2023年高考数学一轮复习 金版教程 文档 第一部分 单元质量测试题及答案(9份)

单元质量测试（一）

时间：120分钟骑满分：150分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（2021・广东省仲元中学、中山一中等七校联合体高三第一次联考）设集合

4二{1,2},则满足AU8={1,2,3}的集合B的个数是（）

A.1B.3C.4D.8

答案C

解析A={1,2）,AUB={1,2,3）,则集合B中必含有元素3,即此题

可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22=4个.故

选C.

2.（2022•东北育才学校高三第一次模拟考试）命题“mxER,f-xWO”的

否定是（）

A.f-xWO

B.Vx£R,f-xWO

C.3xeR,f-x>0

D.Vx^R,x2-x>0

答案D

解析因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题x2

-xWO”的否定是“Vx£R,.

3.（2021・湖湘名校联合体高三摸底）设全集U=AUB={x\-l^x<3}tAf}

（iuB）={x\2<x<3},则集合3=（）

A.{x|-1^x<2）

B.-|-1WXW2}

C.{x\2<x<3]

D.{x|2<x<3}

答案B

解析根据U=AUR知，图中阴影集合为{x|2<r<3},从而B={x\-

l〈xW2}.故选B.

4.(2021・新高考八省联考)关于x的方程f+办+匕=0,有下列四个命题：

甲：x=l是该方程的根；乙：1=3是该方程的根；丙：该方程两根之和为

2；T：该方程两根异号.

如果只有一个假命题，则该命题是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

答案A

解析若甲是假命题，则乙、丙、丁是真命题，则关于工的方程/+双十。

=0的一根为3,由于两根之和为2,则该方程的另一根为-1,两根异号，符合

题意；若乙是假命题，贝IJ甲、丙、丁是真命题，则工=1是方程f+仪+匕=0的

一根，由于两根之和为2,则另一根也为1,两根同号，不符合题意；若丙是假

命题，贝IJ甲、乙、丁是真命题，则关于x的方程f+以+。=0的两根为1和3,

两根同号，不符合题意；若丁是假命题，则甲、乙、丙是真命题，则关于工的方

程/+双十8=0的两根为1和3,两根之和为4,不符合题意.综上所述，甲为

假命题.故选A.

5.(2022•河北正定中学高三开学考试)已知集合M={y|)，=2'+1,xGR),集

合'={戈|一%2+5工+6>0},贝IJMAN=()

A.(-2,3)B.(0,6)

C.(6,+8)D.(1,6)

答案D

解析由题意知，M={y|y=2#+1,xGR)={y|y>l),N={x|+5x+6>0}

={x*-5x-6<0}={x\(x-6)(x+l)<0}={x\-l<x<6),所以MCN=

{x|l<x<6}.故选D.

6.(2021.湖南省长沙市长郡中学高三月考)设函数於)=x+log2x-”则"函

数於)在&4)上存在零点”是“加£(1,6)”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由函数兀0=x+log»-m在区间(0,+8)上单调递增，且火幻在七,4)

上存在零点，知娟二-1-/H<0,X4)=6-/w>0,解得-乂〃<6,故“函数府)

在&4)上存在零点”是“旌(1,6)”的必要不充分条件.故选B.

7.(2022.上海交通大学附属中学高三上开学摸底考试)已知M,N,PGR,

M={<x)=0},N={x|g(x)=0},P=«Jt)g(x)=0},则集合尸恒满足的关系为

()

A.P=MUNB.

C.P=0D.PQ(MUAO

答案D

解析P是否为空集不确定，所以B,C不确定是否止确；由。£尸,则火/g(a)

=0,因此负。)=0或g(a)=O,即或所以〃£MUN,PQ(AfUTV)；

x-2

但Q£MUN时，可能有。那，例如危)=x-l,g(x)=--leM,H/V,

x-i

UN,侔P,所以PWMUN,A不能确定一定正确，只有D正确.故选D.

8.(2022・湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)已知直线2x-y+m=0^

圆。：f+)2=4相交于4,B两点，则“加二«而”是“O4OB=0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析设4加，yD,Bg闻，联立

2x-y+fn=O,

’o化为5f+4如+用2-4=0,/.J=16nr-20(w2-4)>0,解

「V9+V=4,

4〃2加2—4

,

得病<20,「㈤+X2=-亍，x\X2=--,,.OAOB=Ot..xiX2+yiy2=0,：.(2x\

加2_4(4哈

+nz)(2x2+w)+xiX2=0,/.5xiX2+2/n(xi+Jt2)+w=0,.,.5X~~

―►-►

+n?2=0,解得，〃=AT5,符合病<20,贝I]“机=®"是“。4。8=0”的充分

不必要条件.故选A.

