2023-2024学年九年级数学下册常考点微提分精练（苏科版）期末难点特训（二）与圆综合有关的压轴题含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训

二（与圆综合有关的压轴题）

1.与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线.如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫

做这两个圆的外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则这条公切线叫做这两个圆的内公切线.

⑴如图①，回P、但0只有一个公共点，0P与团。的公切线的条数是.

（2）如图②，4和8分别是0P和团。上的点，PA^QB.连接48并反向延长，交射线00于点C,CD

与回尸相切，切点为O.求证：CD是0P与0。的外公切线.

⑶如图③，加在团0外，用直尺和圆规作图：（在①和②中住造二期完成）

①作同尸和团。的一条外公切线；

②作E1P和田。的一条内公切线.（保留作图痕迹，不写作法.）

⑷如图④，团P在国。外，直线48是两圆的外公切线，切点分别为力、B,直线C0是两圆的内公切

线，切点分别为C、D.已知（3尸、团。的半径分别为1和2,若线段48、CO的长分别为a和6,M

毯与出〃与b之间的相等关系.

2.【数学认识】

数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与

边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系.

【构造模型】

（1）如图①，已知出18C,在直线5。上用直尺与圆规作点O,使得西。5=3mC8.

（不写作法，保留作图痕迹）

【应用模型】

已知出18c是田。的内接三角形，团。的半径为八出18C的周长为c.

（2）如图②，若厂=5,48=8,求c的取值范围.

（3）如图③，已知线段MN,力8是口。一条定长的弦，用直尺与圆规作点C,使得。=MM（不写

作法，保留作图痕迹）

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点4与点8的坐标分别是（1,0）,（7,0）.

⑴对于坐标平面内的一点尸，给出如下定义：如果出1尸4=45。，那么称点尸为线段44的“完美点”.

①设4、B、P三点所在圆的圆心为C,则点。的坐标是,团。的半径是；

②y轴正半轴上是否有线段48的"完美点"？如果有，求出“完美点〃的坐标；如果没有，请说明理

由；

（2）若点尸在y轴负半轴上运动，则当EL4P8的度数最大时，点尸的坐标为.

4.数学概念

若点尸在A4BC的内部，且NAP8、N3PC和NC/X中有两个角相等，则称P是AABC的”等角点〃，

特别地，若这三个角都相等，则称P是A48C的“强等角点〃.

理解概念

（1）若点?是AA8C的等角点，且NAPB=100,则尸C的度数是。.

（2）已知点。在A4BC的外部，且与点A在的异侧，并满足NBDC+/84Cv180,作AfiCD的

外接圆。，连接40,交圆。于点P.当凶8的边满足下面的条件时，求证：P是AABC的等角点.

（要求：只选择其中一道题进行证明！）

①如图①，DB=DC

②如图②，BC=BD

①②③

深入思考

（3）如图③，在AABC中，/A、/B、NC均小于120,用直尺和圆规作它的强等角点Q.（不

写作法，保留作图痕迹）

（4）下列关于“等角点”、“强等角点〃的说法：

①直角三角形的内心是它的等角点；

②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；

③正三角形的中心是它的强等角点；

④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；

⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的

有.（填序号）

5.在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0,0）、B（6,0）、C（6,8）,由三个

观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.

（1）某时刻海面上出现一渔船4在观测点O测得力位于北偏东45。，同时在观测点8测得力位

于北偏东30。，求观测点5到4船的距离.（6。1.7）

（2）若渔船力由（1）中位置向正西方向航行，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答.

北匕”

6'...46,0厂

6.如图，4、区两点的坐标分别为（。，4）,（0,2）,点尸为x轴正半轴上一动点.过点/作/尸的

垂线，过点8作8P的垂线，两垂线交于点。，连接尸。，〃为线段尸。的中点.

（1）求证：4口5口尸匚。四点在以“为圆心的同一个圆上；

（2）当团M与x轴相切时，求点。的坐标；

（3）当点P从点（1,0）运动到点（2,0）时，请直接写出线段QW扫过图形的面积.

7.如图1,在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD,其三个顶点的坐标分别为A(2,0),B(8,0),

C(8,3),将直线/：・K=TX-3以每秒3个单位的速度向右运动，设运动时间为t秒.

(1)当弋=时，直线/经过点A(直接填写答案)；

(2)设直线/扫过矩形ABCD的面积为S,试求S>0时S与t的函数关系式；

(3)在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的回M,在直线/出发的同时，回M以每秒

2个单位的速度向右运动，如图2,则当t为何值时，直线/与回M相切？

8.定义：如图①，0。的半径为r,若点P，在射线OP上，且。尸。。=产，则称点P，是点P关于

。的“反演点”.

