第6章 面向方程模拟法N

第6章面向(miànxiànɡ)方程模拟法共六十二页第一节原理第二节面向方程模拟法与序贯模拟法的比较第三节大型稀疏非线性方程组的降维解法

一、输出变量的指定

二、回路(huílù)搜索法分解方程组

三、不可分解方程组的断裂降维解法第四节稀疏矩阵的压缩存储

一、稀疏矩阵压缩存储的信息链指针

二、静态存储（列表法）

三、动态存储（三地址法）第一节原理(yuánlǐ)EquationOrientedMethod联立方程模拟法共六十二页面向方程法将整个系统联合建模Subflow(S1,ALFA,S2,S3,S4)S2=S1+S4’以上混合器模型(móxíng)方程

S3=S2*ALFAS4=S2*(1–ALFA)’以上

分割器模型方程EndSub整个系统方程组，整体求解

序贯法模：每个单元为独立(dúlì)子程序对外提供结果需要迭代循环物流的去哪里？共六十二页过程(guòchéng)系统的模型方程模型(móxíng)方程：模型方程决策变量状态变量①各种平衡方程②单元联结方程③设计规定方程④物性方程⑤现象方程共六十二页模型(móxíng)变量决策变量所有单元模块的设备(shèbèi)参数进料流股变量状态参数所有中间变量产品流股变量内部变量等共六十二页模拟(mónǐ)结构循环物流方程(fāngchéng)设计规定方程仅提供方程多!!!特殊处理共六十二页物性系统(xìtǒng)的处理占用70~80%的计算量处理方法(fāngfǎ)：1）不提供方程组，仅提供子程序方程数量大幅减少，但需经常调用物性子程序，效果有限2）提供k,h

的方程组，其它物性由子程序调用

k,h最常用，其它较少用到。效果很好物性：焓、相平衡常数、密度、粘度、导热系数等共六十二页第一节原理第二节面向方程模拟法与序贯模拟法的比较第三节大型稀疏非线性方程组的降维解法

一、输出变量的指定

二、回路搜索法分解方程组

三、不可(bùkě)分解方程组的断裂降维解法第四节稀疏矩阵的压缩存储

一、稀疏矩阵压缩存储的信息链指针

二、静态存储（列表法）

三、动态存储（三地址法）第二节面向(miànxiànɡ)方程模拟法与序贯模拟法的比较共六十二页模拟(mónǐ)方法结构特征序贯模块(mókuài)模拟法面向方程模拟法共六十二页1.序贯模块(mókuài)法优点：

