2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的基本定理学案新人教B版选修2-1

PAGEPAGE13．1.2空间向量的基本定理1.了解共线向量的概念、向量与平面平行的意义．2.理解共线向量定理、共面对量定理、空间向量分解定理．3．会用适当的基底表示其他向量．1．共线向量定理两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb．2．共面对量定理3．空间向量分解定理假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝p＝xa＋yb＋zc，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．1．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面对量．()(3)若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.()(4)空间中随意三个向量肯定是共面对量．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．已知λ∈R，则下列命题正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|＞0答案：C3．若e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量a，b共线的是()A．a＝e1－e2，b＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2B．a＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2，b＝2e1－3e2C．a＝eq\f(1,3)e1－eq\f(1,2)e2，b＝2e1－3e2D．a＝e1＋e2，b＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,2)e2答案：C4．空间的随意三个向量a，b，3a－2b，它们肯定是()A．共线向量B．共面对量C．不共面对量D．既不共线也不共面对量答案：B共线向量的判定如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝eq\f(1,2)FC1，推断eq\o(ME,\s\up6(→))与eq\o(NF,\s\up6(→))是否共线？【解】由已知可得，eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝－eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(C1C,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FN,\s\up6(→))＝－eq\o(NF,\s\up6(→)).所以eq\o(ME,\s\up6(→))＝－eq\o(NF,\s\up6(→))，故eq\o(ME,\s\up6(→))与eq\o(NF,\s\up6(→))共线．在本例中，若M、N分别为AD1，BD的中点，证明eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(D1C,\s\up6(→))共线．证明：连接AC，则N∈AC且N为AC的中点，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，由已知得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1C,\s\up6(→)).所以eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(D1C,\s\up6(→))共线．eq\a\vs4\al()推断向量a，b共线的方法有两种(1)定义法即证明a∥b，先证明a，b所在基线平行或重合．(2)利用“a＝xb⇒a∥b”推断a，b是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质，结合详细图形，化简得出a＝xb，从而得a∥b，即a与b共线．如图所示，ABCD、ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，推断eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))是否共线？解：因为eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CE,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(CE,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线．共面对量的判定已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外的一点，若点M满意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)推断eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)推断点M是否在平面ABC内．【解】(1)由已知，得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))共面，三个向量的基线又有公共点M，所以M、A、B、C共面，即点M在平面ABC内．eq\a\vs4\al()共面对量定理可用来证明四点共面，也可以证明线线平行，在本题中的一般结论是若eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1，则M、A、B、C四点共面．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面．证明：分别连接并延长PE，PF，PG，PH交对边于M，N，Q，R.如图所示，因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R为所在边的中点，顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up6(→))，eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))，eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up6(→)).因为MNQR为平行四边形，所以eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(PG,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MR,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PF,\s\up6(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up6(→))))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PH,\s\up6(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up6(→))))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)).所以由共面对量定理得E，F，G，H四点共面．空间向量分解定理的应用如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，试用向量a、b、c表示向量eq\o(GH,\s\up6(→)).【解】由题意知eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))，因为eq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(b＋c)，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)(b＋c)，所以eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b＋c)－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)(b＋c)＝－eq\f(1,3)a，即eq\o(GH,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a.eq\a\vs4\al()用基底表示向量时，(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行运算．(2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能便利地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．已知空间四边形OABC，点M、N、P分别是OA，BC，OC的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，试用a、b、c表示eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→)).解：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c－a)．1．共线向量定理包含两个命题，特殊是对于两个向量a，b，若存在实数x，使a＝xb(b≠0)⇒a∥b，可以作为以后证明线线平行的依据，但必定在a(或b)上有一点不在b(或a)上．2．线面平行与四点共面问题(1)证明线面平行，据题设选择平面内两个不共线向量(一组基底)，该线所对应向量用平面内不共线向量(基向量)表示成a＝xb＋yc形式，又线不在平面内，即证线面平行．