(1)如图①，设射线OP与OO交于点A,若点产是点P关于OO的“反演点”，且OP=尸A,求证：

点P为线段OP的一个黄金分割点；

(2)如图②，若点P是点P关于OO的“反演点〃，过点P作PB_LO尸，交。。于点B,连接PB,

求证：即为1)0的切线；

(3)如图③，在RfACDE中,ZE=90°,CE=6,DE=8,以CE为直径作QO,若点P为8边上

一动点，点P是点P关于O的“反演点"，则在点P运动的过程中，线段OP'长度的取值范围是

9.已知：BD为00的直径，。为圆心，点A为圆上一点，过点B作团0的切线交DA的延长线于点F,

点C为(30上一点，且AB=AC,连接BC交AD于点E,连接AC.

⑴如图1,求证：团ABF=0ABC；

⑵如图2,点H为团。内部一点，连接。H,CH若团。HC=(3HCA=9(r时，求证：CH=JDA；

(3)在⑵的条件下,若0H=6,回。的半径为10,求CE的长.

3

10.如图1,直线I：y=-^x+b与X轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段0A上一动点

(0<AC当.以点A为圆心,

AC长为半径作A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE

图1

(1)求直线I的函数表达式和tan/BAO的值;

(2)如图2,连结CE,当CE=EF时,

①求证：OCE0..OEA；

②求点E的坐标;

⑶当点C在线段0A上运动时，求OE-EF的最大值.

11.如图，已知Rta48c的直角边ZC与RtSM厅的直角边。产在同一条直线上，且ZC=60cm,8C=45cm,

DF=6cm,EF=8cm.现将点C与点尸重合，再以4cm/s的速度沿

C4方向移动团OEA同时，点尸从点力出发，以5cm/s的速度沿方向移动.设移动时间为/(5),

以点尸为圆心，3Z（cm）长为半径的团户与直线48相交于点M,N,当点厂与点力重合时，BDEF

与点P同时停止移动，在移动过程中：

（1）连接ME,当时，t=s；

（2）连接NF,当X"平分DE时，求t的值；

（3）是否存在（3?与RtBOE/的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出f的值；若

不存在，说明理由.

12.如图，团M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（・3,1）,点A的坐标为（2,

0）,点B的坐标为（1,-6），点D在X轴上，且点D在点A的右侧.

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若（3M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长

度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当团M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC,

求t的值及团MAC的度数；

（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值.

13.如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（0,2）,点。在x轴的正半轴上，NODB=30°,

0E为I3BOD的中线，过B、E两点的抛物线y=a^+*x+c与x轴相交于A、尸两点（A在产的

左侧）.

(1)求抛物线的解析式；

(2)等边(3OMV的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；

(3)点尸为OAB。内的一个动点，设帆请直接写出胴的最小值，以及俄取得最小

值时，线段4P的长.

14.如图1抛物线产-/+岳r+c与x轴交于点力(-1,0)、B(3,0),与歹轴交于点C顶点为。，对

称轴交x轴于点。，过。、。两点作直线CD

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵如图2,连接C。、CB,点尸是抛物线上一点，当□OCP=nBCQ时，求点尸的坐标；

⑶若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过力、8两点，且与直线CQ相切，求

点M的坐标.

15.如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8分别交x轴、y轴于点A、B,团0的半径为2严个

单位长度.点P为直线y=-x+8上的动点，过点P作(3。的切线PC、PD,切点分别为C、D,且P03PD.

(2)求点P的坐标；

(3)如图乙，若直线y=-x+b将(30的圆周分成两段弧长之比为1：3,请直接写出b的值

(4)向右移动团0(圆心。始终保持在x轴上)，试求出当团0与直线y=-x+8有交点时圆心。的横

坐标m的取值范围.

16.如图，在直角坐标系中，抛物线)，=加+从-2与x轴交于点4(-3,0)、8(1,0),与y轴交于点

c.

（2）在抛物线上是否存在点。，使得△力8。的面积等于△48C的面积的（倍？若存在，求出点。的

坐标：若不存在，请说明理由.

（3）若点£是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点尸是4E的中点，请直接写出线段。户的

最大值和最小值.

17.如图1,C、。为半圆。上的两点，且点。是弧8C的中点.连接ZC并延长，与3。的延长线

相交于点E.

图3

⑵连接4。与OC、8c分别交于点尸、H.

①若CF=CH,如图2,求证：CH=CE；

②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求4c的值.