①与实际过程的直观联系(liánxì)强，软件的建立、维护和扩充很方便；

②易于通用化；

③需要的计算机内存较小；

④易于诊断出错位置；缺点：

循环物流及设计问题：慢共六十二页2.面向(miànxiànɡ)方程法优点

①便于实际用户的提出的质量性能要求。有设计规定的系统，仅增加几个方程

②用空间换取时间。相同的过程单元出现多次，将占用更多的存储空间，自由度的选择也可能各不相同

③以空间换取求解的数值稳定性。有较多回流(huíliú)高度交互作用流程相对容易收敛共六十二页2.面向(miànxiànɡ)方程法缺点

①要求提供(tígōng)较好的初值

②难于自动产生流程的模型方程组，难以通用化

③不容易诊断出现错误的地方。共六十二页序贯法与联立方程(liánlìfānɡchénɡ)法对比内容序贯法联立方程法占用存储空间小大迭代循环圈多少计算效率低高指定设计规定不灵活灵活初值要求低高错误诊断易难编程、调试较易较难共六十二页联立模块(mókuài)法序贯模块法建立流程简单，处理循环流与设计规定需迭代联立方程法同时求解，但建模困难联立模块法又称双层法，将过程系统的近似模型方程与单元(dānyuán)模块交替求解联立模块法兼有序贯模块法和面向方程法的优点。既能使用序贯模块法积累的大量模块，又能将最费计算时间的流程收敛和设计约束收敛等迭代循环合并处理，通过联立求解达到同时收敛共六十二页断裂变量(biànliàng)不迭代简化(jiǎnhuà)模型的产生！？共六十二页联立模块(mókuài)法特点以简化模型联立求解取代序贯法的回路迭代计算和设计规定计算可利用原有的序贯法资源方程数量较联立方程法要少得多，求解难度(nádù)大大降低难点：简化方程的产生及其适用范围共六十二页过程系统(xìtǒng)稳态模拟三种方法的比较方法优点缺点代表软件系统序贯模块法与工程师直观经验一致，便于学习使用；易于通用化，已积累了丰富的单元模块；需要计算机内存较小；有错误易于诊断检查；再循环引起的收敛迭代很费机时；进行设计型计算时，很费机时；不宜用于最优化计算；PROCESS(美)CONCEPT(英)CAPES(日)ASPEN(美)FLOWTRAN(美)面向方程法解算快；模拟型计算与设计型计算一样；适合最优化计算，效率高；便于与动态模拟联合实现；要求给定较好的初值，否则可能得不到解；计算失败后诊断错误所在困难；形成通用化程序有困难有，故使用不便；难以继承已有的单元操作模块。ASCEND-Ⅱ(美)SPEEDUP(英)（双层法）联立模块法可以利用前人开发的单元操作模块；可以避免序贯模块法中的循环流迭代；比较容易实现通用。将严格模型做成简化模型时，需要花费机时；用简化模型来寻求优化时，其解与严格与严格模型优化解是否一致，有争论。TISFLO（德）FLOWPACK-Ⅱ(英)共六十二页第一节原理第二节面向方程模拟法与序贯模拟法的比较第三节大型稀疏非线性方程组的降维解法

一、输出变量(biànliàng)的指定

二、回路搜索法分解方程组

三、不可分解方程组的断裂降维解法第四节稀疏矩阵的压缩存储

一、稀疏矩阵压缩存储的信息链指针

二、静态存储（列表法）

三、动态存储（三地址法）第三节大型(dàxíng)稀疏非线性方程组的降维解法共六十二页系统方程多，整体(zhěngtǐ)求解难度很多处理(chǔlǐ)方法：方程组分解过程系统方程组的特点： 方程数多，变量多每个方程包含的变量不多每个变量存在的方程(出现次数)不多稀疏方程组稀疏比将方程组转化为有向图，再应用系统分解的手段分解成可顺序求解的子方程组共六十二页第一节原理第二节面向方程模拟法与序贯模拟法的比较第三节大型稀疏非线性方程组的降维解法

一、输出变量的指定

二、回路(huílù)搜索法分解方程组

三、不可分解方程组的断裂降维解法第四节稀疏矩阵的压缩存储

一、稀疏矩阵压缩存储的信息链指针

二、静态存储（列表法）

三、动态存储（三地址法）

一、输出(shūchū)变量的指定共六十二页Hall各异条件(tiáojiàn)？方程组有解的必要条件(bìyàotiáojiàn)！输出变量？介绍方程组决策变量影响时学过！将f2(x,y,z)=0改写为y=f2’(x,z)，y则称为f2的输出变量N维方程组可指定N个不同的输出变量失败！x2出现最少，应先考虑f3包含的变量最少，也应优先考虑！成功！包含变量少的方程和出现次数少的变量应先考虑共六十二页输出变量(biànliàng)的指定方法：1)选事件矩阵中元素最少的行和其与元素最少的列的交点处元素对应的变量作为优先指定的输出变量，然后从事件矩阵中删去相应的行和列。2)重复上述过程∶①若矩阵的所有行和列被删除，则指定完毕。②若有行或列无法删除，则表示与剩余(shèngyú)列对应的变量不存在于与剩余(shèngyú)的行对应的方程中。共六十二页“Steward”通路(tōnglù)∶a)从矩阵的不饱和行(无输出(shūchū)变量的行)或不饱和列(无输出变量的列)的某一非输出变量开始，垂直找到与该元素在一列或一行的输出变量。再转90

