2023年北京市八年级下期末数学分类汇编：新定义（原卷版）

2023.7北京市八年级下期末数学分类汇编一一新定义（原卷版）

1.（2023春•海淀区期末）在平面直角坐标系xQy中，对于点尸（xo,yo）,给出如下定

义：若存在实数xi,X2,y\,>2使得xo-xi=xi-X2且yo-yi=yi->2,则称点P为以点

（XI,J4）和（X2,二）为端点的线段的等差点.

（1）若线段加的两个端点坐标分别为（1,2）和（3,-2）,则下列点是线段加等差点

的有;（填写序号即可）

①尸1（-1，6）；

②尸2（2,0）；

③尸3（4,-4）；

④尸4（5,-6）.

（2）点/,3都在直线夕=-苫上，已知点/的横坐标为-2,M（t,0）,NG+l,1）.

①如图1,当t=-l时，线段的等差点在线段儿W上，求满足条件的点3的坐标；

②如图2,点3横坐标为2,以45为对角线构造正方形NC3O,在正方形/C8D的边上

（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段上存在其中某条线段的等差点，直接

写出t的取值范围.

y八y八

5-5-

4-

一5-4-3-24°_12345H-5-4-3-2-1)0_12345a;

-2

-3

-4-4

-5-5

图一图二

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2.(2023春•西城区期末)在平面直角坐标系xQy中，对于正方形/BCD和它的边上的动点

尸，作等边△OPP,且O,P,P'三点按顺时针方向排列，称点P是点P关于正方形/BCD

的"友好点已知/C-a,a),B(a,a),C(a,-a),DC-a,-a)(其中a>0).

(1)如图1,若a=3,的中点为M,当点尸在正方形的边上运动时，

①若点P和点P关于正方形/BCD的“友好点”点P,恰好都在正方形的边上，

则点P的坐标为;点M关于正方形ABCD的“友好点”点M'

的坐标为;

②若记点P关于正方形43。的“友好点”为P",〃)，直接写出〃与加的关系式

(不要求写优的取值范围)；

(2)如图2,E(-1,-1),F(2,2).当点尸在正方形/BCD的四条边上运动时，若

线段斯上有且只有一个点P关于正方形/BCD的“友好点”，求。的取值范围；

(3)当2WaW4时，直接写出所有正方形/BCD的所有“友好点”组成图形的面积.

图1图2图3

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3.（2023春•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于线段和点尸作出如下定义：

若点N分别是线段尸尸1,%2的中点，连接马尸2,我们称线段尸1P2的中点0是点P

关于线段的“关联点”.

（1）已知点M（2,2）,点尸关于线段的“关联点”是点。；

①若点P的坐标是（2,0）,则点。的坐标是；

②若点£的坐标是（1,-1）,点尸的坐标是（3,-1）.点P是线段M上任意一点，

求线段尸。长的取值范围；

（2）点/是直线Z：y=x+l上的动点.在矩形/BCD中，边轴，4B=3,BC=2.点、

尸是矩形N38边上的动点，点尸关于其所在边的对边的“关联点”是点。.过点/作

x轴的垂线，垂足为点G.设点G的坐标是G,0）.当点4沿着直线/运动到点H时,

点G沿着x轴运动到点G，（什机，0）,点0覆盖的区域的面积S满足20WSW30,直接

X

4

3

2

1-

II__________1111A

-2-1012342

-1-

-2-

备用图

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4.(2023春•朝阳区期末)在平面直角坐标系xQy中，对于点P(x,y)和点。给出如下定

义：若点。的坐标为(x,即)(»>0),则称点。为点尸的“〃倍点

(1)①若点尸(3,3),点。为点尸的“工倍点”，则点。的坐标为；

3

②当P是直线y=x+l与x轴的交点时，点P的“〃倍点”的坐标为.

(2)已知点/(2.3),B(6,3),C(8,5),D(4,5)；

①若对于直线40上任意一点0,在直线y=2x+2上都有点尸，使得点0为点尸的“"

倍点”，求〃的值;

②点P是直线y=fcv+2左(左>0)上任意一点，若在四边形/BCD的边上存在点P的“n

倍点”，且〃=鼠直接写出后的取值范围.

