2023年高考一轮复习函数知识点及题型归纳

一轮复习函数知识点及题型归纳

一、函数的及其表达

题型一：函数的概念

映射的概念：设A,6是两个集合，假如按照某种对应法则/,对于集合A中的每一种元素在集合8中均

有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A到集合8的映射，记作了：4-5.

函数的概念:假如A、8都是非空时数集，那么A到5的映射了：4-8就叫做A到B的函数，记作

y=/(x)，其中xeA,ye5,原象日勺集合A叫做定义域，象的集合。叫做函数y=/。)日勺值域.

映射的基本条件：

1.可以多种x对应一种y,但不可一种x对应多种y。

2.每个x必然有y与之对应，但反过来，有的y没有x与之对应。

函数是一种特殊的映射,必须是数集和数集之间的对应。

例1:已知集合P={XOVxV4}，Q={y|OVyV2}，下列不表达从P到Q的映射是()

A.f:x-*y=-xB.f:x-*y=lxC.f:x-*y=-xD.f:x-*y=7x

233

例2:设乂={x|—2WxW2},N={y|0WyW2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,

则f(x)的图象可以是()

例3：下列各组函数中，函数“X)与g(X)表达同一函数的是

Y

(1)f(x)=x,g(x)=一；(2)/(%)=3x—l,g«)二3/T；

(3)/(x)=x°,g(x)=1；(4)/(X)=E~,g(x)=(6)2;

题型二:函数的体现式

1.解析式法

2X3,X<0,//\\

例4:已知函数=I"则//工

-tanx,O<%<—,I14力

yfx,0<X<1

真题：【2023年山东卷第9题】设/（X）=，若〃a)=〃a+l),则/

2(X-1),X>1

(A)2(B)4(C)6(D)8

[2023•江西卷]已知函数八x)=错误!(aGR).若/=则a=()

A.错误！B.错误！C.lD.2

2工-1_2v-<j

[2023高考新课标1文10]已知函数f(x)=\'一，且/(a)=-3,则

-log2(x+l),x>l

/(6-a)=()

7531

(A)---(B)---(C)---(D)---

4444

2.图象法

例5：汽车通过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶旅程s看作时

间/时函数，其图像也许是

A.

例6:向高为H的水瓶中注水,注满为止.假如注水量V与水深h的函数关系的图象如图2—4所示,那么水瓶

的形状是（)

例7：如图,半径为1时半圆0与等边三角形ABC夹在两平行线小〃之间，

/〃心/与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧FG的长为x（O〈x〈m）,y=EB+

BC+CD,若/从4平行移动到3则函数y=f（x）的图像大体是（）

真题：【2023高考北京】汽车的"燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三

辆汽车在不一样速度下的燃油效率状况.下列论述中对的的是

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相似速度行驶相似旅程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某都市机动车最高限速80千米/小时.相似条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【2023年新课标2文科】如图，长方形的边AB=2,BC=1,0是的中点，点P沿着边BC,CD与DA运动，记

ZBOP=x，将动点。到48两点距离之和表达为x的函数/(%)，则的图像大体为()

yyyy

A.B.C.D.

3.表格法

例8:已知函数/(x),g(x)分别由下表给出

X123X123

f(X)131g(x)321

则"g⑴]的值为e―；满足f[g(x)]>g"(x)]的x时值是.

题型三：求函数的解析式.

1.换元法

例9：已知/(6+1)=x+1,则函数/(x)=

变式1：已知/(2x+1)=炉—2x,则/(3)=

变式2：已知f(x6)=log2X,那么f(8)等于

2.待定系数法

例10:已知二次函数/(x)满足条件/(0)=1及/(x+1)-/(x)=2x。则/(x)的解析式

3.构造方程法

例11:已知f(X)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(X)=，则f(x)=________

X-1

变式：已知/(%)+2/8]=炉+1,贝i]f(x)=

4.凑配法

例12:若/'(x—工)=兀2+±,则函数“X—1)=.

