2023-2024学年新教材高中数学综合质量评估

综合质量评估(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={x|1<x<2},B={x|x>1},则A∪B= ()A.(1,1) B.(1,2)C.(1,+∞) D.(1,+∞)解析:A∪B={x|1<x<2}∪{x|x>1}={x|x>1},故选C.答案:C2.若幂函数f(x)=xm在区间(0,+∞)上单调递减,则实数m的值可能为 ()A.1 B.12解析:因为幂函数f(x)=xm在区间(0,+∞)上单调递减,所以m<0,由选项可知实数m的值可能为1.故选C.答案:C3.若x=20.2,y=lg25,z=257A.x<y<z B.y<z<xC.z<y<x D.z<x<y解析:因为x=20.2>20=1,y=lg25<lg1=0<z=(25)

75<250答案:B4.若函数f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0)在同一周期内,当x=π6时取最大值,当x=π3时取最小值,则φ的值可能为 (A.π12 B.π6 C.π解析:f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0),由题意可知T2=π6+π3=π2所以T=2πω=π,解得ω=2则f(π6=)=4sin(2×π6+φ)所以φ=π6+2kπ(k∈Z)当k=0时,φ=π6此时,f(π3)=由此可知φ的一个可能值为π6,故选B答案:B5.若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为a>0,b>0,a+b≤4,所以ab≤(a+b2)2≤(42反之,若ab≤4,不妨设a=8,b=12,则a+b=8+12故由“ab≤4”不能推出“a+b≤4”,故选A.答案:A6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是 ()解析:在汽车经过启动后的加速行驶阶段,路程随时间上升的速度越来越快,故图象的前边部分为凹升的形状;在汽车的匀速行驶阶段,路程随时间上升的速度保持不变,故图象的中间部分为线段;在汽车减速行驶之后停车阶段,路程随时间上升的速度越来越慢,故图象的后边部分为凸升的形状.分析四个选项中的图象,只有A选项满足要求,故选A.答案:A7.tan255°= ()A.23B.2+C.23D.2+解析:tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1-tan45答案:D8.若函数f(x)=|x|·1-2x2x+1,x∈[2023,2023]的值域是[m,n],则fA.22023 B.202321C.2 D.0解析:f(x)=|x|·1-2-x2-x+1=|x|·2x-1因为函数f(x)在区间[2023,2023]上的值域是[m,n],且区间[2023,2023]关于原点对称,所以m+n=0,则f(m+n)=f(0)=0,故选D.答案:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ()A.y=x B.y=x2C.y=1xD.y=1解析:根据题意,依次分析选项:对于选项A,y=x,是正比例函数,在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意;对于选项B,y=x2,是二次函数,在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意;对于选项C,y=1x,是反比例函数,在区间(0,+∞对于选项D,y=12x,是指数函数,在区间(0,+∞故选AB.答案:AB10.已知a,b,c,d是实数,则下列一定正确的有 ()A.a2+b2≥(B.a+1aC.若1a>1bD.若a<b<0,c<d<0,则ac>bd解析:由于2(a2+b2)(a+b)2=a2+b22ab=(ab)2≥0,所以a2+b2≥12(a+b)2B选项中,当a=1时,显然不成立,故B项错误;C选项中,当a=1,b=1时,显然有1a>1b,但D选项中,若a<b<0,c<d<0,则a>b>0,c>d>0,则根据不等式的性质可知ac>bd>0,故D项正确.故选AD.答案:AD11.已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ()A.a2+b2≥12B.2ab>1C.log2a+log2b≥2 D.a+b≤2答案:ABD12.若函数f(x)是偶函数,且f(5x)=f(5+x),若g(x)=f(x)sinπx,h(x)=f(x)cosπx,则下列说法正确的是 ()A.函数y=h(x)的最小正周期是10B.对任意的x∈R,都有g(x+5)=g(x5)C.函数y=h(x)的图象关于直线x=5对称D.函数y=g(x)的图象关于点(5,0)中心对称解析:由于f(x)是偶函数,且f(5x)=f(5+x),所以函数f(x)是周期为10的周期函数,不妨设f(x)=cosπ5对于A选项,由于h(x+5)=cos(π5x+π)cos(πx+5π)=cosπ5xcosπx=h(所以函数h(x)的最小正周期为5,故A选项说法错误;对于B选项,函数g(x)=cosπ5xsinπx,由于10是cosπ5x,sinπx的周期,故10是g(x)的周期,故g(x+5)=g(对于C选项,由于h(5x)=cos(ππ5x)cos(5ππx)=cosπ5xcosπx=h(结合前面分析可知h(5+x)=h(5x),故C选项说法正确;对于D选项,g(5+x)=cos(π5x+π)sin(πx+5π)=cosπ5xsinπg(5x)=cos(ππ5x)sin(5ππx)=cosπ5xsinπx=g(5故函数g(x)关于(5,0)对称,D选项说法正确.