2023考研：高等数学·基础篇

高等数学

•基础篇-

函数函限函投

第一节函数......................................................<2>

一•品故的蝴念兀甯更品敦......................................⑵

二、品社的性点..................................................3)

第二节极限......................................................<7)

一、M来的史念..................................................(7)

二.极限的代居..................................................

三,极限的存在汽则.............................................(12)

四.无方小黄....................................................13)

五、无害大蜚....................................................<H>

第三节函数的连续性...........................................(33)

一，违此性的祗.金................................................<33)

二、间新点及其分矣.............................................<35)

三,违心性的送4•与此演........................................136)

四.闭区同上连续防蜕的性发....................................(36)

手及9徽分

第

一,导*与总分的她令.........................................(10)

,•■二•导致公式及求导法■.......................................(II)

三、高的宇秋...................................................(18)

第微分中值定理及早数应川...............................一

»；?一•总分中(A定理................................................(55)

二,导效应用....................................................(57)

不定机分................................................"储

,一,不定我分的树.念与版.......................................(6N)

0二,不定仅分及乂公式............................................(70)

三、三款主妻领分法.......................................(71)

四,三长常必可船昌救枳才......................................(75)

定枳分/反常积分.......................................(X：D

第一节定积分..................................................(«3)

一•定枳分的税令................................................(H3>

二,定奴才的性成................................................(XI)

h

.三•央珍上限的品孰.............................................(85)

W.定如分的计耳................................................(85)

第二节反常积分................................................(91)

一、无一区同上的反常枳分......................................(91)

二,无不民效的反常规令.........................................(96)

流定供分的应川..........................................<1'»1>

一,几何应用..................................................(11”)

二•物理♦用•'*'.......................................<102)

假分"程.............................................<1川力

一、一fit的&本概念....................................<1<»7)

L

二•一阶微分方n.......................................<h>7)

三,可降阶的商院方我'if..........................<no>

门、高阶找性断分方程........................................<H1)

2

多元函数俄分学......................................

第一节多元函数的基本微念....................................<123>

一，多元品敕的极限...........................................（123）

二.多五法我的连结壮.......................................（121）

三.偏导我....................................................（125）

第日、全微分....................................................（126）

八

落第二节多元函数的微分法......................................（130）

一、及台醺教城分法...........................................（130）

二/2击效盘分法.............................................（130）

第三节多元函数的极值与显值.................................（137）

一、无为求极伍................................................（137）

二.条件极值及拉格朗日柒教法...............................（138）

三、最大我小值................................................（139）

:，n枳分.......................................................?«

笫।

九

•X一,二。机分的掘金及念衣....................................（H2）

二,二七做分的计算...........................................（143）

无力级数.......................................................

第一节常数项级数.............................................（仔”

一、愎会的概,意与性腐.........................................（150）

二,喊父的巾效尊联...........................................（151）

第二节Stttt..............................................（156）

平一•送绒道的收效率柱,收敛区间反收效域.....................（156）

r

景二,“级改的包罐..............................................（157）

三、岛-的■缆效展开........................................（157）

第三节傅里叶级效.............................................（161）

一•件2叶系式与件田叶绒收.................................（161）

二•收效定理（收利克需）......................................（164）

三,周期为2霏的晶盘的展开....................................（163）

E.网期为2/的工效的展开....................................（165>

向经代收^空间解析几何及

名无谈分学仔儿何I:的应川

第一节向量代数..............................................U69）

第二节空间平面与直线.......................................（171）

第三节曲面与空间曲线.......................................（171）

第四节多元微分学在几何上的应用...........................（176）

%山记办学及4应川.........................................

第一节三・积分..............................................（179）

三支粗分.......................................................（179）

第二节曲线积分................................................（1»3）

一、对我长的线枳分（第一大理积分）.........................<183>

二.时堂林的仪仪分（第二类二确分）.........................（184）

二,不二美线以分的计算.....................................（187）

第三节曲面积分..............................................<!<>0>

一•对•曲帜的面枳分《不一发而仅分）........................（190）

二.叶比林的面例分（第二具而我分）........................（191）

第四节多元积分应用.........................................（195）

第五节场论初步..............................................（197）

第一章的数根信连弦

大纲考试要求

大纲考试内容

效一敦二数三

的发的他念北令函数及分段画软的概念

无方小量的乱念而气连投柱的概念（含左连共与右连小）

理解1理解理解

同区间上述小品收的性收（有界性、笈大值加出小值定

理、介值文理）

的双的表示法出条初等函数的收点及其僧出

极限的叮W运算法«•］利用两个卡费极限求极尔的方法拿我室提室提

无方小弟的比技方法

品数的布库性.单调性、周期柱和奇偶姓

反；ut及检品款的观念初乎国秋的概念TM了解了解

连共的数的性质和初等西教的迷处姓

应用问题的由软关系会建立会ita会比立

国数间断点的臭型会到副会轲羽於弼.