XX"

5.对称问题求解析式

例13：已知奇函数/(%)=犬-2x,(xN0),则当x<0时，f(x)=

真题：【2023安徽卷文14】定义在R上的函数/(x)满足/(x+l)=2/(x).若当时。

f(x)=x(l-x),则当一1〈尤<0时，/(x)=.

变式：已知f(x)是奇函数，且/(2—x)=/(x),当xe(2,3)时，/(X)=bg2(x—1),则当xe(l,2)时，

f(x)=___________________________

【2023年新课标II第14题】已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当xe(一如。)时,/(x)=2x3+x2,

则/(2)=______________________

二.函数的定义域

题型一：求函数定义域问题

1,求有函数解析式的定义域问题

例14:求函数y=」-+-(：—2)〔时定义域.

啕了716-%2

真题：【2023高考湖北文6】函数”尤)=卢而+1g『一5》+6的定义域为()

x-3

A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)IJ(3,4]

D.(-1,3)(3,6]

(2023年江苏省高考)函数y=j3-2x-%2的定义域是▲.

2.求抽象函数的定义域问题

例15:若函数y=/(x)的定义域是[1,4],则y=时定义域是.

例16：若函数y=/(3x—1)日勺定义域是[1,2],则y=/(2x—1)的定义域是.

真题：已知/(x)的定义域为[-1,2),则〃|x|)的定义域为()

A.[-1,2)»B.[-1,1]£.(—2,2)oD.[-2,2)

题型二：已知函数定义域的求解问题

例17:假如函数/(x)=+4航+3的定义域为R,则实数k的取值范围是.

变式：已知函数=Qmx。+(加-3)x+l的I值域是[0,+oo),则实数用的I取值范围是

三.函数的值域

1.二次函数类型(图象法)：

例18：函数y=Xz-2x-3,xe(-1,4)%I值域为

换元后可化为二次函数型：

例19：求函数y=x+J1-2xaI值域为

真题：【2023年浙江卷第5题】若函数/(%)=X?+2X+"

在区间［0,1］上的最大值是M,最小

值是m,则M-m

A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关

2.单调性法

X—1

例20：求函数/(%)=----xe［1,4］的最大值和最小值。

x-5

3.复合函数法

例21：求函数/(%)=4'-2x+l-3xe［-2,4曲最大值和最小值

真题：求函数/(x)=logi(%2+2x+3)的范围。

2

4.函数有界性法

2-r2

例22:函数/(%)=-----改I值域为

1+x

5.鉴别式法

丫2_3Y-I-?

例23:函数/(x)=.时值域为__________

X+%+1

6.不等式法求最值(不等式部分讲解)

例24：函数/(%)=-时--最--大--值--是--___________

l-x(l-x)

7.导数法求函数的极值及最值(详见导数专题)

真题：

［2023上海文,7】设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若/(x)=x+g(x)在［0,1］上时值域为

［-2,5］,则/(x)在区间［0,3］上的值域为.

【2023高三一模虹口区13]已知函数/(x)=2x+a,g(x)=x2—6x+l,对于任意的再e[—1,1]都能找到

x2e[-1,1],使得g(%2)=/(再)，则实数。的取值范围是.

(2023年全国II卷高考)下列函数中，其定义域和值域分别与函数丫=105的定义域和值域相似的是

()

(A)y=x⑻尸Igx(C)尸2"(D)y=—j=

四.函数的奇偶性

定义：若/(—x)=—/(x),或者/(—x)+/(x)=0,则称/(X)为奇函数。

若/(—X)=/(X),则称/(X)为偶函数。

/(X)有奇偶性的前提条件:定义域必须有关原点对称。

结论：

常见的偶函数：/(x)=/“，y(x)=W，/(x)=cosx,/(x)=a'+「等等。

常见的奇函数：/(x)=/"+1,f(x)^kx,y(x)=—,/(x)=sinX,/(x)=ax-a~x,

X

2

/W=-r-7-p=/(x)=i°g/V]，/(%)=loga(Vx+1±

o+122a-1'

结论：

奇+奇=奇偶+偶=偶奇+偶=非奇非偶

奇*奇=偶偶*偶=偶奇*偶=奇偶+常数=偶奇+常数=非

奇非偶

由于/(-x)=-/(x)为奇函数，/(-x)=/(x)为偶函数，因此可以把奇函数看作是“负号”，把偶函数看

作是“正号”，则有助于记忆。

题型一:判断函数的奇偶性:

1.图像法.

