2023年高考数学 新教材 教案 第4章 导数及其应用

第四章

导数及其应用

4.1变化率与导数、导数的计算

套核心素养概说（教师独具内容）

1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想

及其内涵.

2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义.

3,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函

数的导数.

4.重点提升数学运算和数学抽象素养.

考试要求（教师独具内容）

本考点以考查导数的概念、几何意义、导数的运算为主，而与切线有关的问

题是高考的热点.预计导数的几何意义及其应用仍是2023年高考考查的重点内

容.

您核心知识导图（教师独具内容）

怒5年考频统计(教师独具内容)

5年考情

考点分值题型难度核心素养

考题示例考向关联考点

2021全国甲卷•理13

基本初等函数的

2020全国I卷，理6.文15

导数公式、导数

导数的几2019全国I卷.理13选择题数学运算

求切线方程的四则运算法5易

何意义2019全国n卷,文10填空题逻辑推理

则、函数的奇

2018全国1卷.理5.文6

偶性

2018全国II卷•理13,文13

导数几何2021新高考I卷,7求参数的基本初等函数的

选择题数学运算

意义的应2019全国HI卷,理6,文7值或范围、导数公式、导数5易

填空题逻辑推理

用2018全国［fl卷.理14比较大小的四则运算法则

导数的四则基本初等函数的数学运算

导数的运算2020全国山卷，文155填空题中

运算法则导数公式逻辑推理

心基础知识过关

O知识梳理

1.导数的概念

AyAyf(xo+Ax)-f(xo)

(1)平均变化率：我们把比值＜，即(=/一X一=叫做函数y

=兀0从X0到X0+At的平均变化率.

Ay

(2)瞬时变化率:如果当以fO时，平均变化率丁无限趋近于一个国确定的值，

即/有极限，贝称y=/W在x=xo处可导，并把这个确定的值叫做了=於)在％=

工。处的导数(也称为瞬时变化率)，记作了(刀。)或yk-o,即

八网)=礴竽=圆•--+^)/5).

△x-»0AJ*a—o

2.导数的几何意义

曲线段)的割线PoP,其中曲(孙兀砌,P(x,»),则割线尸0尸的斜率是左

f(%)-f(xo)

=-------：------,记Ax=x-xo,当点尸沿着曲线y=Ax)无限趋近于点Po时，

X—X0

即当Ax-0时，左无限趋近于函数y=Hx)在x=xo处的导数.因此，函数y=/(x)

在x=xo处的导数/(xo)就是切线PoT的斜率ko,即ko=

而]./（0+^^一/（见），

丹巴△工T5）.

3.导函数的概念

当x=xo时，/（X0）是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=回片x）就

是x的函数，我们称它为丁=小）的导函数（简称导数）"於）的导函数有时也记作

y,即「（x）=y=…△]—

4.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

於）=c（c为常数）rw=o

/(%)=Q,且aWO)f(x)-回8十一1

fix)=sinxf(x)=四COSX

火x)=cosXf'(x)=@-sinx

fix)=ax(a>0,且1)f(x)-因〃%Ina

1X)=e"f(%)=因e%

f(x)=logax(a>0,且〃W1)/(x)=Bf

力>)=InXf«=B|

5.导数的运算法则

(1)\Ax)±g(x)]'=回[(x)土短(x)；

(2)[/(x)g(x)[=园；

6.复合函数的导数

⑴一般地，对于两个函数了=火口和1/=8（%）,如果通过中间变量M,y可以表

示成X的函数，那么称这个函数为函数y=/（M）和M=g（x）的复合函数，记作叫

以⑺）.

(2)一般地，对于由函数y=_A")和M=g(x)复合而成的函数y=#g(x)),它的导

数与函数a=a(x)的导数间的关系为管y[=y',M'工,即'对了的导数

等于y对"的导数与M对x的导数的乘积.

7.常用结论

(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是

周期函数.

(2)熟记以下结论：①⑶=-2；②就''=一日备吊如产°)；

®[af{x)±bg(x)]'=af(x)±bg\x).