用区间上述馋品收的性收会应用会应用会应用

登”极限和昆4tM限的蝌.念

品软左极根与右极雁的概念理冢理解理髀

的数仪限存在与左极限.右极般之间的关系

无岑大爻的蛾金

理解此斛a解

无穷大量与无穷小量的关系

极濯的林度与现果存在的两个渔财掌握拿提了解

极限存在的两个〃则求枫果会利用T*

等价无方小受求极限।会用会用会用

元由•小量的&本性晚理解或解JT坪

匕，生至-长

第一节函数

O考试内容概要

,函数的凡念及常见函数

!•生效

£、足曲个费盘・，）是一个：为敌案.如与你个数，£〃♦殳3.，拉

JR一定的法，总有一八辆定的数空.、•和它对应•刻松.v勺蠹数•记为

vy（.，）・.，£0.

L—,自变量.「因变量・”卜士二点七定义域・.'；〃.*I）"

潞微值“，）—'，：,：•“，i；：;，值域.KA/（/».»

RR/（/>>—<vIy/（.r）・.，6/>,

【注】函数/iffl个璃公要能：定义域.U应规即或称依赣关系）.呻两个函»的定义域

9封应埋则完全相同时•它GI就型同一函数.

【例I】函数

I-I.r<0.

vsun.r0..1-（i.

I..1><）,

称为符号函数.

I9i2]设，为仔意实数•不都过，£大要数称为，的整数部分•记为【.『1.函数.v-

U二称为取整语《L

【注】取出函数的不等式:，I]」，.

2.1全国报

宅，设'热.，・八八的3义鹿为”.为数〃小，）主定义垃尢〃.小城上K・千

”,CR/它♦典称的战.、,-/“，）为由数.V-八〃）与〃一*《.，）的复合函数•它的正义

域为「♦I.，eis€oj.

【注】不足任何四个雨故都叫以乂合•如Y八">In〃和“#（.，）<n/I就

不能“介♦这拈山「D"・，>•/<:2.0・/）。K-.

•V•

i3数板机连续

3.及函数

.•为我.V—八八的t义域为〃•值域「f,；一，一二冷端::

〃•使-，（」）・□记为」f（］）•称其为ft教.v"，）；工反语数.

【注】（I）不及从个南故居仃反而敌.加了一，“反南数•而丫.1段有反雨数.

।•0,.r<I・

（2）单期函数•定行反雨故.但反之则不然.如八.C--〃亚丽

3.t•1.」£2

数・倒不单渊.

（3）外时也将F八」）的反函数」/心）。成.V/（.—.在同小系中.

VK.1）和，=/（W的图形币:合・「一/（r）和.、,/（，）的图形关于八戏V।（I你.

（D/L/"）」=，・，/（•）」—」・

【例3】求1教V-如」=r卢沱反函教.

好———

由.、,=已/知

f2vv,10・

慨将，•=y+yr+y.|

由于e・>0•则

<**—.V+MIIV*•

.1—ill（.v=、I♦V1・

则禹数v—、卜，—V-一^六一的反函数为.V=，1+尸》.

I.4力3品致

的3•增刑片故.泪教函牧.鱼：教及反鱼隹JVQt为基本初等函数.

第忑第V-，％J；★荔）

<I）*「故.VL的定义域和值域取决♦〃“取值•当时・Y-广都有定义.

⑵常见孱的数g-1.

.4

“，〃«tJ-I*

（I）定义域：（・）•臂域：（”・•>.

（2）生当〃>1对・.、，=</电谑堵iV（）・“VI时・.v=“.单调减.

（3》常见用数洒故；、=，•中班照.litnr,-0.linic♦«,.

讨效嫉故yr1，收.，J-1.<4I）

3）定义域：（。・1）•伯域：（­.4）.

④⑨®④但小名

>单调性:当。I3"单漫44:c“•：—・、=l<»K,.r单第温

（3）常见本数话故：了Int•i.?In.liniIn/—・limIn।—•.

1•

\_'illt•y<t»••y—“illj・ymli•y-*tr/・yr*rr

<1>正核由收sini勺余Oqtc<》si

j定义域：（・）•仙—i.r.

