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文档简介

广东省深圳市南山区2022-2023学年高二上学期数学期末试卷姓名:__________班级:__________考号:__________题号一二三四总分评分一、单选题1.抛物线x2A.(1,0) B.(0,1) C.(2,0) D.(0,2)2.若{aA.a,a+b,a+c B.aC.a,a−c,a+c D.b3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2A.12 B.1 C.32 4.已知椭圆C:x23+k+A.(−3,1) B.(1,5) C.5.已知A(2,−3)、B(2,1),若直线l经过点P(0,A.(−∞,−2]∪[2,C.(−∞,−1]∪[1,6.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AAA.155 B.105 C.3107.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、A.3+12 B.3 C.3+18.著名的斐波那契数列是意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,又称兔子数列,记该数列为{an},则a1=1,a2=1,且aA.6 B.5 C.2 D.0二、多选题9.设圆C:(x−1)2+yA.C的半径为2 B.l恒过定点(0C.l可能与C相切 D.当k=1时,l被C截得的弦长最短10.如图,已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,A.AD1=2C.|DF|=3 D.DF为平面11.已知公差为d的等差数列{an},其前n项和为Sn,且A.{aB.{SC.当Sn取得最大值时,D.当a2=112.已知椭圆C1:x24+y2=1和C2:x24+y2=λ(λ>1),点A.C1、C2的离心率相等 C.直线ON、AB的斜率之积为定值 D.四边形OANB的面积为4三、填空题13.已知a=(1,2,−3),b=(−214.已知数列{an}满足a2=1,且15.已知圆C:x2+y2−2x−2y=0,点P在直线x+y+2=0上运动,过P作C的两条切线,切点分别为A、16.如图,在直角△ABC中,AB=1,BC=2,D为斜边AC上异于A、C的动点,若将△ABD沿折痕BD翻折,使点A折至A1处,且二面角A1−BD−C的大小为π3,则线段四、解答题17.已知圆C1的圆心为(−1(1)求C1(2)设圆C2:(x−2)2+(y−4)2=r18.已知数列{an},满足a1=4(1)求{a(2)设bn=|an|,T19.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AB⊥AD,AD=2BC,已知侧棱(1)证明:CE//(2)若AB=AP=AD=2,求点P到平面BCE的距离.20.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(1)求C的方程;(2)设C的上焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点,且AF=721.在四棱柱ABCD−A1B1C(1)证明:AD(2)设点P在棱A1B1上运动,若∠A1AD=π3,且AB=2,记直线22.已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,定点A(1,a)(其中常数a满足a2<2p),动点(1)求C的方程;(2)过A作两条斜率分别为k1、k2的直线l1、l2,记l1与C的交点为B、D,l2与C的交点为E、G,且线段BD、(i)当a=0,且k1k2(ii)当k1+k

答案解析部分1.【答案】B【解析】【解答】x2=4y是焦点位于所以p=2即焦点坐标为(0,1)故答案为:B【分析】根据抛物线定义,可直接得焦点坐标.2.【答案】A【解析】【解答】对于A,设x,y∈R,则xa对于B,设x,y∈R,则xa对于C,设x,y∈R,则xa+y(a对于D,设x,y∈R,则xb故答案为:A.

【分析】根据空间向量基底的定义,结合选项逐项判定,即可求解.3.【答案】B【解析】【解答】因为S4=4(a1因此,等差数列{an}故答案为:B.

【分析】根据等差数列的求和公式和a2=2,求得a34.【答案】A【解析】【解答】因为椭圆C:x23+k+y2故答案为:A.

【分析】根据椭圆的标准的方程和几何性质,列出不等式组,即可求解.5.【答案】D【解析】【解答】过点P作PC⊥AB,垂足为点C,如图所示:设直线l交线段AB于点M,设直线l的斜率为k,且kPA=−1+3当点M在从点A运动到点C(不包括点C)时,直线l的倾斜角逐渐增大,此时−1=k当点M在从点C运动到点B时,直线l的倾斜角逐渐增大,此时0≤k≤k综上所述,直线l的斜率的取值范围是[−1,故答案为:D.

