广东省深圳市南山区2022-2023学年高二上学期数学期末试卷（含答案）

广东省深圳市南山区2022-2023学年高二上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．抛物线x2A．(1，0) B．(0，1) C．(2，0) D．(0，2)2．若{aA．a，a+b，a+c B．aC．a，a−c，a+c D．b3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2A．12 B．1 C．32 4．已知椭圆C：x23+k+A．(−3，1) B．(1，5) C．5．已知A(2，−3)、B(2，1)，若直线l经过点P(0，A．(−∞，−2]∪[2，C．(−∞，−1]∪[1，6．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AAA．155 B．105 C．3107．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、A．3+12 B．3 C．3+18．著名的斐波那契数列是意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，又称兔子数列，记该数列为{an}，则a1=1，a2=1，且aA．6 B．5 C．2 D．0二、多选题9．设圆C：(x−1)2+yA．C的半径为2 B．l恒过定点(0C．l可能与C相切 D．当k=1时，l被C截得的弦长最短10．如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，A．AD1=2C．|DF|=3 D．DF为平面11．已知公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，且A．{aB．{SC．当Sn取得最大值时，D．当a2=112．已知椭圆C1：x24+y2=1和C2：x24+y2=λ(λ>1)，点A．C1、C2的离心率相等 C．直线ON、AB的斜率之积为定值 D．四边形OANB的面积为4三、填空题13．已知a=(1，2，−3)，b=(−214．已知数列{an}满足a2=1，且15．已知圆C：x2+y2−2x−2y=0，点P在直线x+y+2=0上运动，过P作C的两条切线，切点分别为A、16．如图，在直角△ABC中，AB=1，BC=2，D为斜边AC上异于A、C的动点，若将△ABD沿折痕BD翻折，使点A折至A1处，且二面角A1−BD−C的大小为π3，则线段四、解答题17．已知圆C1的圆心为(−1（1）求C1（2）设圆C2：(x−2)2+(y−4)2=r18．已知数列{an}，满足a1=4（1）求{a（2）设bn=|an|，T19．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB⊥AD，AD=2BC，已知侧棱（1）证明：CE//（2）若AB=AP=AD=2，求点P到平面BCE的距离．20．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：y2a2−x2b2=1（1）求C的方程；（2）设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且AF=721．在四棱柱ABCD−A1B1C（1）证明：AD（2）设点P在棱A1B1上运动，若∠A1AD=π3，且AB=2，记直线22．已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，定点A(1，a)（其中常数a满足a2<2p），动点（1）求C的方程；（2）过A作两条斜率分别为k1、k2的直线l1、l2，记l1与C的交点为B、D，l2与C的交点为E、G，且线段BD、（i）当a=0，且k1k2（ii）当k1+k

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】x2=4y是焦点位于所以p=2即焦点坐标为(0，1)故答案为：B【分析】根据抛物线定义，可直接得焦点坐标.2．【答案】A【解析】【解答】对于A，设x，y∈R，则xa对于B，设x，y∈R，则xa对于C，设x，y∈R，则xa+y(a对于D，设x，y∈R，则xb故答案为：A.

【分析】根据空间向量基底的定义，结合选项逐项判定，即可求解.3．【答案】B【解析】【解答】因为S4=4(a1因此，等差数列{an}故答案为：B.

【分析】根据等差数列的求和公式和a2=2，求得a34．【答案】A【解析】【解答】因为椭圆C：x23+k+y2故答案为：A.

【分析】根据椭圆的标准的方程和几何性质，列出不等式组，即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】过点P作PC⊥AB，垂足为点C，如图所示：设直线l交线段AB于点M，设直线l的斜率为k，且kPA=−1+3当点M在从点A运动到点C（不包括点C）时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时−1=k当点M在从点C运动到点B时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时0≤k≤k综上所述，直线l的斜率的取值范围是[−1，故答案为：D.

【分析】设直线l的斜率为k，分别求得kPA=−1，6．【答案】B【解析】【解答】由题意，可得该三棱柱可看作正方体的一半，补形如下图所示：记AD的中点为F，连结A1因为在正方形ABCD，E，F是所以EF//又A1C1故四边形A1C1则∠FA1C为直线A设该正方体的边长为2，在Rt△AA1F在Rt△ACF中，CF=A在Rt△ACA1中，在△A1CF故答案为：B.

