解】（1）解：①，②，③，④，⑤，⑥．故答案为：3，0.5，6,0，，；（2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；（3）若，则，所以．故答案为：；（4）由在数轴上的位置可知，，且，所以．【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．类型二、平方根的规律运算8．，，，…，则（

）A．1013 B．1022 C．1012 D．1023【答案】C【分析】本题考查了算术平方根．解此类题目的关键在于观察已知等式，从等式中找到到规律，再根据规律解题．认真观察式子，可以发现等式左边的被开方数是从1开始的连续奇数的和，右边是首末两个奇数的平均数（或奇数个数）的平方，利用此规律即可解答．【详解】观察可得：，，…，∴，∴∴∴．故选：C．9．按要求填空：（1）填表：0.00040.044400（2）根据你发现规律填空：已知：，则，；已知：，，则．【答案】0.020.222026.830.026833800【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键．（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可；（2）根据计算找出规律即可得到答案．【详解】（1），，，，填表如下：a（2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍，，；，，∵，．故答案为0.02、0.2、2、20；26.38，0.02683，3800．10．计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为．【答案】36【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键．根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可．【详解】解：；；；，…，∴，∴．故答案为：36．11．观察表格a0.00010.01110010000…0.010.1110100…按表中规律若已知，用含m的式子表示n，则．【答案】【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果．【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，∵，∴；故答案为：．12．，，，……，其中为正整数，则的值是．【答案】【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点．先求出，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解．【详解】解：，，，，，，，．故答案为：．13．（1）观察发现：…0.00010.01110010000……0.01x1y100…表格中，．（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位．（3）规律运用：①已知，则______；②已知，则m＝______．【答案】（1）0.1；10

（2）右；1

（3）①②25【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题：（1）直接计算即可；（2）观察（1）中表格数据，找出规律；（3）利用（2）中找出的规律求解．【详解】解：（1），，故答案为：，10；（2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．故答案为：右，1；（3）①已知，则，②已知，，则，∴故答案为：①22.4；②25．14．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到．(1)以下是小明探究的过程，请补充完整：①由，可以确定是位数；②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________．(2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由．【答案】(1)①两；②，；③(2)，理由见解析【分析】本题考查算术平方根；（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可．【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数；②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则．故答案为：①两；②，；③；（2）已知也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下：①由，可以确定是两位数；②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较大的个位数字，则．类型三、平方根的非负性应用15．若，则等于（

）A．5 B．－1 C．13 D．1【答案】A【分析】本题主要考查非负数的性质，根据非负数的性质求出的值，再代入即可求出．【详解】解：，，故选：A．16．若实数、满足，则；【答案】【分析】本题考查了二次根式非负的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入计算即可得解【详解】解：根据题意得，，解得，，则，故答案为：17．若，则=（