②奇偶4i、inj是一密数・COKJ«*偶函数.

;，潦期性：Mti,和rtw工―以2…期.

①有界性:Isin.1•1.<,<»<r|I.

（2）正切品>lan，与余切得与coii

①定义域：

tan.；的定义岗「，…:”・£Z）：:；、*，：

,

，的定义域为.，­,W，）的V）i秋

2至偶々Em，和《5,2；翅匕.•:也.

⑶闾明斗-n『和rot-都以K-一期.

・“，7"t.y=;»r<»<i*!.vart'lnn，

（I）反正，式J，.aresinJ与氏—一品itarrei».r

J定义域i1・1】•值域：）心in，？,'©：；「一：；•：；-arcWH»内值就为•二.

L■■.

2单调片iiirc+n.，单谓2.arccus」单洞或.

③奇偶性：“「EnJ是奇的致.

I、杓界F:nrcsin.r-.:.arrms.rr.

<2）反正切品及arrlanj

I定义城：《・）•什1—（:

一单调处xurcumJ里调增.

5；奇儡斗xarcun/是一匡政.

「为界'”：nrrinnJ♦J

,

文人由常效和从小初，；*故"it有双次内/ZKM,区次线由故复合身诧成K可

用一个式子表示的居数•称为初等函数.

、函教.竹痂

1.，徜代

£-设函数，，在某5/•有定义•如果对于区间/二一，tS

f]/（.r）/（，（或八，）l（.i）>.!1Vy八」—内弟调增加（鼻单调减少

3-t品改如限逢处

【注】南故的单蝴件屉利川中两件的定义和•阶山致晌1E负进行月定.

2.奇偈收

/（「）依】：/）•,对称（即若，£Q•则占一.，6Q）•圮干

仔二,r6〃♦二宝:/

f<J»/（.，）・

城―为〃偶函数；力迫

/1r）/（.,）・

则称f（，一/）卜的奇西也

【注】<I>sin，・tan/.aresin,t•arctiinr.In

./（.，）I（，J都止奇FflV（;».i.v<»>，♦/一）♦/（-，）柘足偶函数.

⑶奇雨故.v/《，）的国附关「领点M称-1"八，）A，“处〃定义.则〃一山

他两故的图形关干.V*川称,

（：，）四;令（偏）函以之田3有，偏》翁力•网个小|峨通敕二根必为部函数.介函数叮

偶函放之阻必为价由收.

【例』】证冏八，）ln（,-、1•/）是左*.舐.

<L

显然f（.r）=|n（/tJi♦，）的定义城关干守点对伤.生于

八一」）hit.rt、'I.r>hi—I-一（石理化）

J♦J\一/

-―hit.r♦♦r）/（3）•

处八」）一InJ♦<「r）是奇小了.

3.周划收

二/•一，//，一八，）.贝正、周期国

数.—♦：小了用。：；,卜，7「/（।।最小正周期——J）的周期.

【注】（I2in.，ftlr<>5t142K为周期・、m2r.smJ.i;m/«coi.t17K力科断.

（2）桁〃7以丁为科斯・喇八山b）H1为周期.

</

I.若卡代

，工工山丫八,，1勺\'（乂.，♦在右M-d5U仟音•的」6\.恒号

/（»）;\/.

「/"\’有界函数.一，\无界函数.即8如祟对任怠的V«.至

"J个，£\•使“八，>”・□/（，），、t工无界函数.

承⑨，④兄K%

【注】如果没行指如上的祖围.而说“〃，）为有界雨故”•必措f（-r）八K定N域I：

为rr界南数.

<2）常见的〃界函数：

*inrI•rt».1I•aroin，!片.arttan/<'：・;irrv（»，&K.

3《

【例5】讦明函数八」）=asin.r是无界函数.

，证—--------------------------------------------------------------------

1I/（5厂刃=2而，卜所以.,一:V.只要正整数，一，卜大•总有

|/（2wx+1）I.2"u-；M・

故届数八，）二.，，加，是无界的数.

，常匕题"J"」典型例题

«9H9

I.谗教育界性，单周性、周比性及奇偈性的刘定

2,复合南数

,w（|界<1,单叫竹、用网片及向偶11的判定

KM6],■7•1.11X•v'八，>是

（A）偶函数.《B）无界密数.

（C）周期函数.（1»必调的敌.

a灯及火谛注介在世勺外戈多；・・。与，1•公*H04》

[B]

0指1!21）年ft学四试卷的学题.后同.