例25：画出函数f(x)=5的图象并判断函数/⑴的奇偶性

2.定义法：

例26：判断函数/(x)=71-x2+7%2-1的奇偶性

3.结论法

例27：判断函数/«=x2°''~~+x的奇偶性

题型二：已知函数奇偎性的求解问题

例28：已知函数y=/(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时/(x)=——2x—3,求/(x)的解析式

例29：已知/(x)是定义域为R的偶函数，当x20时，/(%)=必-4x,那么，不等式/(x+2)<5的解集

是________

-2X+b

例30：已知定义域为R的函数于(X)=——是奇函数.则a=_______)___________

2X+a

真题：【2023•辽宁文，6]6.若函数无)=7-----1——;为奇函数，则a=_________________.

(2%+1)(%—ci]

[2023,新课标】若函数/(x)=xIn(x+Ja+炉)为偶函数，则a=

2X+1

[2023高考山东文8】若函数/(x)=-----是奇函数，则使/(X)〉3成立的X的取值范围为___________

2-a

(2023年天津高考)已知/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-oo,0)上单调递增，若实数。满足

/(2M)〉/(—右)，则a日勺取值范围是()

(A)(―oo,g)。⑻

I30133

(-°o,—)U(-9+°°)(C)(―,—)(D)(—,+oo)

【2023年山东卷第14题】已知/(X)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=/(x-2).若当Xe[-3,0]时,/(X)=6一。

则胆19)=

[2023年天津卷第6题】已知奇函数/(X)在R上是增函数.若

08

a=-/(log2g))=/(log24.1),c=/(2-)，则a,b,c的大小关系为

C/\)a<b<c(B)b<a<c(C)c<b<a(D)c<a<b

【2023年北京卷第5题】已知函数门>)=3「(夕，贝U/(x)

(A)是偶函数，且在R上是增函数(B)是奇函数，且在R上是增函数

(C)是偶函数，且在R上是减函数(D)是奇函数，且在R上是增函数

题型三：/(%)=g(x)+c,其中g(x)为奇函数,c为常数,则:/(-a)+f(a)=2c

例31:已知O(x),o(x)都是奇函数，且/⑴=9(x)+o(x)+2在xe[l,3]的最大值是8,则/(x)在

XG[-3,-1]时最______值是

真题：【2023高考新课标文16]设函数/(x)=(X+"+smx的最大值为最小值为m,则M+m=

X+1

【2023广东文12】设函数/(x)=/cosx+1.若/(a)=11,则/(-a)=.

[2023重庆高考文科9]已知函数/(x)=a?+bsinx+4(a/eR),/(IgQog210))=5,则

/(lg(lg2))=

A.-5B.-1C.3D.4

【2023高考文7】已知函数/(x)=ln(Jl+9/—3x)+1,则/(lg2)+/(lgg)=()

A-1B.0C.1D.2

题型四：运用奇偶性和周期性求函数值的问题

例32:设/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(%)=2/一%,则/⑴=().

例33：设"％)是周期为2日勺奇函数，当时，/(x)=2x(l-x),则/(—$=

真题：(2023年四川高考)若函数f(x)是定义R上的周期为2时奇函数，当0〈x〈l时，f(x)=4*,则

f(5)+f(2)=。

-2

(2023年山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=l—1；当-IWxW1时,f(-x)二一

f(X);当X>L时，f(广J_)=f(X——).则f⑹=

222

(A)-2(B)-l

(C)0(D)2

x+tz,-l<x<0,

(2023年江苏省高考)设/"(x)是定义在R上且周期为2时函数，在区间[T,1)上，/(x)=2

——x,0<%<1,

[5

其中acR.若A-,则小日勺值是，一

[2023年山东卷第14题】已知/(x)是定义在R上的偶函数，且/(x+4)=/(x-2).若当Xe[-3,0]时,/(x)=6-x,

则/(919)二.