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分)

9.设集合A={y仅=_0+4},3={9y=lgKx+2)(3-j)]},则下列关系正

确的是()

A.BQAB.AC\B=0

C.[RAG[R8D.A

答案AC

解析由题意，得4={非<4},B={x|(x+2)(3-x)>0]={x\-2<x<3},所以

BGA,ACIB=BW。；[RA={)，仅24},[R8={4r4-2或％23},所以[RAU[RR

[RBCA.故选AC.

10.(2021♦广东普宁七校第一次联考)下列四组条件中，，是q的充分条件的

是()

A.p:a>b,q:a2>b2

B.p\加+力2=c为双曲线，q：ab<0

C.p:a>b,q:2a>2b

cb

D.p:ar+bx+c>Q,q:+~+a>0

答案BC

解析A中，〃不是g的充分条件，也不是必要条件；B中，〃是4的充分

条件，不是必要条件；C中，〃是g的充要条件；D中，〃是q的必要不充分条

件.

H.下面几个命题中，是假命题的是（）

A.若a>b,则2a>2-

B.“Va£（O,+8）,函数>在定义域内单调递增”的否定

C.Tt是函数y=sinx的一个周期

D.“/+产=0”是“孙=0”的必要条件

答案CD

解析若心仇则2。>2力28-1,故A是真命题；“Va£（O,+8）,函数

>=出在定义域内单调递增”的否定为“三。£（0,+oo）,函数y=出在定义域内

不单调递增”，故B是真命题，例如。时，函数在R上单调递减；因

为函数y=sinx的最小正周期是2兀，所以，是函数》=5吊/的一个周期”不正

确，故C是假命题；/+产=（）=孙=0,反之不成立，因此“/+产=0”是“打

二0”的充分不必要条件，故D是假命题.故选CD.

12.（2022•山东临沂模拟）下列命题中，是真命题的有（）

A.已知非零向量%b,若|0+加=|0—加,则。

B.若p：Vxe（0,+8）,x2-1>lnx,贝卜p:3xe（0,+~）,f-iWlnx

C.在△ABC中，“sinA+cosA=sin8+cos8”是“A=B”的充要条件

D.若定义在R上的函数尸危）是奇函数，则了=用2）也是奇函数

答案ABD

解析|0+臼=|°一"左右两边同时平方，可得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2

=4•力=0=a_L5,A正确；对于B,全称量词命题的否定是存在量词命题，B正

确；当。=90°时，sin4+cosA=sin8+cos8成立，此时A=8不一定成立，C

错误；由奇函数的性质，可知欢-1））二4-次幻）=-加U））,D正确.故选ABD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设集合人=口4-叙-5<0}^为自然数集,则40?4的真子集有

个.

答案31

解析Vx2-4x-5<0,.,.（X-5）（x+1）<0,解得一l<x<5,.,.A={x|x2-4x-

5<0}={x\-l<x<5]t/.AnN={0,1,2,3,4},AflN中有5个元素，故AHN

的真子集有25-1=31个.

14.（2022•福建泉州模拟）已知p：Iog2（l-x）v0,q：x>a,若，是q的充分

不必要条件，则实数。的取值范围是_______.

答案（-8,01

解析p:log2（l-x）<0,所以Ovl-xvl,解得Ovxvlq:若〃是

4的充分不必要条件，则々W0.即实数。的取值范围是（-8,0].

15.（2021•山西长治高三月考）设U为全集，对集合X,Y,定义运算“*”:X*.

二[贝乂0丹.对于集合〃={1,2,3,4,5,6,7,8},X={1,2,3},/={3,4,

5）,Z={2,4,7},则（X*F）*Z=.

答案{1,3,5,6,8）

解析由于U={1,2,3,4,5,6,7,8},X={解2,3},丫={3,4,5）,

Z={2,4,7},则xny={3},由题中定义可得x*y=[u（xnyo={i,2,4,5,

6,7,8},贝ijCu（xny）nz={2,4,7）,因此（x*y）*z=[“（u（xcy）GZ]={i,3,

5,6,8},故（X*y）*Z={l,3,5,6,8（.

