梁昆淼_数学物理方法第7章

1、第七章第七章 数学物理方程定解问题数学物理方程定解问题7.2 7.2 定解条件定解条件7.3 7.3 数学物理方程的分类数学物理方程的分类( (自学）自学）7.1 7.1 三类数学物理方程的导出三类数学物理方程的导出第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程7.4 7.4 达朗贝公式、定解问题达朗贝公式、定解问题（一）、梯度（一）、梯度矢量矢量zkyjxi令令7.1 7.1 三类数学物理方程的导出三类数学物理方程的导出)()(zkyjxizkyjxi222222zyx222222zyx有时记有时记22222yx2222223zyx记记22tuutt22xuuxxtuut222222zyx（二）、三

2、类数学物理方程的导出（二）、三类数学物理方程的导出1 1、弦的横振动、弦的横振动xx+ x1T2T1M2M12),(txFxydsdm0coscos1122TT1122sinsinTTttdsuTT1122sinsin弦的横向位移为弦的横向位移为 u(x,t)ttdmu考虑小振动考虑小振动xx+ x1T2T1M2M12xy22)()(dydxds0coscos1122TTttdsuTT1122sinsin012TTttdsuTT1122sinsindx22sintgxxxu11sintgxxuttxxdxxxdxuTuTu)()(xx+ x1T2T1M2M12xyttxxdxxxdxuuuT)

3、(ttxxdxxxudxuuT)(TTT12ttxxuTu0 xxttTuuTa 202xxttuau记记例：一长为例：一长为l的均匀柔软的均匀柔软轻绳轻绳，其一端固定在竖直轴上，其一端固定在竖直轴上，绳子以角速度绳子以角速度 转动，试推导此绳相对于水平线的横转动，试推导此绳相对于水平线的横振动方程振动方程xx+ x1T2T1M2M12xydxdm弦的横向位移为弦的横向位移为 u(x,t)xy lxx+ xttdxuTT1122sinsinxdxTT22211coscosxdxdT2lxxdxxTlT2)()(ttxxdxxxdxuTuTu)()(ttxxdxxxdxuTuTu)()(lxxd

4、xxT2)()(21222xlttxxdxxxdxuuxluxl)(21)(212222220)(21222xttuxlxu整理得：整理得：2 2、均匀杆的纵振动、均匀杆的纵振动将细杆分成许多段将细杆分成许多段t时刻，时刻，A段伸长段伸长),(txu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx )(dxxuABCt时刻，时刻，B段伸长段伸长相对伸长相对伸长dxtxutdxxu),(),(xu事实上，相对伸长事实上，相对伸长是位置的函数，如是位置的函数，如xxudxxxu相对伸长相对伸长由虎克定律，由虎克定律，B两端的两端的张应力（单位横截面张应力（单位横截面的力）分别为的力）分别为x

5、xudxxxuxxuYdxxxuYB段运动方程为段运动方程为22)(tuSdxxuYSxuYSxdxxttxxdxxxudxuuYF)(xuxxdxx )(dxxuABCB段运动段运动方程为方程为ttxxdxxxudxuuYttxuxuYttxxuYuYa 202xxttuau记记22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx3 3、扩散方程、扩散方程由于浓度不同引起的分子运动由于浓度不同引起的分子运动uDq扩散流强度扩散流强度q ，即单位，即单位 时间内流时间内流过单位面积的分子数或质量，与过单位面积的分子数或质量，与浓度浓度 u(单位体积内的粒子数）单位体积内的粒子数） 的的下降成正比下降成正

6、比 D 为扩散系数为扩散系数)(kzujyuixuDqxuDqxyuDqyzuDqz 负号表扩散方向负号表扩散方向与浓度梯度相反与浓度梯度相反nuDq大小大小dydzdtqxxuDqxyuDqyzuDqz),(zyxxyzdxdydz x方向左表面，方向左表面，dt 时间时间流流入六面体的流量为入六面体的流量为流出六面体的流量为流出六面体的流量为dydzdtqdxxxdydzdtqxx x方向左表面，单位时间方向左表面，单位时间流入六面体的流量为流入六面体的流量为单位时间流出六面体的流量为单位时间流出六面体的流量为dydzdtqdxxx净流入量为净流入量为dydzdtqdydzqdxxxxxd