【分析】由题意补形为正方体，设AD的中点为F，连结A1F，CF，EF，证得A1F//C1E，根据异面直线所成角的定义，得到∠FA7．【答案】C【解析】【解答】如下图所示，易知点M、N关于x轴对称，连接MF2，所以，由圆的几何性质可得∠F1MF2由双曲线的定义可得|MF因此，双曲线C的离心率为e=c故答案为：C.

【分析】连接MF2，得到∠MF1F2=8．【答案】D【解析】【解答】由性质（1）可知a22=a2a3−a上述等式全部相加可得a2∵a1=由性质（2）可知a365与a5的个位数相同，a366与a6的个位数相同，且不难知道，所以，a5a6的个位数为0，则a因此，a12+故答案为：D.

【分析】根据性质（1）和题意得到a12+a22+a32+⋯+9．【答案】A,B,D【解析】【解答】对A，∵(x−1)2+对B，当x=0时，y=1，故直线l恒过定点(0，对C，将(0，1)代入圆方程有(0−1)2故直线与圆一定相交；对D，圆心C(1，0)，设直线l恒过定点M(0，1)，则当直线l被C截得的弦长最短，故kCM⋅k=−1，即1−00−1故答案为：ABD.

【分析】化简圆的方程为(x−1)2+y2=22，可判定A符合题意；由x=0时，代入圆的方程求得y=110．【答案】B,C【解析】【解答】以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、则A(2，0，0)、B(2，2，0)、C1(0，2，2)、对于A选项，AD1=(−2，0对于B选项，B1D1=(−2，对于C选项，DF=(2，2对于D选项，DF⋅AD1=−4+2≠0故答案为：BC.

【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由AD1=−2EF，可判定A不符合题意；由，则B1D111．【答案】B,D【解析】【解答】对A，∵S10>0，S即5(a5+a6)>0，11a故{a对B，设{an}的首项为aSnn=a1+n−1对C，由A知a6<0，即S6−S5<0则a1>−4d>0，而d<0，当Sn对D，当a2=1时，由A知a5+a即2+7d>01+4d<0，解得d∈(−故答案为：BD.

【分析】由S10>0，S11<0，利用等差数列的求和公式，化简得到a5>−a6>0，得到d=a6−a5<0，可判定A不符合题意；由S12．【答案】A,C,D【解析】【解答】设点A(x1，y1)、B(x2，对于A选项，e1=4−1对于B选项，联立x0x+4y0y=4由题意可知x024因为ON=则点N(2x0，2y对于C选项，由B选项可知，椭圆C2的方程为x216则kON=2由已知可得x1216对于D选项，显然四边形OANB为平行四边形，其面积记为S1，△OAB的面积记为S因为x0y0≠0，所以，直线l与y轴必有交点，不妨设为S2=1由韦达定理可得x1+x2=2所以，S=43故答案为：ACD.

【分析】设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，椭圆C1、C2的离心率分别为e1、e2，结合离心率的定义，可判定A正确；联立方程组求得x1+x2=2x0，进而求得y1+y2=2y0，根据13．【答案】-4【解析】【解答】因为a=(1，2，−3)，b=(−2，故答案为：-4.

【分析】根据a//b，得到方程14．【答案】2【解析】【解答】因为数列{an}满足a则a2=−1a1+3=1，可得故答案为：2.

【分析】根据题意，得到a2=−1a115．【答案】12【解析】【解答】如图所示：由圆的几何性质可得PB⊥BC，PA⊥AC，由切线长定理可得|PA|=|PB|，又因为|AC|=|BC|，|PC|=|PC|，所以，Rt△PAC≌Rt△PBC，圆C的标准方程为(x−1)2+(y−1)2=2所以，|PA|=|PC|当PC与直线x+y+2=0垂直时，|PC|取最小值，且|PC|min所以，|PA|min所以，S四边形PACB=2S因此，∠ACB=2∠ACP=2(90故答案为：120

【分析】由圆的几何性质和切线长定理，证得Rt△PAC≌Rt△PBC，再求得|PC|min=22，得到|PA|min=16．【答案】2【解析】【解答】过点A1在平面A1BD内作A1M⊥过点C在平面BCD内作CN⊥直线BD，垂足为点N，如下图所示：∵A1C记∠A1BD=α，则α∈(0，π2)因为二面角A1−BD−C的大小为π3，则NC、M∵NC且|MN所以，|=si即|A1C|≥2因此，线段A1C长度的最小值为故答案为：2.