18.如图1,已知矩形/3CO中AA=26,AD=3,点E为射线4c上一点，连接OE,以。E为直径

作团0

（1）如图2,当8£=1时，求证：48是回。的切线

（2）如图3,当点石为8c的中点时，连接力上交回。于点尸，连接W,求证：CF二CD

（3）当点E在射线5C上运动时，整个运动过程中C尸长度是否存在最小值？若存在请直接写出

CP长度的最小值；若不存在，请说明理由.

期末难点特训二（与圆综合有关的压轴题）

1.与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线.如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫

做这两个圆的外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则这条公切线叫做这两个圆的内公切线.

⑴如图①，回尸、回0只有一个公共点，胪与团。的公切线的条数是.

（2）如图②，4和8分别是胪和团。上的点，PA^QB.连接48并反向延长，交射线2P于点C,CD

与团尸相切.切点为。.求证：。是HP与130的外公切线.

⑶如图③，即在回。外，用直尺和圆规作图：（在①和②中住造二尊完成）

①作团尸和团。的一条外公切线；

②作和团。的一条内公切线.（保留作图痕迹，不写作法.）

⑷如图④，国尸在田。外，直线力8是两圆的外公切线，切点分别为力、B,直线8是两圆的内公切

线，切点分别为C、D.已知团尸、团。的半径分别为1和2,若线段48、CO的长分别为。和从耳

毯写出a与6之间的相等关系.

【答案】（1）3；

（2）证明见详解；

⑶见详解；

(4)a2—b2=8

【分析】（1）理解题意，根据题意找到复合的圆的切线即可；

（2）连接尸过点。作。物8,应用圆的性质，证明0DCR30EC。即可求证；

（3）根据题意作图即可；

（4）连接力P、CP、PE、DQ、EQ、BQ,根据切线的性质证明MAEwAPCE,XQDEM&QBE,进

而证APCEAQDE•即可求解；

⑴

⑵

如图①，连接尸。，过点。作。比1CZ）,垂足为E.

①

加CRWC。.

APCP

^BQ=CQ-

团CO与团尸相切，切点为。,

^CD^DP.

回。

团［3。0。=团。£。=90°.

WP^EQ.

WDCPmECQ.

DPCP

^~EQ='CQ'

DPAP

0—=——.

EQBQ

BAP=DP,

BEQ=BQ,

团CO与回。相切，即CO是断与回。的外公切线.

⑶

如图②，直线/即为两圆的外公切线；

如图③，直线用即为两圆的内公切线.

(4)

如图，连接力尸、CP、PE、DQ、EQ、BQ

则有Z.PAE=NPCE=ZQDE=4QBE=90°

易证APA石主△尸CE,AQDE^kQBE

^^AEP=ACEP,/DEQ=/BEQ

0/AEP+NCEP+NDEQ+/BEQ=180°

^/PEQ=90°

0\PCEXQDE

CEQD

0——

PCDE

团AE=C£DE=BE

0AB—DE=CE=a,CD+DE=CE=b

l3CE=；(a+b)

CEOD5("+")

回吃二丝2---------2

PCDE1a-^a+b)

0fr—62=8.

【点睛】本题主要考查了圆的性质、三角形的全等、三角形的相似，此题以圆为基础，引申出以圆

的性质相关的新概念，解本题的关键在于掌握圆的相关知识，结合三角形的全等、相似进行求解.

2.【数学认识】

数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与

边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系.

【构造模型】

（1）如图①，已知出18C,在直线5。上用直尺与圆规作点。，使得

（不写作法，保留作图痕迹）

【应用模型】

已知（3J8C是团。的内接三角形，团。的半径为入的8c的周长为c.

（2）如图②，若r=5,AB=8,求c的取值范围.

