高考数学二轮总复习专题突破练14空间位置关系的判断与证明

专题突破练14空间位置关系的判断与证明一、单项选择题1.设α,β为两个不同的平面,直线l⊂α,则“l∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在三棱柱ABCA1B1C1中,点M在AB上,且AM=λAB,若BC1∥平面A1MC,则λ=()A.12 B.13 C.143.如图,AB为圆锥底面直径,点C为底面圆O上异于A,B的动点,已知OA=3,圆锥侧面展开图是圆心角为3π的扇形,当∠PBC=π3时,PB与AC所成的角为(A.π3 B.π6 C.π44.许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体.正二十面体的每一个面均为等边三角形,共有12个顶点、30条棱.如图,由正二十面体的一个顶点P和与P相邻的五个顶点构成正五棱锥PABCDE,则PA与面ABCDE所成角的余弦值约为()(参考数据cos36°≈0.8)A.56 B.C.35 D.5.已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2,点P在矩形ACC1A1(包含边界)内运动,且∠PBD=45°,则动点P的轨迹的长度为()A.π B.2π C.2π D.22π二、多项选择题6.(2022·新高考Ⅰ,9)已知正方体ABCDA1B1C1D1,则()A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°7.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足BP=λBC+μBB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则(A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值B.当μ=1时,三棱锥PA1BC的体积为定值C.当λ=12时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥D.当μ=12时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1三、填空题8.若平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,且平面α∥平面A1BD,平面α∩平面ABCD=l,则直线l与直线A1C1所成的角为.

9.如图,三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为23的正三角形,AA1=3,AA1⊥AC,D为A1C1的中点,BD=33,则二面角A1ACB的正切值为.

专题突破练14空间位置关系的判断与证明一、单项选择题1.B解析当l∥β时,α与β可能平行也可能相交.当α∥β时,因为l⊂α,所以l∥β.故选B.2.A解析如图,连接AC1,交A1C于点O,连接OM.∵BC1∥平面A1MC,BC1⊂平面ABC1,平面A1MC∩平面ABC1=OM,∴BC1∥OM.又在△ABC1中,O为AC1的中点,∴M为AB的中点,∴AM=12AB,∴λ=123.C解析设圆锥的母线长为l,则l·3π=23π,解得l=2.∵PB=PC=l=2,∠PBC=π3,∴BC=2.∴在Rt△ABC中,AC=22.作BD∥AC,与圆O交于点D,连接AD,则四边形ACBD为平行四边形,BD=AC=22.连接PD,则∠PBD在△PBD中,∵PD=PB=2,BD=22,∴PB2+PD2=BD2,∴PD⊥PB,∴∠PBD=π4.4.A解析设正二十面体的棱长为a,点P在面ABCDE内的射影为点O,则O为正五边形ABCDE的中心.连接OA,OB,PO(图略),则∠AOB=72°,所以OA=12ABsin36°=12a1-cos236°≈565.B解析由题意,易知动点P的轨迹为以AC为直径的半圆弧,AC=22,故动点P的轨迹的长度为12×22二、多项选择题6.ABD解析连接AD1,∵在正方体ABCDA1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1,∴直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确;连接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1⊂平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确;连接A1C1,交B1D1于点O,连接BO.易证C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,则OC1=22a,BC1=2a∴sin∠C1BO=OC1BC1=1∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角.又∠C1BC=45°,∴直线BC1与平面ABCD所成的角为45°,故D正确.故选ABD.7.BD解析A项中,当λ=1时,BP=BC+μBB1⇒BP-BC=CP=μ图①在△AB1P中,|AB1|=2,|AP|=1+μ2,|B1P|=故△AB1P的周长L=|AB1|+|AP|+|B1P|不为定值,故A错误;图②B项中,当μ=1时,BP=λBC+BB1⇒BP-BB1=B1P由图②可知B1C1∥平面A1BC,即B1C1上的每一点到平面A1BC的距离都相等,因此三棱锥PA1BC的体积为定值,故B正确;图③C项中,当λ=12时,分别取线段BC,B1C1的中点D,D1,连接DD1,可知点P在线段DD1(包括端点)上,如图③所示取AC的中点O,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则B(32,0,0),C(0,12,0),A1(0,12,1),从而A1由A1P·BP=μ(μ1)=0,得μ=0或当点P与点D或D1重合时,满足A1P⊥BP,故C错误;图④D项中,当μ=12时,分别取线段BB1,CC1的中点M,N,连接MN,可知点P在线段MN(包括端点)上,如图④所示建系同选项C,则A(0,12,0),A1(0,12,1),B(32,0,0),P(3从而A1B=(32,12,1),AP四边形ABB1A1为正方形,显然A1B⊥AB1.要使A1B⊥平面AB1P,只需A1B⊥AP,即A1B·AP=1当且仅当点P与点N重合时,A1B⊥平面AB1P,故D正确.综上所述,选BD.三、填空题8.π2解析因为平面α∥平面A1BD,平面α∩平面ABCD=l,平面A1BD∩平面ABCD=BD,所以l∥BD.又A1C1⊥BD,所以A1C1⊥l,所以直线l与直线A1C19.3解析如图,取AC的中点E,连接ED,EB