7、ydzdtqqxxdxxx)(dxdydzdtxqx),(zyxxyzdxdydzx 方向净流入量为方向净流入量为dxdydzdtxqxdxdydzdtxuDx)(y 方向净流入量为方向净流入量为dxdydzdtyuDy)(z 方向净流入量为方向净流入量为dxdydzdtzuDz)(),(zyxxyzdxdydz立方体净流入量为立方体净流入量为dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方体内无源和汇如立方体内无源和汇dxdydzuutdtt)(dt时间内粒子增加数为时间内粒子增加数为dxdydzduzyx,),(zyxxyzdxdydzdxdydz

8、dttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()(0)()()(dxdydzzuDzyuDyxuDxtuD=恒量，恒量， 令令 a2=D0)(2zzyyxxtuuuau02uaut02xxtuau 一维一维02uaut02xxtuau若单位时间内单位体积中产生的粒子数为若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 F=(x,y,z,t) 与与 u 无关无关),(2tzyxFuaut),(2tzyxFuaut若单位时间内单位体积中产生的粒子数为若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 b2u ubuaut22022ubuaut3、热传导方程、热传导方程),(),

9、()(txuttxuxAcQ0t设有一根恒截面为设有一根恒截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度差，的均匀细杆，沿杆长有温度差，其侧面绝热其侧面绝热u(x,t) 为为 x 处处 t 时刻温度，时刻温度， 为杆密度为杆密度xxx+ x （1）、）、dt 时间时间内引起小段内引起小段 x温温度升高所需热量度升高所需热量为为txAucQtxxx+ x （2）、）、Furier s实验定理：单位实验定理：单位 时间内流过单位时间内流过单位面积的热量面积的热量 q (热热流强度量）流强度量）与温与温度的下降成正比度的下降成正比nnukq k 为热传导系数为热传导系数 一维情况下如图有一维情况下如图有xukqx

10、nukq大小大小Adtqxx x方向左表面，方向左表面，dt 时间时间流入流入圆圆柱体的热量为柱体的热量为dt 时间时间流出流出圆柱体的热量为圆柱体的热量为Adtqdxxxxxx+ xAdtqAdtqdxxxxxdt 时间净流时间净流入的热量为入的热量为AdxdtxqxdxdtAucQtAdxdtkudxdtAucxxtAdxdtkuxxxukqx02xxtuaucka24 4、泊松方程、泊松方程电通量的高斯定理电通量的高斯定理0qSdEdV01SdEdVE0/ Errl dErVrV0)()(0VE02/V称为泊松方程称为泊松方程02/V称为泊松方程称为泊松方程称为称为 Laplace La

11、place 方程方程002V),(2tzyxFuaut对于对于稳定浓度分布有稳定浓度分布有0tu),(),(zyxFtzyxF2/ ),(azyxFu为泊松方程为泊松方程0),(zyxF0u为为 Laplace Laplace 方程方程5 5、稳定浓度分布、稳定浓度分布和和若若若若7.2 7.2 定解条件定解条件对于输运方程对于输运方程（一）、初始条件（一）、初始条件02uaut初始条件要求已知初始条件要求已知),(),(0zyxtzyxutt对于弦振动方程对于弦振动方程02uautt初始条初始条件要求件要求已知已知),(),(0zyxtzyxutt),(),(0zyxtzyxuttt位移满足

12、位移满足速度满足速度满足x=l / 2xyx=lhx00)(ttxu0),(0ttttzyxu位移满足位移满足速度满足速度满足2/, 0)/2(lxlh, 2/)(2llxllh（二）、边界条件（二）、边界条件),(),(000000tzyxftzyxuzyx第一类边第一类边界条件界条件),(),(000000tzyxfntzyxuzyx第二类边第二类边界条件界条件第三类边第三类边界条件界条件),(),(000000tzyxfntzyxuHuzyx),(),(000000tzyxftzyxuzyx如两端固定弦如两端固定弦, ,端点位移端点位移x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0

13、),(lxtxu（1 1）、第一类边界条件）、第一类边界条件如细杆热传导端点温度如细杆热传导端点温度l0 x00),(utxuxllxutxu),(（如扩散端点浓度）（如扩散端点浓度）A）、如细）、如细杆的纵振动，杆的纵振动，x=a 处受力处受力 f(t)()(tfSYuaxn（2 2）、第二类边界条件）、第二类边界条件)()(tfSYuaxxYStfuaxx)(如杆端自由如杆端自由 f(t)=00axxu),(000000tzyxfuzyxna0 x)(tf如细杆热传导端如细杆热传导端点有热量流出点有热量流出)(tfaxnkuaxxq如细杆热传导端如细杆热传导端点有热量流入点有热量流入axa