色课前自我鉴定

1.若函数人x)=2f-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Ax,1+Ay),则

Ay

展等于()

A.4B.4%

C.4+2ArD.4+2(Ax)2

答案C

解析因为Ay=[2(1+—)2一i]—i=23)2+4©,所以寺=4+2AX

2.已知函数为0的图象如图，/㈤是/)的导函数，则下列数值排序正确

的是()

A.0</(2)</(3)<X3)-X2)

B.0</(3)</(2)<^3)-/2)

C.0</(3)</3)-/2)</(2)

D.0</3)-/2)</(2)</(3)

答案C

f(3)-f(2)

解析人3)-八2)可写为----------,表示过点(2,火2)),(3,汽3))的直线

3-乙

的斜率，/'(2),/'(3)分别表示曲线外)在点(2,次2)),(3,13))处切线的斜率，

设过点(2,/2)),(3,43))的直线为m,曲线在点(2,汽2)),(3,汽3))处的切线分

别为/,n,画出它们的图象，如图.由图可知0<%,<&<松故0</(3)<火3)

-/2)</(2).

3.若函数於广3-町0-/),且片-1)=0,贝卜等于()

A.0B.-1C.1D.2

答案C

解析依题意得，/'(X)=2X(X—)+(X2_4)=3X2—2及-4,所以了(-1)=3

+2t—4=0,即1=1.

4.曲线五幻二好-》在点(-1,八-1))处的切线方程为()

A.2x+y+2=0B.2%+>-2=0

C.2x-y+2=0D.2x-y-2=0

答案C

解析v»=x3-x,则/(%)=3/一1,(-1)=2,--1)=0,曲线y=

加)在点(-1,八-1))处的切线方程为y=2(x+l),即2x-y+2=0.

5.如图，函数y=Hx)的图象在点P处的切线方程是y=-工+8,则15)+了(5)

答案2

解析切线的斜率1=了(5)=—1,45)=-5+8=3,所以汽5)+片5)=3-1

=2.

色真题赏析

1.(2021.新高考I卷)若过点(a,。)可以作曲线y=e，的两条切线，贝女)

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ca

答案D

解析解法一：设切点为(xo,yo),yo>O,则切线方程为y-6=exo(x-a),

yo-b=eA'o(%o-a),

由，得eYo(l-xo+a)=b,则由题意知关于xo的方程

yo=eAo,

e*o(l-xo+a)=6有两个不同的解.设火工)=式1-x+a),则/(x)=e%l-x+a)-

xx

e=-c(x-a),由/(x)=0得x=a,所以当x<a时，f(x)>0,1Ax)单调递增，当

x>a时，/(尤)<0,兀0单调递减,所以兀v)max=y(a)=e"(l-a+a)=e。，当尤<a时,

a-x>0,所以人x)>0,当％-—8时，1》)一0,当》一+8时，八%)一—8,函数

火》)=叭1-x+a)的大致图象如图所示，因为火x)的图象与直线y=6有两个交点，

所以0<0<e。.故选D.

解法二：过点(。，。)可以作曲线y=e、的两条切线，则点(凡。)在曲线y=ex

的下方且在x轴的上方，得0<6<e。.故选D.

2.(2020•全国I卷)函数»=X4-2X3的图象在点(1,火1))处的切线方程为

A.y=-2x-lB.y=-2x+1

C.y=2x-3D.y=2x+1

答案B

解析VXX)=X4-2X3,：.f(X)=4^3-6X2,(l)=-2,/.

所求切线的方程为y+l=-2(X-1),即丁=-2x+l.故选B.

3.(2019•全国III卷)已知曲线丁=。股+兀也%在点(1,ae)处的切线方程为丁=

2x+b,则()

A.a=c,b=—1B.a=e,b=1

C.=e-1,b=1D.(2=e-1,b=-1

答案D

fxr

解析y=ae+Inx+1,k=y\x=i=tze+1,

二切线方程为y-〃e=(〃e+l)(x-1),

即y=(〃e+l)x-1.

又切线方程为y=2x+b,

〃e+1=2,

「Ii即〃=匕-1,6=-1.故选口.

[b=-1,

2x-1

4.(2021.全国甲卷)曲线丁二一■在点(-1,-3)处的切线方程为.

xi乙

答案5x-y+2=0

2(x+2)-(2x-1)52x-l

解析因为广--------=BP，所以曲线y=77T在

点(-1,-3)处的切线的斜率左=5,故所求切线方程为y+3=5(x+l),即5x-y

+2=0.

