数学高考考热点- 近五年高考数学真题专项分类汇编9讲之5-数列、不等式

考点5数列、不等式——五年（2020—2024）高考数学真题专项分类汇编学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．[2023年全国高考真题]记为等比数列的前n项和，若，，则()A.120 B.85 C.-85 D.-1201．答案：C解析：解法一：设等比数列的公比为，由题意易知，则，化简整理得.所以.故选C.解法二：易知，，，，……为等比数列，所以，解得或.当时，由，解得；当时，结合得，化简可得，不成立，舍去.所以，故选C.2．[2023年全国高考真题]记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．答案：C解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则，所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙，所以甲是乙的充要条件，故选C.3．[2022年全国高考真题]图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，.已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则()A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.93．答案：D解析：如图，连接OA，延长与x轴交于点，则.因为，，成公差为0.1的等差数列，所以，，所以，，，即，，.又，所以，所以.所以，解得，故选D.二、多项选择题4．[2022年全国高考真题]若x，y满足，则()A. B. C. D.4．答案：BC解析：由基本不等式可得，，从而.结合题设条件，可得，以及，即，所以选项B和C正确.取，则，且，因此选项A不正确.取，，则，且，因此选项D不正确.故正确选项为B和C.5．[2020年全国高考真题]已知,且,则()A. B. C. D.5．答案：ABD解析：A项,,故A项正确；B项,,因为,所以,所以,所以,故B项正确；C项,,故C项错误；D项,因为,当且仅当时取等号,所以,所以,故D项正确.故本题正确答案为ABD.6．[2021年全国高考真题]设正整数，其中，记，则()A. B.C. D.6．答案：ACD解析：本题考查对新定义的理解.，假设，，…，，中有m个1（），则.又，则，，…，，中也有m个1，则，故A项正确；当时，，，所以，又，所以，故B项错误；，，由A知，，所以，所以，故C项正确；因为，所以，，…，，中有n个1，所以，故D项正确.三、填空题7．[2024年全国高考真题]记为等差数列的前n项和，若，，则_________.7．答案：95解析：因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则.故答案为：95.四、双空题8．[2021年全国高考真题]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么__________.8．答案：5；解析：记对折n次可以得到不同规格图形的种数为数列，依题意有，，对折3次，可以得到，，，四种规格的图形，即；对折4次，可以得到，，，，五种规格的图形，即.于是数列的通项公式为.记对折n次可以得到不同规格图形的面积之和为，依题意有，，，，于是数列的通项公式为.则，所以，两式作差得，.所以.五、解答题9．[2022年全国高考真题]已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且.（1）证明：；（2）求集合中元素的个数.9．答案：（1）证明见解析（2）9解析：（1）证明：设等差数列的公差为d.由，知，所以.由，知，所以，即.故.（2）由（1）知.由知，即，即.因为，所以，解得.故集合中元素的个数为9.10．已知公比大于1的等比数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求.10．答案：（1）（2）解析：（1）设的公比为q.由题设得，.解得（舍去），.由题设得.所以的通项公式为.（2）由（1）可知，则，记，则.11．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，.（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值.11．答案：（1）设等差数列的公差为，则解得所以.（2）结合（1）可知，，则等价于，解得或，又，所以，故使成立的n的最小值为7.解析：12．已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.12．答案：（1）因为2n为偶数，所以，，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，所以，，.（2）当n为奇数时，，所以的前20项和为.由（1）可知，，所以的前20项和为.解析：13．[2024秋·高二·江苏镇江·开学考试校考]记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）证明：.13．答案：（1），（2）证明见解析解析：（1）法一：因为，所以，又是公差为的等差数列，所以.因为当时，，所以，所以，整理得，所以，所以，又也满足上式，所以，则，所以，又也满足上式，所以.法二：因为，所以，又是公差为的等差数列，所以，所以.因为当时，，所以，所以，所以，所以，又也满足上式，所以.（2）因为，所以，所以.14．[2023年全国高考真题]已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，.（1）求的通项公式；（2）证明：当时，.14．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）设等差数列的公差为d.因为，所以，，.因为，，所以，整理得，解得，所以的通项公式为.（2）由（1）知，所以.当n为奇数时，.当时，，所以.当n为偶数时，.当时，，所以.综上可知，当时，.15．[2023年全国高考真题]设等差数列的公差为d，且，令，记，分别为数列，的前n项和.（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求d.15．答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，所以，所以，所以.因为，所以，所以，.因为，所以，解得或，因为，所以.所以的通项公式为.（2）因为，且为等差数列，所以，即，所以，所以，解得或.①当时，，所以，，.因为，所以，即，解得或（舍去）.②当时，，所以，，.因为，所以，即，解得（舍去）或（舍去）.综上，.16．[2024年全国高考真题]设m为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是可分数列.（1）写出所有的，，使得数列，，…，是可分数列；（2）当时，证明：数列，，…，是可分数列；（3）从1，2，…，中一次任取两个数i和，记数列，，…，是可分数列的概率为，证明：.16．答案：（1），，（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（2）证明：当时，删去，，其余项可分为以下3组：，，，为第1组，，，，为第2组，，，，为第3组，当时，删去，，其余项可分为以下m组：，，，为第1组，，，，为第2组，，，，为第3组，，，，为第4组，，，，为第5组，……，，，，为第m组，可知每组的4个数都能构成等差数列，故数列，，…，是可分数列.（3）证明：易知，，…，是可分数列是可分数列，其中.当时，删去，，其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都能构成等差数列，故数列1，2，…，是可分数列，可分为，…，