五.函数的单调性

定义:假如对于属于I内某个区间上的任意两个自变量时值占，々，当xl<x2时均有f(xl)<f(x2).

那么就说f(x)在这个区间上是增函数。假如对于属于I内某个区间上的任意两个自变量时值xl、x2,当

xlVx2时均有f(xl)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

定义变形:若对任意工"乙，都有"6"%)<0,则/(x)为单调递减函数

%-x2

题型一：判断函数的单调性

1.图像法.

例34：画出函数/(x)=x2-羽的图像并判断函数的单调性.

例35：画出函数/(大)=布—2|日勺单调递增区间为.

2.定义法:

证明措施环节：1.设值2.作差(作商)3.化简4.定号5.结论

例36:判断函数y=x+d在在(0,2]上的单调性

x

3.结论法

复合函数的单调性：同增异减

例37:写出函数/(x)=log](--+4%—3)的单调递增区间

2

4.导数法

例38：函数/(x)=Inx—工+3时单调区间

x

真题：

【2023・重庆理，5】下列区间中，函数/(x)=|ln(2—x)|在其上为增函数的是().

-413

B.-1,-c.[0,-)D.[l,2)

【2023浙江文】若函数/■(乃=/+3(。©尺)，则下列结论对的的是()

X

A.VawK,/(%)在(0,+oo)上是增函数B.A,/(%)在(0,+oo)上是减函数

C.3a^R,/(x)是偶函数D.Ba^R,/(x)是奇函数

[2023高考四川，文15】已知函数/(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中。£R).对于不相等的实数乂例,设

m="%)—"%)4=g(%)-g(Z)，既有如下命题：

X]-x2X]-x2

于任意不相等的实数X1,X2,均有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数X1,X2,均有。＞0；

③对于任意的。，存在不相等的实数xi,孙,使得m=n-④对于任意的°,存在不相等的实数x“2,使得功=—

n.其中真命题有(写出所有真命题的序号).

题型二：已知函数单调性求参数范围的问题

例39:设定义在[-2,2]上的偶函数/(x)在区间[0,2]上单调递减，若/(1-加＜/(巾)，求实数加质取值范

围

例40:已知函数了(无)是定义在A上的偶函数,且在区间[0,收)单调递增.若实数a满足

/（log,a）+/（logta）<2/（1）,则a的取值范围是（）

2

A.[1,2]=B.|0,-。C.-,2D.（0,2]

I2」[2」

真题：

【2023大同调研】已知定义域为R的函数/(x)在(8中。)上为减函数,且函数y=/(x+8)为偶函数，则:

A./（6）>/（7）B./（6）>/（9）C./⑺>/（9）D./（7）>/（10）

[2023山西】设函数/(x)=%3,若0W6Vm时，f(jncos0)+/(1一7")>0恒成立,则实数maI取值范

围为.

[2023新课标2文】设函数/(x)=ln(l+|x|)——二，则使得/(x)>/(2x-1)成立的了的取值范围是

1+x

()

A-gl]B.'co。(1,+8)g+H

题型三：分段函数的单调性问题：

21

[2023惠州调研】已知函数/•(》)=厂+万"—2,尤41,若y(x)在(0,+8)上单调递增,则实数。的取值

ax->1

范围为.

（a-2）x,x>2

【2023山西四校联考】已知函数_满足对任意日勺实数

l,x<2

刀产土，都有"/)一""2)<。成立,则实数以的取值范围为

x1-x2

六:函数的周期性

1.定义：周期函数：对于/(无)定义域内的每一种X,都存在非零常数T,使得/'(x+T)=/(x)恒成立，则称

函数/(%)具有周期性，T叫做f(x)的一种周期,贝！I仃(左eZ,左w0)也是/(x)的周期,所有周期中的最小正

数叫f(x)的最小正周期.