，找到另一个非输出变量，再垂直找到输出变量，直到找到不饱和列或行中的某一非零元素。b)此轨迹就是“Steward”通路。将此通路上的输出变量与非输出变量互换，即可增加一个输出变量。共六十二页f1f2f3指定输出(shūchū)变量的作用？将方程组转化(zhuǎnhuà)为有向图！可应用过程系统分解的手段对方程系统进行分解可及矩阵法索引矩阵法Steward通路搜索法Sargent-Westerberg搜索法（图解法）共六十二页例×不饱和行不饱和列共六十二页×从不饱和行的任一非零开始(kāishǐ)将出现(chūxiàn)死循环将Steward通路上的输出变量与非输出变量互换可增加一个输出变量！Steward通路例共六十二页第一节原理第二节面向方程模拟法与序贯模拟法的比较第三节大型稀疏非线性方程组的降维解法

一、输出变量的指定

二、回路搜索法分解方程组

三、不可分解方程组的断裂降维解法第四节稀疏矩阵的压缩存储

一、稀疏矩阵压缩存储的信息(xìnxī)链指针

二、静态存储（列表法）

三、动态存储（三地址法）

二、回路(huílù)搜索法分解方程组共六十二页回路搜索法分解方程组步骤:1）写出方程组事件矩阵，指定输出变量2）如果每个方程都指定了一个不同的输出变量，则方程组满足(mǎnzú)Hall各异条件，转6；否则转3。

3）从不饱和行的一个非零开始搜索Steward通路。如果能从不饱和行走到不饱和列，转4；否则转5。4）不能增加输出变量数目，方程组无解，停止。

5）将Steward通路上的输出变量与非输出变量类型互换，则可增加一个输出变量。如果此时输出变量的数目与方程数目相等，转6；否则转3）

6）将方程以节点形式排成一行，将每个方程与其输出变量出现的方程节点以有向弧相连，即形成了方程组的有向图。7）可以用可及矩阵法、索引矩阵法、Steward通路搜索法和图解法等分解方程组。共六十二页不饱和行不饱和列0从不饱和行开始(kāishǐ)找Steward通路不饱和列将Steward通路上的输出(shūchū)变量与非输出(shūchū)变量对换指定输出变量：共六十二页最终的输出(shūchū)变量指定：共六十二页f1绘制(huìzhì)有向图：f2f3f4f5f1x4f1f2x3f2f3x2f3f4x1f4f5x5f5共六十二页f1f4f5f2f3搜索(sōusuǒ)回路：f2f3f1

f2

f5

f2

，

f2f5构成(gòuchéng)回路，将f2f5作为组合节点，改写有向图f1f2f5f3f4f2f5f1f4f5内部弧内部弧f1f2f3f4f5共六十二页搜索(sōusuǒ)回路：f1

f2f5，无路可走！删除f2f5，计入次序(cìxù)表，改写有向图f1f3f4次序表f2f5f2f5f2f5f1

f3，无路可走！删除f3，计入次序表，改写有向图f3f3f1

f4

f1，构成回路，形成最后一个组合节点，删除f1f4，计入次序表f1f4计算顺序共六十二页第一节原理第二节面向方程模拟法与序贯模拟法的比较第三节大型稀疏(xīshū)非线性方程组的降维解法

一、输出变量的指定

二、回路搜索法分解方程组

三、不可分解方程组的断裂降维解法第四节稀疏矩阵的压缩存储

一、稀疏矩阵压缩存储的信息链指针

二、静态存储（列表法）

三、动态存储（三地址法）

三、不可分解(fēnjiě)方程组的断裂降维解法共六十二页大规模方程组的处理(chǔlǐ)：分解成小规模方程组，顺序求解问题：子方程组规模(guīmó)仍很大整个方程组本身不可分解？必须联立求解！？断裂降维求解共六十二页方程组的断裂求解步骤(bùzhòu)如下∶

