2022-2023学年北师大版七年级数学下学期专项复习：全等三角形证明方法之倍长中线（解析版）

专题05全等三角形证明方法一一倍长中线

基本模型:

(1)条件：如图，在中，为的中线，

作法：延长4D至点区使得。£=40,连接5E,

结论：①AADCAEDB；②AC=EB；©AC//EB.

E

(2)条件：如图，在A4BC中，4F为A48C的中线，

作法：过点C作CELNE于点£,过点8作尸交//的延长线于点。,

结论：①ACEFWBDF；②BD=CE；③BD〃CE.

(3)条件：如图，在A4BC中，。为BC的中点，M为48边上任意一点,

作法：延长"。至点N,使得MD=DN,连接CN,

结论：①ABMD咨ACND；②BM=CN；③BM〃CN.

N

例题精讲：

例1.如图，A4BC中，AB=6,ZC=4,。是8C的中点，幺。的取值范围为

【详解】解：延长2。到£,使DE=4D,连接BE,

在AEBD与AACD中,

BD=CD

<ZBDE=NADC,

DE=AD

：.AEBD%4CD(SAS),

/.BE=AC,

•：AB=6,AC=4,

：.2<AE<10,

：.1<AD<5.

故答案为：1<幺。<5.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，理解倍长中线法，证明△EBOgAZCD

是解题的关键.

例2.证明：直角三角形斜边中线的长度等于斜边的一半.

如图，。是4B的中点，ZACB=90°,求证：2c0=48.

A

【答案】见解析

【详解】解：延长CD到£,使DE=CD,连接BE,

•..。是4g的中点，

BD=AD,

在力即与ANC。中，

BD=AD

<NBDE=NADC,

DE=CD

：.&BEDaACD（SAS）,

ED=CD,NA=NDBE,AC=BE,

：.AC//BE,

:NACB=90°,

ZCBE=90°,

在A4CB与AEBC中,

AC=BE

<NACB=NEBC,

BC=BC

.•.△NCB%£BC(SAS),

AB=CE=2CD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，理解倍长中线法，证明

△BED%ACD

是解题的关键.

例3.已知CD=48,NBDA=NBAD,ZE是△48。的中线，求证：NC=NBAE.

【答案】见解析

【详解】证明：延长AE到F,使EF=AE,连接DF,

•••AE是AABD的中线，

BE—ED,

在"BE与AFDE中

BE=ED

<ZAEB=NDEF,

AE=EF

：."BE咨AFDE(SAS),

:.AB=DF,NBAE=NEFD,

•.•/2。8是4幺。。的外角，

ADAC+NACD=NADB=/BAD,

/.NBAE+ZEAD=ZBAD,NBAE=ZEFD,

ZEFD+ZEAD=ADAC+NACD,

/.NADF=ZADC,

•：CD=AB,：.CD=DF,

在△40b与AADC中

AD=AD

<NADF=ZADC,

FD=DC

△ADE&△ADC(SAS),

ZC=NAFD=ZBAE.

，■

A

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明两个三角形全等.

例4.如图，4。是ANBC的中线，E、尸分别在48、AC±,且/求证：BE+CF>EF.

A

【答案】见解析

【详解】证明：延长7^。至G,使得GD=£D,连接BG,EG,

•.•在△。尸。和ADGB中，

DF=DG

<ZCDF=ZBDG,

DC=DB

/.ADFC^ADGB(SAS),

：,BG=CF,

•.•在△££(厂和AEDG中

DF=DG

<NFDE=NGDE=90°,

DE=DE

：.AEDF%EDG(SAS),

EF=EG,

在ABEG中，两边之和大于第三边,

BG+BE>EG,

又；EF=EG,BG=CF,

：.BE+CF>EF.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知正确作出辅助线延长厂。至G,使得G£>=£D

是解题关键.

例5.【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容:

例4嶙13213,在△ABC中，D是边BC的中

点，过点C画直线CE,使CE/AB,交AD的延长线

于点E,求证：AD=ED

证明；CE/AB（已知）

.,.NABD=/ECD./BAD=NCED（两直线平

行，内错角相等）.

