高二级-人教A版-高中数学-第五章《函数的极值与最大（小）值》课件

5.3.2函数的极值与最大（小）值高二级—人教A版—高中数学—第五章

复习回顾1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系：在某个区间(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函数y=f

(x)在区间(a,b)上单调递增；

在某个区间(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函数y=f

(x)在区间(a,b)上单调递减.

2.利用导数研究函数y=f(x)的单调性的一般步骤：第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.第2步，求出导数f′(x)的零点；第1步，确定函数f(x)的定义域；探究新知问题1:

如果函数在某些点的导数为0

，那么在这些点处函数有什么性质呢？单调递增单调递减

我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.观察下图，我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.0tabh追问1：如图

，函数y=f(x)在

x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？问题2:对于一般的函数y=f(x)

，是否具有同样的性质？

函数f(x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小.

函数f(x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大.探究新知追问2：y=f(x)在这些点处的导数值是多少？f′(a)=0f′(b)=0问题2:对于一般的函数y=f(x)

，是否具有同样的性质？探究新知追问3：在这些点附近

，函数y=f(x)的导数的正负有什么规律？在x=a附近左侧单调递减，f′(x)<0右侧单调递增，f′(x)>0在x=b附近左侧单调递增，f′(x)>0,右侧单调递减，f′(x)<0问题2:对于一般的函数y=f(x)

，是否具有同样的性质？探究新知概念形成我们把

a叫做函数y=f(x)的极小值点，

f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；

b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum).极值点与极值的定义：问题3：

观察图3

，找出图中的极值点，并说明哪些为极大值点

，哪些为极小值点？探究新知极大值和极小值分别是多少？问题3：

观察图3

，找出图中的极值点

，并说明哪些为极大值点

，哪些为极小值点？探究新知极大值：f(x2),f(x4),f(x6)极小值：

f(x1),f(x3),f(x5)追问1：

函数在其定义域内的极大值点和极小值点唯一吗？极大值点：x2,x4,x6极小值点：x1,x3,x5极大值和极小值分别是多少？追问2：区间的端点能成为极值点吗？不唯一不能追问3：极大值一定大于极小值吗？极值反映了函数在某一点附近的大小情况

，刻画了函数的局部性质.极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值

，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．极小值极大值探究新知

当

x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

探究新知问题4：

若f′(x0)=0

，则

x0是否为极值点?xyOy＝x3解：函数f(x)=

x3

，f′(x)=3x2当x=0时

，f′(0)=0当x≠0时

，f′(x)>0又因为函数f(x)=

x3是增函数所以0不是函数f(x)=

x3的极值点.追问：x=0是否为函数

f(x)=

x3的极值点?探究新知问题4：

若f′(x0)=0

，

则

x0是否为极值点?结论：f′(x0)=0

是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.f′(x0)=0x0是函数f(x)的极值点f′(x0)=0x0是函数f(x)的极值点归纳方法一般地，可按如下方法求函数y=f(x)的极值：解方程f′(x)=0，当f′(x0)=0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.＋－x0－＋x0探究：前面找出了函数y=f(x)的在区间[a,b]上的极大值、极小值，那么f(x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?极大值：f(x2),f(x4),f(x6)极小值：

f(x1),f(x3),f(x5)最大值：f(a)最小值：f(x3)x0yax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6问题6：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？xyOaby=f(x)xyOabx2x1x3x4x5y=g(x)最大值：f(b);最小值：f(a)最大值：f(x3);最小值：f(x4)

一般地，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值.

追问：函数最值与极值有什么关系？函数最值与极值的关系：求最值的方法：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值.1.函数的最值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个.3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.

又因为f(0)=4,f(3)=1

方法归纳

求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：(2)将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(1)求函数y=f(x)在(a,b)上的极值；

x－2f'(x)0f(x)–+单调递减单调递增

f(x)=(x+1)exxyO11-1-2-1

（1）求出函数f

(x)的定义域；（2）求导函数数f'(x)及其零点；（3）用零点将f

(x)定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各个区间上的正负，并得出f

(x)单调性与极值；（4）确定f

(x)图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；（5）画出f

(x)的大致图象.通常可以按如下步骤画出函数f

(x)的大致图象:方法归纳

问题：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

我们利用导数工具来解决这个问题.

ryO321本节课的主要内容：函数的极值函数的极值的概念如何求函数的极值极值点存在的条件函数的最值如何画函数的大致图像

回顾与小结

回顾与小结解方程f′(x)=0，当f′(x0)=0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.1.求函数

y=f(x)的极值的方法：

回顾与小结

2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤：作业：教材习题5.3第1至6题

谢谢观看！5.3.2函数的极值与最大（小）值答疑高二级—人教A版—高中数学—第五章

教学重难点：1.教学重点：利用导数求函数的极值与最值.2.教学难点：函数极值与导数的关系，函数极值和最值的区别.x2,x4是函数f(x)的极值点,其中x2是极大值点,

x4是极小值点.1.函数y=f′(x)的图象如图所示,