答案:BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(本题第一空2分,第二空3分)若二次函数f(x)=x2+mx3的两个零点为1和n,则n=3;若f(a)≤f(3),则a的取值范围是[5,3].解析:依题意可知f(1)=0,即1+m3=0,所以m=2,所以f(x)=x2+2x3=(x1)(x+3),所以f(x)的另一个零点为3,即n=3.由f(a)≤f(3),得a2+2a3≤12,即a2+2a15=(a+5)(a3)≤0,解得5≤a≤3.14.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=eax.若f(ln2)=8,则a=3.解析:因为ln2>0,所以f(ln2)=f(ln2)=ealn2=(eln2)a=2a=8,所以a=3.15.函数f(x)=sin(2x+3π2)3cosx的最小值为4解析:f(x)=sin(2x+3π2)3cosx=cos2x3cosx=2cos2x3cosx+1=2(cosx+34)2+因为1≤cosx≤1,所以4≤f(x)≤178,即最小值为416.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a1|)>f(2),则a的取值范围是1解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(∞,0)上单调递增,所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则由f(2|a1|)>f(2),得f(2|a1|)>f(2),即2|a1|<2,则|a1|<12,即四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①{x|a1≤x≤a},②{x|a≤x≤a+2},③{x|a≤x≤a+3}这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中.若问题中的a存在,求a的值;若a不存在,请说明理由.已知集合A=,B={x|x24x+3≤0}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解:由题意,知A不为空集,B={x|x24x+3≤0}={x|1≤x≤3}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B.当选条件①时,a-1解得2≤a≤3.所以实数a的取值范围是[2,3].当选条件②时,a≥1不等式组无解,所以不存在a的值满足题意.当选条件③时,a≥1不等式组无解,所以不存在a的值满足题意.18.(12分)已知函数f(x)=x3(a·2x2x)是偶函数,求a的值.解:因为f(x)=x3(a·2x22x),所以f(x)=x3(a·2x2x),因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(x),所以x3(a·2x2x)=x3(a·2x2x),整理得到(a1)(2x+2x)=0,所以a=1.19.(12分)已知a∈R,若关于x的不等式(1a)x24x+6>0的解集是(3,1).(1)解不等式2x2+(2a)xa>0;(2)若ax2+bx+3≥0的解集为R,求实数b的取值范围.解:(1)由题意,知1a<0,且3和1是关于x的方程(1a)x24x+6=0的两个根,则1-a<则2x2+(2a)xa>0即2x2x3>0,解得x<1或x>32故不等式2x2+(2a)xa>0的解集为(∞,1)∪(32,+∞)(2)ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0,若此不等式的解集为R,则b24×3×3≤0,解得6≤b≤6.故实数b的取值范围为[6,6].20.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)[ω>0,A>0,φ∈(0,π2)]的部分图象如图所示,其中点P是图象的一个最高点(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知α∈(π2,π),且sinα=513,求f(α解:(1)由图象,知函数的最大值为2,则A=2.由题图可得周期T=4[π12(π6)]由2πω=π,得ω=2又由题意,知2×π12+φ=2kπ+π2,k∈Z,及φ∈(0,π2),所以所以f(x)=2sin(2x+π3)(2)由α∈(π2,π),且sinα=5得cosα=1-sin所以f(α2)=2sin(2·α2+π3)=2(sinαcosπ3+cosαsinπ21.(12分)已知函数f(x)=(x+(1)求实数t的值.(2)是否存在实数b>a>0,使得当x∈[a,b]时,函数f(x)的值域为[22a,22b]?若存在,请求出实数a,b解:(1)因为函数f(x)=(x所以f(x)=f(x),所以(-x+1)(-x-(2)由(1)知f(x)=(x+1)(所以f(x)在区间[a,b]上是增函数.若x∈[a,b]时,f(x)的值域为[22a,22则f(a)=又因为b>a,所以不存在满足要求的实数a,b.22.(12分)设函数f(x)=sinx,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;(2)求函数y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2解:(1