【分析】设直线l的斜率为k,分别求得kPA=−1,6.【答案】B【解析】【解答】由题意,可得该三棱柱可看作正方体的一半,补形如下图所示:记AD的中点为F,连结A1因为在正方形ABCD,E,F是所以EF//又A1C1故四边形A1C1则∠FA1C为直线A设该正方体的边长为2,在Rt△AA1F在Rt△ACF中,CF=A在Rt△ACA1中,在△A1CF故答案为:B.

【分析】由题意补形为正方体,设AD的中点为F,连结A1F,CF,EF,证得A1F//C1E,根据异面直线所成角的定义,得到∠FA7.【答案】C【解析】【解答】如下图所示,易知点M、N关于x轴对称,连接MF2,所以,由圆的几何性质可得∠F1MF2由双曲线的定义可得|MF因此,双曲线C的离心率为e=c故答案为:C.

【分析】连接MF2,得到∠MF1F2=8.【答案】D【解析】【解答】由性质(1)可知a22=a2a3−a上述等式全部相加可得a2∵a1=由性质(2)可知a365与a5的个位数相同,a366与a6的个位数相同,且不难知道,所以,a5a6的个位数为0,则a因此,a12+故答案为:D.

【分析】根据性质(1)和题意得到a12+a22+a32+⋯+9.【答案】A,B,D【解析】【解答】对A,∵(x−1)2+对B,当x=0时,y=1,故直线l恒过定点(0,对C,将(0,1)代入圆方程有(0−1)2故直线与圆一定相交;对D,圆心C(1,0),设直线l恒过定点M(0,1),则当直线l被C截得的弦长最短,故kCM⋅k=−1,即1−00−1故答案为:ABD.

【分析】化简圆的方程为(x−1)2+y2=22,可判定A符合题意;由x=0时,代入圆的方程求得y=110.【答案】B,C【解析】【解答】以点D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C1(0,2,2)、对于A选项,AD1=(−2,0对于B选项,B1D1=(−2,对于C选项,DF=(2,2对于D选项,DF⋅AD1=−4+2≠0故答案为:BC.

【分析】以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,由AD1=−2EF,可判定A不符合题意;由,则B1D111.【答案】B,D【解析】【解答】对A,∵S10>0,S即5(a5+a6)>0,11a故{a对B,设{an}的首项为aSnn=a1+n−1对C,由A知a6<0,即S6−S5<0则a1>−4d>0,而d<0,当Sn对D,当a2=1时,由A知a5+a即2+7d>01+4d<0,解得d∈(−故答案为:BD.

【分析】由S10>0,S11<0,利用等差数列的求和公式,化简得到a5>−a6>0,得到d=a6−a5<0,可判定A不符合题意;由S12.【答案】A,C,D【解析】【解答】设点A(x1,y1)、B(x2,对于A选项,e1=4−1对于B选项,联立x0x+4y0y=4由题意可知x024因为ON=则点N(2x0,2y对于C选项,由B选项可知,椭圆C2的方程为x216则kON=2由已知可得x1216对于D选项,显然四边形OANB为平行四边形,其面积记为S1,△OAB的面积记为S因为x0y0≠0,所以,直线l与y轴必有交点,不妨设为S2=1由韦达定理可得x1+x2=2所以,S=43故答案为:ACD.

【分析】设点A(x1,y1)、B(x2,y2),椭圆C1、C2的离心率分别为e1、e2,结合离心率的定义,可判定A正确;联立方程组求得x1+x2=2x0,进而求得y1+y2=2y0,根据13.【答案】-4【解析】【解答】因为a=(1,2,−3),b=(−2,故答案为:-4.

【分析】根据a//b,得到方程14.【答案】2【解析】【解答】因为数列{an}满足a则a2=−1a1+3=1,可得故答案为:2.

【分析】根据题意,得到a2=−1a115.【答案】12【解析】【解答】如图所示:由圆的几何性质可得PB⊥BC,PA⊥AC,由切线长定理可得|PA|=|PB|,又因为|AC|=|BC|,|PC|=|PC|,所以,Rt△PAC≌Rt△PBC,圆C的标准方程为(x−1)2+(y−1)2=2所以,|PA|=|PC|当PC与直线x+y+2=0垂直时,|PC|取最小值,且|PC|min所以,|PA|min所以,S四边形PACB=2S因此,∠ACB=2∠ACP=2(90故答案为:120

【分析】由圆的几何性质和切线长定理,证得Rt△PAC≌Rt△PBC,再求得|PC|min=22,得到|PA|min=16.【答案】2【解析】【解答】过点A1在平面A1BD内作A1M⊥过点C在平面BCD内作CN⊥直线BD,垂足为点N,如下图所示:∵A1C记∠A1BD=α,则α∈(0,π2)因为二面角A1−BD−C的大小为π3,则NC、M∵NC且|MN所以,|=si即|A1C|≥2因此,线段A1C长度的最小值为故答案为:2.