16.（2022•河南三门峡高三模拟）已知曲线C:段）=《7,直线/:y=ar-%

则“。二是“直线/与曲线c相切”的条件.（填“充分不必

要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”）

答案充分不必要

解析/（x）=3^-l,直线/:），=»-〃过点（1,0）,曲线C也过点（1,0）,

若直线/与曲线C相切，设切点的横坐标为次,则切线方程为丁二（3/-1）X-24,

①"1=%fxo=l,刈=-5，1

则2解得或〈|所以“好-7是“直线I与曲线C

r="4s

相切”的充分不必要条件.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

17.（2021・上海松江区月考）（本小题满分10分）已知集合A={-4,2a-l,

2

a},B={a-5f1-a,9},分别求满足下列条件的〃的值.

（l）9e（ADB）;

（2）{9）=AHB.

解（l）・.・9£（ang）,..9£N且9£A,

「.2。-1=9或次=9,.,"=5或。二±3.

检验知。=5或。=-3.

（2）V{9}=AnB,.,.9e（AnB）,

「.a=5或〃=-3.

当〃=5时，A={-4,9,25},B={0,-4,9）,此时AA3={-4,9},

与AA8={9}矛盾，故舍去；

当。二-3时，A={-4,-7,9},B={—8,4,9）,ACB={9},满足题

意.

综上可知，a--3.

18.（2021•广东湛江高三期中）（本小题满分12分）设全集是R,集合

-2x-3>0},B={x\\-a<x<2a+3}.

（1）若。=1,求（［RA）AB;

（2）问题：已知求实数。的取值范围.

从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.

®AC\B=B;②AU8二R;③4n8=。.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解⑴集合A={Rf-Zr-BAOl{加<-1或Q3},

UR/4={x|—1WxW3},

若〃=1,则R={x|0<x<5},

.­.(CRA)AB={x[0<rW3}.

(2)选①：AHB=B,贝驻A.

2

-

3

b.当BW。时，则有

1—2a+3,1—a<2a+3,

“或，

,2o+3W-1.1-a23,

此时，两不等式组均无解.

2-

-

综上所述，所求实数。的取值范围是1-8,3-

-

选②：4U8=R,由于8={川1一。令<2。+3},

1-«<-1,

则有c。.解得〃>2,

故所求实数。的取值范围是(2,+8).

选③：408=0,由于8={龙口一〃4<勿+3},

2

-

a.当8二。时，则有「。22。+3,即3

1-a<2a+3,

1-心-1,

{2。+3s3,

2

解得-铲。WO.

综上所述，所求实数。的取值范围是(-8,0].

19.(本小题满分12分)已知命题p:函数兀0=加+以+2有零点；命题q:

7T

函数7U)=sin/在区间(0,〃)内只有一个极值点.若和q均为真命题，求实

数。的取值范围.

解若函数於)=o?+4x+2有零点，

贝|J〃=O或/=16—8。20,即。<2;

函数"E)=sin全的周期7=4,

7T

若函数yu)=sin舛在区间(0,。)内只有一个极值点，

则乎,即lvaW3.

,「Y和4均为真命题，，P假^真，

4>2,

贝此—即2v〃W3.

.•.实数。的取值范围是(2,3],

20.(2022•山东德州高三模拟)体小题满分12分)已知全集。二凤集合A=

{x\-4<x<3},B={xlx2-2mx+m2-1^0},C={x\\x-m\>2}.

(1)若m=1,求AAB；

(2)在①②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并给出

解答.

问题：已知〃：x£A,q；.若丑是〃的充分不必要条件，求实数

机的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)当川二1时，不等式x2-2尔+川-120化为f-2x20,

解得xWO或x22,

.・.8={1枚辽0或122},

又A={x|-44W3},

：.AC\B={x|-4<良0或2«}.

(2)若选择条件①：

.「F是〃的充分不必要条件，.YRBA,

由x2-2mx+m2-120,得x^m-1或x^m+1,

贝ljB={x|x<机-1或m+1},

CRB=(m-1,m+1),

从而(加-1,根+1)(-4,3],

加一12-4

即-3WmW2.

m+1《3,

故实数小的取值范围为[-3,2],

若选择条件②：

是P的充分不必要条件，...IRC4,

由|x-m\>2,得x<m-2或x>m+2,

C={j^x<m-2或x>m-2},

CRC=[m-2tzn+2],

从而[m-2,m+2](-4,3],

in-2>-4

即

机+2W3,

故实数机的取值范围为(-2,1].

