微观经济学不确定性经典案例

不确定下的选择2021.11申明内容概览Topic1.期望效用理论Topic2.风险躲避Topic3.随机占优Topic4.扩展模型Topic5.主观概率Topic1期望效用理论风险备选项我们之前研究过的消费理论与生产理论中，消费者或者厂商面对的是一个确定性的状态。当一个人面对风险备选项〔选择一个风险备选项意味着选择一个以某种概率获得一个消费向量的可能性〕时如何选择？在进行更多研究前，对风险备选项进行描述是有必要的。很显然，一个风险备选项中每一种可能的消费向量都是消费者可能到达的消费向量。对于风险备选项中每种可能的消费向量的概率，假设是客观且的；如果不知道客观概率，要主观上赋予概率，否那么也就无法进行分析了。风险备选项是分析不确定性的一种标准性的描述工具，彩票用来代表风险备选项：1.可能结果之一，2.概率客观简单彩票N=3的情况复合彩票复合彩票是由简单彩票复合而成的彩票显然，对于任何一个复合彩票，都能找到一个与之等价的简单彩票，只需要令这个简单彩票的概率满足：我们将这种简单彩票称作这个复合彩票的约简彩票在以后进行分析的时候，就可以只分析约简彩票的性质，从而使分析得到简化〔这种想法对吗？〕结果主义假设：结果主义假设：决策者仅关心定义在最终结果上的约简彩票，只要约简彩票相同，两个复杂彩票就相同——在以后的讨论中，只要存在客观概率，这一假设就成立。备选项集合的偏好关系：连续性开集：设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为球心的小球包含于A，那么称A是度量空间X中的一个开集闭集：是指其补集为开集的集合。由此可以引申在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。独立性独立性牛肉比羊肉好但牛肉＋泡馍一定比羊肉+泡馍好吗？期望效用函数在命题中说明，效用函数的形态〔是否是线性的〕与其是否具有期望效用形式等价期望效用函数期望效用函数的线性变化期望效用函数的线性变化这个命题的意义在于：对于一个有期望效用函数的效用而言，效用的差异不会随着期望效用函数发生递增的线性变化而变化。这一性质说明期望效用性质是定义在彩票空间上效用函数的基数性质期望效用定理我们可以想象N=3的情况：不是直线的无差异曲线是直线但不平行的无差异曲线平行直线的无差异曲线意味着期望效用函数形式证明参考教材证明期望效用定理证明期望效用定理证明期望效用定理证明期望效用定理证明期望效用定理期望效用理论的价值L与L’差异很小，但如果在L与L’连线上有L“，那么就能判断L与L’间存在一条无差异曲线，那么就能判别两者之间的优劣〔例1：内省的可能〕阿莱斯悖论：阿莱斯悖论阿莱斯悖论意味着独立性公理不存在，期望效用函数理论自然也不存在解释期望效用理论是一种理性的理论，而阿莱斯悖论的情况仅仅是人们不理性的结果，在这种情况下应该用理论来修正个人的决策错误，而非用个人的错误证明理论是错的阿莱斯悖论的情况仅仅是一种不合常规且概率接近0，1的特殊情况，不具备一般的意义〔所以，作为一般性的理论不需要考虑这些特例〕认为人对不确定性的决策其实很复杂，期望效用理论描述了一局部情况，而最终的决策却是多种情况混合后的结果。通过引入“懊悔〞的概念就可以解释阿莱斯悖论〔前一种情形选到0时懊悔会更大，所以综合期望效用和懊悔两个因素后，就会做出阿莱斯悖论中的选择〕放弃独立性公理，代之以更一般的假设马金纳悖论假设人们可以面对三种情况，去威尼斯，看关于威尼斯的电影，呆在家里正常的选择顺序是：去威尼斯，看电影，呆在家里如果有两个彩票：去威尼斯+0.01去看关于威尼斯的电影去威尼斯+0.01呆在家里显然，独立性公理意味着第一种彩票是更好的，但是，如果引入“失望〞的概念，就会发现，如果去不成威尼斯，看关于威尼斯的电影可能会引发失望的情绪，以至于不如呆在家里，所以，选择第二种彩票也是很正常的。