5.(2020.全国HI卷)设函数/)=号.若/(1)=会见|。=

JCtCL'

答案1

ex(x+a)-exe*(%+〃-1),tzee

解析f(x)(x+a)2-(x+〃)2'则/⑴=(a+1)2=W整理

可得a2-2a+1=0,解得a-\.

E核心素养例析

一、基础知识巩固

考点■导数的运算

例1»=x（2021+lnx）,若了（xo）=2O22,则xo等于（）

A.e2B.1C.In2D.e

答案B

解析故由得

f(x)=2021+ln%+x-X-=2022+Inx,/(xo)=2022,2022+Inxo

-2022,则In%o=0,解得xo=1.

例2求下列函数的导数.

]cosX(兀、(兀、

(l)y=^sinx；(2)y=lnx+j(3)y=~­r；(4)y=xsin(2x+]Jcos(2x+

解(1)/=(x2)rsinx+/(sinx)'=2xsinx+/cosx.

(2)”(lnx+?=(ln无)，+(%)]

(cos心(cosx)rex-cosx(ex)'sinx+cosx

◎)y='=(e_2=~-

(7l\兀)

(4).)；=xsin\2x+2)cosI2x+I

・〃、

=~1^xsin(4x+兀)=一1那si•n44x,

.,,y'=-]sin4x-/4cos4x=-]sin4x-2xcos4x.

「追踪练习，1.（多选）已知函数於）在X=1处的导数为-3,贝於）的解析式

可能为()

A.f(x)=-%2+ginx

B.火%)=xex

C.火犬)=sin(2%+

D./x)=1+Vx

答案AD

解析A中/(x)=(—*+x+(1)=—1+3=-g；B中了(x)

=(xe7=eA+xe\f(l)=2e;C中9(x)=sin"x+抑=2cos"x+?,f(D

2+§力-^；D中了（九）

=2cos

选AD.

2

2.(2021・赣州模拟)已知函数八x)=^"^+f02i+sinx(xGR),则人2021)

+火-2021)+f(2021)-/(-2021)的值为

答案2

-2X202Pin2021…

解析由题意，得了(x)=-(202^+1)2+2021*2。+©os],f(-x)=

2X202IF20212X202Pin2021

+2021(-x)2020+cos(-x)=-+2021X2020+

(202「'+1)2(202P+1)2

2

cosx=/(x),：.f(x)是偶函数，(x)-/(一X)=0,又火为+八一x)=2021r+1+

r+¥22021

X~021+SinX+2021-^+1+(-X)2021+sin(一无)=2021+12021+1="--^)

+火-2021)+f(2021)-/(-2021)=2.

【方法点拨I1

1.求函数导数的总原则

先化简解析式，再求导.

2.常见形式及具体求导的六种方法

连乘形式先展开化为多项式形式，再求导

三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导

分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导

根式形式先化为分数指数属的形式，再求导

对数形式先化为和、差形式，再求导

复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元

考点2导数与函数的图象

例3（2021•江苏金湖高三期中）已知函数尸危）的图象如图所示，则其导函

数的图象大致形状为（）

答案A

解析由兀Y）的图象可知，函数Hx）单调递增，速度先由快到慢，再由慢到

快，由导数的几何意义可知，fQ）先减后增，且恒大于等于0,故符合题意的

只有A.故选A.

例4（2022.北京清华附中高三月考）已知函数y=_/（x）的图象如图所示/（x）

是函数於）的导函数，记。="（2）,b=2f（4）,c=/4）-^2）,见|a,b,。数值

排序正确的是（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.a<c<b

答案D

f(4)-f(2)

解析结合图象，知kh=f(2),kh=----「----，kh=/(4),f

*4-Z

f(4)-f(2)

(2)<L-------寸(4),故)(2)勺(4)一人2)<?(4),即a<c<。.故选D.

-Z

追踪练习，3.函数人x）的图象如图所示，贝1（)

A/⑴次2讨(3)

B.f(2)>/(1)>/(3)

C./⑶决2)必)

D.f(3)>^(1)>/(2)

答案C

解析由函数的图象可知，曲线在点A（由加））,8（2,42））,C（3,解3））处切

线的斜率大小关系为kc>kB>kA,故了（3问（2讨⑴.