2.几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数:

函数>=〃尤)满足对定义域内任一实数x(其中。为常数)，

(D/(x)=〃x+a)，则y=〃x)是认为T=。周期的周期函数;

(2)f(x+a)=-f(x),则/(%)是认为T=2a周期的周期函数;

⑶〃尤+。)=±-^-,则/(%)是认为T=2〃周期的周期函数;

/(X)

(4)f(x+a)=f(x-b),则是认为T=|a+"周期的周期函数;

以上(1)-(4)比较常见，其他几种题目中出现频率不如前四种高，并且常常以数形结合的方式求解。(可

以类比三角函数的图像进行求解)

(5)函数y=/(x)满足/(a+x)=/(a-x)(。>0),若/(尤)为奇函数,则其周期为T=4”，若/(x)为偶函数,

则其周期为T=2a.

(6)函数y=/(x)(xeR)的图象有关直线x=a和x=b(a<勾都对称，则函数/(%)是认为2优-a)周期的周

期函数；

(7)函数y=/(x)(xeR)的图象有关两点A(a,0)、3(6,0)(a<b)都对称，则函数是认为2(b-a)周期

的周期函数；

(8)函数'=/⑺(xeR)的图象有关A(a,0)和直线x=b(a<b)都对称,则函数了⑺是认为4仅-a)周期的

周期函数;

例41:已知函数f(x)的定义域为R,且对任意xeZ,均有/(x)=/(x-l)+/(x+1)。若

/(-I)=6,/(I)=7，贝I/(2012)+/(—2012)=.

例42:设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x),当OWxWl时,f(x)=*,则£(7.

5)=___________

例:43：在R上定义的函数y=/(x)是偶函数,且在区间［1,2］上是减函数，同步满足/(%)=/(2-x),则函

数y=()

A.在区间［-2,-1］上是增函数,在区间［3,4］上是增函数

B.在区间［-2,-1］上是增函数,在区间［3,4］上是减函数

C.在区间［-2,-1］上是减函数，在区间［3,4］上是增函数

D.在区间［-2,-1］上是减函数,在区间［3,4］上是减函数

真题：［2023衡阳六校联考】已知函数/(x)是(-oo,xo)上的偶函数，若对于无之0,均有/(x+2)=-/(%),

且当xe［0,2)时，/(%)=log2(x+1),则/(—2011)+/(2012)=.

［2023高考福建】定义在实数集上的奇函数/(x)恒满足/+=—x),且xe(-1,0)时，

/(%)=2^+1,贝U/(log220)=

【2023高考福建，文15］若函数［(x)=264(qeR)满足/(l+x)=/(l-x),且/(x)在阿,+oo)单调

递增，则实数机的最小值等于.

【2023新课标，理12】设函数/⑴是奇函数f(x)(xwR)的导函数，f(-1)=0,当x〉0时，xf'(x)-

f(x)<0,则使得f(x)〉0成立日勺x日勺取值范围是()

(A)(y,-l)U(0,l)(B)(1,0)U(l,+oo)

(C)(-oc,-1)U(-1,0)(D)(0,1)U(l,+08)

［2023年江苏卷第14题】设f(x)是定义在R且周期为1时函数，在区间［0,1)上,f(x)=卜"e"其中

IxjxeD

集合D=“|x=与二，〃e川［，则方程f(x)-1gx=0的解日勺个数是L

七：函数图象的基本变换

结论：由函数y=/(x)可得到如下函数的图象

L平移：

(1)y=/(x+7〃)(m>0)：把函数丫=f(x)的图象向左平移m的单位(如m<0则向右平移m个单位)。

(2)y=/(%)+根(7律>0):把函数y=f(x)的图象向上平移m的单位(如m<0则向下平移m个单位)。

2.对称：有关直线对称

(I)(1)函数y=/(-X)与y=/(x)的图象有关y轴对称。

(2)函数y=—/(x)与y=/(x)的图象有关x轴对称。

(3)函数y=/(x+a)与y=-x脑图象有关直线x=甘对称。

(II)(4)函数y=f(|x|)的图象则是将y=f(x)的y轴右侧的图象保留，并将y=f(x)右侧的

图象沿y轴翻折至左侧。(实际上y=f(|x|)是偶函数)