在AABD与AECD中，

，

•/Z.ABD=ZECD5ZBAD=ZCED（已证）

BD=CD（已知：），图13213

.,.A.4BD^AECD（A.A.S）,

...AD=ED（全等三角形的对应边相等）.

y

（1）【方法应用】如图①，在A4BC中，48=8,AC=5,则8c边上的中线ND长度的取值范围

是.

（2）【猜想证明】如图②，在四边形4BCD中，4S〃CD,点£是8C的中点，若ZE是NA4D的平分

线，试猜想线段48、40、0c之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如图③，己知48〃CE,点E是8C的中点，点。在线段ZE上，NEDF=NBAE,

若48=5,CF=2,直接写出线段。咒的长.

A

cA

313

【答案】(1)-<AD<—；(2)AD=AB+DC,理由见解析；(3)3

22

【详解】解：(1)延长40到£,使£>£=40,连接BE,

图①

•••/£>是边上的中线,

BD=CD,

在AEAD与中,

BD=CD

<ZBDE=NADC,

DE=AD

：.AEBD^AACD(SAS),

：.BE=AC=5,

在ANBE中，AB-BE<AE<AB+BE,

；.8—5〈幺£<8+5,

313

：.-<AD<—,

22

313

故答案为：-<AD<—.

22

(2)结论：AD=AB+DC.

理由：如图②中，延长4E,DC交于点、F,

•••AB//CD,

：.ZBAF=ZF,

在AABE与AFCE中，

ZEB=NFEC

<ABAE=NF,

BE=CE

AABE&FCE(AAS),

：.CF=AB,

'：AE^ZBAD的平分线，

ZBAF=ZFAD,

?.ZFAD=ZF,

AD=DF,

•：DC+CF=DF,

：.AB+DC=AD.

(3)如图③，延长ZE交C尸的延长线于点G,

图③

•••£是BC的中点,

/.CE=BE,

,/AB//CF,

ZBAE=NG,

在ANEB与AGEC中，

ABAE=NG

<ZAEB=ZGEC,

BE=CE

：.AAEB%GEC（AAS）,

/.AB=GC,

•••NEDF=NBAE,

NFDG=NG,

Z.FD=FG,

：.AB=DF+CF,

•：AB=5,CF=2,

：.DF=AB-CF=3.

【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分

线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

例6.中，AB=AC,以BC为边,在右侧作等边△8。.如图，£为。。延长线上一点，连

接NE、BE,G为NC的中点，连接BG、EG,AE=DE,证明：BGLEG.

【答案】见解析

【详解】证明：连接Z。，延长8G至点F，使EG=8G,连接/R,FE,

VAB=AC,BD=DC,

：.AD是线段BC的垂直平分线.

/.DHLBC.

•••ABCD是等边三角形，

ZCDA=-ZBDC=-x60°=30°.

22

*.*AE=DE,

NEAD=ZCDA=30°.

在ABGC和AEGZ中,

CG=AG

<ZCGB=ZAGF,

BG=FG

：.A£GC^AFGA(SAS).

：.BC=AF,NCBG=NAFG.

：.AF//CB.

•/ADLBC,

：.FALAD.

：.NFAD=90°.

/.ZFAE=NFAD-ZEAD=60°.

,/BC=AF,BD=BC,

：.AF=BD.

在AAFE和ADBE中，

AF=BD

<NFAE=ZBDC=60°,

AE=DE

：.AAFE^ADBE(SAS).

：.FE=BE.

,/FG=BG,

：.BGVEG.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的性质,

等腰三角形的性质，延长8G至点R使EG=8G,连接4F,FE,构造全等三角形是利用线段中点解

答问题常用的辅助线.

专练过关:

1.(1)如图1,2。是ANBC的中线，延长/。至点E,使矶>=ND,连接CE.

①证明△ZBZJgAECO；

②若48=5,AC=3,设ND=x,可得x的取值范围是；

(2)如图2,在AZBC中，。是8C边上的中点，DELDF,DE交AB于点、E,DF交AC于点、F,

连接£尸，求证：BE+CF>EF.

