2021-2022学年人教版八年级数学上册压轴题：全等三角形做辅助线六种方法大全（原卷版）

专题02全等三角形做辅助线六种方法大全

几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型,

或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型

中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。

目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。

例1.如图，4D为A48c中8c边上的中线(48>NC).

(1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC-

(2)若4B=8cm,AC=5cm,求40的取值范围.

【变式训练1】(1)如图1,已知“8C中，是中线，求证：AB+AC>2AD；

⑵如图2,在中，D,E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE-

(3)如图3,在中，D,E在边BC上，且BD=CE.求证：AB+AOAD+AE.

【变式训练2】（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在aABC中，AB=

8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图

2),

①延长AD到M,使得OM=AD；

②连接BM,通过三角形全等把AB、AC,2AD转化在△AB/W中；

③利用三角形的三边关系可得A/W的取值范围为AB-BM<AM<AB+BM,从而得到A。的取值范围

是;

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.

（2）请你写出图2中AC与的数量关系和位置关系，并加以证明.

（3）深入思考：如图3,AD是△ABC的中线，AB=AE,AC^AF,N&4E=NCAF=90。，请直接利用（2）的

结论，试判断线段A。与EF的数量关系，并加以证明.

【变式训练3】如图，在中，4D是8C边上的中线，过C作的平行线交4D的延长线于E点.若

48=6,AC=2,试求/E的取值范围.

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类型二、截长补短模型

截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）

例1.如图，在四边形ABCO中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别是边BC、CD上的点，且

2

BAD.求证：EF=BE+FD.

【变式训练1］（1）问题背景：如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=900.E,

F分别是BC,CO上的点，且/EAF=60。，请探究图中线段BE,EF,F。之间的数量关系是什么？

小明探究此问题的方法是：延长F。到点G,使。G=BE,连结AG.先证明0△40G,得AE=AG；再

由条件可得/EAF=/GAF,证明AAEFgZkAGF,进而可得线段BE,EF,FD之间的数量关系是.

（2）拓展应用：如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分别是BC,C。上的点，且N

EAF=L/BAD.问（1）中的线段BE,EF,F。之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成

2

立，请说明理由.

【变式训练2】已知四边形ABC。中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,乙4BC=120。，Z.MBN=60°,乙MBN绕B点

(1)当N/WBN绕B点旋转到AE=C尸时(如图1),求证：^ABE=ACBF.

(2)当ZM8N绕点B旋转到AEHCF时，如图2,猜想线段AE,CF,EF有怎样的数量关系，并证明猜想.

(3)当NMB/V绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE,CF,EF有怎样的数量关系，并证明你的猜

想.

【变式训练3】在AABC和AADE中，NBAC=NDAE=90。，且AB=AC,AD=AE.

(1)如图1,如果点D在BC上，且BD=5,CD=3,求DE的长.

(2)如图2,AD与BC相交于点N,点D在BC下方，连接BD,且AD垂直BD,连接CE并延长与BA的延

长线交于点F,点M是CA延长线上一点，且CM=AF,求证：CF=AN+MN.

图2

类型三、做平行线证明全等

例1.如图，在AABC中，ZABC=ZACB,D,E分别是AC和AC的延长线上的点，连接BD,BE,若AB=CE,

NDBC=NEBC。求证：D是AC的中点。

【变式训练1】如图，AABC是等腰三角形，D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE,连接DE

交底BC于G.求证：GD=GE.

A

D

G

E

【变式训练2】如图1,AABC中，AB=AC,点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE=BD,

连接DE交BC于点F.

⑴求证：EF=DF；⑵如图2,过点D作DGXBC,垂足为G,求证：BC=2FG.

类型四、旋转模型

例1.四边形是由等边A4BC和顶角为120。的等腰排成，将一个60。角顶点放在。处，将60。

角绕。点旋转，该60。交两边分别交直线2C、NC于M、N,交直线A8于E、尸两点.

(1)当E、尸都在线段48上时(如图1),请证明：BM+AN=MN；

(2)当点£在边民4的延长线上时(如图2),请你写出线段MB,/N和九W之间的数量关系，并证明你的

结论；

(3)在(1)的条件下，若/C=7,NE=2.1,请直接写出MB的长为.

【变式训练1】如图，将必A48c的斜边2C绕点3顺时针旋转90。得到线段AD,过点。作48的垂线，交48

延长线于点求证：AB=DE.

【变式训练2】如图①，在A/BC中，乙4cB=90°,4C=BC,以C为顶点作/DCE=45。，且CD、CE分

别与N8相交于。、E两点，将△/(?£＞绕点C逆时针旋转90。得到

S(D

(1)DE与AD、班的数量关系是；若AD=4,EB=6,则。E的长等于.

(2)若将/DCE绕点C逆时针旋转使CD与相交于点D,边CE与的延长线相交于点E,而其他条件

不变，如图②所示，猜想。E与即之间有何数量关系？证明你的猜想.

类型五、手拉手模型

例1.问题发现CL）如图1,已知C为线段48上一点，分别以线段NC,8C为直角边作等腰直角三角形,

NACD=90°,CA=CD,CB=CE,连接4E,BD,线段AE,BD之间的数量关系为；位置

关系为_______.

拓展探究（2）如图2,把Rt^ZCD绕点C逆时针旋转，线段ZE,BD交于点、F,则NE与之间的

关系是否仍然成立？请说明理由.

【变式训练1】如图，B,C,£三点在一条直线上，A48c和ADCE均为等边三角形，BD与AC交于

点、M,AE与CD交于■点、N.

（1）求证：AE=BD-,（2）若把AZ）CE绕点C任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理

由.

【变式训练2】己知：如图1,在AA8C和AXDE中，NC=NE,ZCAE=ZDAB,BC=DE.(1)

证明AASC&ZUDE.（2）如图2,连接CE和RD,DE,40与8C分别交于点〃■和N,

ZDMB=56°,求N/CE的度数.（3）在（2）的条件下，若CN=EM,请直接写出NCA4的度数.

类型五、一线三角模型

例1.在中，ZACB=9Q°,AC=BC,直线MN经过点C,且4D_LMV于。点，BE工MN于E

点.

（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD,BE具有怎样的等量关系？请直接写

出这个等量关系.

【变式训练1】如图1,已知“8C中，ABAC=90°,AB=AC,Z）E是过A的一条直线，且3,C在。，E

的同侧，BD14E于D,CELAE于E（BD<CE）.

（1）证明："BD装CAE；

（2）试说明：BD=DE-CE,

（3）若直线绕A点旋转到图2位置（此时8,C在。，E的异侧）时，其余条件不变，问2D与。E,

CE的关系如何？请证明；

（4）若直线。£绕A点旋转到图3位置（此时8,C在。，E的同侧）时（8。＞CE）其余条件不变，问8。