数学优化训练：和角公式习题课

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。1和角公式习题课5分钟训练（预习类训练，可用于课前)1。化简cos(α—β)cosβ-sin(α—β）sinβ的结果为（）A。1B。cosαC.sinαD.cos(α—2β）提示:逆用两角和的余弦公式。答案：B2.若sinαcosβ=，则cosαsinβ的取值范围是（）A。［—1，］B.[，1]C.[］D.［，］解析:sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β)∈［—1，1］,①sinαcosβ—cosαsinβ=sin（α-β)∈［-1,1］,②由①≤cosαsinβ≤，由②≤cosαsinβ≤，∴≤cosαsinβ≤。答案:D3.若sin(α-β）cosα-cos（α-β）sinα=m,且β为第二象限角，则cosβ的值为(）A。B.C.D.解析:由sin（α-β)cosα-cos(α-β)sinα=m，得sin［（α—β）—α］=m，∴sin（—β）=m,∴sinβ=-m。又β为第二象限角，∴cosβ=.答案:B4。(2006高考陕西卷，13）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_______________。解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=sin13°cos43°—cos13°sin43°=sin(13°-43°）=sin(—30°）=。答案:－10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1。设α∈（0,），β∈(，π），若cosβ=,sin（α+β)=，则sinα等于（）A。B。C.D.解析：∵α∈(0，)，β∈（，π），∴α+β∈（，)。又sin（α+β)=,∴cos(α+β)=。又cosβ=，∴sinβ=.∴sinα=sin[（α+β)-β］=sin（α+β）·cosβ—cos（α+β）·sinβ=·(-）-（)·=。答案：C2。已知△ABC中，若tanA=成立，则△ABC为（）A。等腰三角形B.A=60°的三角形C.等腰三角形或A=60°的三角形D.不确定解析：由tanA=，得，∴sinAsinC—sinAsinB=cosAcosB—cosAcosC.∴cosAcosB+sinAsinB=cosAcosC+sinAsinC。∴cos（A—B)=cos（A—C）。∴A-B=A-C或A—B=C—A。∴B=C或2A=B+C.由2A=B+C且A+B+C=180°,得A=60°。答案:C3.若，则cot（+α）=_____________。解析：=cot（+α）=。答案：4。计算=_______________.（用数字作答）解析：=—tan15°=—tan(45°-30°)=。答案：5。化简：-2cos（α—β).解：-2cos(α-β)。6.已知cos（θ—α）=a,sin(θ-β）=b,求证：cos2(α-β）=a2+b2-2absin(α-β).证明:由cos（θ-α)=a得cosθcosα+sinθsinα=a，①由sin（θ-β)=b得sinθcosβ-cosθsinβ=b，②①×sinβ+②×cosα得sinθcos（α-β）=asinβ+bcosα，③①×cosβ-②×sinα得cosθcos（α—β）=acosβ—bsinα,④③2+④2得cos2(α-β)=a2+b2+2ab(sinβcosα-cosβsinα)=a2+b2-2absin(α-β），∴结论成立。30分钟训练(巩固类训练,可用于课后）1。（1+tan17°）（1+tan18°）（1+tan27°)（1+tan28°）的值是（）A.2B.4C解析：tan（α+β)=,当α+β=45°时,tanα+tanβ=1-tanαtanβ，∴tanα+tanβ+tanαtanβ+1=2。∴（1+tanα)（1+tanβ)=2。∴（1+tan17°)（1+tan18°）=2，（1+tan27°)（1+tan28°)=2。答案：B2。y=3sin（x+10°)+5sin（x+70°）的最大值是（）A。B.C.7D.8解析：y=3sin（x+10°）+5sin(x+70°）=3sin（x+10°）+5sin（x+10°+60°）=3sin（x+10°)+5sin（x+10°)cos60°+5cos（x+10°）sin60°=sin（x+10°）+cos(x+10°)，∴y的最大值为（)2+（)2=7。答案：C3.已知sin（x—y）cosy+cos(x—y）siny≥1,则x、y的取值范围分别是（)A.不存在B。x=2kπ+，k∈Z，y∈RC.x∈R，y=2kx+,k∈ZD.x、y∈R解析：由sin（x—y)cosy+cos（x-y)siny≥1得sinx≥1，又—1≤sinx≤1，∴sinx=1,x=2kπ+,k∈Z.答案：B4。设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A。B.C。-3D.解：由a2+2b2=6，可设a=cosα，b=sinα，∴a+b=cosα+sinα=3（cosα+sinα）=3sin（θ+α)(其中,sinθ=，cosθ=)。∴a+b的最小值为-3.答案：C5.（2006高考福建卷，理3）已知α∈（,π)sinα=，则tan(α+)等于（）A。B.7C。D.—7解析：∵α∈(，π)，sinα=,∴cosα=,tanα=。∴tan（α+)=。答案：A6。（tan10°-)=____________。解析：原式==—2.答案：-27。在△ABC中，tanAtanB＞1，则△ABC为___________三角形。解析：由于tanAtanB＞1，∴A、B均为锐角,tan（A+B）=＜0.而tanC=—tan(A+B）＞0，∴C为锐角.答案:锐角8。（2006高考江西卷,文13)已知向量a=（1,sinθ）,b=(1，cosθ），则|a—b｜的最大值为___________.解析：由题意得a—b=（0，sinθ—cosθ)，则｜a-b｜=|sinθ-cosθ｜=｜sin（θ—)|≤2.故｜a-b｜的最大值为.答案：9。如图3-1—1,矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，在BC上取一点P，使AB+BP=PD，求tan∠APD的值。图3—1-1解：设BP=x，则PC=2a-x，设∠BPA=α，∠DPC=β，由于AB+BP=PD,∴a+x=,得x=.∴tanα=，tanβ=。∴tan（α+β）==-18.∴tan∠APD=tan［180°—（α+β）］=18。10。已知3sinβ=sin（2α+β)，α≠kπ+,α+β≠kπ+，k∈Z，求证：tan(α+β）=2tanα.证明:由3sinβ=sin（2α+β),∴3sin(α+β—α)=sin（α+β+α).∴3sin（α+β）cosα—3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα。∴2sin（α+β)cosα=4cos（α+β）sinα.又α≠kπ+，α+β≠kπ+，k∈Z，∴