【分析】过点A1在平面A1BD内作A1M⊥直线BD,垂足为点M,过点C在平面BCD内作CN⊥直线BD,垂足为点N,求得A1M⋅MN=NC⋅MN=0,记∠A1BD=α,得到∠NBC=17.【答案】(1)解:由题意可知,圆C1的半径为|O所以,C1的标准方程为((2)解:易知,圆C2的圆心为C2(根据两圆相交可知,|r-1|<|C解得4<r<6,即r的取值范围是4<r<6【解析】【分析】(1)根据题意求得圆的半径为|OC1|=1,进而的圆的标准方程;

(2)根据两圆相交,得到|r18.【答案】(1)解:由题可知,∀n∈N*,都有∴数列{a设{an}∴(2)解:由(1)可知an=5−n,令an∴当n>5时,an当n≤5时,an∴=2(=2×【解析】【分析】(1)根据题意,化简得到an+2−an+1=an+1−an,得到数列{an}是等差数列,根据a1=419.【答案】(1)证明:设F为PA的中点,连接BF,EF,∵E是PD的中点,∴EF//∵AD=2BC∴EF//∴四边形EFBC是平行四边形,∴CE//又∵BF⊂平面ABP,CE⊂∴CE//平面ABP(2)解:由于侧棱AP⊥平面ABCD,AB,AD⊂面∴AP⊥AB,AP⊥AD,∵AB⊥AD,则以点A为坐标原点,以AD,AB,AP所在的直线为x轴,y轴,∵AD=2,∴BC=1∴P(0,0,2)∴BC=(1,设平面BCE的法向量n=则有n⋅BC=0令y=1,则n=∴点P到平面BCE的距离d=|【解析】【分析】(1)设F为PA的中点,连接BF,EF,证得四边形EFBC是平行四边形,得到CE//BF,结合线面平行的判定定理,即可证得CE//平面ABP;

(2)以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得平面BCE的一个法向量n20.【答案】(1)解:由双曲线标准方程可知,其渐近线方程为y=±abx可得b2将P(3,2)代入可得所以双曲线C的方程为y2(2)解:由(1)可知,上焦点F(设直线l的斜率为k,A(x1,联立y2−x所以x又AF=7BF,即(−x所以x1+x2=8所以直线l的斜率为±【解析】【分析】(1)由双曲线渐近线方程得到b2=3a2,再将P代入双曲线的方程,求得a,b的值,即可求得双曲线的方程;

(2)设直线l的斜率为k,得到直线l的方程为y=kx+2,联立方程组求得x1+x21.【答案】(1)证明:连接A1∵平面ADD1A1⊥平面ABCD∴CD⊥平面ADD∵A1D⊂平面AD∵A1D与A∵CD∩A1D=D,∴AD1⊥平面A1CD∴AD(2)解:以点A为坐标原点,以AD,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,设A1则A(∴设平面PBC的一个法向量为n=(即(2−m)x−y−3z=0∴sinθ=|n又0≤m≤2,∴m=1,即【解析】【分析】(1)连接A1D,利用面面垂直的性质,证得CD⊥平面ADD1A1,得出AD1⊥CD,再由AD1⊥A1D,根据线面垂直的判定定理得到AD122.【答案】(1)解:易知抛物线C的准线l的方程为x=−p过点P作PA'⊥l,垂足为点A所以,|PF|+|PA|=|PA'|+|PA|≥|AA'|=1+p所以,1+p2=2,可得p=2,抛物线C(2)解:若l1与x轴平行,则l1与抛物线C只有一个公共点,不合乎题意,所以,k1设直线l1的方程为x−1=m1(y−a),直线易知k1=1m1(i)因为a=0,且k1k2=−1,所以,不妨设B(x1,y1)、Δ=16m12+16>0恒成立,由韦达定理可得所以,点M(2m12所以,S==22+当且仅当m1所以,△AMN面积的最小值为4

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