4.(2021.湖北孝感模拟)如图，函数y=/(x)在x=2处的切线过点(4,0)和(0,

-2),则/(2)-/2)的值为(

3

2

答案C

解析因为函数在x=2处的切线过点(4,0)和(0,-2),所以切线的

0+2111

斜率为左=/(2)=口=],切线方程为丁一0=手工-4),即丁=呼一2,所以12)

=|x2-2=-1,则/(2)_八2)=(+1=1・故选©.

导数的几何意义是切点处切线的斜率，已知切点4次，人xo))求

斜率k,即求该点处的导数值左=/(xo).函数图象在每一点处的切线斜率的变化情

况反映函数图象在相应点附近的变化情况.

考点3求切线方程

例5在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A

处的切线经过点(-e,-l)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.

答案(e,1)

解析设〃)，则曲线y=lnx在点A处的切线方程为丁-〃=5(％-机).

又切线过点(一e,-1),所以有-1一“=%-e-"z).再由"=lnm,解得加=

e,〃=1.故点A的坐标为(e,1).

例6已知曲线人x)=必-x,则曲线在点(1,0)处的切线方程

为,曲线过点(1,0)的切线方程为.

答案2x-y-2=02%-y-2=0或x+4y-l=0

解析了(x)=3f-1.曲线在点(1,0)处切线的斜率为k=f⑴=2,所以所求

3

切线方程为y=2(x-1),即2x-y—2=0.设切点为P(xo,xo-xo),贝k切=/(xo)

=3xo-l,所以所求切线方程为y-第+xo=(3云-l)(x-xo),又切线过点(1,0),

所以一京+刈=(3云-1)(1一xo),所以(xo-1)2(2XO+1)=O,解得刈=1或-g.故所

求切线方程为y=2(x_1)或y_|=+即2x—y—2=0或x+4y—1=0.

,追踪练习」5.(2021.深圳模拟)已知火x)=xIn(x—1),则曲线y=兀口在点(2,

火2))处的切线方程是.

答案y=2x-4

X2

解析由题意知，/'Q)=ln(x-1)+—所以/(2)=ln(2-1)+丁一r=2,

X—LZ—1

火2)=21n(2-l)=0,则在点(2,汽2))处的切线方程为y=2(x-2),即y=2x-4.

6.设aGR,函数Hx)=ex+《的导函数是/'(x),且Ax)是奇函数.若曲线

3

y=7(x)的一条切线的斜率是则切点的横坐标为.

答案In2

解析函数於)=&"+*］导函数是又因为人力是奇函数，所以

f(x)=m即eX—S=—(e-x—a©),则e%l-a)=e-、(a-1),所以e2」+1)(1

1131

-a)=0,解得。=1.所以/(%)=^-晟.令e*-最=],解得e♦2或e'=-1(舍去),

所以x=ln2.

.方法点拨与切线有关的问题的处理策略

(1)已知切点A(xo,泗)求斜率左，即求该点处的导数值左=/(xo).

(2)已知斜率左，求切点A(xi,加1)),即解方程了(H)=左

(3)若已知曲线y=/(x)过点P(xo,刈)，求曲线过点P的切线方程，则需分点

P(xo,*)是切点和不是切点两种情况求解.

①当点P(xo,yo)是切点时，切线方程为丁-加=/(xo)(x-xo).

②当点P(xo,加)不是切点时，可分以下几步：

第一步：设出切点坐标P'(xi,加1))；

第二步：写出曲线在点P(xi,加1))处的切线方程y-危1)=/3)。-》);

第三步：将点尸的坐标(优，”)代入切线方程求出XI；

第四步：将XI的值代入方程y-火XI)=/(xi)(x-xi),可得过点P(xo,yo)的

切线方程.

考点4由导数的几何意义求参数的取值范围

例7(2021・银川模拟)已知函数兀c)=-炉+依2+优25CR)图象上任意一

点处的切线的斜率都小于1,则实数。的取值范围是_____________.

答案(-S，V3)

解析因为«x)=-必+以2+6(凡)€R),所以，(x)=-Bd+Zax.由题意得

-3f+lax<1恒成立，即3A2-lax+1>0恒成立，则』=4a2-12<0,解得一小

<a<小.