21.(本小题满分12分)设p：实数x满足r-4奴+3/<0,q：实数工满足

x2-6x+8<0.

(1)若。=1,且，和夕均为真命题，求实数X的取值范围；

(2)若心0,且是丑的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

解(1)由x2-4ov+3层<0得(x-3〃)(不一。)<0,

当。=1时，K3,

即〃为真时，实数工的取值范围是(1,3).

出/-6x+8<0,解得2<x<4,

即夕为真时，实数x的取值范围是(2,4).

故实数x的取值范围是(2,3).

(2)由f一4OY+3〃2<0得任一3〃)。-4)<0,

又〃>0,所以〃

若「〃是F的充分不必要条件，

贝且#Y，所以4=p,

且p#q,即9是〃的充分不必要条件.

设A={x|a<r<3a},B={x|2<x<4),

贝IJBA,

4

所以且〃W2,解得

_4

-2

所以实数。的取值范围是3

一

22.(本小题满分12分)已知集合M是满足下列性质的函数/U)的全体：在

定义域。内存在xo,使得於。+1)=段。)+川)成立.

(1)函数是否属于集合M?说明理由；

(2)若函数式］)=依+6属于集合M,求实数&和b的取值范围；

(3)设函数段)=1g工］属于集合M,求实数a的取值范围.

解(1)假设人r)二:属于集合M

若根据题意得。=(-8,0)U(0,+8),

则存在非零实数如，使得士=5+1,

X0+14U

gpJ^+XO+1=0,因为/<0,

此方程无实数解，所以函数不属于集合M.

(2)若函数,/«二丘+b属于集合M,则D=R,存在实数刈，

使得k(xo+})+b=kxo+b+k+b,

解得匕二0,

所以实数上和人的取值范围是。二。

(3)由题意，得。>0,D=R.

存在实数孙使得lg(W+1)2+1=lg焉+lgf.所以(x°+；)2+1=

2(4+1)5

化简得(a-2)xo+2axo+2a-2=0.

当。二2时，次=符合题意.

当。>0且aW2时，

由420,得4/一8（〃一2）（〃一1）20,

化简得〃2一6〃+4W0,

解得。£[3-/，2）U（2,3+悯.

综上，实数。的取值范围是[3-小，3+#].

单元质量测试（二）

右时间：120分钟嗓满分：150分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若。，乩c为实数，且。<*0,则下列结论正确的是（）

A.a（r<b（?B.

ba同也|

rC.>7D.>

abcc

答案B

解析・・・c为实数，.•.取C=O,得分=0,儿2=0,此时。/二A2,故A错

11b-ab-a11

误；a~b=~aT1，-，^<0,.-.b-a>0,ab>0,•即/石，故B正确；

•・•〃<*（）,.,.取。二-2,/?=-1,贝碌:二^二T，f=2>此时^学，故C错误；

・・7<乃<0,.•・间>|如当cvO时,号v”,故D错误.故选B.

2.（2022・辽宁大连模拟）若"cdvO,且。>0,b>c,J<0,则（）

A.b<0,c<0B.b>0,c>0

C.b>0,c<0D.OvcvZ?或cvbvO

答案D

解析由。>0,J<0,且aOcdvO,知机•>（）,又b>c、.'.Ovcv力或cvb

<0.

3.若，心心0,p<q<0,则一定有（）

mnmn

A.->-B.-<-

qpqp

mninn

C.—>-D.—<-

pqpq

答案B

解析由心心0,p<q<0,可得闭>1川>0,lpl>l切>0,所以,唠,p

；彳均为负数，所以齐%而彳与泰的大小无法比较.故选B.

4.（2022•海南模拟）若打0,则关于x的不等式x2-4d-5〃2>0的解集是（）

A.{小<5。或1<-。}

B.{X|A>一a或x<5a}

C.{x|-a<x<5a}

D.{x|5a<x<-a］

答案B

解析依题意~-4以-5a2=（x-5a）（x+4）>。，由于〃v0,故5〃v-。，所以

原不等式的解集为3上>-。或］<5a}.故选B.