14、xxxukq)(tfB B）、热传导）、热传导axxuk0 xa如细杆热传导，如细杆热传导，一端自由冷却一端自由冷却)(axuh则热流强度与杆端则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度和周围介质温度 差有关系差有关系axaxxnukq（3 3）、第三类边界条件）、第三类边界条件axxHuu)(axxuk),()(000000tzyxfHuuzyxn0 xahkH/x=0 处处0 xa)(0 xuh00 xxxnukq0)(xxHuu0 xxukaxxHuu)(0)(xxuk（三）、衔接条件（三）、衔接条件0sinsin)(21TTtF)(tFx0 xy012), 0(), 0(00txut

15、xu11sintg), 0(0txux22sintg), 0(0txux)(), 0(), 0(00tFtxTutxTuxx), 0(), 0(00txutxu例：半径为例：半径为a,表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射，表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射，阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为M，写出热传导的，写出热传导的边界条件。边界条件。dSdtMQsin1解：解：xy阳光照射，阳光照射，流出流出圆柱的热量为圆柱的热量为dS由于温度梯度，由于温度梯度，流出流出圆柱的热流为圆柱的热流为dSdtkuQan2dtdSukadSdtMQsin1xy设柱面外温度为设柱面外温

16、度为u0dtdSukQa2柱面温度柱面温度 u| = a由牛顿冷却定律由牛顿冷却定律dSdtuuhQQa)(021dtdSuuhdtdSukdSdtMaa)(sin0令令kMm khH 0sin)(HumHuua0)(HuHuua02dtdSuuhdtdSukdSdtMaa)(sin0当当M=0，m=0 xy例：一根导热杆由两段构成，两段例：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、比热、密热传导系数、比热、密度分别为度分别为kI, cI, I, kII, cII, II, 初始温度为初始温度为u0, 然后保持两端然后保持两端温度为零，写出热传导问题的定解方程。温度为零，写出热传导问题的定解方程。

17、解：解：第一段第一段0IxxIItuckuII00uutI01xxIu第二段第二段0IIxxIIIItuckuIII00uutII03xxIIu22xxIIxxIuu22xxIIxIIxxIxIukuk衔接条件：衔接条件：温度相等温度相等热流相等热流相等1x3x2xx7.4 7.4 达朗贝公式、定解问题达朗贝公式、定解问题（一）、（一）、 达朗贝公式达朗贝公式02xxttuau考虑弦的振动方程考虑弦的振动方程表示为：表示为：022222xuatu或：或：0)(uxatxat令：令：0)(uxatxat)(axtxxttxatxxtt)(xat02u)(21x)(21at令：令：)(axtatx

18、atx02u对对 积分积分)(fu)()(2fdfu再积分再积分)()(21ff)()(21atxfatxf表示以速度表示以速度a a沿沿x x正负方向的行波正负方向的行波函数函数 f1 和和 f2 的确定的确定)()()(21xxfxf考虑定解问题考虑定解问题02xxttuau)()(),(0 xxtxut)()(),(0 xxtxutt)()(21atxfatxfu)( )( 21atxafatxafut)()( )( 21xxafxaf求导有求导有)()()(21xxfxf积分有积分有2)(21)(21)(01Cdaxxfxx)()( )( 21xxafxafCdaxfxfxx0)(1)

19、()(21)()(0201xfxfC2)(21)(21)(02Cdaxxfxx2)(21)(21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)()(21atxfatxfuatxatxdaatxatxu)(21)()(21atxatxdaatxatxu)(21)()(2102xxttuau2),()cos(),(00ttttxuxtxu例：求定例：求定解问题解问题atxatxdaatxatxtxu221)cos()cos(21),(tatx2coscos1x2x221xx 0u)(x02xxttuau0),(0tttxu例：求定解问题例：求定解问题)(),(0 xtxut1

20、2102xxxxu12202xxxxu02211xxxx2212xxxx21,xxxx)()(21),(atxatxtxu1x2x0u)()(21),(atxatxtxu0t1tt 2tt 02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt例：求一端固定弦的振动情况例：求一端固定弦的振动情况（反射波定解问题）（反射波定解问题）)0()(),(0 xxtxut)0(0),(0ttxux2)(21)(21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)()(21atxfatxfu)0( x)0( x代入初始条件代入初始条件O Ox（二）、端点反射（二）、端点反射2)(21)(