例8若曲线y=ln尤与曲线y=N+2x+a(x<0)有公切线，则实数a的取值

范围是.

答案(in=+8)

解析设(xi,yi)是公切线和曲线y=lnx的切点，则切线斜率心=(lnx)"=

Xi=77,切线方程为y-ln幻=!(X-XI),整理得y=占•x+InXI-1.设⑴，")是

公切线和曲线y=/+2x+a(x<0)的切点，则切线斜率依=(x2+2x+a)'\x=X2=2x2

+2,切线方程为y-(X2+2x2+a)=(2x2+2)(尤-xi),整理得y=(2x2+2)尤-君+a,

住=2x2+2,①

其中X2<0,贝“XI2

llnxi-1=-X2+a,②

1o

由①得为=^代入②得〃=—111(212+2)+应一1.又阳>0,贝lJ—142<0.

设段)二一In(2x+2)+X2-1,-l<x<0,贝lj/(x)=2x-J][<0,即危)在(-1,0)

上单调递减，又火0)=-In2-l=ln=当l-1时，段)一+8,所以

危)+8),故实数a的取值范围是1in=+8).

追踪练习，

7.(2021.齐齐哈尔模拟)若直线丁=履+6是曲线》=111》+2的切

线，也是曲线y=ln(x+l)的切线，贝］_!》=()

1

A.1B.2

C.l-ln2D.1-21n2

答案C

解析设直线y=Ax+人与曲线y=lnx+2和y=ln(x+1)的切点分别为(xi,

Inxi+2)和(X2,In(%2+1)),则切线方程分别为y-Inxi-2=((x-xi),y-In(%2

1]1X2

+D=；7T7(x—X2).化简得丁=工-x+lnxi+1,y=~~7-x--777+In(%2+1),

X2十141尤2।J-421k

依题意，

‘1_1

XI-X2+1'

得彳

Yo

In阳+1=---+In(%2+1),

、X2+1

解得xi=g,从而匕=Inxi+1=1-In2.

8.对于曲线/U)=-ex-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线/1,总

存在曲线g(x)=3ax+2cosx上某点处的切线心使得/11伉则实数。的取值范

围是()

A.[-1,2]B.(3,+8)

2in「12一

C[一K3jD.[-T3J

答案D

解析由7(x)=—e^—x,得了(x)=-卜一1,•.0+1>1,.•.装上£。1).由

g(x)=3ax+2cosx,得g'(%)=3a-2sinx,又-2sinx€[-2,2],：.3a-2sinx€[-

2+3〃，2+3〃].要使过曲线八%)=-炉-%上任意一点的切线心总存在曲线g(x)

—2+3〃W0,i2

=3ax+2cosx上某点处的切线上使得/山2,解得-产

［方法点拨口

1.由导数的几何意义求参数的值或取值范围的解题思路

一般是利用切点p（xo,yo）求出切线方程再转化研究.

2.两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题思路

由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去XI和X2中的一个，转化为方

程在特定区间上有解的问题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要关

注自变量的取值范围.

二、核心素养提升

例1（2021.江西吉安一模）过点P（l,1）且与曲线y=必相切的直线的条数为

（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析当点尸为切点时，=3/,Q=3,则曲线y='在点P处

的切线方程为丁-1=3（》-1）,即3x-y-2=0.当点P不是切点时，设直线与曲

VO—1%0—12c

线切于点（孙yo）（xo力1）,则k=--=-=%3+xo+l.vy=3x2,：.y'\x

X0—1X0—1x=u

=3xj,「.x；+xo+l=3x；,「.xo=l（舍去）或xo="，二过点PQ，1）与曲线丁=

好相切的直线方程为%-4丁+1=0.综上，过点P的切线有2条.故选C.

例2已知点尸在曲线丁=5垣2^-852|上，a为曲线在点P处的切线的倾斜

角，则a的取值范围是（)

「3兀）兀3兀

A.万，兀）B.-45T_

「兀3兀1兀］「3兀

C.45~4D.0.4UT171

答案D

解析,/y=sin2^-cos2^=-cosx,：.y'=sinx.设P(xo,yo),则曲线在点

、兀

尸处的切线的斜率为左二tana二sinxo,.・.一lWtana&l「「O<av兀，.・.。€0,

例3设函数y=f-2x+2的图象为G,函数y=-^+仆+》的图象为C2,

已知过Q与。2的一个交点的两切线互相垂直.