在这里，“失望〞跟阿莱斯悖论中的“懊悔〞一样，都让人可能做出不符合独立性公理的选择不依赖独立性公理会怎么样？市场会淘汰不按照独立性公理选择的人？如果市场上存在荷式交易，那么不按照独立性公理选择的人就会输钱假设有彩票，但有，那么，最初如果消费者有简单彩票，为了获得复合彩票，消费者会支付一些钱，但在复合彩票的一局部被兑现后，消费者又会支付一些钱，把彩票换成简单彩票，但实际上消费者除了多付了一些钱之外，没有任何的改善，因此，这样的消费者会被淘汰理论上，试图用凸性劣集合代替独立性公理这种替代要比独立性公理更普遍，而且也能得到一定的结论引致偏好引致偏好指的是由事前的行动而导致的偏好，比方，如果吃鱼就偏好白葡萄酒，如果吃肉就偏好红葡萄酒。很显然，对红葡萄酒和白葡萄酒的偏好实际上是根据吃什么而产生的，那么如果不知道吃什么，实际上也就不知道对两种葡萄酒偏好哪一个。但问题是，我们假设中的偏好本不应该是依赖事前行动的结果的，否那么很多问题就难以解释事前行动结果的不确定性可能会导致选择的不确定性〔这也是不确定性分析的一个重要组成局部〕Topic2风险躲避风险躲避定义在确定数量的货币上的效用函数u(·)为伯努利效用函数〔其实就是马斯克莱尔教材中对这一类特殊的期望效用函数的叫法〕詹森不等式风险躲避意味着：〔詹森不等式〕风险躲避风险中性满足詹森不等式意味着伯努利效用函数为凹函数，即风险躲避者的效用函数为凹函数，严格风险躲避意味着严格凹函数。这也意味着货币的边际效用是递减的。〔如果是线性的，那么消费者是风险中性的〕分析风险躲避程度的方法风险躲避的等价形式应用2：风险资产风险躲避的度量

前述的理论只是指出消费者风险偏好的类型，没有提及风险偏好的度量问题，需要找到新的指标，对风险偏好进行度量想来用u(·)在某点的曲率来描述在改点的风险厌恶程度，是一个可行的方法，但u的二阶导数会因为u的线性变化而变化，所以用u的一阶导数来单位化〔其实用u也可以〕，因为二阶导数为负，取负号之后，就可以通过比照该系数大小来进行比照了绝对风险躲避系数的另一个解释考虑概率溢价的定义：对此等式中的进行两次微分，当趋近于0的时候，有：即：这意味着：x点的风险躲避系数越大，在x点发生微小不确定性所产生的概率溢价变动速度越快，这也意味着对于同样的，消费者要求的概率溢价也就越大，这就说明，消费者在x点的风险厌恶程度也就越大不同个体之间的比较下述表述都说明u2比u1具有更大的风险躲避态度〔i〕和〔ii〕的证明根据〔ii〕的描述，令，其中是递增的凹函数等式两边对x求导，可以得到：由于，这样，可以得到：由于是递增的〔一阶导数为正〕凹函数〔二阶导数为负〕，所以不同财富水平的比较 比较不同财富水平的风险躲避，可以通过考虑在不同财富水平上变化同样大小的财富，相当于是比较u1(z)=u(x1+z)和u2(z)=u(x2+z)的风险躲避程度 递减绝对风险躲避意味着随财富增加，消费者的风险躲避程度将下降关于递减绝对风险躲避的等价表述递减绝对风险躲避的等价表述是：相对风险躲避系数在关于不同财富水平下风险躲避程度的讨论中，我们对于财富发生同比例变化时产生的风险躲避态度会感兴趣〔百万和亿的身家的人对于五十万的不确定性所抱有的风险躲避态度不一定说明两种情况下的真实情形，但五十万的变动与五千万的变动，就能充分说明不同财富水平下真实的风险躲避态度〕为做到这一点，假设，令t=1，此时，我们从绝对风险躲避中知道，在t=1这一点上，风险躲避态度可以用刻画，这样，在t=1附近的微小变动下有显然，相对风险躲避系数是一种更强的概念，递减相对风险躲避系数意味着递减绝对风险躲避系数递减相对风险躲避的等价表述讨论时间：你如何安排你的养老资金Topic3随机占优随机占优与期望效用函数在上一节