1)选输出变量，分解方程组；

2)在分解后的子方程组中选择包含变量数最少的方程(

=k)中的k-1变量作为断裂变量；选择k-1个包含变量数最多的方程作为验算方程；

3)降维后用回路搜索法进一步分解；

4)给断裂变量赋初值，求解降维后的方程组；

5)验算断裂变量直到收敛。共六十二页例整个方程组不可(bùkě)分解断裂降维求解(qiújiě)

––迭代求解迭代求解––要求最少的断裂变量！––选变量数最少的方程断裂断裂x1，即给定x1初值x3=f4’(x1)断裂变量，赋初值断裂1个变量，可排除一个方程，2个变量共六十二页例断裂(duànliè)变量状态变量验算(yànsuàn)方程验算方程应选择含变量数最多的方程方程数比变量数多1个指定输出变量分解方程组共六十二页f1f3f5f6求解(qiújiě)顺序：f5f6

f1f3共六十二页计算(jìsuàn)步骤：假设x1初值由f4计算出x3联合求解f1

f3

，得出x2,x4将x1,x2,x3,x4代入f5

f6联合求解得x5,x6验算f2是否满足，若满足则结束(jiéshù)，否则转6)重新假设x1初值转2)共六十二页四、n<m型稀疏(xīshū)非方程组的处理选决策变量获得的方程组的结构方程组进行分解或断裂降维按顺序联立求解(qiújiě)获迭代求解(qiújiě)分解后的子方程组共六十二页五、n>m型稀疏(xīshū)非方程组的处理①利用最小二乘法取得一组妥协(tuǒxié)解。②求解其中的m个方程共六十二页第一节原理第二节面向方程模拟法与序贯模拟法的比较第三节大型稀疏非线性方程组的降维解法

一、输出变量的指定

二、回路搜索法分解(fēnjiě)方程组

三、不可分解方程组的断裂降维解法第四节稀疏矩阵的压缩存储

一、稀疏矩阵压缩存储的信息链指针

二、静态存储（列表法）

三、动态存储（三地址法）第四节稀疏矩阵(jǔzhèn)的压缩存储共六十二页n=1000，N=2000，

=0.2%全部存储(cúnchǔ)，占用n2即106存储单位其中998000个为零一次高斯消去运算需1/3n3次加法和乘法运算，约3.33亿次以1微秒/次计，耗机时333秒以上采用稀疏矩阵存储法只存储非零元素，只对非零元素进行运算需占用10000个存储单位，进行20000次运算需20毫秒共六十二页第一节原理第二节面向方程模拟法与序贯模拟法的比较第三节大型稀疏非线性方程组的降维解法

一、输出变量的指定

二、回路搜索法分解方程组

三、不可分解方程组的断裂(duànliè)降维解法第四节稀疏矩阵的压缩存储

一、稀疏矩阵压缩存储的信息链指针

二、静态存储（列表法）

三、动态存储（三地址法）

一、稀疏矩阵压缩存储的信息(xìnxī)链指针共六十二页非零元素(yuánsù)属性∶l

行标；l

列标；l

指向本行中下一个非零元素(yuánsù)的指针；l

指向本列中下一个非零元素的指针；l

指向本行中前一个非零元素的指针；l

指向本列中前一个非零元素的指针；共六十二页第一节原理第二节面向方程(fāngchéng)模拟法与序贯模拟法的比较第三节大型稀疏非线性方程组的降维解法

一、输出变量的指定

二、回路搜索法分解方程组

三、不可分解方程组的断裂降维解法第四节稀疏矩阵的压缩存储

一、稀疏矩阵压缩存储的信息链指针

二、静态存储（列表法）

三、动态存储（三地址法）

二、静态(jìngtài)存储（列表法）共六十二页一、静态存储(cúnchǔ)(列表法)需三个数组：LA

矩阵元素值；LB

非零矩阵元素的列标；LC

每行的第一个非零元素在LA中的存储(cúnchǔ)位置；特点：按行或按列顺序存储共六十二页例LA-346-11233LB12431434LC1457

共六十二页元素aij访问(fǎngwèn)步骤∶1)找i行的第一个非零元素的存储位置，K1=LC(i);2)找i

行的最后一个非零元素的存储位置，K2=LC(i+1)