）A．－15 B．－9 C．9 D．15【答案】D【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，算术平方根才有意义，直接利用算术平方根的非负性质得出，的值，进而得出答案．【详解】解：，，，，当时，，．故选：D18．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值为．【答案】0【分析】利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到及y、z等量关系，最后直接计算整式的值即可．【详解】及且x、y、z是两两不等的实数，且，，，，与、均同号，或，又，，故、不同号，，，，故答案为0．【点睛】本题考查二次根式的运算，由二次根式被开方数的非负性推导求值，通常这类由一个含有二次根式的式子进行求值的题，都能得到特殊大小或关系，从而求解目标式子，正确的利用二次根式被开方数的非负性推导字母符号和关系是解题的关键．19．若，则的值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】此题主要考查了非负数的性质和完全平方公式，正确得出的值是解题关键．直接利用非负数的性质得出的值，进而得出答案．【详解】解：∵，∴，，解得：，∴．故选：A．20．已知a，b，c为的三边长，且b，c满足，a为方程的解，求的周长．【答案】17【分析】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键．依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长；【详解】解：，，，解得，．∴a为方程的解，∴或1．当时，，不能构成三角形，∴a=1不符合题意；当时，，能构成三角形，此时，的周长为．综上，的周长为17．类型四、与立方根的有关运算21．一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据a的n次方根的定义结合平方差公式和绝对值的意义逐一进行分析判断即可．【详解】解：①∵，∴3是81的四次方根，①正确；②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确；③∵，则S的三次方根是，③正确；④由已知得：，即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048，又由，故整数，则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确；故应选：C．【点睛】本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点．22．据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：(1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______；(2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根．【答案】(1)两，9，3；(2)32，；【分析】（1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可；（2）按照题给方法，依次推算即可；【详解】（1）∵∴是两位数∵的个位上的数是9∴的个位上的数字是9∵划去59319后面的三位319得到数59，∴的十位上的数字是3故答案是：两，9，3；（2）①求32768的立方根∵∴的立方根是两位数∵个位数是8∴的立方根个位数是2∵∴的立方根十位数是3综合可得32768的立方根是32②求立方根∵∴的立方根是两位数∵个位数是5∴的立方根个位数是5∵∴274625的立方根十位数是6∴274625的立方根65∴的立方根是【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握一些常用整数的立方值有助于快速判断立方根的整数范围．23．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)求．①由，，可以确定是位数；②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是；③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是，由此求得．(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：①，②．【答案】(1)①两；②9；③3；39(2)①；②0.81【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小．通过比较立方根的大小，即可得出答案．【详解】（1）解：①，，，，是两位数，故答案为：两；②的个位上的数是9，而，个位上都是9，的个位上的数是9，故答案为9；③，，，的十位上的数是3，又的个位上的数是9，，故答案为：3，39；（2）解：①的立方根是负数，，，，，是两位数，∵的前三位为117，后三位为649，，，，十位上的数为4，∵的个位上的数是9，而，个位上是9，∴的立方根为49，∴；②∵，∵，，，，是两位数，∵的前三位为531，后三位为441，而，∴，∴十位数为8，∵，∴个位数是1，∴531441的立方根为81，∴，故答案为：，0.81．24．（1）利用求平方根、立方根解方程：①3x2=27②2（x﹣1）3+16=0．（2）观察下列计算过程，猜想立方根．13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为，验证得19683的立方根是（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：①=；②=；③=．【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81．【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解；（2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可．【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3;②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8，∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1．（2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27（ⅱ）①；②；③．故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．25．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．（3），，，……小数点的变化规律是_______________________．（4）已知，，则______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】解：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2）已知，，则；；故答案为：12.25；0.3873；（3），，，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）∵，，∴，∴，∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．类型五、无理数的估算26．已知的平方根是的立方根是是的整数部分．(1)直接写出的值；(2)若是的小数部分，求的算术平方根．【答案】(1)，(2)2【分析】本题主要考查了无理数的估算，平方根和立方根的概念，求一个数的算术平方根：（1）根据平方根和立方根的概念即可求出a、b的值，估算出，即可求出c的值；（2）根据（1）所求得到，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可．【详解】（1）解：∵的平方根是的立方根是∴，∴，∵，∴，∴的整数部分为2，即；（2）解：由（1）可得，∴，∵4的算术平方根为2，∴的算术平方根为2．27．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题：(1)当时，以下五个命题中为真命题的是（填序号）①；②；③；④；⑤若（a为整数），则(2)当时，解关于x的方程【答案】(1)①②④⑤(2)或【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．（1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案；（2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得，再进行分类讨论，求解即可．【详解】（1）解：，故①正确；，由于，，故②正确；表示的小数部分，，故③错误；表示的整数部分，，故④正确；为整数），，故⑤正确，故五个命题中为真命题的是①②④⑤，故答案为：①②④⑤；（2）解：，，，，是的小数部分，当时，；当时，，，可得，，综上可得或．28．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．(1)仿照以上方法计算：________；=________；(2)若，写出满足题意的正整数的值_________；(3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程．(4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．【答案】(1)2，6；(2)1，2，3(3)四次之后结果为1，详见解析(4)15，详见解析【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点，（1）根据题意得，，，则，即可得；（2）根据，，，x为正整数，即可得；（3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得；（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得；解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算．【详解】（1）∵，，，∴，∴，，故答案为：2，6；（2）∵，，，x为正整数，∴或或，故答案为：1，2，3；（3）∵第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，∴第四次之后结果为1；（4）（4）最大的是15，理由如下，由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，∵，，∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15，故答案为：15．29．根据下表回答下列问题：1718(1)的算术平方根是，的平方根是；(2)；（保留一位小数）(3)，；(4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有个；(5)若这个数的整数部分为m，求的值．【答案】(1)，(2)(3)，(4)(5)【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解；（2）可得，由，，即可求解；（3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解；（4）可得，从而可求，即可求解；（5）由可求，代值计算即可求解．【详解】（1）解：由表格得，，的算术平方根是，，的平方根为，故答案：，．（2）解：，，，，故答案：．（3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；，，，；故答案：，．（4）解：介于17．6与17．7之间，，，可取、、、，整数n有个，故答案：．（5）解：，，的整数部分是，，．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键．30．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足(其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：(1)的“青一区间”为；的“青一区间”为；(2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．(3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．【答案】(1)，(2)2或(3)【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可；（2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可；（3）利用非负性求出的值，再进行求解即可．【详解】（1）解：∵，∴的“青一区间”为；∵，∴的“青一区间”为；故答案为：，；（2）∵无理数“青一区间”为，∴，∴，即，∵无理数的“青一区间”为，∴，∴，即，∴，∴，∵为正整数，∴或，当时，，当时，，∴的值为2或．（3）∵∴，即，∴，，∴，∵，∴的“青一区间”为．【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键．31．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为．(1)无理数的“麓外区间”是_________；(2)若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值．(3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“麓外区间”．【答案】(1)(2)1或37(3)【分析】（1）只需要估算出的取值范围即可得到答案；（2）由是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，得到是一个完全平方数，，再由，可得满足题意的m、n的值为：或，由此代入方程中进行求解即可；（3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“麓外区间”的定义即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴无理数的“麓外区间”是，故答案为：（2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数，∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，∴是一个完全平方数，，∵，∴满足题意的m、n的值为：或，当时，则，∴，∴；当时，则，∴，∴，综上所述，C