14

5.（2021•广东珠海高三模拟）已知正实数a,〃满足a+力=2,贝叮+片［的

最小值为（）

A.373B.4C.272D.3

答案D

解析・・・。+8=2,.•.a+b+1=3,于是整合得5+舟=（〃+?+

卜+"舟-322^^+2y9+1）舟一3=2+4—3=3,当且仅当a

14

时取等号，于是；;十广％的最小值为故选

=b=la。十I3•D.

6.若关于x的不等式⑪-从0的解集是（1,+8）,则关于x的不等式（〃龙

+与。-3）>0的解集是（）

A.(-8,-l)u(3,+8)

B.(I,3)

C.(-1,3)

D.(-8,1)U(3,+oo)

答案c

解析关于x的不等式以-*0的解集是(1,+8),即不等式orG的解集

是(1,+8),：.a=b<0,不等式(or+份。-3)>0可化为(4+1)。-3)<0,解得

-14<3,.•.所求解集是(-1,3).

7.(2021•湖南郴州高三月考)函数y=(R-3女+2)f+/+l)x+2,不论x取

何实数，函数的值恒为正数，则实数攵的取值范围是()

A.(-8,])u(2,+8)

B.(1,3)

C•(-8,|jU(3,+8)

D.(-8,多u(2,+8)

答案C

解析①当9-34+2=0时，有左=1或％=2.当左=1时，y=2x+2t不符

合题意；当女=2时，y=3x+2,不符合题意.②当F-3Z+2W0时，若对任意

x£R,函数的值恒为正数，

炉-3攵+2>0,

贝/

U=(&+1)2-8(公-3女+2)<0,

右一3%+2>0,5

即品-26n6。，解得吃或人.故选C.

8.(2022•银川模拟)在平面直角坐标系中，4(-4,0),5(-1,0),点尸(出

份("NO)满足HP|=2\BP\,则*+表的最小值为()

39

4B3C--

A.2D.4

答案D

解析•••点P3,3("W0)满足|AP|二2|BP|,.•.依砰=4|8砰，即(〃+4+力2

=4[(a+l)2+Z>2],化简得。+从=4,则.+/)d+/)=4+1+攀+方>5+2

419

=5+4=9（当且仅当心2b2二5时等号成立）,n+7-

34

故选D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分）

9.（2022.广东汕头质检）设凡b,c为实数且公仇则下列不等式一定成立

的是（）

A.日B.2022,f1

C.Ina>\nbD.«（c2+1）>Z?（c2+1）

答案BD

解析对于A,若则另，所以A错误；对于B,因为〃30,所

以2022。-匕1,所以B正确；对于C,函数y=的定义域为（0,+-）,而。,

力不一定是正数，所以C错误；对于D,因为d+l>0,所以以02+1）>伏»+1）,

所以D正确.故选BD.

10.（2022•江苏南京外国语学校上学期月考）已知关于x的不等式ax2+bx+

c>0的解集为{X|24<3},则下列说法正确的是（）

A.a>0

B.a+b+c、<0

C.不等式ex2-云+。<0的解集为卜卜-聂

c2+4

D.工工•的最小值为6

答案BCD

解析A选项，依题可得函数y=加+辰+。的图象开口向下，与X轴交点

的横坐标为2,3,故A错误；B选项，依题可得当x=l时，函数值小于0,即

a+h+c<0,故B正确；C选项，因为yud+hx+c开口向下，与'轴交点的

b

a即产一5%且QV0,所以不等式c/一床+"0

横坐标为2,3,所以1

[c=6a,

解集为；工卜<一义或Q-斗，故C正确;

可化为+5”+。<0,即+5x+1>0,

c2+49a2+1(1A/7~f\

D选项，了方二一二-二(一9。)+卜巨(-9々)卜力6,当且仅当一

9a=_：,即。=-；时取等号，故D正确.故选BCD.

11.已知。，人为正实数，则下列命题正确的是()

A.若♦一庐=1,则a-bv1

B.若±，=1,贝lja-b<1

C.若e“-e，=l,则a-bvl

D.若lno-ln/?=l,贝Ija-bvl

答案AC

,

解析当a?一方2=10M,(tz-b)(a+b)=1,'/a>0,Z?>0,.t.0<a-b<a+bf

1113

-

当

4--A=<_-=时3b=

a+-a4

9

-

a=4故B错误；由^一^=1,可得e。->〃一9=1)=1,'：b>

0,:.e-b-1<1,即即r<2,.\«-/?<ln2<lne=1,故C正确；不

妨取。=e2,6=e满足条件，贝Ija—b=e2—e>l,故D错误.故选AC.