【分析】过点A1在平面A1BD内作A1M⊥直线BD，垂足为点M，过点C在平面BCD内作CN⊥直线BD，垂足为点N，求得A1M⋅MN=NC⋅MN=0，记∠A1BD=α，得到∠NBC=17．【答案】（1）解：由题意可知，圆C1的半径为|O所以，C1的标准方程为(（2）解：易知，圆C2的圆心为C2(根据两圆相交可知，|r-1|<|C解得4<r<6，即r的取值范围是4<r<6【解析】【分析】（1）根据题意求得圆的半径为|OC1|=1，进而的圆的标准方程；

（2）根据两圆相交，得到|r18．【答案】（1）解：由题可知，∀n∈N*，都有∴数列{a设{an}∴（2）解：由(1)可知an=5−n，令an∴当n>5时，an当n≤5时，an∴=2(=2×【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到an+2−an+1=an+1−an，得到数列{an}是等差数列，根据a1=419．【答案】（1）证明：设F为PA的中点，连接BF，EF，∵E是PD的中点，∴EF//∵AD=2BC∴EF//∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE//又∵BF⊂平面ABP，CE⊂∴CE//平面ABP（2）解：由于侧棱AP⊥平面ABCD，AB，AD⊂面∴AP⊥AB，AP⊥AD，∵AB⊥AD，则以点A为坐标原点，以AD，AB，AP所在的直线为x轴，y轴，∵AD=2，∴BC=1∴P(0，0，2)∴BC=(1，设平面BCE的法向量n=则有n⋅BC=0令y=1，则n=∴点P到平面BCE的距离d=|【解析】【分析】（1）设F为PA的中点，连接BF，EF，证得四边形EFBC是平行四边形，得到CE//BF，结合线面平行的判定定理，即可证得CE//平面ABP；

（2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面BCE的一个法向量n20．【答案】（1）解：由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为y=±abx可得b2将P(3，2)代入可得所以双曲线C的方程为y2（2）解：由（1）可知，上焦点F(设直线l的斜率为k，A(x1，联立y2−x所以x又AF=7BF，即(−x所以x1+x2=8所以直线l的斜率为±【解析】【分析】（1）由双曲线渐近线方程得到b2=3a2，再将P代入双曲线的方程，求得a，b的值，即可求得双曲线的方程；

（2）设直线l的斜率为k，得到直线l的方程为y=kx+2，联立方程组求得x1+x21．【答案】（1）证明：连接A1∵平面ADD1A1⊥平面ABCD∴CD⊥平面ADD∵A1D⊂平面AD∵A1D与A∵CD∩A1D=D，∴AD1⊥平面A1CD∴AD（2）解：以点A为坐标原点，以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设A1则A(∴设平面PBC的一个法向量为n=(即(2−m)x−y−3z=0∴sinθ=|n又0≤m≤2，∴m=1，即【解析】【分析】（1）连接A1D，利用面面垂直的性质，证得CD⊥平面ADD1A1，得出AD1⊥CD，再由AD1⊥A1D，根据线面垂直的判定定理得到AD122．【答案】（1）解：易知抛物线C的准线l的方程为x=−p过点P作PA'⊥l，垂足为点A所以，|PF|+|PA|=|PA'|+|PA|≥|AA'|=1+p所以，1+p2=2，可得p=2，抛物线C（2）解：若l1与x轴平行，则l1与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意，所以，k1设直线l1的方程为x−1=m1(y−a)，直线易知k1=1m1（i）因为a=0，且k1k2=−1，所以，不妨设B(x1，y1)、Δ=16m12+16>0恒成立，由韦达定理可得所以，点M(2m12所以，S==22+当且仅当m1所以，△AMN面积的最小值为4