【答案】(1)Kx<4；(2)见解析

【详解】(1)①证明：是A4BC的中线,

BD=DC,

在小。台与△££)(?中，

BD=CD

<NADB=ZCDE,

AD=DE

：.(SAS),

②解：由①知，AADBWEDC,

：.CE=AB=5,

DE-AD,AD=x,

AE=2AD=2x,

在ANC£中，AC=3,

根据三角形的三边关系得，5-3<2x<5+3,

/.Kx<4,

故答案为：l<x<4；

(2)证明：如图2,延长ED,使得DH=DF,连接8〃，EH,

•：DH=DF,DELDF,

即NEDF=ZEDH=90°,DE=DE,

：.ADEF^DEH(SAS),

：.EF=EH,

•..。是8C边上的中点，

BD=CD,

•：DH=DF,ZBDH=ZCDF,

：.ABDH咨ACDF(SAS),

：.CF=BH,

'：BE+BH>EH,

：.BE+CF>EF.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边

关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键.

2.如图，在中，ZABC=45°,于点〃，点。在NW上，^.DM=CM,尸是的

中点，连接ED并延长，在厂。的延长线上有一点E,连接CE,且C£=C4,NBDF=36。,求NE的

度数.

【答案】ZE=36°

【详解】解：•••N48C=45°,AM1BC,

/.ZBMD=ZAMC,BM=AM,

在&BMD和xAMC中，

DM=CM

<NBMD=ZAMC,

BM=AM

：.AWD也AZMC(SAS),

如图，延长所到点G,使得FG=EF,连接BG.

ABMDJAMC,

：.BD=AC,

又,：CE=CA,

：.BD=CE,

在ABEG和ACFE中，

BF=CF

<ZBFG=ZEFC,

FG=FE

：.ABFG%CFE(SAS),

BG=CE,NG=NCEF,

BD=CE=BG,

：.NBDF=NG=NCEF.

：.NBDF=NCEF,

NE=36°.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉“倍长中线”模型添

加辅助线，构造全等三角形.

3.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图，点£是8C的中点，点/在。E上，且NB4E=NCDE.

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明

的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证48=CD,

必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.

（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明.

①如图1,延长。E到点尸，使EF=DE,连接3尸；

②如图2,分别过点5、C作BF工DE,CGLDE,垂足分别为点尸，G.

（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明.

/图1图2图3

/

【答案】见解析

【详解】证明：（1）①如图1,延长£）£到点?使EF=DE,连接AF,

:点E是的中点，

/.BE=CE,

在力跖和ACE。中,

BE=CE

<NBEF=NCED,

EF=ED

：.xBEF知CED(SAS),

/.BF=CD,NF=NCDE,

ZBAE=NCDE,

NBAE=NF,

AB=BF,

/.AB=CD；

②如图2,分别过点8、C作跳'LOE,CGIDE,垂足分别为点RG,

NF=NCGE=ZCGD=90°,

:点E是BC的中点，

BE=CE,

在ABE/和ACEG中，

Z=NCGE=90°

<NBEF=NCEG,

BE=CE

：.ABEFWCEGd,

BF=CG,

在和ACDG中，

NBAE=ZCDE

<NF=ZCGD=90°,

BF=CG

:.ABAFaCDG（AAS）,

：.AB=CD；

（2）如图3,过C点作CW〃48,交的延长线于点M,

则NBAE=/EMC,

是BC中点，

BE=CE,

在和ACME中，

ZBAE=ACME

<NBEA=NCEM,

BE=CE

：.△5T4£^ACW（AAS）,

Z.CM=AB,NBAE=ZM,

,//BAE=NEDC,

ZM=ZEDC,

CM=CD,

：.AB=CD.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造

出全等三角形是解本题的关键.

4.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1,在中，48=8,ZC=6,。是

8C的中点，求8C边上的中线的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长2。到£,使DE=4D,请补充完整证明

“AADC知EDB”的推理过程.