12.（2021•河北张家口第一次模拟）已知介0,b>0,且2a+泌=1,贝lj（）

A.3"此>乎B.W+2也£1

C.Iog2t/+log2^<-6D.a2+16户

答案ABC

解析对于A,因为。>0,b>0,且2a+助=1,所以2。-昉=2。-（1-2々）

=4a-l>-l,所以32"8~-】斗所以3…〃若，故A正确；对于B,（回+

V8^）2=2a+8b+2yj2a-8b=1+272a.8bW1+（2〃+8份=2,所以回+相忘也，

当且仅当2〃=池即。=（,分=七时取等号，故W+2的<1,故B正确；对于

（2a+8砰，-1

C,log22<z+Iog28/?=Iog216ab<log?!——I二一2,当且仅当2々=8乩即〃=不

b=而时取等号,故log22〃+log28b=1+log2fl+3+logzbW-2,得logza+log2b

<-6,故C正确;对于D,已知心0,b>0,且2a+昉=1,所以（2a+8力户&2（2赤

+2（88）2,即1W8〃2+128庐，则〃2+16户当且仅当2a=防，即a=b=^j

o410

时取等号，故D错误.故选ABC.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（2021•北京西城区期末）已知三个不等式：①而>0;②③bc>ad.若

以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论，则可以组成个正确命题.

答案3

cdbe-ad

解析将不等式②等价变形，£力=一茄一>（）.由而>0,bc>ad,可得②成立,

……be-ad……be-ad

即①@=②；若必>0,—^―>0,贝IJ尻>〃/,故①@=③；若bc>ad,—^―>0,

则">0,故②③0①.所以可以组成3个正确命题.

14.（2021•河北唐山一中模拟）已知〃>1,於0,且—7+1=1,贝IJ〃+b的最

小值®•

答案5

解析,Z?>0,且r+T=1,.ci+b—（1—1+Z?+1=（tz—1+

a-I"

ci—\b

丁•二T=5（当且仅当

=b,即。=3,人=2时取等号）.

2-ax+x1

15.（2022.厦门模拟）当且仅当。£（如〃）时，­<3对x£R恒成立,

贝m+n=.

答案6

解析因为1-x+f>0恒成立，所以原不等式等价于2-or+f<3（l-工+

%2）,即常+侬-?〃>1>0恒成立，所以/=（〃-3）2-8<（）,3-2啦<〃<3+2啦.

依题意有m=3-2啦,72=3+2\[2,所以机+〃=6.

f1—

16.在△48C中，。为AC上的一点，满足A。=更）C.若尸为8。上的一点,

‘''41

满足A0=加48+九AC（加>0,«>0）,则m〃的最大值为；而+[的最小值

为.

答案116

（:

解析解法一：如图，设3P=280(0v2v1),^\AP=BP-BA=XBD+AB=

—►—*—*

ABA+-AC+A3=(1—A)AB+^ZAC,由AP=mAB+nAC(m>0,〃>0),可得〃7

11

-+

工-

I1441

-、2

=V44--

、16

44

（当且仅当2=+-42+4-4A4,

2/(i“)=不7令ga)=-*+

-2

414

--

X,则当x£（0,1）时，g（x）w（。，|所以+2-

wn1=

-

4

11r

解法二：*：AD=^DC,.'.AD=-^AC.：.AP=mAB+4MD.XB,P,。三点共

线，...m+4〃=1.又加>0,〃>0,m+4n^2\j4mn=4y[inn.mn^77,当且仅

当加=4/2=3时，等号成立.2+[=俱+!）（m+4〃）=4+4+祟+g28+2，E=

16,当且仅当机=4〃=3时，等号成立.

四、解答题（本题共6小题，共7（）分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

a1+1a+1

17.（2021・重庆模拟）（本小题满分10分）已知a＞0且aW1，试比较与

a—1a-i

的值的大小.