(5)函数y=|f(x)|的图象则是将y=f(x)在x轴上侧的图象保留，并将y=f(x)在x

轴下侧的图象沿x轴翻折至上侧。

3.伸缩

(1)函数y=f(mx)(m>0)的图象可将y=f(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到本来的工

m

倍得到。(假如OVmQ,实际上是将f(x)的图象伸展)

(2)函数y=mf(x)(m>0)的图象可将y=f(x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩小到本来的

工倍得到。(假如实际上是将f(x)的图象伸展)

m

例44：f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e”有关y轴对称，则f(x)=()

A.ex+1B.e'TC.e-Il+1D.e^-1

例46：函数尸匕日勺图象大体为()

A.B.C.D.

例48:函数丁=(工厂+1的图像有关直线y=x对称的图像大体是().

D.

真题：

1.x为实数，［尤］表达不超过x的最大整数,则函数/(x)=尤-［处在R上为()

A.奇函数比.偶函数C增函数通周期函数

【2023高考浙江文5】函数"X)=—^cosx(»且x/0炳图象也许为(

4.如图所示,fi(x),f2(X),f3(x),f4(x)是定义在［0,1］上的四个函数，其中满足性质：”对［0,

1］中任意的Xi和X2,f(土土三)：f(xi)+f(X2)］恒成立”的只有()

［2023高考安徽】函数〃x)=奴+匕的图象如图所示，则下列结论成立的是

(x+c)

)

(/\)a>0,b>0,c<0(B)a<0,Z?>0,c>0

(C)a<Q,b>Q,c<0(D)a<Q,b<0,c<0

6、(2023年全国I卷高考)函数削在［-2,2］的图像大体为

八.指数函数

题型一：指数运算

(1)分数指数基的意义:

m___1i*

nn

a=(a>O.m.neN\n>l)9a=---m-=(a>O,m,ncN*,n>l)

\nam

an

（2）实数指数幕的运算性质:

(V)ar-as=(a>0,r,5G/?)(2)ar+a，=(a>0,r,5G7?)

⑶(")=(a>0,r,51G7?)(4)(a/?)'=(a,b>0,rejR)

例49:化简

(O.l)-2(a3r3)s

例50：已知2工+2」=5,求(1)4X+4~X;(2)8r+8~x

题翅二:指数函数及其性质

例51：下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是

A.y=(-4)B.y=Ji"C.y=—4D.y=ax+2(a>0且aW1)

例52:设a,仇c,d都是不等于1时正数，）=优,丁=//,丁="»=4］在同一坐标系中的图像如图所示,则

a,Z?,c,daI大小次序是（）

K.a<b<c<dB,a<b<d<c

Cb<a<d<cX)i><a<c<d

例53：函数/(x)=a"(a>0,且awl)对于任意的x,y均有

(A)/(xy)=/(%)/(y)(B)/(冲)=/(x)+/(y)

(C)/(x+y)=/(x)/(y)(D)/(x+y)=/(x)+/(y)

题型三:指数函数性质的综合应用

⑴指数函数的概念：

一般地，函数y=a'（a〉0,且awl）叫做指数函数，其中*是自变量，函数的定义域为R.

(2)指数函数的图像和性质

a>10<3<1

\

\

/\

-

0*10

定义域R定义域R

值域｛y1y>0)值域｛y1y>0)

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图像都过定点(0,1)函数图像都过定点(0,1)

当x>0时，y>l当*>0时，0<7<1

当水0时，0<y<l当0时,y>l

补充：恒过定点问题:

例54:函数y=ax~2+1.(〃>0且aW1)的I图像必通过点

例55:函数y=log。(2%—3)+1的图像必通过点

例56:函数y=如:+3%-2根+1%|图像恒过定点

例57:函数mx-2%+3my+y+4m-2=0的I图像必通过点

421

真题：(2023年全国III卷高考)已知。=2§/=3*。=253,贝ij

(A)b<a<c(B)a<b<c^(C)b<c<a^(D)c<a<b

九.对数函数

题型一：对数运算

(1)对数的定义：

一般地，假如优=N(a>0,a/l),那么数x叫做认为。底N的对数，记作：x=log〃N(a—底数，N

—真数，log.N—对数式)

(2)对数的运算性质:

假如a>0,且a#l,以>0,N>0,那么：

M

n

①loga(M.N)=②logfl—=③logaM=

(neR).