内容中介绍的风险躲避系数、确定性等价、概率溢价等内容实际上是在讨论期望效用函数〔U(·)〕的差异问题随机占优实际上比较的是不同彩票支付的分布函数〔F(·)〕，并以此作为依据，在不同彩票间进行选择：如果一种彩票收益的分布函数F(·)毫无疑问的给出了比另一个G(·)更高的收益，那么，就可以在两种彩票之间做出区分如果一种彩票收益的分布函数F(·)比G(·)风险更小，也可以以此作为理由对彩票进行区分想想马克维茨的资产组合理论在本节的讨论中，我们假定F(0)=0，且对于某一个x，有F(x)=1一阶随机占优什么是分布F(·)比分布G(·)有更高的收益？每一个认为多比少好的期望最大化者均认为分布F(·)比分布G(·)好对于任一单位的货币，在分布F(·)下比分布G(·)下获得该单位货币的概率大两者意味着同样的情况吗？一阶随机占优定义是从数量的角度〔多比少好〕做出定义令u(x)=x，可见F下预期更多命题意味着两者代表相同情况关于命题的理解命题证明从略一阶随机占优并不意味着：优分布的每个可能收益均大于劣分布的每个可能收益，在右图中，优分布与劣分布的可能收益是完全相同的分布F(·)一阶随机占优于分布G(·)，意味着在分布F(·)下，x的期望值要大于分布G(·)，但这并不意味着如果在分布F(·)下，x的期望值要大于分布G(·)，分布F(·)一阶随机占优于分布G(·)，根据定义，一阶随机占优意味着优分布的位置要全面的低于劣分布从劣分布导出一个优分布例的一个特例：从劣分布到优分布的分布形态二阶随机占优二阶随机占优的出发点与一阶随机占优的出发点不同，二阶随机占优试图通过比较分散度或风险来比较两种彩票的优劣。在金融学中关于风险定价的理论中，风险与收益可以建立替代关系，但在二阶随机占优的研究中，为了说明问题，姑且假设两个彩票的预期收益都是相同的在此情况下〔两种彩票预期收益相同〕，如果一个风险躲避者更偏爱哪一种彩票〔风险小〕，哪一种彩票就是二阶随机占优的一阶随机占优与二阶随机占优在定义上的差异是否具有相同期望值〔一阶随机占优显然不同〕U是否是凹函数显然，如果F二阶随机占优于G，那么，F也一阶随机占优于G期望保持扩张：从优分布导出一个劣分布期望保持扩张微小风险增加：从优分布到劣分布的另一种方法二阶随机占优的等价形式让我们来看看(iii)，我们不妨假设有一个很大的x(所有可能值中最大的那个)，就有F(x)=G(x)=1，那么根据分部积分法即前页图中面积A=面积B。那么进一步的，可以看出，在小于最大值时讨论：十八届三中全会Topic4扩展模型为什么要进行扩展回忆我们在定义期望效用函数、讨论风险偏好、以及随机占优等问题的时候：我们讨论的实际上是能够在未来带来某种可能性收入的彩票我们并没有考虑除收入以外的不确定性，也没有考虑造成收入差异的原因因此，我们既有的理论对不确定性的解释是比较有限的，从工作的选择问题上，我们就可以对原有的理论产生疑心：为什么选择公务员、事业单位等等，为什么希望要北京户口等等，这些工作的货币收入并非最高为什么回避从事危害健康的行业，为什么不愿意远离家乡，等等在这局部的学习中，我们将对之前关于不确定性的理论进行扩展不确定性的自然状态描述一些随机的结果可能要比货币支付能更好的描述风险备选项，比方色子的点数、转盘的数字等等〔信息比货币支付更全面〕，这些随机结果可能成为影响支付的原因统计学里：随机变量〔randomvariable〕表示随机现象〔在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象〕各种结果的变量〔一切可能的样本点〕随机变量例如轮盘赌博，如果有同样的点数代表同样的支付，就会出现这样的问题〔转三次给一个支付〕扩展的期望效用表示该定义描述了每种状态下一个不同的函数us(·)(而不仅是定义在货币数量上的伯努利效用函数)扩展