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5.(2023春•丰台区期末)在平面直角坐标系X0V中，如果点/,C为某个麦形一组对角的顶点,

且点C在直线y=x上，那么称该菱形为点/,C的“关联菱形例如，图1中的四边

形4BCD为点4,C的“关联菱形”.

已知点1),点a).

(1)当a=3时，

①在点£(2,1),F(1,3),G(-1,5)中，点能够成为点尸的“关

联菱形”的顶点；

②当点尸的“关联菱形”MVP。的面积为8时，求点N的坐标.

(2)已知直线y=-2x+b与x轴交于点/,与y轴交于点8,若线段4BW5,且点/是

点、M,P的“关联菱形”的顶点，直接写出。的取值范围.

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6.(2023春•大兴区期末)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点yi),N(x2,

y2)我们将|xi-知+历称为点M与点N的"直角距离"，记作办w.

例如：点M(-2,4)与点N(5,3)的“直角距离"dMN=\-2-5|+|4-3|=8.

(1)已知点尸1(1.3),尸2(-2,-3),尸3(-9，S),在这三个点中，与原点。的

22

“直角距离”等于4的点是；

(2)若直线》=区+6上恰好有两个点与原点。的“直角距离”等于4,直接写出b的

4

取值范围；

(3)已知点/Cm,2),B(切+5,2),若线段N2上有且只有一点C,使得tfco=4,直

接写出机的取值范围.

5

4

3

2

1-

II[II_______

-5-4-3-2-10~12345%

—1■

-2-

-3-

-4-

-5-

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7.（2023春•石景山区期末）在平面直角坐标系xQy中，如果点P到原点。的距离为0,点

M到点P的距离是a的后倍“为正整数），那么称点M为点尸的左倍关联点.

（1）当点Pi的坐标为（0,1）时，

①如果点尸1的2倍关联点M在y轴上，那么点M的坐标是；

如果点P1的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是；

②如果点y）是点尸1的左倍关联点，且满足y=-2,-1WXW4,那么发的最大

值为;

（2）如果点尸2的坐标为（1,1）,且在函数y=x+6的图象上存在P2的2倍关联点，直

接写出6的取值范围.

yA

5-

j।।ia

-3-2-102345%

-1

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8.(2023春•通州区期末)在平面直角坐标系xQy中，点/(0,2),点2(2,0),点C(0,

-2),点。(-2,0),M为四边形N8CD边上一点.对于点尸(6,0)给出如下定义：

若点P在x轴下方，点P关于原点的对称点为0,我们称点

。为点尸关于点M为直角顶点的“变换点”.

(1)①在图中分别画出点尸关于点/和点8直角顶点的“变换点”G、R；

②连结GR,用等式表示线段GR与N3之间的数量关系，并证明；

(2)直线y=fcc+3左(^0)上存在点尸关于点M为直角顶点的“变换点”，直接写出左

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9.（2023春•延庆区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于直线/和图形印给出如下定义：

若直线/与图形少有且只有一个交点，则称直线/是图形少的“独立关联直线”.

如图1,直线/是菱形/BCD的“独立关联直线”.

（1）如图2,点/（1,0）,点。（3,1）是矩形/5CD的顶点，若一次函数y=fcc-l

廿0）的图象是这个矩形的“独立关联直线”，求左的值；

（2）点凡"是直线y=x上的两点，点厂的横坐标为a,点〃的横坐标为a+1；将正方

形EFGH的边HE,EF,尸G称为图形”（其中点E的横坐标为a）,若直线/：y=-2x+2

是图形M的“独立关联直线”，直接写出。的取值范围.

ykyAyA

J__I_

“24x234K

备用图

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10.(2023春•昌平区期末)对于点P和图形忆若点尸关于图形印上任意的一点的对称点

为点。，所有点。组成的图形为则称图形M为点尸关于图形少的“对称图形在

平面直角坐标系中，已知点/(-1,-2),3(2,-2),C(2,1),D(-1,1).

(1)①在点£(-2,-4),F(0,-4),G(3,-3)中，是点0关于线段的“对

称图形”上的点有.

②画出点。关于四边形/BCD的“对称图形”；

(2)点TG,0)是x轴上的一动点.

①若点T关于四边形N3CD的“对称图形”与。关于四边形N3CA的“对称图形”有

公共点，求才的取值范围；

②直线y=x7与x轴交于点7,与y轴交于点"，线段7H上存在点K,使得点K是点

7关于四边形/BCD的“对称图形”上的点，直接写出f的取值范围.