21、21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)0( x)0( x代入边界条件代入边界条件0)()(21atfatf)0(at令令atx 0)()(21xfxf)0( x)()(12xfxf)0( x2)(21)(21)(01Cdaatxatxftaxx2)(21)(21)(02Cdaatxatxftaxx（1）、）、x at, 即即 x - at 0taxtaxdaatxatxu)(21)()(212)(21)(21)(01Cdaatxatxftaxx2)(21)(210Cdaxatxtax（2）、）、x at, 即即 x -at 0taxxtadaxatatxu)(

22、21)()(21)()(22xatfatxf)(1xatf)()(12xfxf)0( xtaxxtadaxatatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt )(axt 物理意义：物理意义：为讨论方便计设初速为为讨论方便计设初速为0 00)(xaxt . 1解与达朗贝尔解一致，说明端点的解与达朗贝尔解一致，说明端点的影响未传到。影响未传到。axt . 2)(21)(21xatatxu)(21)(21xatatxuO Ox)(atx )(xat )(atx )(xat )(21)(210atatux0 x =0处处为波节。为波节。x =0处处入射波与反射

23、波位相相反，有半波损失入射波与反射波位相相反，有半波损失。为入射波。为入射波。为反射波。为反射波。（三）、延拓（三）、延拓02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt)0()(),(0 xxtxut)0(0),(0ttxux)()(12xfxf)0( x半无限长问题半无限长问题求解中有求解中有0),(0 xtxu提示无限长杆提示无限长杆u(x,t)是奇函数是奇函数提示无限长杆初始位移提示无限长杆初始位移 (x)和初始和初始 (x)是奇函数是奇函数)0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(xtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21taxtaxdaatxa

24、txu)(21)()(21)(axt 称为称为沿拓沿拓taxtaxdaatxatxu)(21)()(21axtatx即00)(21)(21)()(21taxtaxdadaxatatx00)(21)(21xtataxdada)(axt 00)(21)(21)()(21xtataxdadaxatatxu00)(21)(21xtataxdadataxxatdaxatatx)(21)()(21taxxtadaxatatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt )(axt 02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt)0()(),(0 xxtxut)0

25、(0),(0ttxuxx例：求解半无限长问题例：求解半无限长问题杆端点自由，杆端点自由，相对伸长量相对伸长量为为0 0提示无限长杆提示无限长杆u(x,t)是偶函数是偶函数提示无限长杆初始位移提示无限长杆初始位移 (x)和初始和初始 (x)是偶函数是偶函数)0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(xtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt 沿拓沿拓taxtaxdaatxatxu)(21)()(21axtatx即00)(21)(21)()(21taxtaxdadaxatatx00)(21)(21xtata

26、xdadaxtada0)(21)(axt taxdaxatatxu0)(21)()(21xtataxdada00)(21)(21xtada0)(2102xxttuau)0(0),(0 xtxutt)0(0),(0 xtxut)0(sin),(0ttAtxux例：求例：求定解问定解问题题考虑初始条件与半无限考虑初始条件与半无限长，这一扰动产生的波长，这一扰动产生的波沿沿x正向正向)(),(atxftxu解：解：由边界条件由边界条件tAatftusin)(), 0(令令atz)sin()(azAzf)(),(atxftxu其中其中0atx若若axt/)sin()(azAzf)sin(azA)sin

27、(aatxA)(sinaxtA)0(00tux)(sinaxtA),(txu0axt/axt/（四）、达朗贝解的适定性（四）、达朗贝解的适定性)(1x0),(ttxu考虑初始条件有两组，差别微小考虑初始条件有两组，差别微小 (x)有直到二阶导数，有直到二阶导数， (x)有直到一阶导数，有直到一阶导数，达朗贝解存在达朗贝解存在1 1、达朗贝解的存在性、达朗贝解的存在性2 2、达朗贝解的稳定性、达朗贝解的稳定性)(2x0),(ttxu)()(21xx)()(21xx)(1x)(2x)()(21xx)()(21xxtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21)()(212121atxatxuu)()(2121atxatxtaxtaxda)()(2121taxtaxda212121)1 (t达朗贝解的稳定达朗贝解的稳定解：解