注意：换底公式

log。b=b(a>0,且awl；c>0,且CH1;b>0).

logfa

(3)几种小结论:

m

①log„b"=；②logay/M=;③logb=;④logflb•log；,a=

(4)对数的性质：负数没有对数；logfl1=;logfla=

例58：求值(log23+21og25/3)(31og34-log32)=

例59：若log,(行—1)=—1,则％=

例60:3l=12v=8,则工―工=

x>

例61：若lg2=a,lg3=R则lgl2=,lg45=

真题：若点(a,6)在y=lgx图像上，aHl,则下列点也在此图像上的是()

A.(-,&)B.(10a,1-/?)C.(—,/?+1).D.(a2,2b)

aa

6

【2023高考浙江，文9】计算ilog?芋二,210g23+1*3=.

【2023高考四川，文12】JgO.Ol+log=.

AM

【2023高考上海,文8】方程log2(9一—5)=log2(3-2)+2的解为.

【2023高考北京】如图，函数/（x）的图像为折线AC2,则不等式〃尤）2log?（x+1）的解集是（)

A.{x|-l〈尤<0}B.{X|-1WXW1}C.{x|-l<xWl}

D.{x|-1<xW2}

题型二：对数函数及其性质

⑴对数函数的概念：

函数y=log.Ma>0,且awl）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0,+°°）.

（2）对数函数的图像和性质:

定义域{x|.*>0}

值域为R值域为R

在（0,+8）上递增在（0,+8）上递减

函数图像都过定点（1,0）函数图像都过定点（1,0）

当x>l时,y>0当x>l时，y<0

当0<水1时，y<0当0<Xl时，y>0

例64：函数y=lg1£—11勺图像有关（）

A.%轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线y=%对称

£+]

例65：已知y=ln^^,则函数的单调增区间为，当%>0时，函数时最小值为

例66:y=log3|x-2|的I递增区间为

例67:若存在正数x使2*(x-a)<1成立，则a的取值范围是()

A.(-oo,+oo)B.(—2,+oo)C.(0,+oo)D.(—1,+oo)

例68:当0VxW\f(l,2)时，4“〈log。％,则a的取值范围是()

(A)(0,\f(\r⑵,2))(B)(率1)(C)(1,^/2)(D)(\r(2),2)

题型三:对数函数性质的综合应用

例70：己知y=loga(2-ax)在［0,1］上是有关x的减函数，则a的取值范围是()

A.(0,1)。B.(1,2)。C.(0,2)»D.［2,+oo)

真题：【2023•湖南文，8］已知函数/(x)=e、—l,g(x)=—/+4x—3,若有〃a)=gS),则b的取值

范围为_____________________

题型四：比较大小题型解法：

(1)等号两边同步n次方

如：比较：也和3百，8°」和3°2的大小

(2)能化为同底则化为同底:技巧：bg/=bg/?=叫.=醒J=b/等等.

a7a_a

a

例71:【2023•天津文，515.已知〃=log23.6,b=log43.2,c=log43.6贝！1().

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

124

例72:【重庆文.】设a=logi—,/?=logi—,c=log3—,则的大小关系是().

32§33

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

(3)和中间值“0”进行比较:指数类都是不小于零的，对数类就和log。1进行比较

(4)和中间值“1”进行比较:指数类和a°进行比较,对数类和log°a进行比较

(5)和中间值;进行比较：指数类进行估值运算，对数类和bg“而进行比较

(6)假如以上措施都比较不出，则可以进行估值比较

真题：【2023高考天津文7】己知定义在R上的函数/(%)=2尔刈-1(冽为实数)为偶函数，记

a=/(log053),b=/(log25),c=/(2m)，则a,b,c,的大小关系为()

(A)〃<b<c(B)c<a<b(C)a<c<b(D)c<b<a

[2023高考全国文11]已知x=ln»,y=log52,z=e',贝!J(

(A)光vy