Z三,品数极限连姓

,V介函麴

7]（2WI•数二）设八'、贝I/八，）.等于

0..r•I.

.I•1xI•0.Ix,.I•

（A）0.（B）L<（>（l»c

<».।J>1.1.xI1.

得----------------—______

当」I对・./《/»-I.I01・3/1/（.，）I：

当1/>I时・/<.，•）二。・c&1•叫/[八上）：h

W门一1•故应选（1力.

【例》】（19X8•故一.二）已知八.r）>mr./"（r>~I•则夕（，）

的定义珑为.

M-

由/（」）；*in.，♦/*（」）-1一.，・葭

♦in不<">1x.

ff（I）：troin（Ii）•

这里1x|--虎・，•卢.

第二节极限

o考试内容概要

、我限俏惧念

I.致用的极收

攵工如果对于仟意给定的■二。.总存引才有

I，、0|V£

成立.则称常数〃为政列..J当〃趋于/穷对的极限•记〉lim,.u.

1•

【刃】“"是川来刎周八9〃的接近科'隙•、足川北刻则〃»这个拔限过程.

（3lirn,，〃的几何心「〃点的任何£邻域即间

•»•ZJZU-t（“一八”C.一定，“1\.

,"7即第坝以行的点八册落，/nxfiij（<；.・〃一.）内.哪1!〃〃网个（蛇名“V个）

住这X间之外.

•7•

<3）数列（八的微限比否存在•如果你作槌限值等r步少与数列的前于限项无关.

<I）lim-“GUmi,=lim.r—a.

・♦，・IIJ••

【01]（2006.我三>lim（"」）=.

斛-一

【方法1当〃为奇数时田（七」）」：J

\HfIIII

lim.t.-lim-^―：~1.

-•••w4I

当，，为鸿敛时・•，,一

〃

lim八一lim-------1.

•-o・n

卯=lim（"；」）=1.

,[方法】由于（宁）,&（宁厂>廿」・

由央遇冷则知!小（，；3）'=1,

【92】试证用3

(I)lini.r,lim.I-1u.伊反之不成。*

(2>iirn.r.=0的充分必要条件是lim.，.-0.

辽

(I)由Jlim.i,"及段列极限定义知・VG0.3、>()・、]〃\电.

••

J*.-a<€.

又”“1-1”141，・«.则Ve>0・m、'>C•当〃：・、'时・

I|x,|-1<«1l<«-

故limJ「丁\u\.

••

反之不成立•例如a-(|1].但110^・・1讪(”・不有4・

■—ir^••

(2)由⑴可知•若limj=0・[Jlim.，.=|0|-0.

w・•一••

所以.以卜只要注明：若1加。」=O.gjlmu,-0.

•••

由lim，.|=。可知・▼・><)・三、>0.当〃>、时・

••-

Ilxj-O|<c.

即”■一oIv■•故原

・K・

部我极限逢蛙

2.由数的极限

，人若对任意给定小E“•总乙，.\T：・，，XEI/（r）\£•则称

常敖.'为/（，）当，，一堂极限・1一巾"“，）.\.

意给定的g二.X\.1£•

号常数人为/J）工，*丁的S限.出力hl“八，》一\

1•

.\•\.'\£•

刃称拿敖.'支八，〉当」・玄学极限.己为IE”J，・，

••

【汗】这里的.，•是指，…，向故列低跳中的〃》是指〃….

£理极限存在的充要条件是极限lim-，）及lim〃.，I-在井且相等.

・•-•••

<，.若对仔也给定/£>。•总存在，；”.、），，汆I•伯力/<.r>A<

£・刘称调M'为手敛人.「）'，•，三极段..二li“i八」）一・\・

4••

1.1}“）£北川来刻州/（，>,/、的按近仃收•3是用来划岫」•，这个极限过电

<2）几何点文：《寸任意绐定的，•0・总，“"（，・8》.“i.，E[<，.♦）时•仙我.v/（.|）

夹住强化线丫=八一£和丫「\一<之间.

（3）这里.，•，•但・，，•械限Hni八小止否〃住•如果〃住极限值等JB少，八.，）

在，，处力没打定义，如果内定N雨钗I匕少无大•只，，一，的去心然域，《，・6）

雨数值有关.加嘤在・〃『）・0倒在lJ的奈去心邻域「<r•浦处处仃定义.

・♦，

若谢任章给定的£>n・总存<•当1-6V，"时•恒有/<r）AL

£,则称常数八为济数/*）当X•，时的左极限.记为

lim/（.1）A.Afit）.1・戈八，一n）\.