(2)空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).满意这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满意这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．3．空间随意三个不共面的向量a、b、c皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有多数个，所以基底的选择范围很广，但在详细的题目或几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面对量作为基底．向量共线与共面不具有传递性，如a∥b，b∥c，那么a∥c就不肯定成立．因为当b＝0时，虽然a∥b，b∥c，但a不肯定与c共线．1．已知空间向量a，b不共线，p＝ka＋b，q＝a－k2b，若p，q共线，则k的值是()A．0 B．1C．－1 D．2解析：选C．若p，q共线，则存在唯一的实数x，使p＝xq，即ka＋b＝xa－xk2b⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝x,1＝－xk2))⇒k＝－1.2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()A．a B．bC．a＋2b D．a＋2c解析：选D．构成基底的条件是三个向量不共面，故只有D选项满意条件．3．对于不共面的三个向量a，b，c，假如xa＋yb＋zc＝0，则x＝________，y＝________，z＝________．答案：0004．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间基底的向量组有________．解析：如图所示，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AA′,\s\up6(→))，c＝eq\o(AD,\s\up6(→))，则x＝eq\o(AB′,\s\up6(→))，y＝eq\o(AD′,\s\up6(→))，z＝eq\o(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).由图知，A，B′，C，D′四点不共面，故向量x，y，z也不共面．同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．所以，可以作为空间基底的向量组有②③④.答案：②③④[A基础达标]1．对于空间的随意三个向量a，b，2a－b，它们肯定是()A．共面对量B．共线向量C．不共面对量D．既不共线也不共面对量解析：选A．因为2a－b可用a，b线性表示，所以2a－b与a，b肯定共面．2．设空间四点O，A，B，P满意eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，则()A．P∈ABB．P∉ABC．点P不肯定在直线AB上D．以上都不对解析：选A．由共线向量定理知，P，A，B三点共线，故A正确．3．在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，O′是上底面的中心，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AO′,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．a＋eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a＋b＋c解析：选B．如图，连接A′C′，则eq\o(AO′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′O′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.4．在下列条件中，使M与A，B，C肯定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C．eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))解析：选C．因为eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以M与A，B，C必共面．5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))－neq\o(AA1,\s\up6(→))，则m，n的值分别为()A．eq\f(1,2)，－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)，eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)，eq\f(1,2)解析：选A．由于eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(1,2)，n＝－eq\f(1,2)，故选A．6．非零空间向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k＝________．解析：若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1，))所以k＝±1.答案：±17．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(GE,\s\up6(→))＝________．解析：因为BE＝3ED，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).答案：－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))8．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))答案：1－19．已知空间的一个基底{a，b，c}，p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试推断p、m、n是否共面？解：假设p、m、n共面，因m与n不共线，故存在有序实数对(x，y)满意p＝xm＋yn，则3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.因为a、b、c不共面，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1.))而此方程组无解，所以p不能用m、n表示，即p、m、n不共面．10．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求证：E，F，B三点共线．证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.因为eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→)).所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)(a－eq\f(2,3)b－c)．又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→)).所以E，F，B三点共线．[B实力提升]11．如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,3) D．1解析：选C．因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝eq\f(1,3).12．正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up6(→))＋λeq\o(A1D,\s\up6(→))＝0(λ∈R)，则λ＝________．解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EFeq\o(\s\do3(),\s\up4(∥))eq\f(1,2)A1D，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up6(→))＋λeq\o(A1D,\s\up6(→))＝0，所以λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)13．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC成定比2，N为PD的中点，求满意eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的实数x，y，z的值．解：法一：如图所示，取PC的中点E，连接NE，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(EN,\s\up6(→))－eq\o(EM,\s\up6(→)).因为eq\o(EN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up6(→)).连接AC，则eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，因为eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))不共面．所以x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).法二：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，因为eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AP,\s\up6(→))不共面，所以x＝－eq\f(2,3)