（1）求。，匕之间的关系；

⑵求时的最大值.

解（1）对于Ci：y=x2-2x+2,有y'=2x-2,对于Q:y=-x1+ax+b,

有y=_2x+a,设Ci与C2的一个交点为（xo,yo）,

由题意知过交点（孙加）的两条切线互相垂直.所以（2xo-2）（-2xo+a）=-1,

即4xo-2（a+2）xo+2a-1=0,

又点（孙州）为Ci与C2的交点，

故有=>2xo-(t?+2)xo+2-/?=0,消去xo,可得<2+6=5.

jo=-%o+axo+b

⑵由⑴知，。=|-a,所以ab=a\-5'

°-4,

取到最大值元.

1.求切线倾斜角的范围要注意结合正切函数的单调性计算.

2.最值问题的计算注意向函数或不等式问题转化.

课时作业

一、单项选择题

1.（2021.烟台模拟）设次x）为可导函数，且满足把T-----

1,则了⑴为（）

A.1B.-1C.2D.-2

答案B

解析因为lim.⑴一尸―2"=—J,所以

LOLX

一/⑴一尸—2外=_],即Hm八一2『⑴

2x-*0LX-2x->o—LX

=—1,所以/(1)=-1.故选B.

x

2.(2021.厦门模拟)曲线丁=二刀在点(1，-1)处的切线方程为()

A.y=-2x+1B.y=-3x+2

C.y=2x-3D.y=x-2

答案A

Y2Y

解析y=一々的导数为丁'=-英~不，可得曲线y=—在点(1,-D

X—L\X—L)X—Z

X

处切线的斜率为左=丁'屋1=-2,所以曲线丁=一；在点(1，-1)处的切线方程为

X—Z

y+1=-2(x-1),即y=-2x+l.

3.已知y=Hx)的图象如图所示，则了(到)与了(心)的大小关系是()

A.f(XA)>f(XB)

B.f(,XA)=f(XB)

C.f(XA)</(XB)

D.f(XA)与/(XB)大小不能确定

答案A

解析由图象可得，曲线y=/(x)在》=身处切线的斜率大于在X=XB处切线

的斜率，则有了(X4)>/(XB).故选A.

4.设点P是曲线丁=好-小x+W上的任意一点，则曲线在点P处的切线的

倾斜角a的取值范围为()

c兀5兀2兀

A.0,2U不‘兀B.T5兀

答案C

解析y=3%2-^3,-'-y'小，.".tana>-小，又aG[0,7T），故aG0,

5.（2021.东莞检测）已知直线,=履+1与曲线Hx）=lnx相切，则上等于（）

A.AB.~C.eD.e2

e~e

答案A

解析由«x）=lnx,得/（x）=：,设切点坐标为（xo,Inxo）,则<

解得xo=e2,贝1Jk=±=±.

/LUc

6.（2021•广州高三一模）已知点P（xo,泗）在曲线C:y=x3-x2+l上移动，

曲线C在点P处的切线的斜率为左，若左©-1,21,则xo的取值范围是（）

751「7」

A.一yB.-3

C.-1,+8)D.[-7,9]

答案B

解析由得y=3/-2x,则曲线C在点P(xo,刈)处的切线

f

的斜率为k=y\x=xQ=3%o-2xo,€-；，21,3%o-2xo€-；，21,即

f3%o-2xo<21,「一

]21.,.xo€—T»3.

I3%o-2xo>-,

7.若函数八%)=必+1的图象与曲线C：g(x)=aex+l(a>0)存在公共切线，

则实数。的取值范围为（）

A.(0,富B.(0,*

答案A

解析设公切线与火x)=f+1的图象切于点(xi,xi+1),与曲线c：g(x)=

22

ae%2+1-xj-1〃e%2-xx

ae*+l切于点(%2,〃e%2+l),.,.2xi=6zex2==,化简可得，

X2-XIXI-XI

2x1-xi、

2xi=,得%i=0或2x2=%i+2,..,2xi=〃e%2且〃>0,.,.xi>0,则2%2=%I

X2-XI.

