2024-2025学年高一数学上学期高频考点突破专题02常用逻辑用语含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1专题02常用逻辑用语考点1：充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件题型一：充分条件的推断例1指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(2)已知x，y∈R，p：x＝3，q：(x－3)·(x－4)＝0；(3)已知x∈R，p：x>5，q：x>6.解(1)四边形是矩形能够推出四边形的对角线相等，所以p是q的充分条件．(2)由x＝3⇒(x－3)(x－4)＝0，故p是q的充分条件．(3)方法一由x>5⇏x>6，所以p不是q的充分条件．方法二设集合A＝{x|x>5}，B＝{x|x>6}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．变式“a2+b2=0”是“a+b=0”的________条件．答案充分解析a2+b2=0，则a=b=0，所以，a+b=0，故“a2+b2=0”是“a+b=0”的充分条件．题型二：必要条件的推断例2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：两三角形全等，q：两三角形相像；(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(3)p：a>b，q：ac2>bc2解(1)因为若两三角形全等，则必定相像，所以q是p的必要条件．(2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件．(3)因为c可能等于0，p⇏q，所以q不是p的必要条件．变式指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B；(2)p：x2>16，q：x>4.解(1)因为对顶角相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．(2)因为当x2>16时，x>4或x<－4，所以p⇏q，所以q不是p的必要条件．题型三：充分条件与必要条件的应用例3已知M＝{x|a－1<x<a+1}，N＝{x|－3<x<8}，若M是N的充分但不是必要条件，求a的取值范围解：∵M是N的充分但不是必要条件，∴∴，又∵a－1=3与a+1=8不行能同时成立，即不行能出现M=N故a的取值范围是变式已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．答案－1≤a≤5解析因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤1，,a＋4≥3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5，,a≥－1，))所以－1≤a≤5.考点1练习：基础达标1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法推断答案：A【解析】当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不肯定成立．∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．2．“x为无理数”是“x2为无理数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B【解析】当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不肯定为无理数．3．使x＞1成立的一个必要条件是()A．x＞0B．x＞3C．x＞2D．x＜2答案：A【解析】只有x＞1⇒x＞0，其他选项均不行由x＞1推出．4．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件是()A．x＋y＝2B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2D．xy＞1答案：B【解析】对于选项A，当x＝1，y＝1时，满意x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满意x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意．5．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案：C【解析】A∪B＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，因为A∪B＝C，所以x∈A∪B⇒x∈C，且x∈C⇒x∈A∪B，所以x∈A∪B是x∈C的充分条件，同时也是必要条件．6．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件，“x∈B”是“x∈A”的________条件．(填“充分”或“必要”)答案：充分必要【解析】因为A⊆B，由子集的定义知x∈A⇒x∈B，故“x∈A”是“x∈B”的充分条件；“x∈B”是“x∈A”的必要条件．7．若“x＞1”是“x＞a”的充分条件，则a的取值范围是__________.答案：a≤1【解析】因为x＞1⇒x＞a，所以a≤1.8．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的________条件．(填：充分不必要、必要不充分、既充分又必要、既不充分又不必要)答案：充分不必要【解析】x＝3⇒x2＝9，x2＝9x＝3，故p是q的充分不必要条件．9．推断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由．答案：解p是q的充分条件．因为p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；q：x≥－1或x≤5就是实数集R.所以PR，也就是p⇒q，故p是q的充分条件．10．分别推断下列“若p，则q”命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p：a是整数，q：a是自然数；(2)p：a是素数，q：a不是偶数．解(1)由于p：a是整数q：a是自然数，p：a是整数⇐q：a是自然数，所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．(2)由于p：a是素数eq\o(⇔,/)q：a不是偶数，所以p是q的不充分条件，p是q的不必要条件．11．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是()A．m≥2B．m≤2C．m＞2D．－2＜m＜2答案：A【解析】因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.12．已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．答案：－1≤a≤5【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤1,a＋4≥3))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5,a≥－1))，所以－1≤a≤5.13．设x，y∈R，那么“x＞y＞0”是“eq\f(x,y)＞1”的________条件(填“充分”“必要”)．答案：充分【解析】由eq\f(x,y)＞1⇒eq\f(x－y,y)＞0⇒x＞y＞0或x＜y＜0.因此“x＞y＞0”能推断“eq\f(x,y)＞1”．考点2：充要条件1．假如“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．2．假如p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，假如p⇔q，那么p与q互为充要条件．题型一：充分、必要、充要条件的的推断例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p：x＝1，q：x－1＝eq\r(x－1)；(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(4)p：a是自然数；q：a是正数．解(1)当x＝1时，x－1＝eq\r(x－1)成立；当x－1＝eq\r(x－1)时，x＝1或x＝2.∴p是q的充分不必要条件．(2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件．(3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分条件．(4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又eq\f(1,2)是正数，但eq\f(1,2)不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分又不必要条件．