2023-2024学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质章末复习课

第三章函数的概念与性质章末复习课章末复习课要点训练一函数的概念及表示函数有三要素:定义域、值域和对应关系,其中定义域是研究函数问题的前提条件.(1)函数的定义域问题,可分为三类:第一类是由使解析式有意义求函数定义域;第二类是抽象函数问题,如知道f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域;第三类是应用问题,使自变量有实际意义的取值范围即为函数的定义域.(2)函数的值域问题,函数的值域是函数值的集合,它是由函数的定义域与对应关系确定的.(3)分段函数问题,先要确定自变量的取值属于哪个区间段,再选取相应的对应关系.1.若函数y=f(x)的值域是[12,3],则函数F(x)=f(x)+1f(A.[12B.[2,103C.[52,10D.[3,103解析:令t=f(x),则12≤t≤3,由函数g(t)=t+1t在区间[12,1]上是减函数,在区间[1,3]上是增函数,且g(12)=52,g(1)=2,g(3)=答案:B2.设f(x)=x,0<x<1,2(x-1),x≥1,A.2 B.4 C.6 D.8解析:由x≥1时f(x)=2(x1)是增函数可知,若a≥1,则f(a)≠f(a+1),所以0<a<1.由f(a)=f(a+1),得a=2(a+11),解得a=14,则f(1a)=f(4)=2×(41)=答案:C3.函数y=7+6x解析:由已知,得7+6xx2≥0,即x26x7≤0,解得1≤x≤7,故函数的定义域为[1,7].4.若函数f(x)=ax32x的图象过点(1,4),则a=2.解析:将点(1,4)代入f(x)=ax32x,得4=a+2,解得a=2.要点训练二函数的性质及应用本章主要学习了函数的单调性和奇偶性这两个基本性质,其中函数的单调性是研究函数的有力工具,利用单调性可以比较函数值的大小、求函数的值域和最值、作函数的图象等,它反映了函数值随自变量大小变化的情况.函数的奇偶性是函数图象对称性的表示.(1)比较函数值的大小时,先利用函数的奇偶性转化单调区间,再利用单调性比较函数值的大小,例如幂函数中经常用直接法、转换法、中间量法比较大小.(2)函数的最值是函数值域的端点值,求最值与求值域的思路基本上是相同的,常用数形结合法、换元法、单调性法以及分离常数法等.1.函数f(x)在区间(∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=1,则满足1≤f(x2)≤1的x的取值范围是 ()A.[2,2] B.[1,1]C.[0,4] D.[1,3]解析:因为f(x)为奇函数,f(1)=1,所以f(1)=f(1)=1,于是1≤f(x2)≤1等价于f(1)≤f(x2)≤f(1).又因为f(x)在区间(∞,+∞)上单调递减,所以1≤x2≤1,所以1≤x≤3.答案:D2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=12.解析:f(2)=f(2)=[2×(8)+4]=12.3.已知a∈R,函数f(x)=ax3x,若存在t∈R,使得|f(t+2)f(t)|≤23,则实数a的最大值是4解析:存在t∈R,使得|f(t+2)f(t)|≤23即有|a(t+2)3(t+2)at3+t|≤23整理得|2a(3t2+6t+4)2|≤23可得23≤2a(3t2+6t+4)2≤2即23≤a(3t2+6t+4)≤4由3t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,可得实数a的最大值是434.已知函数f(x)=ax+bx+c(a,b,c是常数)是奇函数,且满足f(1)=52,f(2)=(1)求a,b,c的值;(2)试判断函数f(x)在区间0,12上的单调性,并证明.解:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(x)=f(x),所以c=0.因为f(1)=(2)由(1)可得,f(x)=2x+12f(x)在区间(0,12设x1,x2∈(0,12),且0<x1<x2<1则f(x1)f(x2)=2(x1x2)+12x112x2=2(x1x2因为0<x1<x2<12所以x2x1>0,0<x1x2<14,14x1x2>所以f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以f(x)=2x+12x在区间(0,1要点训练三数形结合思想函数的图象是函数的重要表示方法,广泛应用于解题过程中,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够把函数重要的性质体现出来,由此可通过数形结合解决问题.数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象的思维和形象思维相结合,把问题灵活转化、化难为易、化抽象为具体、化数为形.1.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2020年1月至2022年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了折线图.根据该折线图,下列结论错误的是 ()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7—8月D.各年1—6月的月接待游客量相对于7—12月,波动性更小,变化比较平稳解析:由折线图可知,每年8—9月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,A项错误;折线图整体呈现出增长的趋势,年接待游客量逐年增加,B项正确;由折线图可知,每年的月接待游客量高峰期大致在7—8月,C项正确;每年1—6月的折线图平稳,月接待游客量波动性更小,7—12月折线图不平稳,月接待游客量波动性大,D项正确.所以选A.答案:A2.函数y=2x32ABCD解析:设y=f(x)=2x则f(x)=2(-x)32-所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C.又因为f(4)=2×4f(6)=2×6答案:B3.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)若函数f(x)在区间(1,a2)上单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)设x<0,则x>0,f(x)=(x)2+2(