专题04 巧用中点解决几何问题（原卷版）

专题04巧用中点解决几何问题一、【知识回顾】方法与技巧：中点问题常见辅助线做法①遇到三角形边上的中点，考虑构造三角形的中位线②遇到直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边的中线性质③遇到等腰三角形底边的中点，考虑等腰三角形“三线合一”的性质④遇到中点+垂线，角平分线+垂线，考虑垂直平分线的性质⑤遇到面积类型题，考虑三角形中线平分面积⑥遇到线段数量关系，考虑倍长中线构造全等三角形二、【考点类型】考点1：构造三角形的中位线典例1：（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）如图，中，，点E是的中点，若平分，，线段的长为（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【变式1】（2022秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学统考期末）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】（2022春·全国·八年级假期作业）已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．求证：（1）；（2）和互相平分．【变式3】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．考点2：直角三角形斜边的鹅中线典例2：（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在一块含角的三角板（）的顶点处作，垂足为．在的右侧作使，连接，的延长线交于．设，，则下列式子成立的是（

）A． B．C． D．【变式1】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【变式2】（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（

）A．+1 B．+2 C．2+2 D．2+3【变式3】（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．考点3：等腰三角形三线合一性质典例3：（2023秋·江西南昌·八年级统考期末）如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．(1)若，求的度数；(2)若点F是的中点，求证：．【变式1】（2020·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA=3，则外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等；②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（）A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．考点4：垂直平分线性质典例4：（2022·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则DE的长为（

）A． B．2cm C． D．【变式1】（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为__．【变式2】（2020·江西·统考中考真题）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．【变式3】（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于、．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求菱形的周长．考点5：中线平分面积典例5：（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（

）A． B． C． D．【变式1】（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【变式2】（2021秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（

）A．1.5 B．3 C．4.5 D．6【变式3】（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在平行四动形纸板中，点，，分别为，，的中点，连接，，．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为________．考点6：倍长中线，构全等典例6：（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（2021秋·河南信阳·八年级校考期中）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且，若，，则______，线段AB的长度______．【变式3】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________．巩固训练一、单选题1．（2020秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，则AF的长度为（

）A．1 B．1.5 C．2 D．32．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（

）．A．2 B． C． D．33．（2021春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则▱ABCD的对角线AC的长为（）A． B．5 C．5 D．24．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应、3，作腰长为4的等腰，连接，以O为圆心，长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（）A． B．4 C． D．2.55．（2023秋·广东惠州·八年级校考期末）如图，在中，，于点，为的中点，为上一动点．若腰上的中线长是3．则周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．76．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，，点D是BC的中点，将沿AD翻折得到，连结BE，则线段BE的长为（）A．2 B． C． D．7．（2023秋·四川雅安·九年级校考期中）如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点，连接，，且，，则的长是（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接BD，若，，则线段的最大值为（

）A． B． C．3 D．49．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在中，中线、相交于点O，连接，则的面积与的面积比是（）A． B． C．2 D．410．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形中，与不平行，，分别是、的中点，，，则的长可能是(

)A．4 B．6 C．8 D．1011．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正中，，，连接，若M、N分别为线段、的中点，则线段的长度等于（）A． B． C． D．312．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形中，，点E、F分别是边的中点，连接，则的长是（）A． B．5 C． D．1013．（2022秋·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，射线射线CD，与的平分线交于点E，，点P是射线AB上的一动点，连结PE并延长交射线CD于点给出下列结论：是直角三角形；；设，，则y关于x的函数表达式是，其中正确的是

A． B． C． D．14．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（）A． B． C． D．15．（2023春·八年级课时练习）如图，在ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延长BD到F，使DF＝DB，连接CF，过点C作CD⊥BF于点D，BD＝16，AC＝22，则边BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．12二、填空题16．（2020·天津·中考真题）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．17．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是_____．18．（2022春·九年级课时练习）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．19．（2022·天津·统考中考真题）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于___________．20．（2021·甘肃武威·统考中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________．21．（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为__．22．（2022秋·九年级单元测试）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点的坐标为______．24．（2023秋·江西宜春·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．26．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．27．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．28．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．29．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别为BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是_____．30．（2022春·江苏无锡·七年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在中，点D在BC上，点E是AD的中点，点F在BE上，且，若，则________．三、解答题31．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；(3)求证：CE＝AB．32．（2021春·广西南宁·八年级南宁市第四十七中学校考期中）已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.33．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．34．（2022·山西朔州·八年级校考期末）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在中，，，则．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为_________．（2）