②

（3）如图③，已知线段MV,48是（30一条定长的弦，用直尺与圆规作点C,使得c=MN.（不写

作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）见解析；（2）16＜把8+86；（3）见解析

【分析】（1）可找到两个这样的点：①当点。在5。的延长线上时：以点C为圆心，4C长为半径，

交8C的延长线于点O,连接4。，即为所求；②当点。在C8的延长线上时：以点/为圆心，AD

长为半径，交CB的延长线于点A，连接AR,即为所求；两种情况均可利用等腰三角形的性质及

三角形外角的性质证明；

（2）考虑最极端的情况：当C与4或8重合时，贝|JC4+C8=AB=8,可得此时c、=16,根据题意

可得。＞16,当点C为优弧力片的中点时，连接4C并延长至4使得m=利用等腰三角形的

性质及三角形外角性质可得点。的运动轨迹为一个圆，点C为优弧43的中点时，点C即为

外接圆的圆心，力。长为半径，连接C0并延长交于点E,连接力0,根据垂径定理及勾股定理

可得AC=4VS,当40为直径时，。最大即可得；

（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作力8的垂直平分线交回0于点P；第2步：以点尸

为圆心，刃为半径作团P；第3步：在上截取48的长度；第4步：以/为圆心，MN减去AB

的长为半径画弧交胪于点民第5步：连接4E交团。于点G即为所求；方法二：第1步：在圆上

取点O，连接力。、BD,延长力。使得即=80；第2步：作▲他£：的外接圆；第3步：在MN上

截取力B的长度；第4步：以点力为圆心，减去43的长为半径画弧交加8E的外接圆于点尸：

第5步：连接4尸交团。于点C,即为所求.

【详解】（1）如图所示：①当点。在BC的延长线上时：以点C为圆心，长为半径，交8c的

延长线于点O,连接力。，即为所求；②当点。在的延长线上时：以点4为圆心，力。长为半

径，交C8的延长线于点连接AR,即为所求；

证明：①•.•AC=CO,

.-.ZCm=ZCAD,

.•.ZCDA=-ZfiC4：

2

同理可证明ZCD,A=gZBCA；

(2)当C与4或8重合时，则C4+C8=A8=8,

:.c=CA+CB+AB=16,

v2ABC,

如图，当点C为优弧力〃的中点时，连接4C并延长至。，使得CO=C8,

/.ZD=-Z4CT,

2

团同弧所对的圆周角相等，

•••ZAC3为定角，

团NO为定角，

团点。的运动轨迹为一个圆，当点C为优弧48的中点时，点。即为外接圆的圆心，力C长为

半径，连接CO并延长交48于点£连接/O,

由垂径定理可得：CE垂直平分48,

HAE=-AS=4,

2

在RfaAO七中，

OE=>JAO2-AE2=3»

.•立=5+3=8,

;AC=ylAE2+CE2=742+82=4>/5，

的1。为直径时最长，

回AC+8C=AO=8>5最长，

机48c的周长最长.

团c最长为AB+AC+BC=8+85

配的取值范围为：16<。48+8后；

（3）方法一：

第1步：作的垂直平分线交00于点P；

第2步：以点尸为圆心，玄为半径作团尸；

第3步：在A/N上截取48的长度；

第4步：以/为圆心，MN减去的长为半径画弧交回产于点£；

第5步：连接4E交团。于点G即为所求；

方法二：

笫1步：在圆上取点。，连接力。、BD,延长使得ED=6£>;

第2步：作二ABE的外接圆；

第3步：在MN上截取力6的长度；

第4步：以点力为圆心，MN减去43的长为半径画弧交出/8E的外接圆于点尸;

第5步：连接力产交团。于点C,即为所求.

【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，勾股定理，垂径定理，角的作法等,

理解题意，综合运用各个知识点作图是解题关键.

3.如图，在平面直角坐标系》。），中，点力与点8的坐标分别是（1,0）,（7,0）.

⑴对于坐标平面内的一点P,给出如下定义：如果出1PB=45。，那么称点夕为线段43的“完美点”.

①设4、B、P三点所在圆的圆心为G则点C的坐标是,国C的半径是；

②y轴正半轴上是否有线段48的〃完美点"？如果有，求出“完美点〃的坐标；如果没有，请说明理

由；

⑵若点P在y轴负半轴上运动，则当0JPB的度数最大时，点尸的坐标为.

【答案】（1）①（4,3）或C（4,-3）,3五，@（0,3+72）,（0,3-72）

⑵尸（0,-万）

【分析】（1）①在x轴的上方，作以48为斜边的等腰直角三角形的C8,易知4B,尸三点在团C

上，圆心。的坐标为（4,3）,半径为3正，根据对称性可知点C（4,-3）也满足条件；②当圆心为C

（4,3）时，过点。作S期轴于。，则。（0,3）,8=4,根据（3C的半径得（3C与y轴相交，设

交点为4,巴，此时4,6在V轴的正半轴上，连接C[、C£、C4,则C[=CE=C4=r=3夜，得勺=应,

即可得：

（2）如果点P在y轴的负半轴上，设此时圆心为£则E在第四象限，在y轴的负半轴上任取一点

M不与点P重合），连接MB,PA,PB,设M8交于此于点N,连接加，则曲（。8=曲'8,^ANB

是0A"N的外角，^ANBz^AMB,即a4PB过点E作£7诅x轴于尸，连接£4,EP,贝lj/尸=々

>45=3,OP=4,四边形OPE尸是矩形，OP=EF,PE=OF=4,得EF=币,则OP=J7,即可得.