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11.(2023春•密云区期末)在平面直角坐标系xOy中，对于尸、。两点给出如下定义：若点P

到两坐标轴的距离之和等于点。到两坐标轴的距离之和，则称P、。两点为垂距等点.如

图所示尸、。两点即为垂距等点.

(1)已知点/的坐标为(-2,3).

①在点4),N(7,-2),7(-5,0)中，为点/的垂距等点的是；

②若点B在y轴的负半轴上.且两点为垂距等点，则点B的坐标为；

(2)直线/：y=x-4与x轴交于点C,与y轴交于点D

①当£为线段CO上一点时，若在直线工=〃上存在点R使得£、尸两点为垂距等点，

求n的取值范围；

②已知正方形N5KL的边长为2,(60)是对角线NK、5Z的交点，且正方形的任何一

条边均与某条坐标轴垂直.当£为直线/上一动点时，若该正方形的边上存在点G,使

得E,G两点为垂距等点，直接写出，的取值范围.

yA

6-

5-

y八

54-

p4-3-

32-

Q

21-

1

一6一5—4一3一2曰°123456%

-3-2-lf12345%-2

-2-3

-3-4

-5

-6

备用图

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12.（2023春•顺义区期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若在图形M上存在

一点尸，且点尸的纵坐标是横坐标的〃（”为正整数）倍，则称点尸为图形M的““倍点”.

例如，点（1,4）是直线y=-x+5的“4倍点”.

（1）在点P（1,2）,尸2（2,0）,尸3（2,4）,尸4（2，A）中，是直

55

线＞=-2x+4的“2倍点”；

（2）已知点/的坐标为（m,0）,点2的坐标为（加+2,0）,以线段为矩形的一边

向上作矩形48CD.

①若机=1,AD=4,判断是否存在矩形48co的“3倍点”，若存在，求出矩形4BCD

的“3倍点”的坐标，若不存在，请说明理由；

②若且存在矩形A8CD的“〃倍点”，直接写出机的取值范围.

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13.(2023春•房山区期末)在平面直角坐标系xOy中，不同的两点N(xi,yi),B(x2,J2),

给出如下定义：

若b2-川=,2-刈,则称点4,8互为“等距点”.例如，点M(3,2),N(2,3)互为

”等距点”.

(1)Pi(1,2),Pi(1,1),po(72,-1)，尸4(1，-1)四个点中，能与坐标原

点互为“等距点”的

是.

(2)已知/(1,0),

①若点B是点A的等距点，且满足的面积为1,求点B的坐标.

②若以点TG,3)为中心，边长为2正方形上存在一点P与点/互为等距点，请直接

写出/的取值范围.

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14.(2023春•平谷区期末)如图1,在平面直角坐标系xOy中，对于矩形0/2C其中/(4,

0),B(4,2),C(0,2),给出如下定义：连接/C,交于点尸，将点尸关于直线y

=kx+b(左=0)对称得到点。，我们称。为矩形OABC的有缘点.

(1)若左=1,6=0请在，2中画出矩形0/3C的有缘点。，并求出点0的坐标；

5

4

-5-4-3-2-1O2345力

-1

234

图1图2

(2)已知正方形ODERD(-5,0),£(-5,5),F(0,5),当左=1时，若正方形

。£(防上存在矩形OABC的有缘点，求6的值.

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15.(2023春•怀柔区期末)对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点4,2给出如下定义：

点尸是图形M上任意一点，如果平面内存在一点。，使/,B,P,。为顶点的四边形是平

行四边形，则称点。是图形”的关于点力,2的“平行连接点”.对点/(2,0),点2(0,

-1).

(1)如图1,若图形M是点尸(0,2),

①Q(2,3),Q(2,1),0(-2,1)中不是图形M的关于点力,3的“平行连接点”

的为;

②若点0是图形M的关于点/,B的“平行连接点”，直线尸。：y=kx+b中k

=，b=.

(2)如图2,若图形〃■是以点。(-2,2),£(-3,1),F(-1,0)为顶点的三角

形，点。是图形M的关于点力,2的“平行连接点”，直线P。：中b的取值范

4A

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