>•a2+1a+1-2a

•~cr-17-a-71=~ar-71,

二.当面>1时，-2〃<(),1>(),

-2aa2+1a+1

则47＜仇即转工

2

当0<«<1时，-2a<0ta-KO,

-2acr+1

则£77>°，即/Tj

1

a-+1a+1

综上可得，当。>1时，^-T<—T；

Cl—1ci—I

a2+1a+1

当Ovz<l时，-5—r>~-

a~-1a-1

x2-x-2>0,

18.(本小题满分12分)关于x的不等式组,s’八u八的整数

2x~+(2攵+5)x+5k<0

解的集合为{-2},求实数上的取值范围.

解不等式f-1-2>0的解集是(-8,-1)11(2,+8).

不等式请+(2Z+5)x+5R0即为(Zr+5>(x+Ar)<0,(*)

5

当-左〈-|,即左＞|时，（*）的解集是（-上-

2此时-2不在不等式组的

解集中，所以心（不符合题意;

当T二-|,即攵=|时，（*）无解，也不符合题意;

当即女时，(*)的解集是(-2，-，

要使不等式组的整数解的集合为{—2},

借助数轴可得-2<-2W3,解得-3Wk2,

又熄,所以-362.

综上，实数%的取值范围是[-3,2).

19.(本小题满分12分)已知lg(3x)+lgy=lg(x+y+1).

⑴求孙的最小值；

⑵求x+y的最小值.

解由lg(3x)+lgy=lg(x+y+1),

fv>0,

得上>0，

l3xy=x+y+1.

(l)Vx>0,y>0,

3xy=x+y+1+1.

3xy-2y[xy-1^0,BP3(y[xy)2-2\[xy-1^0.

.,.(3y/J^+l)(y[xy-1)20.

.'.y[xy^1,

.F，>1.当且仅当x=),=l时，等号成立.

・•.xy的最小值为1.

(2)•・”>(),)>0,

fx+y'p

「.x+y+1=.

・・.3。+y)2-4。+)，)-420.

[3(x+y)+2][(x+y)-2]^0.

・•・x+y22,当且仅当十=y二i时取等号，

...%+y的最小值为2.

20.(2021・新乡模拟)(本小题满分12分)已知函数段)=«苏+2办+1的定义

域为R.

(1)求〃的取值范围；

(2)若函数次冷的最小值为坐，解关于工的不等式x^-x-a2-a<0.

解⑴因为函数.")=、'加+2—+1的定义域为R,所以加+2以+120

恒成立，

当。=0时，1>0恒成立.

当。W0时，要满足题意.

。>0,

则需(2a)2_4〃W0,

解得0<〃WL

综上可知，。的取值范围是［0,1］.

=yfax2+2ax+1=yja(x+1)2+i-a,

由题意及⑴可知OWaWl,

所以当X=-1时，Xx)min=^/1-67,

由题意得［1_a=号所以。二5，

3

所以不等式X2-1-。2一4<0可化为X2-

13

解得-

所以不等式的解集为(-今I)

21.(本小题满分12分)如图，设矩形A8CZXAB>B0的周长为24,把它沿

AC翻折，翻折后AE交。。于点尸，设AB=x.

⑴用x表示DP;

(2)用x表示△4。尸的面积;

(3)求△AOP面积的最大值及此时x的值.

解(I)因为=所以4。=12-x,

又由题意得。P=P9，

^AP=AB,-PBf=AB-DP=x-DP,所以在△AOP中，由勾股定理有(12

222

-x)+DP=(x-DP)i

72

所以。尸=12-不64<12).

(2)S^ADP=^AD-DP

=1(12-x)(12-^

432、,

=108-\6x+—l(6<r<12).

(3)因为6<x<12,

所以6x+弩=72y[2,

所以SNDP=108-(6x+弩)W108-726，

当且仅当6x=竽，即x=时取等号.

所以当工=6历时，ZkAOP的面积取最大值108-72啦.

22.(2022•贵阳模拟)(本小题满分12分)2020年11月23三,贵州宣布最后9

个深度贫困县退出贫困县序冽，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫,

这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚

目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知

某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给

该农户养羊，每万元可创造利润015万元.若进行技术指导，养羊的投资减少

了M>0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25文)倍.现将养羊少投资

的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为().15(。-0.875x)

万元，其中。>0.

(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；

(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求。的最大值.

解(I)由题意，得0.15(1+625x)(10-x)2O