⑴

①如图1中,

在x轴的上方，作以为斜边的等腰直角三角形出1C8,易知4B,尸三点在国C上,

圆心C的坐标为(4,3),半径为30,

根据对称性可知点C(4,-3)也满足条件，

故答案是：(4,3)或C(4,-3),3五，

②y轴的正半轴上存在线段48的“等角点〃。

如图2所示，当圆心为C(4,3)时，过点。作CO砂轴于0,则0(0,3),CD=4,

即]C的半径r=3近>4,

酬。与y轴相交，

设交点为R,P”此时R,鸟在y轴的正半轴上,

连接飞、/、CA,则C[=CE=C4=r=3夜，

回。他轴，C£>=4,CP、=30,

团Dg=朝=Jc产-CD，=7（3\/2）2-42=x/2,

回4（0,3+夜），6（0,3—立）；

当圆心为C（4,-3）时，点P在y轴的负半轴上，不符合题意;

故答案为：（0,3+72）,（0,3-夜）

⑵

当过点48的圆与歹轴负半轴相切于点尸时，的PB最大，理由如下:

如果点尸在y轴的负半轴上，设此时圆心为E,则E在第四象限，

如图3所示，在y轴的负半轴上任取一点M（不与点尸重合），

连接M4,MB,PA,PB,设MB交于I2E于点M连接Mi,

回点P,点N在团E上，

回班尸

团财NB是13M4N的外角，

即的1尸8>创MB,

此时，过点E作成密轴于凡连接E4,EP,则力尸=g/8=3,。尸=4,

EOE与y轴相切于点P,则EP眇轴，

国四边形OPEF是矩形，OP=EF,PE=OF=4,

即IE的半径为4,即£4=4,

国在R&E尸中，EE=VEA2-AF2=>/42-32=>

团。尸=",

即尸（0,-"）.

故答案为：P3,-币）

【点睛】本题考查了圆与三角形，勾股定理，三角形的外角，矩形的性质，解题的关键是掌握这些

知识点.

4.数学概念

若点P在AABC的内部，且NAP8、NBPC和NCP4中有两个角相等，则称P是A4BC的"等角点〃，

特别地，若这三个角都相等，则称P是&SC的“强等角点〃.

理解概念

（1）若点。是AA8C的等角点，且NAP8=IOO，则N3PC的度数是。.

（2）已知点。在A4BC的外部，且与点A在BC的异侧，并满足NBOC+NR4C<180,作的

外接圆0,连接4。，交圆。于点P.当A58的边满足下面的条件时，求证：P是A48C的等角点.

（要求：只选择其中一道题进行证明！）

①如图①，DB=DC

②如图②，BC=BD

深入思考

（3）如图③，在AABC中，NA、/B、NC均小于120,用直尺和圆规作它的强等角点Q.（不

写作法，保留作图痕迹）

（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：

①直角三角形的内心是它的等角点；

②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；

③正三角形的中心是它的强等角点；

④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；

⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的

有.（填序号）

【答案】（1）100、130或160;（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤

【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；

（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；

②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；

（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即

可；

（4）根据“等角点〃和“强等角点〃的定义，逐一分析判断即可.

【详解】（1）（i）若时，

团/8PC=Z4P8=10（r

（ii）若=时，

B^BPC=ZCPA=-（3600-ZAPB）=130°；

2

（iii）若N4ra=NCR4时，

NBPC=360。-NATO-NCAA=160°,

综上所述：=100\130。或160。

故答案为：100、130或160.

（2）选择①：

连接P&PC

国DB=DC

0DB=DC

04BPD=/CPD

0ZAPB+Z5PD=I8O，ZAPC+ZCTD=180

0Z4PB=ZAPC

团P是AABC的等角点.

选择②

连接尸8,PC

®BC=BD

中BC=BD

中4BDC=/BPD

回四边形P8DC是圆。的内接四边形，

aZBDC+ZfiPC=180

0ZBPD+ZAPfi=18O

0ZBPC=ZAPB

I3P是AABC的等角点

(3)作BC的中垂线MN,以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D,连接BD,

根据垂直平分线的性质和作图方法可用：BD=CD=BC

00BCD为等边三角形

a0BDC=0BCD=[?lDBC=6O<)

作CD的垂直平分线交MN于点0

以0为圆心0B为半径作圆，交AD于点Q,圆。即为国BCD的外接圆

00BQC=18O0-0BDC=12O°

0BD=CD

00BQD=0CQD

00BQA=[?1CQA=7(360°一回BQC)=120°

(3G1BQA=0CQA=I3BQC

如图③，点。即为所求.