ZH_2xi_4(X2-1)4(x-1)

+2>2,即%2>1,由2xi=oe%2

倚°=的=^2.•设h(x)=(%>1),

4(2-x)

则=(x)=一二一，二//。)在(1,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，.-.A(x)max

4(41

=以2)=苫，.•,实数〃的取值范围为0,群•故选A.

8.设点P为函数找X)=1%2+2ax与g(x)=3/山x+20(a>0)的图象的公共点,

以P为切点可作直线/与两曲线都相切，则实数。的最大值为()

2333422

A—eTB.c.正Dn.-3eT

3乙

答案D

12

解析设P(xo,yo),由于尸为公共点，则于+2axo=3a21nx0+25.又两曲线

3a2

在点P处的切线相同,则f(xo)=g'(xo),EPxo+2a=—,即(xo+3tz)(xo-tz)=0.

又〃>0,xo>O,贝=于是2~二援雇一3〃2]n设力(1)二色一B/ln%,x>0,贝lj

11

33

/zXx)=2x(l-31nx),可知当x£(0,e)时，单调递增；当元金小，+8)时，

122

3Q35

/2(元)单调递减.故/2(%)max=〃(e)=]e,于是实数6的最大值为矛,故选D.

二、多项选择题

9.若直线y=%+》是函数人冷图象的一条切线，则下列曲线中可以与直线

y=相切的有()

A.危)=：B.於)=d

C.火工)=sinxD.兀r)=ex

答案BCD

解析直线y=%+6的斜率为左=3，由於)=十的导数为了(》)=一点知切

线的斜率小于0,故A不正确；的导数为F(x)=4x\由4/=；,解得X

=1,故B正确；“x)=sinx的导数为/'(x)=cosx,而cosx=T有解，故C正确；

Hx)=T-的导数为/'。)=巴由e、=3,解得％=-比2,故D正确.故选BCD.

10.已知函数人X)及其导函数/(X),若存在X0使得人xo)=/(xo),则称X0是五X)

的一个“巧值点”.下列函数中有“巧值点”的是()

A.火工)=%2B.«x)=e~x

C.fix)=InxD.,/(x)=tanx

答案AC

解析若危)=f,则/(x)=2x,令f=2x,得x=0或x=2,方程显然有解，

故A符合要求；若火劝=}"则力＞)=-e"A',令-x=-e-x,此方程无解，故B

不符合要求；若於)=lnx,则/(x)=g令lnx=］在同一直角坐标系内作出函

数丁=111%与丁=《的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程八%)

(sinx\1

=/(x)存在实数解，故C符合要求；若/(x)=tanx,则/㈤=匕二，=7高，令

tan%=方宏,化简得sinxcosx=1,变形可得sin2x=2,无解，故D不符合要求.故

选AC.

三、填空题

11.(2021.葫芦岛模拟)已知函数於)的导函数为了(x),»=2--3*1)+Inx,

则加)=.

答案-三

解析V»=2x2-3V，(l)+lnx,：.f(X)=4X-3/(1)+7,将x=l代入，

得了(1)=4_3/(1)+1,得-果+lnx,.■.汽1)=2_9=一土

12.(2021.山东省实验中学四校联考)曲线y=f-lnx上的点到直线x-y-2

=0的最短距离是________.

答案也

解析设曲线在点Pg州)(次>0)处的切线与直线x-y-2=0平行，则仆

=%=2xo-±=l.，xo=1,yo=l,则P(l,1),则曲线y=f-Inx上的点到直线x

u人u

11-1-21L

_y_2=0的最短距离’,、，=6・

w+(T)

13.(2021・青岛一诊)设八工)=。卜+以11占且了⑴=e,/'(-1)=11贝人

答案1

n/7

解析对於)求导得了(所以

x)=ae*+;4,/C(l)=ae+b=e®,f(-1)=--

b==②.故由①②可得。=1,b=0,则a+0=l.

14.已知a—In6=0,c-d=l,则(a-c>+-的最小值是____.

答案2

解析设(。，。)是曲线C：y=lnx上的点，(d,c)是直线/：y=x+l上的点，

贝1J(a-4+(b-d)2可看成曲线C上的点到直线I上的点的距离的平方.对函数y

=lnx求导得y=；,令y=l,得x=l,则y=0,所以曲线C上到直线y=x+1