新高考数学二轮复习讲义专题03 不等式（原卷版）

专题03讲：不等式【考点专题】1．两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b,a－b＝0⇔a＝b,a－b<0⇔a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>b,\f(a,b)＝1⇔a＝b,\f(a,b)<1⇔a<b))(a∈R，b>0)2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同为正数3．一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅4．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．5．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.6．用基本不等式求最值用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值应注意：一正二定三相等.(1)a，b是正数；(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2eq\r(P)；②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值eq\f(1,4)S2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．【方法技巧】一、比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．二、判断不等式的常用方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．(2)利用特殊值法排除错误答案．(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．三、利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．【核心题型】题型一：比较两个数（式）的大小1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知：SKIPIF1<0，则3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．无法确定题型二：不等式的基本性质4．对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<05．（多选）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，则SKIPIF1<0 D．若a>b，c>d>0，则SKIPIF1<06．（多选）已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型三：不等式性质的综合应用7．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的取值范围为__________.题型四：利用基本不等式求最值命题点1配凑法10．设实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．611．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．12．已知a>b>c，求(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))的最小值．命题点2常数代换法13．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．7 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<014．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．SKIPIF1<015．若实数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．216．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_________．命题点3消元法17．负实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．若实数x，y满足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，则eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值为________．19．已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2题型五：基本不等式的综合应用20．已知正实数a、b满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值为4，则实数m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则eq\f(Sn＋8,an)的最小值是________．【高考必刷】一、单选题1．（2021·山西太原·高一阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．（2022·湖北·葛洲坝中学高一阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．不能确定3．（2022·江苏宿迁·高一期中）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知SKIPIF1<0为正实数且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．36．（2022·全国·高三专题练习）已知两个正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．8 D．37．（2022·全国·高一单元测试）已知正数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·浙江·高一期中）已知实数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2021·安徽合肥·高一期末）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0至少有一个大于2B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<011．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期中）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取最小值，则SKIPIF1<0等于（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．412．（2015·湖南·高考真题（文））若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．413．（2022·山东·青岛二中高一期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国资学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受志不等号的引入对不等式的发展景响深远．已知a，b为非零实数，且SKIPIF1<0；则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2022·福建·福州第十五中学高三阶段练习）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2021·山西·太原市第五十六中学校高一阶段练习）若正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．516．（2022·全国·高三专题练习）当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022·天津·静海一中高一期中）已知正数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2022·福建·莆田一中高一阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的最大值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7二、多选题19．（2022·全国·高一单元测试）下列命题为真命题的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<020．（2022·河南省浚县第一中学高一阶段练习）若正实数a，b满足SKIPIF1<0则下列说法正确的是（

）A．ab有最大值SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0有最小值2 D．SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0三、填空题21．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高一阶段练习）若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为________．22．（2018·天津·高考真题（理））已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_____________.23．（2023·广东·惠来县第一中学高一期中）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为________．24．（2022·天津市第四中学高三期中）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.25．（2019·天津·高考真题（文））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.26．（2017·天津·高考真题（文））若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.27．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物SKIPIF1<0吨，每次购买SKIPIF1<0吨，运费为SKIPIF1<0万元/次，一年的总存储费用为SKIPIF1<0万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则SKIPIF1<0的值是__________．28．（2022·全国·高考真题（理））已知SKIPIF1<0中，点D在边BC上，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0________．四、解答题29．（2022·海南·儋州川绵中学高一期中）比较下列两组代数式的大小(1)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0与SKIPIF1<030．（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高一阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1