(4)③⑤.

①如下图所示，在RtABC中，0ABe=90。，O为0ABe的内心

团点。是团ABC的内心

00BAO=HCAO=0BAC=3O0,0ABO=0CBO=0ABC=45°,0ACO=0BCO=y0ACB=15°

00AOC=18O0-0CAO-0ACO=135°,0AOB=18O0-0BAO-0ABO=1O5%0BOC=18O0-0CBO-0BCO=12O°

显然(3AOO0AOBwl3BOC,故①错误；

②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误；

③正三角形的每个中心角都为：360^3=120%满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的

强等角点，故③正确；

④由(3)可知，点Q为EABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QBHQC,故④错误；

⑤由(3)可知，当AA8C的三个内角都小于120时，AA8C必存在强等角点。.

如图④，在三个内角都小于120的AABC内任取一点0,连接Q'A、QB、QC,将A0AC绕点A

逆时针旋转60到AM4O,连接QM,

13由旋转得QA=MA,QC=MD,/QAM=60

团MQM是等边三角形.

回。M=QA

^QA+QB+QC=QM+QB+MD

回B、。是定点，

团当8、Q、M、。四点共线时，QM+QB+MD最小，即QA+QB+QC最小.

而当。为AABC的强等角点时，ZAQB=ZBQC=ZCQA=120=ZAMD,

此时便能保证B、Q'、M、。四点共线，进而使QA+Q8+QC最小.

故答案为：③⑤.

【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌

握“等角点〃和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类

讨论的数学思想是解决此题的关键.

5.在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O(0,0)、B(6,0)、C(6,8),由三个

观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.

（1）某时刻海面上出现一渔船4在观测点。测得/位于北偏东45。，同时在观测点8测得力位

于北偏东30。，求观测点5到4船的距离.（百。1.7）

（2）若渔船力由（1）中位置向正西方向航行，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答.

【答案】（1）16.2；（2）不会

【分析】（1）过点力作力轴于点0，依题意，得助力。=30。.在Rt△月8D中，设6。=”,则48=2

x,由勾股定理得：AD=J.®_必二小，根据图形得到OD=OB+BD=6+x,故

AB=2X=6（G+1）=16.2

（2）过点A作AG0y轴于点G.过点0作O;E0OB于点E,并延长EO咬AG于点F.由垂径定理得，

OE=BE=3.在Rt团。O'E中，由勾股定理得，O'E=4.所以0午=5+3。＞5.

【详解】（1）过点Z作力轴于点0,依题意，得画%0=30。.在Rt△48D中，设80=%,则48=2

”,由勾股定理得：AD=j面—BD，=&，由题意知：0D=0B+BD=6+x.在RtA4。。中，

0D—AD,6+x=6x

BP：观测点3到4船的距离为16.2.

（2）连接C8,CO,则C砌，轴，03c80=90°,设。为由0、B、C三点所确定圆的圆心.

则OC为团。的直径.

由已知得。8=6,CB=8,由勾股定理得。。;必行句。

回半径OO'=5

过点力作力岫轴于点G.

过点。'作。'比08于点E,并延长E0'交AG于点F.

由垂径定理得：0E=BE=3,（3在RtQOO'E中，由勾股定理得：0^=4

回四边形尸项M为矩形，团防=04而4）=氐=9+36

回。/=9+36-4=5+36

05+3^>5,BPO'F>r

回直线4G与团0,相离，4船不会进入海洋生物保护区.

【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，点与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握勾股

定理的应用，点与圆的位置关系.

6.如图，A,8两点的坐标分别为（0,4）,（0,2）,点尸为x轴正半轴上一动点，过点力作力尸的

垂线，过点5作8尸的垂线，两垂线交于点。，连接尸。，〃为线段尸。的中点.

（1）求证：AQB尸□。四点在以M为圆心的同一个圆上；

（2）当团必与x轴相切时，求点。的坐标；

（3）当点P从点（1,0）运动到点［2,0）时，请直接写出线段。M扫过图形的面积.

恪案】⑴见解析；（2）（2亚，6）；⑶彳.