变式指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.解(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角肯定不都是直角，故p是q的必要不充分条件．(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．题型二：充分、必要、充要条件的的推断例2设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，xeq\o\al(2,0)＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝eq\f(b2,c－a)，将此式代入xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.变式求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.证明①充分性：假如b＝0，那么y＝kx，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.题型三：充要条件的应用例3已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．变式已知当a<0时，设p：3a<x<a，q：x<－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解设A＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|x<－4或x≥－2}．因为p是q的充分不必要条件，所以AB，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－eq\f(2,3).又∵a<0，∴a≤－4或－eq\f(2,3)≤a<0，即实数a的取值范围为a≤－4或－eq\f(2,3)≤a<0.考点2练习：1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析a2＋b2＝c2△ABC为直角三角形，故选C.答案C2.已知p：－2<x<2，q：－1<x<2，则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析p：－2<x<2.q：－1<x<2.∵{x|－1<x<2}{x|－2<x<2}，∴p是q的必要不充分条件，选B.答案B3.设p：实数x，y满意x>1且y>1，q：实数x，y满意x＋y>2，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件.故选A.答案A4.使“x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥3或x≤－\f(1,2)))”成立的一个充分不必要条件是()A.x≥0 B.x<0或x>2C.x∈{－1，3，5} D.x≤－eq\f(1,2)或x≥3解析选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥3或x≤－\f(1,2)))”成立的一个充分不必要条件.答案C5.“x＝1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件，则实数a的取值范围为()A.a＝eq\f(1,2) B.a<eq\f(1,2)C.a<1 D.a≥1解析由题意，{1}是{x|x≤a}的子集，∴a≥1.故选D.答案D二、填空题6.p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形全等，则p是q的________条件.解析p是q的充要条件.答案充要7.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的充要条件是________.解析如图所示，要使一次函数y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则需k<0且b≥0.答案k<0且b≥08.“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的________条件.解析若a>1，则eq\f(1,a)<1，反之要eq\f(1,a)<1，当a<0时也成立，不能推出a>1.答案充分不必要三、解答题9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相像，q：两个三角形全等；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.解(1)x－3＝0(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0/x－3＝0，故p是q的充分不必要条件.(2)两个三角形相像/两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相像，故p是q的必要不充分条件；(3)a>ba＋c>b＋c，且a＋c>b＋ca>b，故p是q的充要条件.10.不等式3x＋a≥0成立的充要条件为x≥2，求a的值.解3x＋a≥0化为x≥－eq\f(a,3).由题意eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥－\f(a,3)))＝{x|x≥2}，所以－eq\f(a,3)＝2，a＝－6.考点3：全称量词与存在量词全称量词存在量词量词全部的、随意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中随意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”题型一:全称量词命题与存在量词命题的识别例1推断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题．(1)对随意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(2)对全部实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形．解(1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0.(2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．(3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．(4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．变式推断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线相互垂直；(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x－2y＝10有整数解．解(1)可以改为全部的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．(2)可以改为全部矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(3)若一个四边形是菱形，也就是全部的菱形，故为全称量词命题．(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．题型二:全称量词命题与存在量词命题的真假的推断例2推断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3<1；(2)在平面直角坐标系中，随意有序实数对(x，y)都对应一点P；(3)∀x∈N，x2>0.解(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．(2)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(3)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．变式试推断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1≥2；(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.解(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题．(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题．(3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题．