1;3)比较该行的非零元素下标，找出aij。①令k=K1，若LB(k)=j，则说明已找到aij；aij=LA(k)；②否则(fǒuzé)，令k=k+1，返回①；最多从d1做到d2，若找不到，则aij值即为零共六十二页例:访问(fǎngwèn)a34(i=3,j=4)LA-346-11233LB12431434LC1457

1）找第3行第一个非零位置(wèizhi)：

LC(3)=5(d1)2）找第3行最后一个非零位置：

LC(3+1)–1=7–1=6(d2)3）对比列标：

LB(5)=1≠j4）对比本行下一非零的列标：

LB(5+1)=4=j5）已找到aij

，取元素值：

LA(5+1)=2共六十二页第一节原理第二节面向方程模拟法与序贯模拟法的比较第三节大型稀疏非线性方程组的降维解法

一、输出变量的指定

二、回路搜索法分解方程组

三、不可分解方程组的断裂降维解法第四节稀疏矩阵的压缩存储

一、稀疏矩阵压缩存储的信息链指针

二、静态(jìngtài)存储（列表法）

三、动态存储（三地址法）

三、动态(dòngtài)存储（三地址法）共六十二页1)Bending-Hutchison法采用属性①和②及非零元素值构成(gòuchéng)链表包括五列∶①序号∶可作为存储数组的下标数值，不占用存储空间；②变量号(列标)；③方程号(行标)；④非零元素的数值；⑤非零元素的状态属性。共六十二页2)三地址(dìzhǐ)法（按列存储）由属性①、②和④及非零元素值构成：每列第一个非零元素在存储(cúnchǔ)链中的位置

──列首址BC[1，n]；2)信息条INF[1∶3(N+M)]；信息条由三个单元构成∶①非零元素值的行号；②非零元素的数值；③该列的下一个非零元素存储位置。3)第一个空白区的位置─空白区首址S[L]；123d1d2d3共六十二页例123456789101112131415161718192021222324列首址BC：信息(xìnxī)条INF：空白(kòngbái)区首址S：13行号元素值下一非零位置本列结束开始下列1-34350072-1224301320最后一列去空白区190结束按列存储位置动态！1016共六十二页(1)找aij①计算(jìsuàn)第j列的第一个非零元素存储位置∶d=BC(j)；②找j列中的第一个非零元素所在行∶k=INF(d)；③若k=i，则aij=INF(d+1)；

k

i，令d=INF(d+2)，转②；共六十二页例:找a431234567891011121314151617181920212223243203502-12201-34101643013071列首址BC：信息(xìnxī)条INF：空白(kòngbái)区首址S：19第3列第一个非零对比行号不等于4去下行对比行号找到啦!取值i=4j=3共六十二页(2)插入(chārù)aij，i1<i<i2①找到d1，d2;(j列中与aij相邻的上下两个非零位置)②令L=S=d3；③S=INF(L+2);(将d4作为第一个空白区)④INF(L)=i(在d3保存行号(xínɡhào))INF(L+1)=aij(保存元素值)INF(L+2)=d2(将ai,j与ai2,j相连)⑤INF(d1+2)=L(将ai1,j与ai,j相连)Sd3…d1d1+1d1+2…d2d2+1d2+2…d3d3+1d3+2d4d4+1INF…i1

ai1,j

d2

…i2

ai2,j

d3…d4…d1d2d4占用第一空白区存储aijd3共