2024北京东直门高一（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京东直门高一（上）期中数学2024.11命题人：宋阳审题人：李伟峰考试时间：120分钟总分150分第一部分一.选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，，则等于（）A. B. C. D.3.已知命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.4.下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.不等式的解集是（）A. B.C. D.7.函数，的值域是（）A. B. C. D.8.函数与的图象大致是（）A. B.C. D.9.已知函数，则A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数10.“，”是“”的（）A.充分必要条件 B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件11.小王同学在研究函数的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当时随的增大而增大；④该函数图象关于轴对称；⑤直线与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的为（）A.①④⑤ B.①②④ C.②③④ D.②④⑤12.按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（）（参考数据：，）A. B. C. D.2第二部分二.填空题：（本题有8道小题，每小题5分，共40分）13.已知集合，若，则__________．14.的值是________.15.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________．16.函数的定义域为_____17.若集合中有2个元素，则的取值范围是______.18.函数的单调递增区间为_______________．19.设．（1）当时，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_____．20.给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______.①集合是闭集合；②正整数集不是闭集合；③集合是闭集合；④若集合、为闭集合，则为闭集合.三.解答题（本题有6小题，共62分）21.设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}.（1）求a，b的值及A，B；（2）求(A∪B)∩C.22.已知函数的图像经过点，其中且.（1）求的值：（2）若，求实数的取值范围.23.如图所示，某房地产开发公司计划在一楼区内建一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成.已知长方形休闲区的面积为，人行道的宽分别为4m和10m.（1）设长方形休闲区的长，求长方形公园ABCD所占面积关于的函数的解析式；（2）要使长方形公园所占总面积最小，长方形休闲区的长和宽该如何设计?24.已知二次函数，若不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）当时，求的值域：（3）当时，求的最小值.25.已知函数.（1）判断的奇偶性并证明；（2）当时，判断的单调性并证明；（3）若实数满足，求的取值范围.26.给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．（1）分别判断集合与是否具有性质；（2）若集合具有性质，求的值；（3）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．

参考答案第一部分一.选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）1.【答案】B【分析】根据集合的包含关系及交集的定义判断可得.【详解】因为，，所以，.故选：B2.【答案】C【分析】根据集合中的元素为点集，所以利用方程组来求点集即可.【详解】由，解得因为，，所以，故选：C.3.【答案】C【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得解.【详解】因为命题，所以命题的否定为：，故选：C.4.【答案】B【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】A选项，若，则，所以A选项错误.B选项，若，两边平方得，所以B选项正确.C选项，若，则，所以C选项错误.D选项，若，如，则，所以D选项错误.故选：B5.【答案】A【分析】由题意得只需让即可.【详解】不等式在上恒成立，只需满足，解得，故选：A.6.【答案】D【分析】左边配方成完全平方可得.【详解】解:由原不等式左边配方得，，.故解集为:故选:D7.【答案】D【分析】用换元法转化为求二次函数在某个区间的值域.【详解】设，则，所以，因为，在[0,1]上单调递增，所以当时，，当时，，所以函数，的值域是，故选：D.8.【答案】A【分析】由时，函数的单调性和判断.【详解】当时，函数单调递增，当时，，故选：A9.【答案】A【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案.详解：函数的定义域为，且即函数是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.10.【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别判断即可.【详解】当，，，即，当且仅当，即时，等号成立，所以“，”是“”的充分条件；当，时，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，”不是“”的必要条件，所以“，”是“”的充分而不必要条件，故选：C.11.【答案】B【分析】由已知利用描点法画出函数图象，结合函数图象和函数的增减性的特征即可判断①②③④，将函数图象交点个数问题转化为方程的根的问题，利用判别式即可判断⑤.【详解】函数的定义域为，列表：画出函数图象如图：观察图象：①该函数有最小值，正确；②该函数图象与坐标轴无交点，正确；③当时随的增大而增大，不正确；④该函数图象关于轴对称，正确；⑤令，整理得或，因为，所以直线与函数和各有两个交点，所以直线与该函数图象有四个交点，故⑤错误；综上，以上结论正确的有①②④.故选：.12.【答案】B【分析】根据题意可得，，两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案.【详解】解：根据题意可得，，两式相比得，即，所以.故选：B.第二部分二.填空题：（本题有8道小题，每小题5分，共40分）13.【答案】2【详解】由题意结合补集的定义可知：，且：结合，可得2.14.【答案】1【分析】由对数的运算公式进行化简，即可求解结果.【详解】由对数的运算公式，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了对数的运算法则的应用，其中解答中熟记对数的运算法则是解答的关键，意在考查运算与求解能力，属于容易题.15.【答案】16【分析】根据幂函数的定义求解幂函数的解析式，再求解函数值即可.【详解】设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2

∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.故答案为：1616.【答案】【分析】根据对数函数以及根式的性质即可求解.【详解】由题可得，解得，所以函数的定义域为，故答案为：.17.【答案】【分析】根据条件，得到，即可求解.【详解】因为集合中有2个元素，所以，解得且，所以的取值范围是，故答案为：.18.【答案】和【分析】作出函数的图象，利用数形结合可得结果.【详解】作出函数的图象如下图所示，由图象可知，函数的单调递增区间为和．【点睛】判断函数单调性的一般方法：1．利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2．性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；（2）函数与函数的单调性相反；（3）时，函数与的单调性相反（）；时，函数与的单调性相同（）．2．导数法：在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减．4．定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）．【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函19.【答案】①.②.[0，2]【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a＜0，不满足条件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.【详解】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，即实数a的取值范围是[0，]【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.【答案】②③【分析】对于①，令，，即可判断；对于②，两个正整数的差可能是负整数，即可判断；对于③，任取，，则，，，，结合新定义即可判断；对于④，令，，结合新定义即可判断.【详解】对于①，因为，，但是，所以不是闭集合，故①错误；对于②，对于正整数集，因为,，但是，所以正整数集不是闭集合，故②正确；对于③，任取，，则，，，，则，，，所以，，，所以是闭集合，故③正确；对于④，由③可得是闭集合，是闭集合，所以或，则有，，但，则不是闭集合，故④错误.故答案为：②③.【点睛】关键点点睛：解决集合知识和新定义的问题，在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律.三.解答题（本题有6小题，共62分）21.【答案】（1）a＝－8，b＝－5，A＝{2，6}，B＝{2，－5}.（2）{2}【分析】（1）根据已知是方程的解，代入方程即可求出；进而求出；（2）按并集、交集定义，即可求解.【详解】（1）∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}.（2）∵A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}.【点睛】本题考查由交集结果求参数、集合间的运算，属于基础题.22.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）代入已知点的坐标即可得；（2）由指数函数的单调性解不等式即得．【小问1详解】因为函数的图像经过点，所以，即；【小问2详解】，即，所以，，所以的范围是．23.【答案】（1）（2）长为100米，宽为40米【分析】（1）由题意列式求解；（2）由（1）结合基本不等式求解.【小问1详解】由m，得m，故（）【小问2详解】由（）当且仅当即时等号成立，故长方形休闲区的长为100米，宽为40米时，长方形公园所占总面积最小，24.【答案】（1）1（2）（3）【分析】（1）根据解集可求得结果；（2）根据对称轴和单调性确定值域；（3）根据对称轴和区间的位置关系分情况讨论确定最小值.【小问1详解】因为的解集为，所以，解得，所以的值为1；【小问2详解】由（1）可得，所以，二次函数的图像开口向上，对称轴为，当时，，当时，，当时，，所以的值域为；【小问3详解】因为，二次函数的图像开口向上，对称轴为，当，即时，在单调递减，所以；当，即时，；当时，在单调递增，所以，所以的最小值.25.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）增函数，证明见解析（3）【分析】（1）判断出函数为奇函数，再利用函数奇偶性的定义证明即可；（2）判断出函数在0,+∞上为增函数，然后任取、，且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；（3）根据函数在0,+∞上的单调性结合f2x+1>f3【小问1详解】函数为奇函数，理由如下：因为函数的定义域为，，故函数为奇函数.【小问2详解】函数在0,+∞上为增函数，证明如下：任取、，且，即，则=x1-所以，函数在0,+∞上为增函数.【小问3详解】由（2）可知，函数在0,+∞上为增函数，由f2x+1>f3，可得2x+1>3，即因此，满足不等式f2x+1>f3的26.【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质（2）（3），，或【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足；（2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解.【小问1详解】集合中的，，所以集合不具有性质，集合中的任何两个相同