题型三:依据含量词命题的真假求参数的取值范围例3已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．解由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.变式若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围．解∵命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.考点3练习：一、选择题1.下列命题：①中国公民都有受教化的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教化；③有人既能写小说，也能搞独创创建；④任何正方形都是平行四边形.其中全称量词命题的个数是()A.1 B.2C.3 D.4解析命题①②④都是全称量词命题.答案C2.下列命题中存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于随意x∈R，总有|x|≥0.A.0 B.1C.2 D.3解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“全部的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.答案B3.已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A.0<a<4 B.a>4C.a<0 D.a≥4解析∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.答案B4.下列四个命题：①一切实数均有相反数；②∃a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.其中，真命题的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析①为真命题；对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；④为真命题.答案C5.下列全称量词命题中真命题的个数为()①对于随意实数x，都有x＋2>x；②对随意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立；③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A.1 B.2C.3 D.4解析①②③为真命题.答案C二、填空题6.给出下列三个命题：①∀x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1.其中全称量词命题是________(填序号).解析②省略了量词“全部的”.答案①②7.对随意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.解析对随意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.答案a≤38.试推断下列全称量词命题的真假：①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1；③对随意x，y，都有x2＋y2≠0.其中真命题的个数为________.解析①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.答案1三、解答题9.试推断下列全称量词命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1≥2；(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；(3)每个二次函数都有最小值.解(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题.(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.(3)对于y＝ax2＋bx＋c，当a<0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数都有最小值”是假命题.10.推断下列存在量词命题的真假：(1)∃x∈Z，x3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.解(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，∴“∃x∈Z，x3<1”是真命题；(2)真命题，如梯形；(3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题.考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定p¬p结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题题型一:全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)全部分数都是有理数；(2)全部被5整除的整数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．(2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数．(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.变式写出下列全称量词命题的否定：(1)全部自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)对随意实数x，x2＋1≥0.解(1)¬p：有些自然数的平方不是正数．(2)¬p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(3)¬p：存在实数x，使得x2＋1<0.题型二:存在量词命题的否定例2写出下列存在量词命题的否定，并推断其否定的真假．(1)某些梯形的对角线相互平分；(2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小；(3)∃x，y∈Z，使得eq\r(2)x＋y＝3.解(1)随意一个梯形的对角线都不相互平分．命题的否定为真命题．(2)对随意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，eq\r(2)x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，eq\r(2)x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．变式写出下列存在量词命题的否定，并推断其否定的真假：(1)有的素数是偶数；(2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0.解(1)命题的否定：全部的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0.∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，∴命题的否定是假命题．题型三:全称量词命题与存在量词命题的综合应用例3已知命题p：∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．解令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5≥－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．变式已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围．解因为¬p是假命题，所以p是真命题，又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤－3，,a＋5≥2，))解得－3≤a≤1，即实数a的取值范围是－3≤a≤1.考点4练习：一、选择题1.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A.∀x∈R，|x|＋x2<0 B.∀x∈R，|x|＋x2≤0C.∃x∈R，|x|＋x2<0 D.∃x∈R，|x|＋x2≥0解析此全称量词命题的否定为：∃x∈R，|x|＋x2<0.答案C2.下列命题中，为真命题的全称量词命题是()A.对随意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B.菱形的两条对角线相等C.∃x∈R，eq\r(x2)＝xD.一次函数y＝kx＋b(k>0)，y随x的增大而增大解析A中含有全称量词“随意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，但事实上是指“全部的”，菱形的对角线不肯定相等；C是存在量词命题，所以选D.答案D3