一，

省『：定的£>“,总存力》•“."i，，<.，•，.z八，）\1<

e・则株常数人为逆数，（」）当二•，时的右横■•记为

lim/（.I>—,1.或八，）.\•或八"<>>=.A.

<-•t

定.极限巾“/（r）存4的无序条件是左极限1讪八，）及彳极限lim八G存在并0一等.

---

【注】由暮分生,行横IW分微取的同期常如仃以K•»：

（I）分段函数一分界,也处的梃.•而八该分界点两例函数入达A公M（这甲也包括带在

绝对的的雨散.如lim上）.

,••x

（2）e一—限（如linw•lime.liinv>

・9・

⑥④a®

lime—()<Innv--.则hmc4'(fft：

4•••'

linic(■=­«：.limv.则lime不存在.

••J・♦♦・•

[i:]cW-.e—一・0-0.

C3>nrctan1s极限(如limaivian-•limarctan.t)

limarcun.limarvian*-2・Mflimaretail不存C;

limard;mr=力.lifnarrlan」Uijliinnrctan.r不存

JT一

[，王];irrt;m.:.).;irri;ui(->:;.ar<i;m(—)

CM3]（1992•屐一、二.三）当.，一I二•士

•T一

（B>弓T（（、》为.“））不彳f"但人为•.

本JH中出现C.所以更分五,；、；工

产-2Xo

lim

所以lim•不存七.但不是.应胃（I））.

•I.11

【«1;(2，)21.教三)ar<i;tn:•(I+|,)；"会.求a的仙.

M-----

市于litnaarctnn•<IJ)存？I・「

，•，L工•

、伊果的H版

I.""

」*,.।/、兴八丁

（；]反之不成S,反例为，=<I尸.「然•之数的仃界仰/收敛•由此可W“琳Ji

与二♦品盘板般连续

敢列收敛的必«条件向作充分*件・无界数列一定发散•似发散数列不•定尢界・

<-；^>.，汉，.[八,，匚，=.：F：«|<<]»,

■•

【注】反之不成九反例为八，）、mI.核雨馥住，一。的人心邻域行界•似它〃，-

4・

0处的楣限沙in十代〃住.

2.保号检

《徵列》设lini#・L

（I）如果>4或八<n）・3存在'<）.]〃，\时・，.•，-<）i

（2）女:果在存、什・3〃.、时..，.o（*<，"・；!.！）。（工八:

【注】注总结论II）中止产恪公等号（或“而（2）中是『严格小等，，丁或）.

<.-）-I/（J:=.V

（11:W\>0，或人<。）・则存在庆：・0.当，£C</.（?）n|./（/>T机19

（2）如果存在"u・当.，w。（,，・加时♦/（1）。（或/（.『），。）•那么八—“）.

【例5】3”一・；「，..；;」“‘一=I•员"上点J”

<•-（।a>

（的导数，在•目/'（“>，（）.）取代为大侑.

（0/（J）取得机小您.的导致人有4.

*-

【方法】直接法贝『出""‘'I改W仃*'：，・寿二，；

•（，一。）

。•当heL*<u.a>时.

（ra）,

乂闪为当，6匹〃“）时・（，一〃）>0.^/I।>/（<^><<>.U?

/（.1></<</）.

内极值的定义御4在1〃处/<>>取得理大伍.

【方法】排除法令八.，）-（r，”弋八，）漏总/没条，♦生。「

u处/（X）可导目/'（“）。•城根大仙•则受心（―不1确.故7位《I力.

3.技放优劣也令小之间的上A

)-；\f(j)-«<.1)・

U中Hmo(.r)

•11•

4

,出网的（i（\41则

1.女逅我见

'♦-\?,.i：.Rlim.r.-lime.-a•,

2.，柳十弓戊则

单濡在界敛外必有极限,即单调信（选）有t<b）界尔教为必不极限.

［）（I）夹地用则比较多地用八求〃网和的收列微限匕•而中凋〃界加则比较多地兄

川住求递招关系，/".）所定义的数列极限上M2）雨文极限电育对应的1乂上利条存在

淮期.

「小」求极时（〃］一〃'%〃七J

由二

又liin—一—lim/一

••H*it・•〃-I

田夬通原理£.（六丁〃？七）L

【'?厂】求极限lim.r,.

鳍-y-

AT*—1<.11"1石

，_.r..1

上式两谈同乘以，健

由央通.原理知hm.「2-I.

.一J-

「】求极Wm；「

好

［耳］由子"足移大药专