2024学年蚌埠市高二数学上学期第二次联考试卷附答案解析

学年蚌埠市高二数学上学期第二次联考试卷2024.11一、单选题（本大题共8小题）1．在以为原点，以为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．2．将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（）A． B． C． D．3．已知点，则以为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．4．空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（

）A． B．C． D．5．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（

）A． B． C． D．6．在中，点，点，点A满足，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．7．点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（

）A． B．C． D．8．已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．3二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（）A．若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直B．已知点，，在平面内，向量是平面的法向量，则C．对空间任意一点和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底10．在平面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．已知直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线与点P的轨迹交于C，D两点，则四边形的面积的值可以是（

）A． B． C． D．11．1.已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（

）A．的周长为B．若的中点为M，则C．若，则椭圆的离心率的取值范围是D．若的最小值为，则椭圆的离心率三、填空题（本大题共3小题）12．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则.13．如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是.14．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的三个顶点分别为.(1)求边所在直线的方程；(2)若的中点为，求边的垂直平分线的方程；(3)求的外接圆的方程.16．如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面面ABCD，M是PD的中点.(1)求证：平面平面PCD(2)求BM与平面所成角的正弦值17．已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值.18．如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且.(1)求证：平面(2)在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.19．已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.(1)若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；(2)在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；(3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，求证：不存在实数，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.

参考答案1．【答案】A【详解】，所以点的坐标为．故选：A.2．【答案】B【详解】直线的方程为，其斜率为，设直线的斜率为，，．由题意可知，，，的方程为：，即．故选：B3．【答案】D【详解】因为，线段的中点为，，所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，所以线段为直径的圆的方程为.故选：D.4．【答案】B【详解】点为的中点，则有，所以.故选：B.5．【答案】C【详解】直线的方程为，设直线的倾斜角为，当时，，②当时，直线的斜率，由于或，所以,,，所以，综上所述：；故选：C．6．【答案】B【详解】设，则，由得，化简得，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点），故点到直线的距离最大值为，故面积的最大值为.故选：B7．【答案】A【详解】设椭圆方程为，设椭圆上顶点为，椭圆上存在点，使得，则需，由余弦定理可得，，即，，，则，同理可得椭圆焦点在轴上时，也应有，所以选项A满足.故选：A.8．【答案】B【详解】过分别作的垂线，垂足分别为，则，，则，又，则，，即在直线上，，则，又，则，即，，故离心率为，故选：B.9．【答案】BD【详解】对于A，，故A错误；对于B，，且向量是平面的法向量，所以，即，即，故B正确；对于C，因为，所以则P，A，B，C四点不共面，故C错误；对于D，因为为空间的一个基底，所以不共面，假设共面，则存在唯一实数，使，所以，无解，故不共面，故D正确；故选：BD.10．【答案】BC【详解】由题得，平方相加得点P的轨迹方程为，点P的轨迹是以点为圆心半径为3的圆.,所以直线过定点，由于所以定点在直线上，由题得四边形的面积为，当最大时，面积最大，此时,所以，所以直线的方程为，经过圆心，所以此时,由题得圆心到直线的距离为.所以面积的最大值为，所以面积的取值范围为.故选：BC11．【答案】AC【详解】对A，根据椭圆的定义的周长为，正确；对B，设，则，所以，，由，即，错误；对C，，则，正确；对D，容易知道，的最小值为通径长度，由于直线斜率存在，所以不能取到最小值，不正确.故选：AC.12．【答案】【详解】.故答案为：13．【答案】【详解】如图，点关于直线的对称点为，则，即，解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为，则光线所经过的路程为.故答案为：14．【答案】【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故，连接，因为为内心，故为角平分线，由角平分线性质，有，故，故答案为：，.15．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由，由两点式可得边所在直线的方程为，即边所在直线的方程；（2）由，可得的中点为，又，所以边的垂直平分线的斜率为，所以由点斜式可得边的垂直平分线的方程为，即.（3）设的外接圆的方程为，则，解得，所以的外接圆的方程为.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由平面平面，平面平面，底面ABCD是边长为2的正方形，则，平面，可知面，平面，，为正三角形，为中点，可得，平面，平面，平面，平面平面.（2）取AD的中点为O，连接，侧面PAD是正三角形，则，平面平面，平面平面，平面，可知面，设BC中点为N，连接ON，以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系：则，，，，，，设平面的法向量为，则，取，则，设BM与平面所成角为，则.17．【答案】(1);(2)见解析.【详解】(1)设,则,两式相减,得:由弦中点的纵坐标为2,得,故.所以抛物线的标准方程.(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设直线由得由点在抛物线上,可知上述方程的一个根为.即,同理.直线的斜率为定值.18．【答案】(1)证明见解析(2)存在，为线段上靠近的三等分点【详解】（1）以点为原点，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，故EC⊥DF，EC⊥DA，∵，平面ADF，平面；（2）设，则的坐标为，设平面的法向量为，则由，令，则，则法向量，平面与平面的夹角为，且平面的法向量为，，，∴解得，为线段上靠近的三等分点.19．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设Px,y是该圆上任意一点，则，