(1)求证：AADCWEDB

证明：•.•延长40到点E,使DE=4D

在AADC和&EDB中40=(已作)

NADC=NEDB()

CD=BD(中点定义)

；.AADCAEDB()

(2)探究得出2。的取值范围是；

【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已

知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,AABC中，ZB=90°,AB=2,2。是AABC的中线，CELBC,CE=4,且

ZADE=90°,求ZE的长.

E

vK

\；BDC

E

图1图2

【答案】(1)对顶角相等，SAS；(2)1<AD<7；(3)AE=6

【详解】解：(1)证明：延长2。到点E,使。E=4D

在AADC和AEDB中,

AD=DE(已作)

ZADC=ZEDB(对顶角相等)

CD=BD(中点定义)

:.AADC'EDB(SAS)

故答案为：对顶角相等，SAS；

(2),:AADC知EDB,

：.BE=AC=6,

8—6</£<8+6,

\<AD<1,

故答案为：1<2。<7；

(3)延长ZD交EC的延长线于R

•/ABLBC,EF1BC,

：.NABD=NFCD,

在小瓦？和△网?£(中，

ZABD=ZFCD

<BD=CD,

ZADB=NFDC

:.AABD%FCD(ASA),

CF=AB=2,AD=DF,

：ZADE=90°，

AE=EF,

EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,

AE=6.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质

定理是解题的关键.

5.(1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在中，45=12,

AC=8,

求8C边上的中线4D的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图2),

①延长4D到使得=

②连接3/,通过三角形全等把48、AC,240转化在△4W中；

③利用三角形的三边关系可得NN的取值范围为48-+,从而得到4D的取值范围

是；

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关

系.

(2)请你写出图2中ZC与3河的数量关系和位置关系，并加以证明.

(3)深入思考：如图3,2。是ANBC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=90°,请直

接利用(2)的结论，试判断线段与石尸的数量关系，并加以证明.

E

图1图2图3

【答案】(1)2<AD<1Q；(2)且NC=8M；(3)EF=2AD,理由见解析

【详解】解：(1)延长40到点M,使£＞河=40,连接

是8C边上的中线,

BD=CD,

在AMDB和AADC中,

BD=CD

<ZBDM=ZCDA,

DM=AD

：.&MDBaADC(SAS),

：.BM=AC=6,

在4ABM中，

AB-BM<AM<AB+BM,

.•.12—8<^M<12+8,4VW<20,

/.2<^£><10,

故答案为：2</。<10；

⑵AC//BM,且=

理由是：由(1)知，AMDBAADC,

:.NM=NCAD,AC=BM,

：.AC//BM；

(3)EF=2AD,

理由：如图2,延长/。到使得。河=/。，连接

E

由(1)知,AMDB'ADC(SAS),

AC=BM,

•：AC=AF,

：.BM=AF,

由(2)知：AC//BM,

：.ZBAC+ZABM=180°,

NBAE=NFAC=90°,

/.ABAC+AEAF=,

NABM=NEAF,

在A/W和中，

AB=EA

<ZABM=NEAF,

BM=AF

：.^ABM^AEAF(SAS),

・・・AM=EFf

AD=DM,

AM=2AD,

AM=EF,

：.EF=2AD,

即：EF=2AD.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题

的关键.

6.如图，在中，尸为中点，分别以48、ZC为底边向外作等腰三角形A/AD和等腰三角形

△ACE,

记N4DB=a,NAEC=0.

(1)若a=，=90°,如图，求证：DF=EF,DFLEF；

(2)当a,，不等于90°时，若DF工EF,

①在图中补全图形；

②试判断a,，的数量关系，并证明.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)a+,=180。，理由见解析;

【详解】(1)证明：延长到点X,使得=〃F,连接CH、EH、DE,如下图,

H

在ABDF和&CHF中

DF=HF

<ZBFD=ZCFH,

BF=CF

：.ABDF咨ACHF(SAS),

：.BD=CH,ZDBF=ZHCF,

AABD和AACE是等腰直角三角形，NADB=ZAEC=90°,

：.AD=BD,AE=CE,ZDAB=ZDBA=ZEAC=ZACE=45°,

/.AD=CH,NDAE=90°+ABAC,

..ZHCE=3600-ZHCF-ZACB