【详解】试题分析：（1）连接AM、BM,由团APQ和团BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点,

可得AM=BM=PM=QM,从而问题得证；

⑵作MG0y轴于G,MC0X轴于C,由已知求得MC=0G=3,确定出在点P运动的过程中，点M

到x轴的距离始终为3,从而确定点Q的纵坐标始终为6,当团M与x轴相切时则PQ0X轴，作QHSy

轴于H,由因BOP雷QHB,根据相似三角形的性质即可得；

9

（3）由相似可得：当点P在Pi（1,0）时，Ch（8,6）则Mi（y,3）,当点P在P2（2,0）时，

Cb(4,6),则M2(3,3),根据线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q,根据梯形的面积公式进行

计算即可得.

试题解析：(1)连接AM、BM,

加APQ和团BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点,

0AM=BM=PM=QM=-PQ,

2

鼬、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；

(2)作MGBy轴于G,MBx轴于C,0AM=BM,

(3G是AB的中点，由A(0,4),B(0,2)可得MC=OG=3,

团在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为3,

则点Q到x轴的距离始终为6,即点Q的纵坐标始终为6,

当团M与x轴相切时则PQJib(轴，作QTN轴于H,

HB=6—2=4,设。P=HQ=x,

由团BOP00QHB,得X2=2X4=8,x=2也，

团点Q的坐标为(2&,6)：

9

(3)由相似可得：当点P在Pi(1,0)时，Qi(8,6),则Mi(孑，3),

当点在时，则

PP2（2,0）Cb（4,6）,M2（3,3）,

93

0M1M2=--3=-,Q1Q=8—4=4,

22

线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1，

3333

其面积为：—x(—+4)x3=

【点睛】本题考查了圆的综合题、涉及到四点共圆、相似三角形的判定与性质、切线的性质等知识,

根据题意正确画出图形，添加辅助线是解决问题的关键.

7.如图1,在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD,其三个顶点的坐标分别为A(2,0),B(8,0),

(2)设直线/扫过矩形ABCD的面积为S,试求S>0时S与t的函数关系式；

(3)在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的团M,在直线/出发的同时，(3M以每秒

2个单位的速度向右运动，如图2,则当t为何值时，直线/与13M相切？

【答案】(1)1；

4979

(2)当时,5=昼。-1)-;

421

当~<t<3时,S=9t——;

当3Vt时,S=-3(3t-10)2+18;

32

当t>g时,S=18;

⑶t=5—或t=5+VIU.

【详解】试题分析：(1)y=-3x—3与x轴交点坐标是(-1,0)，直线I经过点A(2,0)，故向右平移

3个单位长度，直线l:y=-3x-3以每秒3个单位的速度向右运动，所以t=l;

(2)求出直线l:y=-3x+9t-3,再分情况讨论;

(3)分两种情况讨论，借助三角形相似即可.

试题解析：(l)y=-3x-3与x轴交点坐标是(-1,0)，直线I经过点A(2,0)，故向右平移3个单位长

度，直线l:y=-3x-3以每秒3个单位的速度向右运动，所以t=l;

(2)由题意，可知矩形ABCD顶点D的坐标为(2,3).

由一次函数的性质可知，当t由小到大变化时，直线l:y=-3(x-3t)-3=-3x+9t-3向右平移，依次扫过矩

形ABCD的不同部分.

可得当直线经过A(2⑼时,t=l;当直线经过D(2,3)时当直线经过B(8,0)时,t=3;当直线经过C(8,3)

时智•

设直线l:y=-3x+9t-3-Wx轴交于点R与AD交于点Q.

令可得

y=0,x=3t-lz0AP=3t-3;

令x=2,可得y=9t-9,0AQ=9t-9.

।।”

0S=SAAPQ=2AP*AQ=-(3t-3)(9t-9)=^-|r-lT;

②当g<t43时，如图所示.

设直线l:y=-3x+9t-3与x轴交于点R与CD交于点Q.

令y=0,可得x=3t-l,0AP=3t-3;

令y=3,可得x=3t-2/0DQ=3t-4.

S=S«^APQD=g(DQ+AP)・AD=9t—¥；

设直线上y=-3x+9t・3与BC交于点B与CD交于点Q.

令x=8,可得y=9t-27EBP=9t-27,CP=30-9t;

令y=3,可得x=3t-2,0DQ=3t-4X0=10-3t.

S=S矩形ABCD-SAPQC=18-：CP・CQ=一^(3l-10)2+18;

④当t>7时,S=S矩形ABCD=18.

综上所述,S与t的函数关系式为：

5=%-孕的时

卜=一汐-10)+瓦；3V岑)

S皿

⑶若直线l:y=-3x+9t-3与团M相切，如图所示,应有两条符合条件的切线.

设直线与x轴、y轴交于A、B点，则A(3t-1,0)、B(0,9t-3)/0OB=3OA.

