数学优化训练：向量数乘

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。1.4向量数乘5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1。已知a=e1+e2，b=3e1—2e2，则3a-2bA。9e1+4e2B。0C.7e2-2e1D.-3e1+7解析：3a—2b=3(e1+e2）-2（3e1-2e2）=—3e1+7e2答案：D2.已知=a，=b，=，用a，b表示，则等于(）A.B。C。D。a—b解析：∵=，∴—=(—）.∴b-a=-a。∴=。答案：B3.化简（—2)·3m-4(n—2A.—14m-4nB.-6m-4nC。2m-4nD.4解析：原式=-6m-4n+8m=2m答案:C4.若|a｜=3，b与a的方向相反，且|b｜=5，则a=b.解析：∵b与a的方向相反,且｜a|=|b｜，∴a=-b。答案:—10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1。如图2-1—16,在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b，=c，=d，且E、F分别为AB、CD的中点，则（）图2—1-16A。=(a+b+c+d)B.=(a-b+c—d）C.=(c+d-a-b）D。=（a+b-c-d）解析:=—=(+）-（+）=（c+d)—(a+b）。∴=（c+d—a-b）.答案：C2.已知AD、BE、CF分别为△ABC的三条中线，G是它们的交点,则下列等式不正确的是（)A.=B。=C.=-2D.+=解析：本题的关键点在于将重心的性质用向量的形式表示出来，由图知B错在方向反了.应该为=.答案：B3。点C在线段AB上，且=，则=。（)A.B.C.D。解析：∵|｜=｜｜，∴｜｜∶｜|=3∶2，且与方向相反，∴=。答案:D4。化简:=____________.解析：原式=［（a+4b）-4a+2b］=（—3a+6b)=—a+2b.答案:2b—a5.若2(x—a)-（b-3x+c)+b=0,其中a，b,c为已知向量，则未知向量x=______________。解析:2x+，∴x=.答案：.6。如图2-1-17，已知=3e1,=3e2,（1)（2）图2-1-17(1）如图（1)，C、D为AB三等分点,求，；（2)如图（2），C、D、E为AB的四等分点，求、.解:(1）=-=3e2—3e1，∴=e2-e1=。∴=+=3e1+e2—e1=2e1+e2；=+=2e1+e2+(e2—e1）=e1+2e2.(2)=3e2—3e1，=e2—e1，=+=3e1+e2-e1=e1+e2,此时，==(3e2-3e1）=e2-e1，=+=3e1+e2—e1=e1+e2.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后）1.M为线段AB的中点，O为平面内任一点,=a，=b,则等于（）AB.C。D.2a+2b解析：以OA、OB为邻边作平行四边形OANB,=a+b，=,∴=a+b.答案：A2.如图2-1—18平行四边形ABCD中，O为平面外任一点，=a，=b，=c，=d,则（）图2-1—18A.a+b+c+d=0B.a-b—c—d=0C。a+b—c—d=0D。a—b+c—d=0解析:由平行四边形ABCD知=，即—=-，∴a-b=d—c.∴a—b+c—d=0。答案：D3.已知四边形ABCD为菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A、C），则等于（)A。λ(+),λ∈（0，1）B.λ(+），λ∈（0，)C。λ(—），λ∈(0，1)D.λ(-)，λ∈（0,)解析:由向量的运算法则=+，点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜｜|，故=λ(+),λ∈（0，1)。答案：A4.正方形ABCD中，已知=a,=b，=c,表示a—b+c的是（)A.B.C.D。解析:a—b+c=—+=+==.答案：C5.（2006高考广东卷,4)如图2-1—19所示,D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(）图2—1-19A.—+B.--C。-D。+解析：=—=—。答案：A6。O为平行四边形ABCD中心，=4e1，=6e2，则3e2-2e1=_______________.解析:3e2-2e1=(6e2-4e1）=(-)=（-）==。答案：或7.已知向量x，y,则满足方程组的x=_______________,y=_______________。解析：用解方程组方法即得x=p+q，y=q—2p。答案：p+qq—2p8。给出下面四个结论：①对于实数p和向量a，b，有p（a-b）=pa-pb;②对于实数p、q和向量a,有（p—q）a=pa-qa;③若pa=pb(p∈R)，则有a=b；④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q.其中正确结论的序号为_______________。解析：①②显然正确；③在p=0时不可以;④可化为(p—q）a=0，∵a≠0，∴p-q=0即p=q，∴④正确.答案：①②④9.如图2—1-20，ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b,你能用a、b表示、、和吗？图2-1-20解:在ABCD中，∵=+=a+b,=—=a—b，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，∴==（a+b)=ab,==(a—b)=ab,==a+b,=—==a+b。10。如图2-1-21，平行