数学优化训练：间接证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2。2间接证明5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1。设a、b、c都是正数，则三个数a+,b+，c+…（)A。都大于2B.至少有一个大于2C。至少有一个不小于2D。至少有一个不大于2答案:C解析：(a+）+(b+）+(c+)=(a+）+（b+)+（c+)≥2+2+2=6,当且仅当a=b=c=1时取“=”。2.下列命题错误的是（)A。三角形中至少有一个内角不小于60°B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间[a，b]上的单调函数f(x)，至多有一个零点D。设a、b∈Z，若a+b是奇数，则a、b中至少有一个是奇数答案：D解析：逐一用反证法判断。3。设正实数a、b、c满足a+b+c=1,则a、b、c中至少有一个数不小于___________.解析：假设a、b、c中至少有一个数不小于x的反命题成立。假设a、b、c都小于x，即a<x,b<x，c〈x,∴a+b+c〈3x。∵a+b+c=1，∴3x〉1.∴x〉,若取x=就会产生矛盾。答案：10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1。反证法是(）A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法B.对其否命题的证明C。对其逆命题的证明D.分析法的证明方法答案：A2.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a〉b”的结论的否定应该是（）A。a<bB.a≤bC。a=bD.a≥b答案：B解析：“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”.3.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是()A。无解B.两解C。至少两解D.无解或至少两解答案：D解析:“唯一”的意思是“有且只有一个"，其反面应该为选项D。4。在空间是否存在这样的多面体,它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边?_______________________________________________________________________________。解析：假设多面体有n个面（n为奇数)，且每个面的边数分别为S1，S2，…，Sn(Si为奇数，i=1，2,…，n),则多面体的总边数为S，因为每条边都是公用的，所以S1+S2+…+Sn=2S.这里左边为奇数个奇数的和，为奇数;但右边为偶数，矛盾。答案：不存在(或不可能有）5。已知平面M内有两条相交直线a、b(交点为P）和平面N平行。求证：平面M∥平面N。证明:假设平面M不平行于平面N,则M和N一定相交，设交线为c。∵a∥平面N,∴a∥c。同理b∥c。则过c外一点P有两条直线与c平行.这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾。所以假设不成立。所以平面M∥平面N.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1。命题“三角形中最多只有一个内角是直角"的结论的否定是（）A.有两个内角是直角B。有三个内角是直角C。至少有两个内角是直角D。没有一个内角是直角答案：C解析：“最多只有一个”即“只有一个或没有”，它的反面应是“至少有两个”。2.如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A。一个是正数，一个是负数B。两个都是正数C.至少有一个是正数D。两个都是负数答案：C解析：由反证法的意义知选项C真。3。在数列:11，111,1111，…中（）A.有完全平方数B.没有完全平方数C.有偶数D.没有3的倍数答案：B解析：易见没偶数，且有3的倍数，如111.知C、D假。假设有完全平方数，它必为奇数的平方.设为=(2K+1)2（K为正整数),则0=4K（K+1），两边除以2得=2K(K+1）,此式左边为奇数,而右边为偶数,自相矛盾。4.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手,甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了."丁说：“是乙获奖。”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是（）A。甲B。乙C.丙D。丁答案:C解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理,可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙。5。反证法的关键是推出矛盾，通常可导致哪些方面的矛盾?______________________________.答案：与已知定义、公理、定理及明显数学事实相矛盾，与已知条件相矛盾，与假设自相矛盾等6。求证：正弦函数没有比2π小的正周期.证明：假设T是正弦函数的周期，且0＜T＜2π,则对任意实数x都有sin（x+T）=sinx成立，令x=0，得sinT=0，即T=kπ,k∈Z。又0〈T<2π,故T＝π，从而对任意实数x都有sin(x+π）=sinx,这与sin（+π)≠sin矛盾.所以正弦函数没有比2π小的正周期.7.如图，AB、CD为圆的两条相交弦,且不全为直径,求证:AB、CD不能互相平分.证明：假设AB、CD互相平分,则四边形ACBD为平行四边形。所以∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD.因为四边形ACBD为圆内接四边形,所以∠ACB+∠ADB=180°,∠CAD+∠CBD=180°。因此∠ACB=90°,∠CAD=90°。所以,对角线AB、CD均为直径,与已知矛盾.因此,AB、CD不能互相平分。8.试证明抽屉原理：如果将m个物体放在n个抽屉里，则至少有一个抽屉含有［］+1个物体（其中［］表示不超过的最大整数).命题简单化就是：把5个苹果放进2个抽屉里，则可断言至少有一个抽屉放着不少于3个的苹果.证明：(用反证法）小于m的n的最大倍数是由减去其小数部分所得的整数，即是［]。假设不存在有一个抽屉含有[]+1个物体，即每个抽屉含的物体最多是［］个,而总共有n个抽屉，所以这n个抽屉所含的物体的总数小于等于n［］≤n·=m—1〈m，这与已知有m个物体矛盾，所以至少有一个抽屉里有［］+1个物体.9.用反证法证明:若函数f(x)在区间[a,b］上是增函数，那么方程f（x）=0在区间[a,b］上至多只有一个实根.证明：假设方程f（x)=0在区间[a,b]上至少有两个实根,设α、β为其中的两个实根.因为α≠β,不妨设α<β,又因为函数f（x)在［a，b]上是增函数,所以f(α）<f(β).这与假设f(α)=0=f（β）矛盾，所以方程f(x）=0在区间［a，b]上至多只有一个实根.10.已知a、b、c∈(0，1)，求证：（1—a）b、（1-b）c、（1—c)a不