由题意，可知团M与x轴相切，设切点为D,连接MD;

设直线与回M的一个切点为P,连接MP并延长交x轴于点G;过P点作PN0MD于点N,PH取轴于点H.

易证团PMN函BAO,国PN:MN=OB:OA=3,®PN=3MN.

在Rt0PMN中，由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得：MN=KR,PN=2叵,

1010

□PH=ND=MD-MN=3-2^,OH=OD-HD=OD-PN=2t+3-2^,

101()

0P(2t+3-噜,3-噜)，代入直线解析式求得:t=5-710；

同理，当切线位于另外一侧时，可求得:t=5+而

考点:动点问题.

8.定义：如图①，的半径为r,若点P，在射线OP上，且0Pop=/，则称点P，是点P关于

。的“反演点”.

(1)如图①，设射线OP与0。交于点A,若点P是点P关于0。的“反演点”，且OP=PA,求证：

点P为线段OP的一个黄金分割点；

(2)如图②，若点P是点P关于CX＞的“反演点〃，过点P作产8J.OP,交0。于点B,连接

求证：依为1)0的切线：

(3)如图③，在用ZXCD石中，NE=9Qo,CE=6,DE=8,以CE为直径作若点P为8边上

一动点，点P是点P关于。的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段OP长度的取值范围是

9>/73

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

734

【分析】（1）先证明PP=r,再根据"反演点”的定义可知：OP・OP=/,化成比例式可得结论；

（2）先证明OBPsOPB,得团08尸=团。尸石=90°,根据切线的判定可得结论；

9

（3）过点O作OM3CD于H,连接。。，根据“反演点”的定义确定。?和OP的关系：。尸'=而，

根据三角函数和勾股定理计算OH和。。的长，根据O"40P4OD,列不等式组可得结论.

【详解】（1）证明：00P=",

国PP=/M+4P=OP+P4=1，

由已知得OP・OP=，，

OPPP‘

团OP・OP=P7>2,即_=_

PP1OP'

团点户为线段。户的一个黄金分割点；

（2）证明：附8团。尸，

00W5=9O°,

回点P是点P关于田。的"反演点”，

回。POP=/，

回。P0P=0B2,

0PfOB

团---=—»

OBOP

又I3NO=NO,

⑦OBPsOPB,

团NO3P=NQPB=90。,

团尸施08,

即有为田。的切线；

（3）解：如图③，过点。作于〃，连接0Q,

团宓=6,

酬。的半径为3,即「=3,

回点P是点尸关于回。的“反演点",

团OP・OP=32=9,

9

团0P=—，

0P

00^5=90°,CE=6,DE=8,

回CQ=7CE2+DE2=V62+82=10,

,MDE84

sm0C=-----=-=—

CD105

4帧=器

团027=-OC=—，

55

由勾股定理得；OD=yJoE2+DE2=^2+82=>/73»

9

团OP=一，OH<OP<OD

OPf

E”占

734

故答案为：也4op，w”.

734

【点睛】本题是圆的综合题，考查了新定义：反演点，圆的切线的判定，三角形相似的性质和判定,

三角函数的定义等知识，第•问的求解，是在理解新定义的基础上直接引用，根据黄金分割的定义

解决问题；第二问根据切线的判定解决问题；第三问有难度，正确作出辅助线是本题的关键.

9.已知：BD为团0的直径，。为圆心，点A为圆上一点，过点B作缶。的切线交DA的延长线于点F,

点C为团0上一点，且AB=AC.连接BC交AD于点E,连接AC

⑴如图1,求证：0ABF=0ABC;

⑵如图2,点H为130内部一点，连接OH,CH若EIOHC=(3HCA=90°时，求证：CH=：DA；

⑶在(2)的条件下，若OH=6,00的半径为10,求CE的长.

21

【答案】⑴见解析；（2）见解析•：（3）y.

【分析】⑴由BD为O的直径，得到/D+/ABD=90，根据切线的性质得到NFBA+/ABD=90，

根据等腰三角形的性质得到,等量代换即可得到结论；

（2）如图2,连接0C,根据平行线的判定和性质得到NACO=/COH,根据等腰三角形的性质得到

/OBC=/OCB,NABC+/CBO=/ACB+/OCB,根据相似三角形的性质即可得到结论；

AORD

（3）根据相似三角形的性质得到==^=2,根据勾股定理得到AD=jBD2_AB2=16,根据全

OHOC

等三角形的性质得到BF=BE,AF=AE,根据射影定理得到AF=£=9,根据相交弦